商品利润最大问题
人教版数学九年级上册：22.3 第2课时 最大利润问题 (含答案)
第2课时最大利润问题1．将进货价为每件70元的某种商品按每件100元出售时每天能卖出20件，若这种商品每件的售价在一定范围内每降低1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x 元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，则每日的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是y＝________________，所以每件降价________元时，每日获得的利润最大，为________元．2．服装店将进价为100元/件的服装按x元/件出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为()A．150 B．160 C．170 D．1803．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x，那么y关于x的函数解析式是()A．y＝x2＋a B．y＝a(x－1)2C．y＝a(1－x)2D．y＝a(1＋x)24．[2019·丹东] 某服装超市购进单价为30元/件的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于30元/件，不高于60元/件．销售一段时间后发现：当销售单价为60元/件时，平均每月的销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元/件，平均月销售量为y件．(1)求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当销售单价为多少时，销售这种童装每月可获利1800元？(3)当销售单价为多少时，销售这种童装每月获得的利润最大？最大利润是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60，且x 为整数)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于42元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，那么销售单价应定为多少元/个？6. 某商店销售某种商品所获得的利润y(元)与所卖件数x(件)之间满足关系式y＝－x2＋1000x －200000，则当0<x≤450时的最大利润为()A．2500元B．47500元C．50000元D．250000元7．某种工艺品的进价为每件100元，当标价135元出售时，每天可售出100件．根据销售统计，该工艺品每件的价格每降低1元，每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，则每件需降价()A．5元B．10元C．15元D．20元8．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系符合一次函数y＝－x＋140.(1)直接写出x的取值范围：__________；(2)若销售该服装获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式：________________________________________________________________________.9．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元，试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元/袋)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为多少元/袋？(3)设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元/袋时，每天的利润最大？最大利润是多少元？10．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图22－3－9所示．(1)求y与x之间的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，那么当销售单价为多少时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？图22－3－911．十一黄金周期间，由于7座以下小型车辆免收高速公路通行费，使汽车租赁市场需求旺盛．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当租出的车辆每减少1辆，每辆车的日租金将增加50元，另外公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出x(0≤x≤20)辆车时，日收益为y元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)(1)公司每日租出x(x≤20)辆车时，每辆车的日租金增加__________元，此时每辆车的日租金为__________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最多？最多是多少元？答案1．(30－x) (20＋x) －x 2＋10x ＋600 5 6252．A [解析] 设利润为w 元，则w ＝(x －100)(200－x)＝－x 2＋300x －20000＝－(x －150)2＋2500(100≤x≤200)， 故当x ＝150时，w 有最大值．3．D4．解：(1)由题意得y ＝80＋20×60－x 10， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x≤60)．(2)由题意得(x －30)(－2x ＋200)－450＝1800，解得x 1＝55，x 2＝75(不符合题意，舍去)．答：当销售单价为55元/件时，销售这种童装每月可获利1800元．(3)设每月获得的利润为w 元．由题意得w ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2000.∵－2＜0，∴当x≤65时，w 随x 的增大而增大．∵30≤x≤60，∴当x ＝60时，w 取最大值，w 最大＝－2(60－65)2＋2000＝1950.答：当销售单价为60元/件时，销售这种童装每月获得的利润最大，最大利润是1950元．5．解：(1)w ＝()x －30·y ＝(x －30)·(－x ＋60)＝－x 2＋90x －1800(30≤x≤60，且x 为整数)．(2)w ＝－x 2＋90x －1800＝－()x －452＋225.∵－1＜0，∴当x ＝45时，w 有最大值，最大值为225.答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w ＝200时，可得方程－()x －452＋225＝200，解得x 1＝40，x 2＝50. ∵50＞42，∴x ＝50不符合题意，舍去．答：销售单价应定为40元/个．6．B [解析] 因为抛物线的对称轴为直线x ＝500，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，因此在0<x≤450的范围内，当x ＝450时，函数有最大值为47500.7．A8．(1)60≤x≤90 (2)W ＝－x 2＋200x －8400[解析] (1)∵规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，∴60≤x≤90.(2)∵单件利润为(x －60)元，销售量为y ＝－x ＋140，∴销售该服装获得的利润W ＝(x －60)(－x ＋140)＝－x 2＋200x －8400.9．解：(1)设y ＝kx ＋b ，将x ＝3.5，y ＝280；x ＝5.5，y ＝120代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3.5k ＋b ＝280，5.5k ＋b ＝120，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－80，b ＝560.则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－80x ＋560(3.5≤x≤5.5)． (2)由题意，得(x －3)(－80x ＋560)－80＝160，整理，得x 2－10x ＋24＝0，解得x 1＝4，x 2＝6.∵3.5≤x≤5.5，∴x ＝4.答：如果想每天获得160元的利润，那么销售单价应定为4元/袋．(3)由题意，得w ＝(x －3)(－80x ＋560)－80＝－80x 2＋800x －1760＝－80(x －5)2＋240.∵3.5≤x≤5.5，∴当x ＝5时，w 有最大值为240.故当销售单价定为5元/袋时，每天的利润最大，最大利润是240元．10．解：(1)设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数解析式为y ＝－10x ＋700.(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x≤46.设每天获得的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x－50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．11．解：(1)50(20－x)(－50x＋1400)(2)由题意，得y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800＝－50(x－14)2＋5000.∵－50＜0，∴函数图象开口向下，函数有最大值，即当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000.答：当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最多，最多是5000元．。
初三下数学课件(北师大)-商品利润中的取值问题
【规范解答】(1)最高销售单价为 50(1＋40%)＝70 元，设 y 与 x 的函数关系
式为 y＝kx＋b，则6700kk＋ ＋bb＝ ＝430000 ，解得kb＝ ＝－100100 ，∴y 与 x 之间的函数 关系式为 y＝－10x＋1000，x 的取值范围是 50≤x≤70； (2)w＝(x－50)y＝(x－50)(－10x＋1000)＝－10x2＋1500x－50000＝－10(x －75)2＋6250，a＝－10＜0，图象开口向下．对称轴为直线 x＝75，自变量 的取值范围是 50≤x≤70，在此条件下，y 随 x 的增大而增大，所以，当 x ＝70 时，w 最大值＝－10(70－75)2＋6250＝6000 元．当销售单价定为 70 元时， 所获得的利润有最大值，最大值为 6000 元． 【方法归纳】这里不能说 x＝75 时，w 有最大值 6250，应该考虑 x 的取值 范围.
