线性方程组一种新解法

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线性方程
【 要】 文通 过 引入 特殊 阶梯形 矩 阵的概念 ， ｔ 摘 本 使 ｌ ， 元
线 性 方 程 组 的 解 法模 式 化 、 范 化． 规
一拂糯 潦 。
２ ２ ０ Ｏ ３ １ ３ Ｏ
②恢复方程组 ：
ｒ １＋２ ２＋ ４＝４，
＋ １ ２ ＋ ０ Ｏ
＼ 、
—
２
１ ０
，
● ● Ｆ ● ● ● ● ● ， ，
３
＋
．
③移项补齐 ：
３ 非齐次线性方程组 ． 设有非齐次线性方程组 Ａ ＝ ， 解 法如下 ： Ｘ ／其 ３ 第一步 ： 增广矩阵 Ａ ＝（ ／） 将 Ａ， 阶梯化 判解 ３
０ ２ １ ０ ０ ０
证
ｚ － ｃ ｚ代 入 ２１ ，
，
得
ｘ３
ｃ１．
『 一 ＋ ｘ ＝ ｌ ２２ ｌ ２２ ０， 、 ｌ ３ ２ ４ ｃ 一 ｃ 一ｃ ＋ ｃ ＝ 丁
【２ ２ ３ ＋ ｘ 一 ４＝ 一 ｃ ＋ｃ ＋２ 】 Ｃ ＝ ． ２１ ２ ｃ 一 ２ ０
） 一 一
ｃＸ
— — —
。ｊ ．． －丫 Ｉｒ ｝ ｉ ．
●． ｌ ＿， ●
＝ ｅｘ ｕ ｘ ￣ａ （ ）
ｌ ｉ ｍ』 ～ ． （ ！（ ： ！ 一ｖ （ ２ ｘ）
ｌ — ｌ ａ￣ｂ ｌ ｂ ＋ ｉ ａ ｎ ａ Ｘ ｒ — Ｘｎ
— — — —
ｌ ｎｃ
．
＝
若用重要极 限 ， 则
数 学 学 习与 研 究
２ １ ．３ ０ １ １
＿ 一／ １ ０ Ｏ ０
◎彭 刚 刘广平 （ 东岭南职业技 术学院基础Ｏ 广 ４ ０ ｌ 部
Hale Waihona Puke 、 、， ●●● ●● ，● ／
５ ０６ ） １６ ０
【 键词 】 关 阶梯 形； 特殊 阶梯形
１ 弓 言 ．ｌ 线性代数是 大学 本专科重点课程 之一 ， 内容 丰富 ， 其 逻 辑性强 ， 是后 续课程的重要工具 ， 线性 方程组是其 中极为 重 要 的一章 ， 大多数 出版 的教材 都有 较好 的 阐述． 但理 解难 ， 忘得快 的问题依 然困扰着学生． 本文通过 引入新 的概念 ， 试 图使线性方程组 的解法 模式 化 ， 学生理 解快 ， 使 记得 牢 ， 以 收事半功倍之效． 定义 １ 在 ｎｘｍ阶矩 阵 Ａ 中 ， ｎＸ ｍ 若 （） １ 在第 ｉ 中， 行 ｎ左边 的元素全部为 ０，＝ ， ， ， ｉ ２ ３ … ； （） ２ 在第 ｉ 中 ， 行 从左 至右 ， 第 一 个 非 ０元 素 为 ａ 若 （ ＝１２ … ， ， ｉ ， ， ） 而第 ｉ 行 中 ， 左 至 右 ， 一 个 非 ０元 素 ＋１ 从 第 为ａ … ， ｋ ＞． 则 ； （ ） 有 全 ０行 ， 全 ０行 在 矩 阵 的 最 下 方 ， 称 矩 阵 ３若 则 则 Ａ ｎ×ｍ 为 阶梯 形 阵． 如 ： 例
