2020年高考文科数学全国卷1及答案

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅰ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2340A x x x =--<，{}4135B =-，，，，则A B = （）A .{}41-，B .{}15，C .{}35，D .{}13，2.若312i i z =++，则z =（）A .0B .1C .2D .23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A .514-B .512-C .514+D .512+4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O A B C D ，，，，中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A .15B .25C .12D .455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据()()1220i i x y i =⋅⋅⋅，，，，得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y a bx=+B .2y a bx =+C .xy a be =+D .ln y a b x=+6.已知圆2260x y x +-=，过点()12，的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A .1B .2C .3D .47.设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为（）毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________-------------在------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无----------------------------------A .109πB .76πC .43πD .32π8.设3a log 42=，则4a -=（）A .116B .19C .18D .169.执行右面的程序框图，则输出的n =（）A .17B .19C .21D .2310.设{}n a 是等比数列，且123+1a a a +=，2342a a a ++=，则678+a a a +=（）A .12B .24C .30D .3211.设1F ，2F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且=2OP ，则12PF F △的面积为（）A .72B .3C .52D .212.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆.若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x y ，满足约束条件2201010x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪+⎩≤≥≥，则7z x y =+的最大值为_____.14.设向量()()11124m m =-=+-，，，a b ，若⊥a b ，则m =______.15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____.16.数列{}n a 满足()2131nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a =____.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级，加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D 级品，厂家每件赔偿原料损失费50元，该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级A B C D 频数28173421（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应该选哪个分厂承接加工业务？18.（12分）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知150B = .（1）若3a c=，27b =，求ABC △的面积；（2）若2sin 3sin 2A C +=，求C .19.（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠= .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设2DO =，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P ABC -的体积.20.（12分）已知函数()(2).xf x e a x =-+（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知函数2()xf x e ax x =+-.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，31()12f x x +≥，求a 的取值范围。

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin kkx ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16cos 30ρθρθ-+=.（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()=3121f x x x +--.（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x +＞的解集.-------------在--------------------此------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题------------------无---------------------------------毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷文科数学答案解析一、选择题1．【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.由2340x x --＜解得14x -＜＜，所以{}|14A x x =-＜＜，又因为{}4135B =-，，，，所以{}13A B = ，，故选：D .【考点】有关集合的问题2．【答案】C【解析】先根据2i 1=-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出．因为31+2i i 1+2i i 1i z =+=-=+，所以z =故选：C ．【考点】向量的模的计算公式的应用3．【答案】C【解析】设CD a PE b ==，，利用212PO CD PE =得到关于a b ，的方程，解方程即可得到答案.如图，设CD a PE b ==，，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a --= ，解得154b a =（负值舍去）.故选：C .【考点】正四棱锥的概念及其有关计算4．【答案】A【解析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.如图，从O A B C D ，，，，5个点中任取3个有{}{}{}{}O A B O A C O A D O B C ，，，，，，，，，，，{}{}{}{}O B D O C D A B C A B D ，，，，，，，，，，，{}{}A C D B C D ，，，，，共10种不同取法，3点共线只有{}A O C ，，与{}B O D ，，共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【考点】古典概型的概率计算问题5．【答案】D【解析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D .【考点】函数模型的选择6．【答案】B【解析】根据直线和圆心与点()12，连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.圆2260x y x +-=化为()2239x y -+=，所以圆心C 坐标为()30C ，，半径为3，设()12P ，，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，根据弦长公式最小值为2.故选：B .【考点】简单几何性质，几何法求弦长7．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点409π⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，结合409π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.由图可得：函数图象过点409π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭又409π⎛⎫- ⎪⎝⎭，是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-+=- ，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C【考点】三角函数的性质及转化能力，三角函数周期公式8．【答案】B【解析】首先根据题中所给的式子，结合对数的运算法则，得到3log 42a =，即49a =，进而求得149a -=，得到结果.由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a -=，故选：B .【考点】有关指对式的运算的问题9．【答案】C【解析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++ ＞的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++ ＞的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+ ＞，解得19n ＞，所以输出的21n =．故选：C .【考点】程序框图的算法功能的理解，等差数列前n 项和公式的应用10．【答案】D【解析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q ++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==.故选：D .【考点】等比数列基本量的计算11．【答案】B【解析】由12F F P △是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12121||||2F F P S PF PF =△中计算即可.