2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程

2013---2017年全国1卷高考理科数学分类汇编---坐标系与参数方程 （2017全国1.理数.22）[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数），直线l 的参数方程为 4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩

（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；

（2）若C 上的点到l

a .

【考点】：参数方程。

【思路】：（1）将参数方程化为直角方程后，直接联立方程求解即可（2）将参数方程直接代入距离公式即可。

【解析】：将曲线C 的参数方程化为直角方程为2

219x y +=，直线化为直角方程为11144y x a =-+- （1）当1a =时，代入可得直线为1344y x =-+，联立曲线方程可得：22134499y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩

，解得21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

或30x y =⎧⎨=⎩，故而交点为2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,0 （2）点3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩

到直线11144y x a =-+-的距离

为d =≤，即：3cos 4sin 417a θθ++-≤，化简可得()()1743cos 4sin 174a a θθ---≤+≤--，根据辅助角公式可得()135sin 21a a θϕ--≤+≤-，又()55sin 5θϕ-≤+≤，解得8a =-或者16a =。 （2016全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系x O y 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t

=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．

在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.

（I ）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=，其中0α满足tan 0α=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．

【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1

⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，

224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②

3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C

①—②得：24210x y a -+-=,即为3C

∴210a -=,∴1a =

考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.

（2015全国1.理数.23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R π

θρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .

23．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，

2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．

……5分 （Ⅱ）将4π

θ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=， 解得122ρ=，22ρ． 故122ρρ-=2MN =2C 半径为1，所以2C MN ∆的面积为12

．…10分

（2014全国1.理数.23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t

=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

【解析】： (1) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩

（θ为参数）， 直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分

（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

54cos 3sin 65

d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3

α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为2255

； 当()sin 1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为255

. …………10分 （2013全国1.理数. 23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩

(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=.

（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）.

23. 将45cos 55sin x t y t

=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22

(4)(5)25x y -+-=， 即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ

=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得， 28cos 10sin 160ρρθρθ--+=， ∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+= （Ⅱ）2C 的普通方程为22

20x y y +-=， 由222281016020

x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 2,4π），(2,)2π.