易拉罐的优化设计

易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。

问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。

问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。

问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。

模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。

结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。

问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。

对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。

另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。

最后写出了我们对数学建模的体会文章。

关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个净含量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

一、问题的提出我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

对于易拉罐的形状和尺寸的最优设计我们提出了以下问题：1. 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2. 设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3. 设易拉罐的中心纵断面如图⑴所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4. 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

二、模型假设1、假设易拉罐的各个组成部分是同一种材料；不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。

2、易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。

3、实际测量允许有一定的误差。

4、问题二中的假设：① 在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体；② 假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍；三．模型的假设与求解问题一：我们测得355ml 易拉罐（雪碧）尺寸如下（单位mm ）：(以后尺寸均以其为基本问题二：本题建立在易拉罐是一个正圆柱体的基础之上，如图（2） 假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同。

1．符号说明： r ：易拉罐的半径； h ：易拉罐的高；v ：易拉罐内体积（容积）； sv ：易拉罐所用材料的体积； b ：易拉罐除顶盖外的厚度；α：顶盖厚度参数，即顶盖厚度b α。

（2）2．问题分析与模型由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。

易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料2222sv=(()-r )(h+(1+)b)+b r r b b r ππαπαπ++将上式化简，并以,b α为参数，看作,r h 为自变量。

有2223(,)2(1)2(1)(1)sv r h rhb r b r b h b b παππαππα=+++++++作简化，因为br ，则23,b b 很小，所以可将带23,b b 的项忽略。

有2(,)(,)2(1)sv r h s r h rhb r b ππα≈=++记2(,)g r h r h v π=-（v 是已知的，即罐容积一定）。

得数学模型min (,)s r h2(,)0.00g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩3．模型求解由约束条件2(,)0g r h r h v π=-=，得2vh r π=，代入目标函数 22(,())(1)v s r h r b r r πα⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦令'322(1)0bs r v rαπ⎡⎤=+-=⎣⎦得r =因为''3242(1)0(0)v s b r r πα⎡⎤=++> >⎢⎥⎣⎦所以r =又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。

又由于2332(1)()(1)(1)(1)v v vh r r v απααππαπ+===+=++，则由对问题二的前一解的结论，4h r =，得41α=+，结论：3α=。

4．结果分析易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（3α=），与我们对355ml 可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。

问题三：本题建立在易拉罐上面是一个正圆台，下面是一个正圆柱体的基础之上，如图（3）1．符号说明R ：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）； r ：易拉罐正圆台上底半径； h1：易拉罐正圆柱体高； V1：易拉罐正圆柱体容积； h ：易拉罐正圆台高； V ：易拉罐正圆台容积。

3．问题分析与模型因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D ）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。

所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。

以常见的可口可乐等355ml 易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=355ml.于是问题三转化为，已知易拉罐上部正圆台体积V 一定，底半径R 一定时，其上底半径r 和高h 为何值（或r 与h 比例是多少）正圆台的表面积最小，如图（4）：（4） 求正圆台的面积得模型：正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积222222(1()33()(S r r R V h r rR R Vh r rR R r r R ππππππ=++=++ =++ ++即代入有S=用数学软件求S 的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm ）， 得： 当r=1.467cm,h=1.93cm 时，结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：①总高度与底直径之比为2：1， ②正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h ：2r ≈2：3），相应易拉罐上下底直径之比为2:21:2r R ≈。

问题四：新设计现今常见的易拉罐都是圆柱形，对于一定容积的柱体，以正圆柱体的表面积最小，且圆柱形的外形也较为美观。

但易拉罐流行至今几十年都是圆柱形，也太常见有审美疲劳。

因而我们考虑易拉罐基本造型有一个较大的变化，如创新设计为了正四方柱体、正三面柱体、球体等。

其实我们都知道球体是更省料的，像太白酒等酒的瓶子就是这样。

假设瓶口直径为20，瓶颈高30（类似于矿泉水瓶口的设计），设球的半径为R,则：S=S 1+S 2=4πR 2+Фπh 得S=28624.708mm 2该值远小于以上计算结果，故此种设计更优。