解：(1)根据题意得，y＝250－10(x－25)＝－10x＋500(30≤x≤38)；
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．w＝(x－20－a)(－10x＋500)＝－ 10x2＋(10a＋700)x－500a－10000(30≤x≤38)，对称轴为 x＝35＋12a，且 0 ＜a≤6，则 35＜35＋21a≤38，则当 x＝35＋12a 时，w 取得最大值，∴(35＋ 12a－20－a)[－10(35＋12a)＋500]＝1960，∴a1＝2，a2＝58(不合题意舍去)， ∴a＝2.
知识点：利用二次函数求利润的取值问题
求解最大利润问题的基本步骤： (1)引入自变量，用含自变的代数式分别表示 单件利润 及 销售量 ； (2)建立关于 销售利润 的函数表达式； (3)根据 函数关系式 求出最大值及取得最大值时的 自变量 的值．
二次函数与商品利润最大问题
初中数学课件
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
初中数学课件
作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
初中数学课件
二次函数特定范围内的最值
初中数学课件
二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
初中数学课件
二次函数的应用
---商品利润最大问题
初中数学课件
复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
商品利润最大问题
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
涨价销售
20+x
300-10x y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
∵1200＜1250
∴售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（2）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试
确定该商品的售价x的取值范围；
解：①当40≤x≤50时， ∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在.
60x－1800
（
Q=
40≤x≤50 ）
－2(x－55)2 + 1250 （ 50≤x≤70）
又∵a =－2＜0， 1242
∴当51≤x≤53时 ，
Q随x的增大而增大
∴当x最大 = 53时，Q最大= 12420 51 53 55
x
∴此时售价x应定为53元，
利润最大，最大利润是1242元.
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价-
总成本.
最大利 确定自变量 润问题 取 值 范 围
可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
九年级数学上册二次函数【商品利润最大问题】专项训练
九年级数学上册二次函数【商品利润最大问题】专项训练1、某旅馆有30个房间供旅客住宿。
据测算，若每个房间的定价为60元/天，房间将会住满；若每个房间的定价每增加5元/天，就会有一个房间空闲。
该旅馆对旅客住宿的房间每间要支出各种费用20元/天（没住宿的不支出）。
当房价定为每天多少时，该旅馆的利润最大？解：设每天的房价为60+5x元，则有x个房间空闲，已住宿了30-x个房间．∴度假村的利润y=（30-x）（60+5x）-20（30-x），其中0≤x≤30．∴y=（30-x）•5•（8+x）=5（240+22x-x²）=-5（x-11）²+1805．因此，当x=11时，y取得最大值1805元，即每天房价定为115元∕间时，度假村的利润最大。
2、最近，某市出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。
某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元每千克。
经市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售量x（元）有如下的关系：w=-2x+80。
设这种产品每天的销售利润为y（元）。
（1）求y与x之间的函数关系式；解：y=（x-20）w=（x-20）（-2x+80）=-2x²+120x-1600，∴y与x的函数关系式为：y=-2x²+120x-1600；（2）当销售价定为多少元每千克时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：y=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，∴当x=30时，y有最大值200，∴当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？解：当y=150时，可得方程：-2（x-30）2+200=150，解这个方程，得x1=25，x2=35，（8分）根据题意，x2=35不合题意，应舍去，∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．3、与某雪糕厂由于季节性因素，一年之中产品销售有淡季和旺季，当某月产品无利润时就停产。
九下数学(北师版)课件-商品利润的最值问题
C．y＝－10x2＋350x
D．y＝－10x2＋350x－7350
1．某公司的生产利润原来是 a 万元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，
如果每年增长的百分率都是 x，那么 y 与 x 的函数关系是( D )
A．y＝x2＋a
B．y＝a(x－1)2
C．y＝a(1－x)2
D．y＝a(1＋x)2
2．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价每个 100 元出售时，每天能卖出
12．(扬州中考)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔 筒，成本为 30 元/件，每天销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数 关系，如图所示．
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时， 每天获取的利润最大，最大利润是多少？
且售价 x 的范围是 1≤x≤3，则最大利润是( C )
A．16 元
B．21 元
C．24 元
D．25 元
9．某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30，且 x 为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，每件的 售价应为 25 元． 10．某种工艺品利润为 60 元/件，现降价销售，该种工艺品销售总利润 w(元) 与降价 x(元)的函数关系如图，则这种工艺品的销售量为(60＋x) 件(用含 x 的代数式表示)．
7．一件工艺品进价为 100 元，标价 135 元售出，每天可售出 100 件．根据
销售统计，一件工艺品每降价 1 元出售，则每天可多售出 4 件，要使每天获
得的利润最大，每件需降价的钱数为( A )
A．5 元
B．10 元
22.3.1商品利润最大的问题(教案)
-利用一元一次不等式表示商品利润，并求解最大利润；
-分析不同情况下的利润问题，如：固定成本、变动成本等。
本节课将结合实际案例，让学生在实际问题中运用所学的数学知识，提高他们的数学应用能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的数学抽象能力，使其能够从实际情境中抽象出一元一次不等式，理解并解决商品利润问题。
其次，在小组讨论环节，学生们表现得相当积极，提出了很多有见地的观点。但同时，我也注意到有些学生在讨论中显得有些迷茫，可能是因为他们对问题的理解不够深入。为此，我决定在今后的教学中，加强对学生的个别辅导，引导他们更好地参与到小组讨论中来。
此外，实践活动环节，学生们通过计算和比较不同售价下的利润，对一元一次不等式的应用有了更直观的认识。但我也发现，有些学生在操作过程中对利润的计算方法掌握不够熟练。针对这一点，我计划在接下来的课程中，增加一些类似的练习题，让学生们有更多的机会进行实践操作，提高他们的运算能力。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了一元一次不等式在商品利润问题中的应用。课后，我对自己教学的过程进行了深入的思考。
首先，我发现学生们对一元一次不等式的概念和应用有了基本的理解，但在实际操作中，部分学生仍然感到困惑。我意识到，在讲解理论知识时，我应该更加注重与实际生活的联系，用更多具体的例子来说明，这样有助于学生更好地消化吸收。
a.利用图形辅助，通过绘制不等式的图像来直观展示利润与售价之间的关系。
b.分步骤解析求解过程，从简单情况入手，逐步过渡到复杂情况。
c.设计具有启发性的练习题，让学生在解答过程中自主发现和解决问题。
d.鼓励学生进行小组讨论，通过合作学习，共同攻克难点。
人教九年级数学上册- 最大利润问题(附习题)
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,
4a
43
12
最低点为
1 6
,
71 12
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
分析:(1)根据题意,设平均每天销售A种礼盒 为x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组解 答;(2)根据题意,设A种礼盒降价m元/盒,则A 种礼盒的销售量为(10+m3 )盒,再根据总利润 =每件商品的利润×销售量”列出解析式即 可.