由已知，不妨设()()122020F F -，，，，则12a c ==，，因为121||1||2OP F F ==，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P △是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以222121212214||||||||2||||162||||PF PF P P F PF PF PF F PF =-=+-=-，解得12||||6PF PF =，所以12121||||32F F P S PF PF ==△.故选：B【考点】双曲线中焦点三角面积的计算问题12．【答案】A【解析】由已知可得等边ABC △的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球截面性质，求出球的半径，即可得出结论.设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得242r r ππ=∴=，，由正弦定理可得2sin 60AB r ==，1OO AB ∴==，根据圆截面性质1OO ⊥平面ABC，114OO O A R OA ∴⊥==，，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【考点】球的表面积二、填空题13．【答案】1【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：()10A ，，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=.故答案为：1．求线性目标函数()0z ax by ab =≠＋的最值，当0b ＞时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当0b ＜时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14．【答案】5【解析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.由a b ⊥可得0a b =，又因为(11)(124)a b m m =-=+-，，，，所以()()()111240a b m m =++--=，即5m =，故答案为：5.【考点】有关向量的问题15．【答案】2y x =【解析】设切线的切点坐标为()00x y ，，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.设切线的切点坐标为()001ln 11x y y x x y x=++'=+，，，，00001|1212x x y x y x ='=+===，，，所以切点坐标为()12，，所求的切线方程为()221y x -=-，即2y x =.故答案为：2y x =.【考点】导数的几何意义16．【答案】7【解析】2(1)31n n n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++ 135********()()a a a a a a a a =+++++++ 111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++11(102)(140)(5172941)a a ++++++++118392928484540a a =++=+=，17a ∴=.故答案为：7.【考点】数列的递推公式的应用，数列的并项求和三、解答题17．【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】（1）根据两个频数分布表即可求出；由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【考点】古典概型的概率公式的应用，平均数的求法，根据平均值作出决策18．【答案】（1（2）15【解析】（1）已知角B 和b 边，结合a c ，关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出a c ，，利用面积公式，即可得出结论；由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-=，2c a ABC ∴==∴，△的面积1sin 2S ac B ==（2）将30A C =- 代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.30A C +=，sin sin(30)A C C C∴+=-+ 132cos sin(30)222C C C =+=+=，030303060C C ∴+ ＜＜，＜＜，304515C C ∴+=∴= ，.【考点】余弦定理，三角恒等变换解三角形19．【答案】（1）证明：D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，OA OB OC PA PB PC ==∴==，，ABC △是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC PBC ≅△△，90APC BPC ∴∠=∠=，即PB PC PA PC ⊥⊥，，PA PB P PC =∴⊥ ，平面PAB PC ⊂，平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）8【解析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC PBC ≅△△，可得90APC BPC ∠=∠= ，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO △中，求出PO ，即可求出结论.设圆锥的母线为l ，底面半径为r，圆锥的侧面积为rl rl π==，，2222OD l r =-=，解得1r l =，，2sin 60AC r = ，在等腰直角三角形APC中，22AP AC ==，在Rt PAO △中，2PO ===，∴三棱锥P ABC -的体积为11236333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【考点】空间线、面位置关系20．【答案】（1）减区间为()0-∞，，增区间为()0+∞，；（2）1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【解析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；当1a =时，()()2x f x e x =-+，()'1xf x e =-，令()'0f x ＜，解得0x ＜，令()'0f x ＞，解得0x ＞，所以()f x 的减区间为()0-∞，，增区间为()0+∞，；（2）若()f x 有两个零点，即()20xe a x -+=有两个解，将其转化为2xe a x =+有两个解，令()()22xe h x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.若()f x 有两个零点，即()20xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =不成立，即2xe a x =+有两个解，令()()22x e h x x x =≠-+，则有()()()()()'222122x x x e x e e x h x x x +-+==++，令()'0h x ＞，解得1x -＞，令()'0h x ＜，解得2x -＜或21x --＜＜，所以函数()h x 在()2-∞-，和()21--，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增，且当2x -＜时，()0h x ＜，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有()11a h e -=＞，所以满足条件的a 的取值范围是：1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.【考点】应用导数研究函数的问题21．【答案】（1）2219x y +=（2）证明：设()06P y ，，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，.同理可得：点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）由已知可得：()0A a -，，()0B a ，，()01G ，，即可求得21AG GB a =-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：()0A a -，，()0B a ，，()01G ，∴()1AG a = ，，()1GB a =- ，∴218AG GB a =-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）设()06P y ，，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，，同理可得点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，，即可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，命题得证.证明：设()06P y ，，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为2002200327699y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，.同理可得：点D 的坐标为200220033211y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭故直线CD 过定点302⎛⎫⎪⎝⎭，【考点】椭圆的简单性质及方程思想22．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11()44，.【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，00x y ≥，≥，曲线1C的参数方程化为22cos sin tt==（t 为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos sin x y ρθρθ==，，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12C C ，方程，即可求解.当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos sin x ty t ⎧=⎨=⎩（t 为参数），所以00x y ≥，≥，曲线1C的参数方程化为22cos sin tt==（t 为参数），两式相加得曲线1C1=，1=-，平方得10101y x x y =-，≤≤，≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -+=12=136=（舍去），1144x y ∴==，12C C ∴，公共点的直角坐标为11(44，.【考点】参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化23．【答案】（1）因为()3115113133x x f x x x x x ⎧⎪+⎪⎪=--⎨⎪⎪---⎪⎩，≥，＜＜，≤，作出图象，如图所示：（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：数学试卷第21页（共22页）数学试卷第22页（共22页）由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【考点】画分段函数的图象，利用图象解不等式。