商品利润最大问题

商品利润最大问题

1 •经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.

2 •会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.

3•能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.

一、情境导入

红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？

二、合作探究

探究点一：最大利润问题

【类型一】利用解析式确定获利最大的条件

为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展.某工

厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件•生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议.

解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的

变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润=一天生产的产品件数X 每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议.

解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y = [10 + 2(x—1)][76 —4(x —1)] =—8x + 128X+ 640 = —8( x—8) + 1152.当x= 8 时，y 最大值=1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大•建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品.(其他建议，只要合理即可)

【类型二】利用图象解析式确定最大利润

. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y*元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2= mx—8m灶n,其变化趋势如图②所示.

(1) 求y2的解析式；

(2) 第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

y 2 的图象经过两点(3 , 6) , (7 , 7) ,••• 9m —24m ^n — 6，解

49 m- 56m+ n = 7,

1 m

8，

得

• y 2的解析式为y 2

63 n

= T

4k + b = 11,

⑵设 y1 = kx + b,.•函数 y1 的图象过两点(4 , 11) , (8 , 10) ,• 8k

+ b = 10,

1 k =— -,

1

4

•- y 1的解析式为y 1 = — 4X +12(1 w x < 12).设这种水果每千克所获得的利润为 b = 12.

(1 W X W 12)，•当x = 3时，w 取最大值 ¥，•••第 大，最大利润是¥元/千克.

三、板书设计

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教学过程中，强调学生自主探索和合作交流， 经历将实际问题转化为函数问题， 并利用函数

的性质进行决策.

解：(1)由题意可得，函数

=8x 2 — x + 63(1 w X W 12) •

解得

元•则 w = y i — y 2= ( - 4x + 12) — ( $ - x + 63)

1 2

3 33 1 2 =—8x + 4x + T ，• k 8(x - 3)

+N

2

21

3月销售这种水果，每千克所获的利润最