实际问题与二次函数商品利润最大问题
实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
初三数学最大利润问题公式
最大利润问题在初三数学中是一个常见的问题，通常涉及到成本、售价、利润等概念。
假设一件商品的成本是 c 元，售价是s 元，利润是p 元。
根据经济学和数学的基本概念，我们有以下公式：
利润p 是售价s 减去成本c，即p = s - c。
利润率r 是利润p 除以成本c，即r = p / c。
总利润T 是单个商品的利润p 乘以销售数量n，即T = n × p。
现在我们要来解这个问题，找出最大利润T 的表达式。
通过解方程和不等式，我们得到总利润T 的表达式为：T = p
最大利润T 的表达式为：T = p
因此，最大利润T 是由售价s 和成本 c 的关系决定的。
利润问题(二次函数应用题)含答案
利润问题（二次函数应用题）含答案利润问题（二次函数应用题）1.商品的购买价格为30元/件。
如果你在一段时间内以每件x元的价格出售，你可以卖出（100？x）件。
你应该如何定价以使定价利润最大化？最大利润是多少？2、某超市茶叶专柜经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，每天的销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体的变化如下表：x（元/千克）y（千克）601207010080809060（1）求y与x的函数关系式；（2）设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．那么该茶叶每千克定价为多少元时，获得最大利润？且最大利润为多少元？3.一家商店经营一种售价为2元的小商品。
根据市场调查，当销售单价为13元时，日均销售量为500件，销售价格每降低1元，日均销售量为100件（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；（2）每个小商品的售价是多少？当商店每天出售这种小商品时，利润是最大的吗？最大利润是多少？4.一家酒店有50间客房供游客入住。
当每个房间的价格是每天180元时，当每个房间的价格每天上涨10元时，所有房间都将满，如果游客住在一个房间里，一个房间将是免费的，酒店每天需要为每个房间支付20元，当房价定为什么时，酒店的利润最大？数学试卷第1页共4页5.为了尽快扩大销售，增加利润，减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫减价1元，商场平均每天可以多卖2件衬衫。
（1）每件衬衫降价X 元，Y件每天都可以卖出。
写下函数关系。
（2）当每件衬衫的价格降低多少元时，商场的平均日利润最大？6、某商场销售一批产品零件，进价货为10元，若每件产品零件定价20元，则可售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件产品零件每降价2元，商场平均每天可多售8件。
利润问题最值问题
1.某种商品每件的进价为40元，在某段时间内若以每件x元的价格出售，可以卖出（100-x）件。
（1）若总利润为W元，请写出W与x的函数解析式.（2）应如何定价才能使利润最大，最大利润是多少元.2.某商场试销一种台灯，经试销发现，台灯售价x（元）与销售数量y（盏）满足关系式，100x并一周内全部售出；若台灯的进价为20元，商场可获得最+y2=大的利润为w元。
求台灯的售价为多少时，商场可获得最大的利润？并通过计算说明商场获得利润是多少元.3.某商品的进价为每件20元，售价为每件28元时，每天可卖出300件，市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件。
（1）如果每件商品的售价上涨2元，那么一天的总利润是多少元.（2）每件商品的售价上涨x元时，可使一天的总利润y最大，最大利润y是多少元.4.某个体户销售一种电子产品，每销售一件可获利润为30元，一周可卖出160个。
若销售单价每降低2元，则每周可以多卖出15个。
应降价多少元时，一周的利润才会最多.（降价的钱数为偶数）5.某商场销售一批衬衫，已知进价为100元，当售价为140元时，每天可卖出20件，为了扩大销售量，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每下降1元，商场平均每天可多售出2件，若每件衬衫的定价应为x元时，商场每天要盈利最多.求每件衬衫的定价x的值。
6.一美食店的AB两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，已知两种菜品每天能售出A种20份，B种40份，为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降低0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提问0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的的利润最多是多少元。
二次函数--(利润最大值问题)-顶点在范围内
22.3（3.1）---（利润最大值问题）-顶点在范围内一．【知识要点】1.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？2.（绵阳2019年第21题本题满分11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？3.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式； （3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？4.（2019年绵阳期末第23题）某镇在国家“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力种植蔬菜，增加收入.(1)该镇2016年蔬菜产量为50吨，2018年达到72吨。
最大利润问题
1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数. (1)试求y 与x 之间的函数关系式;(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).2.某旅社有客房120间,每间房的日租金为50元时,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.某商场以80元/件的价格购进西服1000件,已知每件售价为100元时,可全部售出.如果定价每提高1%,则销售量就下降0.5%,问如何定价可使获利最大?(总利润=总收入-总成本).4.已知a 2-5ab+6b 2=0，则abb a 等于_______5.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程.若该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前七个月的利润总和与t之间的关系)为s=12t2-2t.(1)第几个月末时,公司亏损最多?为什么?(2)第几个月末时,公司累积利润可达30万元?(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?6.启明公司生产某种产品,每件成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告,根据经验,每年投入的广告费是x( 万元)时,产品的年销售量是原销售量的y倍,且y=277101010xx-++. 如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费:(1)试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大?最大年利润是多少万元?(2)把(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元, 问有几种符合要求的方式?写出每种投资方式所选的项目.7.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上. 问矩形DEFG 的最大面积是多少?F BGDCA8.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D 在BC 上运动(不运动至B,C),DE∥AC,交AB 于E,设BD=x,△ADE 的面积为y.(1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2)x 为何值时,△ADE 的面积最大?最大面积是多少?EBDA9.如图16，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C，抛物线2(0)y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；x答案:1.(1)设y=kx+b,则∵当x=20时,y=360;x=25时,y=210.