高中理科数学计数问题(排列组合)

理科数学复习专题统计与概率

排列组合

一．基本计数原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：要求做一件事有多少种方法，一般先分类，再分步。

例：用ABCD四个字母和1-9九个数字中各取一个给教室的座位编号，可以编出几种号码？

练：从3名老师，8名男生，5名女生中选人参加活动。

（1）活动只需一人参加，有几种选法？

（2）活动需一名老师，一名男生，一名女生参加，有几种选法？

（3）活动需一名老师，一名学生参加，有几种选法？

题型总结

※重排问题（元素可以重复选取）

例：(1)将5本书分给3个不同的学生，有几种分法?

(2)将3个人分到5个不同的车间工作，有几种分法？

练：甲、乙、丙、丁争夺数、物、化三门学科的冠军，每门学科一名冠军，可能出现几种结果？

※组数问题（特殊位置、特殊元素优先考虑）

例：（1）用1、2、3、4、5可以组成多少个四位偶数?

（2）用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

（3）用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

C B A

D ※选取问题（优先安排“全能者”）

例：艺术小组共有9人，每人至少会钢琴和小号一种乐器，其中会钢琴的有7人，会小号的有3人。从中选一人参加钢琴比赛，一人参加小号比赛。总共有几种选取方案？

练：艺术小组共有9人，只会钢琴有5人，只会小号有2人，全能的有2人，从中选一个参加钢琴比赛，一个参加小号比赛。总共有几种选取方案？

※涂色问题

例：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入下图的五个区域内，要求相

邻的两个区域颜色都不相同，则有几种不同的涂色方法

练：如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数是_______

二、排列：

例：从甲、乙、丙3个人中选2个人打扫卫生，1个上午，1个下午，几种选法？

总结：从n 个元素中选出m 个进行排列，总共有几种选法？

1． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．

排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

【说明】排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个

元素按照一定的顺序．．．．．

排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，

而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+L （,,m n N m n *∈≤）

全排列数：(1)(2)21!n n

A n n n n =--⋅=L （叫做n 的阶乘） 题型总结

※ 计算排列数

计算：42128642A A A A -++

※ 用排列解决的计数问题

（1）特殊优先原则（2）相邻元素捆绑法

（3）不相邻元素插空法（4）定序问题倍缩法

例：①用1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

②用0、1、2、3、4、5可以组成多少个无重复数字的四位偶数?

例：用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)偶数数字从左向右从小到大排列．

练：3个男生4个女生站成一排

（1） 甲只能排在中间或排在两端（2）甲和乙只能站在两端

(3) 甲不站最左端，乙不站最右端 ( 4) 所有男生站一起

(5) 所有男生站一起，所有女生站一起 (6)男生不能相邻

(7) 甲乙中间有两人 (8)甲在乙的右边

排列问题 综合练习

1、摄影师要为5名学生和2位老师拍照，要求排成一排，2位老师相邻且不排在两端，不同的排法共有 ( )

A ．1440种

B ．960种

C ．720种

D ．480种

2、有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）

A ．36种

B ．48种

C ．72种

D ．96种

3、一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起的不同坐法种数为（ ）

A 、333A ⨯

B 、333)(3A ⨯ C. 433)(A D. 9

9A

4、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任两名学生不能相邻，那么不同的排法有（ ）

A 、36种

B 、72种

C 、108种

D 、120种

5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起去动物园游玩，购票后需要排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法数共有 （ ）

A 、12

B 、24

C 、36

D 、48

6、公共汽车上有4位乘客，其中任何两人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方式共有（ ）

A 、15种

B 、24种

C 、360种

D 、480种

7、在学校的一次演讲比赛中，高一，高二，高三分别有1名，2名，3名同学获奖，将这6名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有（ ）

A 、6种

B 、36种

C 、72种

D 、120种

8、由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是_____

A ．72 B.96 C.108 D.144

9、电视台某段时间连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）

A ．120种

B ．48种

C ．36种

D ．18种

10、甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）

A.12种

B.18种

C.24种

D.96种

11、某中学一天的课表有6节课， 其中上午4节， 下午2节， 要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有( )

A ．600种

B ．480种

C ．408种

D ．384种

12、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

（A ）288个 （B ）240个 （C ）144个 （D ）126个