圆与三角函数综合专题

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圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。

【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合

中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。

高中数学-单位圆与三角函数线练习题

高中数学-单位圆与三角函数线练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM⊥x 轴，AT⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（）图1-1-4A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（） A.32 B.72πC.224-D.1解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k∈Z ）D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k∈Z ）解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23.利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z }.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt△MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S扇形OAP＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜21·OA ·＜21··AT .化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。

中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型

中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。

二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题(第二课时)练习

2025年中考数学二轮复习专题圆与锐角三角函数综合题（第二课时）练习例1.已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊙BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且⊙ODB＝⊙AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．练习1.如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊙CD于点E．（1）求证：⊙BME＝⊙MAB；（2）求证：BM2＝BE•AB；（3）若BE＝，sin⊙BAM＝，求线段AM的长．例2.如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊙AB于E，连接CO，CB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB＝10，tan B＝，求P A的长；（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．练习2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG⊙AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE．（1）求证：⊙ECF⊙⊙GCE；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan G＝，AH＝3，求EM的值．例3.如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分⊙ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：⊙ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC：（3）求tan⊙ACD的值．练习3如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO⊙AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan⊙CAD＝，求sin⊙CDA的值．例4.如图，已知在⊙ABP中，C是BP边上一点，⊙P AC＝⊙PBA，⊙O是⊙ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊙AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB＝12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝1，求⊙O的半径及sin⊙ACE的值．练习4.如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若＝，求tan T的值；（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊙CD于点P，若BT＝6，DT＝6．求：DG的长．例5.如图，已知AO为Rt⊙ABC的角平分线，⊙ACB＝90°，，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan⊙CAO的值；（3）求的值．课后练习1.如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，连结AD，过点D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．（1）求证：DE∥AB．（2）若⊙O的半径为1，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，若，求tan∠AEC的值．2.如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．3.如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．（1）求sin∠AOQ的值；（2）求的值；（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．4.如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．（1）如图1，若BD为⊙O直径．①求tan∠BAC的值；②求四边形ABCD的面积．（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．5.如图1，AB是⊙O的直径，点P是直径AB上一动点，过点P作直径AB的垂线交⊙O于C，D两点．（1）若⊙O的半径为2，，连接CO，DO，求劣弧的长度；（2）如图2，点K是劣弧上一点，连接AK，BK，AK交CD于点Q，连接BQ，记∠BAK＝α，∠ABQ＝β，若BQ恰好平分∠ABK，且，求β的正切值；（3）如图3，当动点P移动到点O时，点K是劣弧上一点，连接AK，DK，AK交CD于点Q，DK交AB于点N，连接AD，QN．①求证：△DAQ∽△AND；②记∠OND＝θ，△ANQ的面积为S1，△DON的面积为S2，求的值（结果用含有θ的三角函数值的式子进行表示）．。

三角函数和圆的知识点总结

三角函数和圆的知识点总结在圆的知识中，圆是一种简单的几何图形，它有着许多有趣的性质和应用，比如圆周率和圆的面积、弧长等。

下面我们将对三角函数和圆的知识点进行详细的总结。

一、三角函数1. 正弦函数正弦函数是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线。

正弦函数在几何学中常用来描述角的正弦值，它定义为一个直角三角形中对边与斜边的比值。

在代数学中，正弦函数可以用于描述周期性变化的现象，比如声音的波动、天体运动等。

正弦函数的性质包括：- 周期性：正弦函数的周期是2π，即f(x+2π) = f(x)。

- 增减性：在一个周期内，正弦函数是先增后减的。

- 奇函数：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

2. 余弦函数余弦函数也是一种周期性的函数，它的图像是一条波浪线，但与正弦函数的波形相位差π/2。

余弦函数描述了一个角的余弦值，它定义为一个直角三角形中邻边与斜边的比值。

在代数学中，余弦函数可以描述一些对称变化的现象，比如振动、波动等。

余弦函数的性质包括：- 周期性：余弦函数的周期也是2π，即f(x+2π) = f(x)。

- 增减性：在一个周期内，余弦函数是先减后增的。

- 偶函数：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。

3. 正切函数正切函数是斜率的函数，它描述了一个角的正切值，定义为一个直角三角形中对边与邻边的比值。

在几何学中，正切函数用于求解三角形的角度和边长；在物理学和工程学中，正切函数可以描述力和速度的关系。

正切函数的性质包括：- 周期性：正切函数的周期是π，即f(x+π) = f(x)。

- 增减性：在一个周期内，正切函数是先增后减或者先减后增的。

- 奇函数：正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

4. 反正弦函数、反余弦函数、反正切函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数之外，三角函数还有反函数，分别是反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)、反正切函数arctan(x)。