∴3602021025k bk b=+⎧⎨=+⎩, 解得30960kb=-⎧⎨=⎩∴y=-30x+960(16≤x≤32)(2)设每月所得总利润为w元,则 w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+ 1920.∵-30<0,∴当x=24时,w有最大值.即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大, 每月的最大利润为1920元. 2.设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元),则每天客房出租数会减少6x间,客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时,y有最大值6750,这时每间客房的日租金为50+5×5=75元. 客房总收入最高为6750元.3.商场购这1000件西服的总成本为80×1000=8000元.设定价提高x%, 则销售量下降0.5x%,即当定价为100(1+x%)元时,销售量为1000(1-0.5x%)件.故y=100(1+x%)·1000(1-0.5x%)-8000=-5x2+500x+20000=-5(x-50)2+32500.当x=50时, y 有最大值32500.即定价为150元/件时获利最大,为32500元.5.(1)s=12(t-2)2-2.故第2个月末时公司亏损最多达2万元.(2)将s=30代入s=12t2-2t,得30=12t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去).即第10个月末公司累积利润达30万元.(3)当t=7时,s=12×72-2×7=10.5,即第7个月末公司累积利润为10.5万元;当t=8时,s=12×82-2×8 =16,即第8个月末公司累积利润为16万元. 16-10.5=5.5万元.故第8个月公司所获利润为5.5万元.6.(1)s=10×277101010xx⎛⎫-++⎪⎝⎭×(4-3)-x=-x2+6x+7.当x=62(1)-⨯-=3 时,S 最大=24(1)764(1)⨯-⨯-⨯-=16.∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.(2)用于再投资的资金有16-3=13万元.有下列两种投资方式符合要求:① 取A 、B 、E 各一股,投入资金为 5+2+6=13万元,收益为0.55+0.4+0.9=1.85万元>1.6万元.② 取B 、D 、E 各一股,投入资金为 2+4+6=12万元<13万元,收益为0.4+0.5+0.9=1.8万元>1.6万元 .7.过A 作AM⊥BC 于M,交DG 于N,则=16cm. 设DE=xcm,S 矩形=ycm 2,则由△ADG∽△ABC,故AN DG AM BC =,即161624x DG-=,故DG=32(16-x). ∴y=DG·DE=32(16-x)x=-32(x 2-16x)=-32(x-8)2+96,从而当x=8时,y 有最大值96.即矩形DEFG 的最大面积是96cm 2.8.(1)在Rt△ABC 中=∴tanB=6384=. ∵DE∥AC,∴∠BDE=∠BCA=90°.∴DE=BD·tanB=34x,CD=BC-BD=8-x.设△ADE 中DE 边上的高为h,则∵DE∥AC,∴h=CD.∴y=12DE ·CD=1324x ⨯×(8-x) ,即y= 238x -+3x.自变量x 的取值范围是0<x<8.(2)x=3328-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=4时,y 最大=234038348⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=6. 即当x=4时,△ADE 的面积最大,为6.9.解：（1）直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(0C ，························ 1分 点A C ，都在抛物线上，03a c c⎧=++⎪∴⎨⎪=⎩3a c ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ ∴抛物线的解析式为2y x x =-··············· 3分 ∴顶点1F ⎛ ⎝⎭ ·························· 4分 （2）存在 ······························· 5分1(0P ······························ 7分2(2P ······························ 9分。
八年级数学：一次函数应用题最大利润问题20道(含答案及解析)
八年级数学：一次函数应用题最大利润问题20道（含答案及解析）1．如图，1l 表示某公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，2l 表示该公司这种产品一天的销售成本与销售量的关系．（1）1x 时，销售收入＝______万元，销售成本＝______万元，盈利（收入－成本）＝______万元； （2）一天销售______件时，销售收入等于销售成本； （3）1l 对应的函数表达式是______；（4）你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？2．消费也扶贫，万源市某村需要销售当地的优质土特产：香米和土豆，这两种商品的相关信息如下表： （1）达州市第一中学工会第一季度采购了香米和土豆共计1000袋，为该村创造利润17000元，求达州市第一中学工会采购了香米多少袋？（2）为了加大扶贫力度，达州市第一中学工会在第二季度想为该村创造20000元以上利润的目标．该工会计划购进香米和土豆共计1200袋，且香米不低于800袋，不超过1000袋．设购进香米m 袋，香米和土豆共创造利润w 元，求出w 与m 之间的函数关系式，并通过计算说明达州市第一中学工会能否实现扶贫目标？3．某水产品商店销售1千克A 种水产品的利润为10元，销售1千克B 种水产品的利润为15元，该经销商决定一次购进A 、B 两种水产品共200千克用于销售，设购进A 种水产品x 千克，销售总利润为y 元． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若其中B 种水产品的进货量不超过A 种水产品的3倍，请你帮该经销商设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．4．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品，其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y （kg ）与销售单价x （元）满足如图所示的函数关系（其中210x <≤）． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）销售单价x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？5．面临毕业季，某电脑营销商瞄准时机，在五月底筹集到资金12.12万元，用于一次性购进A 、B 两种型号的电脑共30台．根据市场需求，这些电脑可以全部销售，全部销售后利润不少于1.6万元，其中电脑的进价和售价见下表：A 型电脑B 型电脑 进价(元/台) 4200 3600 售价(元/台)48004000设营销商计划购进A 型电脑x 台，电脑全部销售后获得的利润为y 万元． （1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）该营销商有几种购进电脑的方案可供选择？（3）该营销商选择哪种购进电脑的方案获利最大？最大利润是多少？6．某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售A 、B 两种运动鞋，其中A 种运动鞋的进价比B 种运动鞋的进价高20元，已知鞋店用3200元购进A 种运动鞋的数量与用2560元购进B 种运动鞋的数量相同． （1）求两种运动鞋的进价．（2）设A 运动鞋的售价为250元/双，B 运动鞋的售价是180元/双，鞋店共进货两种运动鞋200双，设总利润为W 元，A 运动鞋进货m 双，且90≤m ≤105． ①写出总利润W 元关于m 的函数关系式． ②要使该专卖店获得最大利润，应如何进货7．某水果经销商需购进甲，乙两种水果进行销售．甲种水果每千克的价格为a元，如果一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折，乙种水果的价格为25元/千克．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值，并写出当x＞40时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共80千克，且甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？8．