圆台的侧面积公式怎样推出来的

圆台的侧面积公式怎样推出来的？

S=∏（r1+r2)L

其中r1,r2分别为上、下底半径，L为母线

如图

左边为圆台补成圆锥的图；右边为沿该圆锥的母线（也即是圆台的母线）剪开后得到的扇形图。图中阴影部分即是圆台的侧面积左图中

设上面的小圆锥的母线长为l

那么，根据相似三角形可以得到：r1/r2=l/(l+L)

所以，l=r1L/(r2-r1)

右图中展开后，大圆锥的侧面积S=(1/2)*(l+L)*(2∏r2)

=∏r2(l+L)=∏r2*[r2L/(r2-r1)]=∏r2^2L/(r2-r1)

小圆锥的侧面积s=(1/2)*l*(2∏r1)=∏r1*l=∏r1^2*L/(r2-r1)

所以，阴影部分面积（圆台侧面积）=S-s

=∏L*[(r2^2-r1^2)/(r2-r1)]

=∏L*[(r2+r1)(r2-r1)/(r2-r1)]

=∏L(r1+r2)

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)

证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得

一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体

积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)

现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥

P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.

两边同时开平方并取正值得

√S/√S'=(H+X)/X

依分比定理有

(√S-√S')/√S'=H/X

将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得

(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X

故X=H[S'+√(SS')]/(S-S') (2)

将(2)代入(1)式的右边并整理,即得

v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S] (√为根号,表示开平方.)

证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)*XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')..(1)

现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它.在园锥

P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2.

两边同时开平方并取正值得

√S/√S'=(H+X)/X

依分比定理有

(√S-√S')/√S'=H/X

将上式左端的分子和分母同乘以(√S+√S'),得

(S-S')/[S'+√(SS')]=H/X

故X=H[S'+√(SS')]/(S-S') (2)

将(2)代入(1)式的右边并整理,即得

v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

圆台的体积公式：V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2＋Rr＋r^2)/3

圆台的表面积公式：S＝πr^2+πR^2+πrl+πRl=π(r^2+R^2+rl+Rl) 侧面积公式为：s=πl(r+R)

l为母线

r－上底半径

R－下底半径

h－高

A、圆锥侧面积公式

S侧=πRL

R——圆锥底面半径；

L——圆锥母线长度。

B、圆台侧面积公式

S侧=π(R1+ R2)L

R1——圆台底面半径；

R2——圆台顶面半径；

L——圆台母线长度。

B、圆台侧面展开公式

扇形圆心角α0=360°sinα

扇形半径L=R/sinα

α——圆台半锥角；

R——圆台底面半径。