三角函数圆的知识点总结

三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。

它们的定义来自于单位圆。

单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。

这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。

正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。

这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。

它们的最大值和最小值都是1和-1。

2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。

可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。

正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。

它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。

正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。

在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。

正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。

圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)

圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI；图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH．图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

圆与三角函数(解析版)

九年级数学下册解法技巧思维培优专题16 圆与三角函数题型一利用锐角三角函数值求有关线段的长【典例1】（2019•碑林区校级模拟）如图，已知△OAB 中，OA ＝OB ＝10，sin B =35，以点O 为圆心，12为直径的⊙O 交线段OA 于点C ，交直线OB 于点E 、D ，连接CD ，EC ．（1）求证：AB 为⊙O 的切线；（2）在（l ）的结论下，连接点E 和切点，交OA 于点F ，求CF 的长．【点拨】（1）过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，由条件求出OG ，根据切线的判定方法判断即可；（2）先求出CE 长，证明OG ∥EC ，得到△FOG ∽△FCE ，根据相似三角形的性质定理得OF CF=OG CE，可得OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则可得关于x 的方程，解方程即可得解．【解析】（1）证明：如图，过点O 作OG ⊥AB ，垂足为G ，∴∠OGA ＝∠OGB ＝90，∵OA ＝OB ，sin B =35=OGOB ， ∴OG =35×10=6，∵⊙O 的直径为12， ∴半径r 为6，∴OG ＝r ＝6，又OG ⊥AB ， ∴AB 为⊙O 的切线；（2）解：∵DE 为⊙O 的直径， ∴∠ECD ＝90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠CDE ＝∠ABD ，∴sin∠CDE =CEDE =35， ∴CE 12=35，∴CE =365，∵OA ＝OB ，AG ＝BG ， ∴∠AOG ＝∠BOG ， ∵OE ＝OC ， ∴∠OEC ＝∠OCE ， ∵∠AOB ＝∠OEC +∠OCE ， ∴∠AOG ＝∠OCE ， ∴OG ∥EC ， ∴△FOG ∽△FCE ，∴OF CF=OG CE，∴OF •CE ＝OG •CF ，设CF ＝x ，则365×(6−x)=6x ，解得：x =3611． ∴CF =3611．【典例2】（2019•碑林区校级一模）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 是直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F ，（1）求证：EF ⊥CD ；（2）若AC ＝10，cos A =56，求线段DF 的长．【点拨】（1）连接DE ，OE ，由条件知DA ＝DC ，∠AED ＝90°，则AE ＝EC ，可证明OE ∥DC ，得出∠EFC ＝90°；（2）可求出AE ＝5，求出DE ，在Rt △DEF 中，cos A ＝cos ∠DEF =56，可求出EF 长，则DF 长可求．【解析】（1）证明：连接DE ，OE ， ∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴DA ＝DC ， ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AED＝90°，∴AE＝EC，∵OA＝OD，∴OE∥DC，∵EF是圆的切线，∴∠OEF＝90°，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∴EF⊥CD；（2）解：∵AC＝10，∴AE＝CE＝5，∵cos A=56=AEAD，∴AD＝6，∴DE=√AD2−AE2=√62−52=√11，在Rt△DEF中，cos A＝cos∠DEF=5 6，∴EF=56√11，∴DF=√DE2−EF2=√(√11)2−(56√11)2=116．【典例3】（2019•雨花区校级期中）已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O经过线段AB的中点C与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若tan E=13，BD＝1，求⊙O半径的长度．【点拨】（1）根据等腰三角形的性质得出OC⊥AB，即可解答本题；（2）根据三角形的相似可以求得BE的长，从而可以得到OD的长．【解析】（1）证明：如图，连接OC．∵OA＝OB，C为AB的中点，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°．∴∠E+∠ODC＝90°．又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E．又∵∠CBD＝∠EBC，∴△BCD ∽△BEC ．∴BC BE=BD BC=CD EC．∴BC 2＝BD •BE ．∵tan E =13，∴CD EC=13．∵△BCD ∽△BEC ，∴BC BE=BD BC=CD EC=13．∴BC ＝3BD ＝3，BE ＝3BC ＝9， ∴ED ＝BE ﹣BD ＝9﹣1＝8，∴OD =12ED ＝4，即⊙O 半径的长度为4．题型二利用圆中已知条件求锐角三角函数值【典例4】（2019•长春模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若BC＝8，tan C=34，求tan∠DOE的值．