为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y（元）与每天销售量x（千克）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？9．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用100元购进乙品牌洗衣液数量的45．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？10．昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量y（盆）与销售单价x（元/盆）之间的函数关系如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：（2）在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润w（元）的最大值．11．九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤70且x为整数）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少?（3）该商品在销售过程中，共有几天每天销售利润不低于3250元?请直接写出结果．12．2021年3月20日，三星堆遗址考古新发现揭晓，出土文物500余件，三星堆考古发掘成果再次成为炙手可热的话题．某商家看准商机后，计划购进一批“考古盲盒”（三星堆文物模型盲盒）进行销售．已知该商家用1570元购进了10个甲种盲盒和15个乙种盲盒，甲种盲盒的进货单价比乙种盲盒的进货单价多2元． （1）甲种盲盒和乙种盲盒的进货单价分别是多少元；（2）由于“考古盲盒”畅销，商家决定再购进这两种盲盒共50个，其中甲种盲盒数量不多于乙种盲盒数量的2倍，且每种盲盒的进货单价保持不变．若甲种盲盒的销售单价为83元，乙种盲盒的销售单价为78元．①假设此次购进甲种盲盒的个数为a （个），售完这两批盲盒所获总利润为w （元），请写出w 与a 之间的函数关系式；①商家如何安排第二批进货方案，才能使售完这两批盲盒获得总利润最大？最大利润是多少元？13．为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同． （1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠a 元(6080)a <<出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？14．某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价x（元/箱）与销售量y（箱）有如下表关系：已知y与x之间的函数关系是一次函数．（1）求y与x的函数解析式；（2）水蜜桃的进价是40元/箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是多少元？15．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2590盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？16．九(4)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出童威的某种高端商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在前49天销售中，每销售一件商品就捐赠m元（0＜m＜10）给希望工程．若前49天销售获得的最17．玩具批发市场A、B玩具的批发价分别为每件30元和50元，张阿姨花1200元购进A、B两种玩具若干件，并分别以每件35元与60元价格出售．设购入A玩具为x件，B玩具为y件．（1）若张阿姨将玩具全部出售赚了220元，则张阿姨购进A、B型玩具各多少件？（2）若要求购进A玩具的数量不得少于B玩具的数量，问如何购进玩具A、B的数量并全部出售才能获得最大利润，此时最大利润为多少元？18．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，调查发现日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数图象如图所示．（1）求日均销售量p(桶)与销售单价x(元)的函数关系式；（2）若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售多少桶水？19．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且当x＝80时，y＝40，当x＝70时，y＝50．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；（2）若该商场获得的利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？20．某销售商准备采购一批儿童玩具，有A，B两种品牌可供选择，其进价和售价如下：销售商购进A，B两种品牌的儿童玩具共30件.（1）若销售商购进A品牌的儿童玩具为x （件）, 求销售商售完这30件儿童玩具获得的总利润y（元）与x之间的函数关系式;（2）若想使得销售完这30件儿童玩具获得的总利润为1300元，求应购进A品牌的儿童玩具多少件?（3）若购进A品牌的儿童玩具不能少于20件，求所获总利润最多为多少元?参考答案1．（1）1，1.5，-0.5；（2）2；（3）y x =；（4）112p x =- 【分析】（1）由题意根据线段中点的求法列式计算即可求出x =1时的销售收入和销售成本，根据盈利的求法计算即可得解；（2）由题意直接根据图象找出两直线的交点的横坐标即可；（3）根据题意设l 1对应的函数表达式为y =kx （k ≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（4）由题意结合l 1和l 2的解析式，设利润为p 然后根据利润=销售收入-销售成本列式表示即可． 【详解】解：（1）x =1时，销售收入= 212=（万元）， 销售成本=121.52+=（万元）， 盈利（收入-成本）= 310.52-=-（万元）； 故答案为：1，1.5，-0.5；（2）由图像可知一天销售2件时，销售收入等于销售成本； 故答案为：2；（3）设l 1对应的函数表达式为：y =kx ，则2=2k ，解得：k =1， 故l 1对应的函数表达式为：y =x ， 故答案为：y =x ；（4）∵l 1的表达式为y =x ，设l 2的表达式为y =kx +b （k ≠0），代入（0①1），（2①2）可得1,12k b ==， ∴l 2的表达式为112y x =+， 设利润为p ，∴利润p =11(1)122x x x -+=-，所以利润与销售量间的函数表达式为：112p x =-. 【点睛】本题考查一次函数的应用，考查了识别函数图象的能力以及利用待定系数法求一次函数解析式，准确观察图象提供的信息是解题的关键．2．（1）达州市第一中学工会采购香米400袋．（2）w 518000m =+（800≤m ＜1000），达州市第一中学工会能实现扶贫目标． 【分析】（1）设达州市第一中学工会采购香米x 袋，利用总利润为等量关系构建方程即可； （2）根据香米每袋利润×袋数+土豆每袋利润×袋数构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题； 【详解】解：（1）设达州市第一中学工会采购香米x 袋． 由题意列方程得()()()80606045100017000x x -+--=，解得400x =，答：达州市第一中学工会采购香米400袋． （2）由题意得：()20151200w m m =+-，518000m =+（800≤m ①1000），∵800m ≥，且w 随m 的增大而增大，∴800m =时，5800180002200020000w =⨯+=>， 当m =1000时，510001800023000w =⨯+=， 2200023000w ≤＜，∴达州市第一中学工会能实现扶贫目标． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．3．（1）y =-5x +3000；（2）购进A 水产品50kg 、B 种150kg 时，利润最大是2750元 【分析】（1）设购进A 种水产品x 千克，则购进B 种水产品（200-x ）千克，根据等量关系表示出函数解析式即可；（2）由题意得：2003x x -≤，解得：50x ≥，即50200x ≤<，根据53000y x =-+的性质得y 随x 的增大而减小，则当50x =时，销售利润最大，把50x =代入53000y x =-+即可得．