＼ ５３÷ ２ ｌ ９。 ０１４ ， ３７＿２０３ １ ，００ ３ ０３。３１ １ １９０ 。 … ｌ ０ ６ ｊ ２ 、 』 ＼ 、 ／ ｌ
数 学 学 习 与研 究 ２ １ １ ０１ ３
１ ３
｛ ２２ 。解 中 任常 ｘ ０ ， ｃ 意数 ｘ ｘ ’ 其 是 ：２ 的 Ｉ＋＝ － ４ ＋一
： ｅ
：
［ ］白水周 ． 限运算 中两个值得 注意的问题［ ］ 开封 ４ 极 Ｊ． 大 学学报 ，０５ １ （ ）９ ９ ． ２ ０ ，９ ４ ：５— ６ ［］ ５ 李超． 利用偏 导数 求 型 多元 不定 式 的极 限 ［ ］ Ｊ．
Ｕ
÷ （
¨ ：
韶关 学院学报 ： 自然科 学版 ，０ １２ （２ ： ０ ２０ ，２ １ ） １—１．
＝ ｅ
＝
ｌ ｕｘ ｌ ｛ １ （ （） １ ］ ｉ （） ＝ｉ ［ ＋ Ⅱ 一 ） 赤 ｍ ‘ ｍ
）“ ｌ㈤ ＿ ＿ ｌ
：
）‘ － ） ｊ １（ “’ ． ３ ｖ
：
对 “ … 型 不 定 式 ， 底 数 中含 有 一 项 为 １ 则 用 重 要 极 ｌ 若 ， 限计 算 更 为简 便 ．
、 ●
（ 接 ８ 上 ３页 ）
“ ” ） ０・ 型 即可求得原 极 限． 而对 于… ” １ 型不定 式 ， 还可 借助重要极 限求解 ， 但本质是一样 的 ， 因为若用对数法 ， 则
ｌ ｉ （ ： 巾 ：
．
解法 ２
：
（
） （ ： ＋
＝ ｅ —
＾ ．
Ａ＝ｌ一 ２ — ０ １ １ １
Ｉ ６ ３ １ ３ ０
１
１－ ｔ ，
１ ８
１４
一ＺＸ ５一，ａ ｑ； －６，
、 、● ● ●● ●，
２ ０ １ ０
４
ｌ ， Ｉ ＝５ ５
ＬＸ６ ＝ ｇ ６ Ｃ ・
０ ０ １ 。 。 。 ０ ０
例４ 解ｌｆ ｊ １（＞， ０ ＞） 求 － 、 ， 。 ｏ ＞， ０ ｉ ６ 。 ．
解法 １
［］ ３ 王五生 ， 黄延 廷． 不定 式函数极 限 的七 种求 法［ ］ Ｊ．
河池 师专 学 报 ，０４ ２ （ ）５— ． ２ ０ ，４ ２ ： ８
（
） 。— ÷ ：
： 。
：
．
由于ｌ （ ｉ ）＝１ 所 以 两 种 方 法 最 终 都 转 化 为 求 ａ ｒ ，
．
【 参考文献 】 ［］ １ 复旦大 学数 学 系． 数学分 析 （ ） Ｍ］ 北 京 ： 民 上 ［ ． 人
教 育 出版 社 ，９９ １７ ． ［］ ２ 陈文灯． 等数 学 复 习指 导 （ ） Ｍ］ 北京 ： 京 高 上 ［ ． 北 理 工 大 学 出版 社 ，９ ２ １９ ．
。 缔
解题技巧与方法
… 赫 卅 魄母 氅 哆 ● 卿
③移项补齐 ：
ｒ ＝ 一２ ２—３ ３一 ３ ｌ ｘ ｘ ５ ６，
一
解
胁 舢 扔 ‰
① Ａ 阶梯化 ：
， ２ ０ １ ０ ，１ ４、
ｆ Ｉ２ ＝ ．， ２
｛ ＝ Ｉ ，
即 将 Ａ 施 以 行 的初 等 变 换 化 为 阶 梯 形 Ｂ ＝（ ｄ ， Ｂ， ） ｒ Ｂ）＝ｒＢ） 则 有 解 ． （ （ ，
ｆ１ 一 ｘ 一 ４ ４ ＝ ２２ ＋ ，