【点拨】（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）连接AD，求出BD＝CD＝4，AD＝3，求出OD＝2.5，解直角三角形求出DE，再求出答案即可．【解析】（1）证明：连结OD，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线；（2）解：连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴BD =12BC =4， ∴tanB =AD BD， ∴AD ＝3，在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AB =√32+42=5， ∴AO ＝BO ＝2.5，∴OD =12AB =52，在Rt △DEC 中，∵sinC =DEDC ， ∴35=DE 4，∴DE =125，∴tan∠DOE =DE DO =2425．【典例5】（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．（1）求证：ACsinB=2R；（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC=√3，求BC的长及sin C的值．【点拨】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由ACsinB =2R，同理可得：ACsinB=ABsinC=BCsinA=2R，于是得到2R=√3sin60°=2，即可得到BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC=ACAD=AC2R，∴ACsinB=2R；（2）∵ACsinB=2R，同理可得：ACsinB =ABsinC=BCsinA=2R，∴2R=√3sin60°=2，∴BC＝2R•sin A＝2sin45°=√2，如图2，过C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC•cos B=√2cos60°=√22，AE＝AC•cos45°=√62，∴AB＝AE+BE=√6+√22，∵AB＝2R•sin C，∴sin C=AB2R=√6+√24．【典例6】（2019•泗水县二模）【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=35，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：如图①，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°．设∠BAC＝a，则sin a=BCAB=35．易得∠BOC＝2α．设BC＝3x，则AB＝5x……【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图①求出sin2a的值．（写出完整的解答过程）（2）已知，如图②，点M，N，P为O上的三点，且∠P＝β，sinβ=14，求sin2β的值．【点拨】（1）如图①，设∠BAC ＝a ，根据圆周角定理得到∠COB ＝2α，∠ACB ＝90°，利用正弦的定义得到sin a =BC AB =35．则设BC ＝3x ，AB ＝5x ，利用勾股定理得到AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，根据面积法得CD =125x ，然后在Rt △COD 中利用正弦的定义可求出sin2α的值；（2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，根据圆周角定理得到∠NMQ ＝90°，∠MON ＝2∠P ，∠Q ＝∠P ＝β，利用sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，则MQ =√15t ，根据面积法得到MH =√154x ，然后在Rt △OMH 中利用正弦的定义求出sin ∠HOM 即可．【解析】解：（1）如图①，设∠BAC ＝a ，则∠COB ＝2α，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，在Rt △ACB 中，∵sin a =BC AB =35．∴设BC ＝3x ，AB ＝5x ，∴AC ＝4x ，作CD ⊥AB 于D ，如图，∵12CD •AB =12AC •BC ，∴CD =3x⋅4x 5x =125x ，在Rt △COD 中，sin ∠COD =CD OC =125x 52x=2425，即sin2α=1225；（2）如图②，作直径NQ ，连接QN 、OM ，作MH ⊥NQ 于H ，∵NQ 为直径，∴∠NMQ ＝90°，∵∠Q ＝∠P ＝β，∴sin Q ＝sin β=MN NQ =14，设MN ＝t ，则NQ ＝4t ，∴MQ =√(4t)2−t 2=√15t ，∵12MH •NQ =12MN •MQ ， ∴MH =x⋅√15x 4x=√154x ，在Rt △OMH 中，sin ∠HOM =MH OM =√15x 42x =√158，∵∠MON ＝2∠P ，∴sin2β=√158．巩固练习1．（2019•海淀区期末）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OE ⊥AB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ．（1）求证：PC ＝PF ；（2）连接OB ，BC ，若OB ∥PC ，BC ＝3√2，tan P =34，求FB 的长．【点拨】（1）连接OC ，根据切线的性质以及OE ⊥AB ，可知∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，从而可知∠EF A ＝∠FCP ，由对顶角的性质可知∠CFP ＝∠FCP ，所以PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，由于OB ∥PC ，且OB ＝OC ，BC ＝3√2，从而可知OB ＝3，易证四边形OBGC 是正方形，所以OB ＝CG ＝BG ＝3，所以BG PG =34，所以PG ＝4，由勾股定理可知：PB ＝5，所以FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．【解析】解：（1）连接OC ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°，∵OE ＝OC ，∴∠E ＝∠OCE ，∵OE ⊥AB ，∴∠E +∠EF A ＝∠OCE +∠FCP ＝90°，∴∠EF A ＝∠FCP ，∵∠EF A ＝∠CFP ，∴∠CFP ＝∠FCP ，∴PC ＝PF ；（2）过点B 作BG ⊥PC 于点G ，∵OB ∥PC ，∴∠COB ＝90°，∵OB ＝OC ，BC ＝3√2，∴OB ＝3，∵BG ⊥PC ，∴四边形OBGC 是正方形，∴OB ＝CG ＝BG ＝3，∵tan P =34，∴BG PG =34， ∴PG ＝4，∴由勾股定理可知：PB ＝5，∵PF ＝PC ＝7，∴FB ＝PF ﹣PB ＝7﹣5＝2．2．（2019•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O分别与BC．AC相交于点D，E，且，过D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AD＝4，tan∠CDF=12，求⊙O的半径．