【详解】解：（1）设购进A 种水产品x 千克，则购进B 种水产品（200-x ）千克，1015(200)y x x =+-10300015y x x =+-即53000y x =-+，则y 与x 之间的函数关系式为：53000y x =-+；（2）由题意得：2003x x -≤，4200x ≥解得：50x ≥，∴50200x ≤<，∵53000y x =-+，50-<，∴y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，销售利润最大，55030002750y =-⨯+=，200-50=150（千克），故购进A 种水产品50千克，购进B 种水产品150千克，销售总利润最大，总利润的最大值为2750元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系表示出函数解析式．4．（1）600(25)40800(510)x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）当销售单价x 为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元．【分析】1）运用待定系数法计算即可；（2）列出二次函数解析式，计算最值即可．【详解】（1）当25x <≤时，600y =；当510x <≤时，设(0)y kx b k =+≠，把(5,600)，(10,400)代入得：560010400k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得40800k b =-⎧⎨=⎩，40800y x ∴=-+，综上，y 与x 之间的函数关系式为：600(25)40800(510)x y x x <≤⎧=⎨-+<≤⎩（2）设每天的销售利润为w 元，当25x <≤时，600(2)6001200w x x =-=-，6000> w 随x 的增大而增大∴当5x =时，600512001800w =⨯-=最大（元）当510x <≤时，(40800)(2)w x x =-+-2240880160040(11)3240x x x =-+-=--+400-<抛物线开口向下对称轴为直线11x =，∴当11x <时，w 随x 的增大而增大510x <≤ ∴当10x =时，40132403200w =-⨯+=最大（元）32001800> 10x ∴=时，w 最大答：当销售单价x 为10元时，每天的销售利润最大，最大利润是3200元．【点睛】本题考查了二次函数的最值，一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法，灵活运用二次函数的最值是解题的关键．5．（1）y =200x +12000；（2）该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；（3）当进A 型电脑22台，B 型电脑8台时获利最大，利润为16400元【分析】（1）根据利润的计算公式，先求出A 型电脑每台的利润为：（4800-4200）元，B 型电脑每台的利润为（4000-3600)元，购进A 型电脑x 台，则购进B 型电脑为()30x -台，即可得出y 与x 的函数关系；（2）根据题意列出相应不等式组，求解，然后依据电脑台数为整数即可确定有几种方案；（3）根据（1）中一次函数性质，可得当x 取最大值22时，获利最大，代入即可求出最大利润．【详解】解（1）根据题意：购进A 型电脑x 台，则购进B 型电脑为()30x -台，A 型电脑每台的利润为：（4800-4200）元，B 型电脑每台的利润为（4000-3600)元，依据题意可得：y 与x 的函数关系式为：()()()480042004000360030?20012000y x x x =-+--=+， 即为：20012000y x =+；(2)由题意得：200120001600042003600(30)121200x x x +≥⎧⎨+-≤⎩解得2022x ≤≤，∵x 为整数 ，∴x 取20、21或22，即该经销商有三种购进电脑的方案可供选择；（3）由（1)知：20012000y x =+，∵2000>，∴y 随x 的增大而增大，即当x 取最大值22， 308x -=时，y 有最大值，y 最大=200×22+12000=16400（元）∴当进A 型电脑22台，B 型电脑8台时获利最大，利润为16400元．【点睛】题目主要考查一次函数的应用、不等式的应用，理解题意列出相应方程时解题关键． 6．（1）A 种运动鞋的进价为100元/双，B 种运动鞋的进价是80元/双；（2）①W =50m +20000；②要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A 种运动鞋105双，购进B 种运动鞋95双【分析】（1）设B 种运动鞋的进价x 元，根据等量关系：用3200元购进A 种运动鞋的数量=用2560元购进B 种运动鞋的数量，列出分式方程并解分式方程即可；（2）①根据总利润=A 种运动鞋的利润+B 种运动鞋的利润，即可列出W 关于m 的函数关系式；②根据W 与m 的函数关系式及m 的取值范围，可确定W 的最大值．【详解】（1）设B 种运动鞋的进价x 元，则A 种运动鞋的进价(20)x +元，则3200256020x x=+ 解得：80x = 经检验80x =是原分式方程的解，且符合题意．①208020100x+=+=故A种运动鞋的进价为100元/双，B种运动鞋的进价是80元/双．（2）①W=（250-100）m+（180-80）（200-m）=50m+20000即总利润W元关于m的函数关系式为W=50m+20000②∵W=50m+20000①50＞0，W随m的增大而增大又①90≤m≤105①当m=105时，W取得最大值，200-m=95故要使该专卖店获得最大利润，此时应购进A种运动鞋105双，购进B种运动鞋95双．【点睛】本题考查了分式方程与一次函数的实际应用，对于分式方程的应用，关键是理解题意，找到相等关系并列出方程；对于一次函数的应用，关键是掌握它的性质．注意解分式方程要检验．7．（1）a=30，y=24x+240；（2）甲水果应购进30克，乙水果购进50克时，才能使经销商付款总金额w最少．【分析】（1）先根据图象求出a的值，再根据一次购买超过40千克，超过部分的价格打八折写出函数关系式；（2）先根据甲种水果不少于30千克，但又不超过50千克求出x的取值范围，在分30≤x≤40和40＜x≤50两种情况写出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】解：（1）由图象知：a=1200÷40=30（元），当x＞40时，y=30×40+（x-40）×30×80%=24x+240，∴当x＞40时，y与x之间的函数关系式为y=24x+240，a的值为30；（2）由题意，得：30≤x≤50，①当30≤x≤40时，w=30x+25（80-x）=5x+2000，∵5＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x=30时，w最小，最小值=5×30+2000=2150（元）；②当40＜x≤50时，w=24x+240+25（80-x）=-x+2240，∵-1＜0，∴w 随x 的增大而减小，∴当x =50时，w 最小，最小值=-50+2240=2190（元），∵2150＜2190，∴x =30，∴甲水果应购进30克，乙水果购进50克时，才能使经销商付款总金额w 最少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是根据x 的取值确定函数解析式．8．（1）40(020)150(2064)2x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩且为正整数且为正整数；（2）当32x ＝时，获利最大，最大利润是512元．【分析】（1）当0＜x ≤20且x 为整数时，y ＝40；当x ＞20时，设y ＝kx +b ，由待定系数法求得函数解析式；（2）设所获利润为w （元），分两种情况：①当0＜x ≤20且x 为整数时，②当20＜x ≤64且x 为整数时，分别得出w 的表达式，并分别得出w 的最大值，然后两者比较即可得出答案．【详解】解：（1）当020x <≤且x 为整数时，40y ＝；当20x >时，设y kx b +＝，代入(20,40)和(50,25)得：20405025k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1250k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． ∴1502y x =-+． 当18y ＝时，代入1502y x =-+，得64x ＝． ∴2064x <≤且x 为整数，综上所述，y 与x 之间所满足的函数关系式为40(020)150(2064)2x x y x x x <≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩且为正整数且为正整数． （2）设所获利润为w （元），当020x <≤且x 为整数时，y ＝40，∴(4018)22w x x ==﹣．∵22＞0，∴w 随着x 的增大而增大，则当x ＝20时，w 有最大值，最大值为440；当2064x <≤且x 为整数时，1502y x =-+， ∴22111(5018)32(32)512222w x x x x x =-+-=-+=--+， ∵102-<， ∴当x ＝32时，w 最大，最大值为512元．∵512440>，∴当x ＝32时，获利最大，最大利润是512元．