Ｉ ＝ ， ｚ 。
｛ ＝， ５
『 ４： ｄ， Ｘ
Ｌ： ｘ６ ｌ．
④拆成 向量 ：
＋
。
｛一 １ ２２ 一 ４ １ — ｘ ＋３ ＝ ，
【 １＋６ ２＋３ ４＋ ３ ５＝１ ． ８
【 考文献】 参 ［］ １ 钟学军． 阵损 失下 均值 向量 的线 性估计． 学年 矩 数 刊， 国家教委数 学年刊编 委会编 辑 ，９７ ６ ：８ ． １９ （ ） １ Ａ ［］ ２ 北京大学数学力学系． 高等数学． ［］ ３ 高汝熹 ， 姚慕 生． 高等数学（ 线性代数． 二）
０ ２１
例如，
：
０ ０Ｊ
？） ： ） ２ 均 ， （
（
二， 特 阶形 ， 系矩 为 １ 乃殊梯阵 此数 阵特 ） 此 因
是 特殊 阶 睇形 阵 引理 １ 设有 齐次线性方程组 Ａ ０， Ｘ＝ 若将 系数矩 阵 Ａ 施 以行 的初 等变 换 变 为 ， Ａ ＝０与 Ｂ 则 Ｘ Ｘ：０是 同解 方
证 因为有可逆 阵 Ｐ 使 Ｐ Ｂ ＝ ， ， Ａ＝ ， ｄ 所以 Ａ ｆ ： Ａ 甘 ＝ｄ 而初 等变换 不改变矩 ＝ ａ Ｐ Ｘ： ｌ￣ ，
阵的秩 ， ｒａ）＝ （ ） ｒ Ａ）＝ （ ． 故 （ ｒ Ｂ ，（ ｒ 曰） ２ 齐次线性方程组 ．
一
２）
Ｕ Ｉ 齐次 方程组
第二步 ： 特殊 阶梯化 Ｂ 即将 曰施 以行 的初等变换化 为特殊阶梯形． 第 三 步 ： 复 方 程 组 恢 第 四步 ： 项补齐 移 第五步 ： 成 向量 拆 例 ３ 求通解 ：
ｒ ｌ＋ ２ ２＋ ４＝４ ，
０ ｌ ｊ，所 解 －此 求 Ｊ 乃通
ｈ ● ● ●● ●／
５ ｌ ． ＝ Ｂ．
＼ ０ ０ ； ６ｆ ０ ０ １ ／
ｒ 日 ）＝ （ （ ｒＢ）＝ ， ３
一
④拆成 向量 ：
一
２
３
、 、●● ●●
●
Ｐ ｒ●● ●● ●／
．
・ ．
原 方 程 组 有 解 ， 曰 已是 特 殊 阶 梯 形 且
我们发现要得到上述解 ， 只需 经 过 以 下 两 步 即 可 ： （ ） 项 补 齐 １移
即在每个 方程中 ， 将下标最小 的变量用其余 变量 表示
同 时 按 由上 到 下 的 顺 序 缺 时 ， 充 ＝ ， 是 有 补 于
梯形阵． 定 义 ２ 若矩 阵 Ａ １ 满足 以下两条 ： ｎ×７ Ｚ （ ） ｎ× 是 阶梯 形 阵 ； １Ａ ｍ （） ２ 从左至右 ， 每一行的第一个非 ０ 素为 １而 它所在 元 ， 的列 中其余 元素均为 ０ 则称 Ａ ， ｎｘｍ为特殊阶梯形阵．
程组．
证
因 为存 在 可 逆 阵 Ｐ 使得 Ｐ Ａ：Ｂ， 以 Ａ ＝０ 所 甘
ＰＡＸ ：Ｑ铮 ＢＸ ：０．
引理 ２ 设 有 非齐 次线性 方程 组 Ａ 若 将增 广矩 阵 ： Ｘ＝
Ａ ＝（ ） 以行 的 初 等 变 换 为 Ｂ ＝（ ｄ ， Ａ ＝ 与 Ａ， 施 Ｂ， ） 则 Ｘ 卢 Ｂ ＝ Ｘ ｄ是 同解 方 程组 ， ｒＡ）＝ （ ） ｒ Ａ ）＝ （ ． 且 （ ｒ 口 ，（ ｒ Ｂ）