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数实际应用问题中的销售问题，利用二次函数的性质求得最值以及数形结合思想是解题的关键．9．（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x 元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x -6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的45，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设可以购买m 瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m ）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为x 元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为()6x -元/瓶， 由题意可得，180********x x =⋅-， 解得30x =，经检验30x =是原方程的解.答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.（2）设利润为y 元，购进甲品牌洗衣液m 瓶，则购进乙品牌洗衣液()120m -瓶，由题意可得，()30241203120m m +-≤，解得40m ≤，由题意可得，()()()363028*********y m m m =-+--=+，∵20k =>，∴y 随m 的增大而增大，∴当40m =时，y 取最大值，240480560y =⨯+=最大值.答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元①【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．10．（1）140y x =-+，自变量x 的取值范围是60120x ≤≤；（2）这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据，可知该函数为一次函数，过点（80，60），（110，30），然后代入函数解析式，即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．即可得到x 的取值范围；（2）根据题意，可以得到w 与x 的函数关系式，将函数关系式化为顶点式，即可得到这一天销售兰花获得的利润w （元）的最大值．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，把（80，60）和（110，30）代入，得806011030k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得1140k b =-⎧⎨=⎩； ∴y 与x 之间的函数关系式为140y x =-+，①每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．①60≤x ≤120，由上可得，y 与x 之间的函数关系式为140y x =-+(60120)x ≤≤；（2）根据题意，得6010()(0)402w x x =--+-22008600x x =-+-21001400()x =--+；∵10-<∴当100x =时，w 有最大值，为1400．答：这一天销售兰花获得的利润的最大值为1400元．【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出一次函数解析式，利用二次函数的性质求出w 的最大值．11．（1）221202250(140)1108250(4070)x x x y x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩；（2）第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；（3）共有36天每天销售利润不低于3250元【分析】（1）根据总利润=(售价-进价)×数量，列式整理即可；（2）结合二次函数和一次函数的性质，分别求解在各自变量范围内的最值，从而对比即可得出结论；（3）分别利用两个范围内的函数解析式建立方程或不等式，并结合自变量的取值范围求解即可．【详解】解：（1）当140x ≤<时，()()45301502y x x =+--⎡⎤⎣⎦，整理得：221202250y x x =-++；当4070x ≤≤时，()()85301502y x =--，整理得：1108250y x =-+；∴221202250(140)1108250(4070)x x x y x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩； （2）对于函数221202250y x x =-++，整理可得：()22304050y x =--+，∵20-<，∴当30x =时，y 取得最大值，最大值为4050；对于函数1108250y x =-+，∵1100-<，∴y 随x 的增大而减小，∵4070x ≤≤，∴当40x =时，y 取得最大值，最大值为3850，∵4050＞3850，∴第30天时，当天销售利润最大，最大利润是4050元；（3）当140x ≤<时，由题意，2212022503250x x -++=，解得：10x =或50x =，由（2）中，二次函数的性质可得：当1040x ≤<时，每天销售利润不低于3250元，共有30天；当4070x ≤≤时，由题意，11082503250x -+≥， 解得：54511x ≤， ∴当4045x ≤≤时，每天销售利润不低于3250元，共有6天；∴30+6=36(天)，∴共有36天每天销售利润不低于3250元．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合实际应用，理解二次函数和一次函数的基本性质，准确建立不等式并分类讨论是解题关键．12．（1）甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元；（2）①w =1230+3a ；①购进甲种盲盒33个，则购进乙种盲盒17个，最大利润是1329元．【分析】（1）设甲种盲盒的进货单价为x 元，则乙种盲盒的进货单价为（x -2）元，根据题意即可列出一元一次方程，即可求解；（2）①设购进甲种盲盒a 个，则购进乙种盲盒（50- a ）个，根据题意得到a 的取值，再列出w 关于a 的一次函数；①根据一次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设甲种盲盒的进货单价为x 元，则乙种盲盒的进货单价为（x -2）元，根据题意得10x +15(x -2)=1570解得x =64，∴甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元．（2）①设购进甲种盲盒a 个，则购进乙种盲盒（50-a ）个，依题意可得()2500a a a ⎧≤-⎨≥⎩解得10003a ≤≤ ∴w =(83-64)(10+a )+（78-62）（50-a +15）=1230+3a①①w =1230+3a ，故w 随a 的增大而增大故当a =33时，50-a ＝17．w 最大=1230+3×33=1329（元）．∴第二批进货方案为：购进甲种盲盒33个，购进乙种盲盒17个．售完第二批盲盒最多获得总利润1329元．【点睛】此题主要考查一元一次方程、一次函数以及不等式组的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程或函数进行求解．13．（1）甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）共有11种进货方案；（3）当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【分析】（1）依据用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同列方程解答； （2）根据题意列不等式组解答；（3）设总利润为w ，表示出w 与x 的函数解析式，再分三种情况：①当6070a <<时，②当70a =时，③当7080a <<时，分别求出利润的最大值即可得到答案．【详解】解：（1）依题意得：3000270010m m =-，整理，得：3000(10)2700m m -=，解得：100m =，经检验，100m =是原方程的根，答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；（2）设购进甲种衬衫x 件，乙种衬衫(300)x -件，根据题意得：(260100)(18090)(300)34000(260100)(18090)(300)34700x x x x -+--⎧⎨-+--⎩， 解得：100110x ， x 为整数，110100111-+=，答：共有11种进货方案；（3）设总利润为w ，则(260100)(18090)(300)(70)27000(100110)w a x x a x x =--+--=-+，①当6070a <<时，700a ->，w 随x 的增大而增大，∴当110x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；②当70a =时，700a -=，27000w =，（2）中所有方案获利都一样；③当7080a <<时，700a -<，w 随x 的增大而减小，∴当100x =时，w 最大，此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．综上：当6070a <<时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当70a =时，（2）中所有方案获利都一样；当7080a <<时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意熟练应用各知识点解决问题是解题的关键．14．（1）y ＝﹣5x +380；（2）56元．【分析】（1）设y 与x 的函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数解析式；（2）利用该超市每天销售水蜜桃获得的利润＝每箱的利润×每天的销售量，即可得出关于。
最大利润类应用题
最大利润类应用题一、知识点：1、利润＝售价－进价2、总利润＝单件产品利润×产品数量3、利润率＝利润成本4、折扣率＝售价标价二、精选题析：例1、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.⑴(4分)该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？⑵(4分)若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?（深圳06年中考）例2、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元价格销售，平均每天销售90箱，价格每天提高1元，平均每天少销售3箱。
⑴求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
⑵求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式。
⑶当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？例3、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。
设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件。
⑴求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；⑵如何定价才能使每个星期的利润最大且每星期销量较大？每星期的最大利润是多少？三、巩固练习：1、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。
设每个房间每天的定价增加x元，求：⑴房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式。
⑵该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式。
最新人教版初中数学九年级上册《实际问题与二次函数(第2课时商品销售最大利润问题)》优质教学课件
故300 − 10 ≥ 0，且 ≥ 0,因此自变量的取值范围是0 ≤ ≤ 30.
（3）涨价多少元时利润最大，最大利润是多少？
= −102 + 100 + 6 000，
当 = −
100
2× −10
= 5时, = −10 × 52 + 100 × 5 + 6 000 = 6 250.
模型，相信所有的题目都万变不
离其宗。
谢谢聆
听
单件利润（元） 销售量（件）
正常销售
涨价销售
20
+
每星期利润（元）
300
6000
−
( + )( − )
建立函数关系式： = (20 + )(300 − 10),
即 = −102 + 100 + 6000.
（2）如何确定自变量x的取值范围？
通常价格上涨，则销量下降，因此只考虑销售量即可，
当 =−
=
时，二次函数
−
.
= + + 有最小（大）值
新课导入
日常生活中到处可以
用到数学知识，商品
买卖过程中，商家追
求的目标往往是利润
的最大化.
如果你是商场经理，
如何定价才能使商场
获得最大利润呢？
知识讲解
商品利润最大问题
问题
商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
y
解：(1)由图象可得函数图象过点（5，0），（7，16），
代入得 = −2 + 20 − 75.
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题
初中数学实际问题与二次函数商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x －1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．(1)求y2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.。
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商品利润最大问题
1 •经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2 •会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3•能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：最大利润问题
【类型一】利用解析式确定获利最大的条件
为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展.某工
厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件•生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议.
解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的
变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润=一天生产的产品件数X 每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议.
解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y = [10 + 2(x—1)][76 —4(x —1)] =—8x + 128X+ 640 = —8( x—8) + 1152.当x= 8 时，y 最大值=1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大•建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品.(其他建议，只要合理即可)
【类型二】利用图象解析式确定最大利润
. 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y*元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y2(元)与销售时间第x月满足函数关系式y2= mx—8m灶n,其变化趋势如图②所示.
(1) 求y2的解析式；
(2) 第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？
y 2 的图象经过两点(3 , 6) , (7 , 7) ,••• 9m —24m ^n — 6，解
49 m- 56m+ n = 7,
1 m
8，
得
• y 2的解析式为y 2
63 n
= T
4k + b = 11,
⑵设 y1 = kx + b,.•函数 y1 的图象过两点(4 , 11) , (8 , 10) ,• 8k
+ b = 10,
1 k =— -,
1
4
•- y 1的解析式为y 1 = — 4X +12(1 w x < 12).设这种水果每千克所获得的利润为 b = 12.
(1 W X W 12)，•当x = 3时，w 取最大值 ¥，•••第 大，最大利润是¥元/千克.
三、板书设计
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教学过程中，强调学生自主探索和合作交流， 经历将实际问题转化为函数问题， 并利用函数
的性质进行决策.
解：(1)由题意可得，函数
=8x 2 — x + 63(1 w X W 12) •
解得
元•则 w = y i — y 2= ( - 4x + 12) — ( $ - x + 63)
1 2
3 33 1 2 =—8x + 4x + T ，• k 8(x - 3)
+N
2
21
3月销售这种水果，每千克所获的利润最。