【点拨】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ODB＝∠ABC，得出∠ODB＝∠C，证出OD∥AC，因此OD⊥DF，即可得出DF是⊙O的切线；（2）由圆周角定理得出∠ADB＝90°＝∠DFC，证明△DFC∽△ADB，得出CFDF =BDAD，由三角函数得出BD AD =12，求出BD=12AD=12×4＝2，由勾股定理得出AB=√BD2+AD2=2√5，即可得出⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC，∴∠ODB ＝∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°＝∠DFC ，∵∠ABC ＝∠C ，∴△DFC ∽△ADB ，∴CF DF =BD AD ，∵tan ∠CDF =CF DF =12，∴BD AD =12， ∴BD =12AD =12×4＝2， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+42=2√5，∴⊙O 的半径为√5．3．（2019•镇江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过AC 延长线上的点O 作OD ⊥AO ，交BC 的延长线于点D ，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B．（1）求证：直线AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，⊙O的半径为12，则tan∠BDO＝23．【点拨】（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠D，证出∠OBD+∠ABC ＝90°，得出AB⊥OB，即可得出结论；（2）由勾股定理得出OA=√AB2+OB2=13，得出OC＝OA﹣AC＝8，再由三角函数定义即可得出结果．【解析】（1）证明：连接OB，如图所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠OCD，∴∠ABC＝∠OCD，∵OD⊥AO，∴∠COD＝90°，∴∠D+∠OCD＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠D，∴∠OBD +∠ABC ＝90°，即∠ABO ＝90°，∴AB ⊥OB ，∵点B 在圆O 上，∴直线AB 与⊙O 相切；（2）解：∵∠ABO ＝90°，∴OA =√AB 2+OB 2=√52+122=13，∵AC ＝AB ＝5，∴OC ＝OA ﹣AC ＝8，∴tan ∠BDO =OC OD =812=23；故答案为：23．4．（2019•思明区质检）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE ⊥AB 交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AD ．若AF ＝3，tan ∠ABD =34，求⊙O 的直径．【点拨】如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF＝BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．【解析】解：如图，连接BE．∵AF＝AD，AB⊥EF，∴BF＝BD．∵AB＝AC，∴∠FBA＝∠ABC＝∠C＝∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tan∠E＝tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF＝90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF＝3，∴AB＝4．∵∠BAE＝90°，∴BE是⊙O的直径．∵tan∠E＝tan∠FBA=34，AB＝4，∴设AB ＝3x ，AE ＝4x ，∴BE ＝5x ，∵3x ＝4，∴BE ＝5x =203，即⊙O 的直径是203．5．（2019•长宁区一模）如图，AB 是圆O 的一条弦，点O 在线段AC 上，AC ＝AB ，OC ＝3，sin A =35．求：（1）圆O 的半径长；（2）BC 的长．【点拨】（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，设OH ＝3k ，AO ＝5k ，则AH =√AO 2−OH 2，得到AB ＝2AH ＝8k ，求得AC ＝AB ＝8k ，列方程即可得到结论；（2）过点C 作CG ⊥AB ，垂足为点G ，在 Rt △ACG 中，∠AGC ＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】解：（1）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，在Rt△OAH中中，∠OHA＝90°，∴sin A=OHAO=35，设OH＝3k，AO＝5k，则AH=2−OH2∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝8k，∴AC＝AB＝8k，∴8k＝5k+3，∴k＝1，∴AO＝5，即⊙O的半径长为5；（2）过点C作CG⊥AB，垂足为点G，在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∴sin A=CGAC=35，∵AC＝8，∴CG=245，AG=√AC2−CG2=325，BG=85，在Rt△CGB中，∠CGB＝90°，∴BC=√CG2+BG2=√(85)2+(245)2=8√105．6．（2019•武昌区模拟）如图1，△ABC 是等腰三角形，O 是底边BC 中点，腰AB 与⊙O 相切于点D（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）如图2，连接CD ，若tan ∠BCD =√24，⊙O 的半径为√3，求BC 的长．【点拨】（1）连接OD ，作OF ⊥AC 于F ，如图，利用等腰三角形的性质得AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，再根据切线的性质得OD ⊥AB ，然后利用角平分线的性质得到OF ＝OD ，从而根据切线的判定定理得到结论；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，根据三角函数的定义得到DF CF =√24，设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x 根据相似三角形的性质得到BF DF =DF FO ，根据勾股定理即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD ，OA ，作OF ⊥AC 于F ，如图，∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，∴AO ⊥BC ，AO 平分∠BAC ，∵AB 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥AB ，而OF ⊥AC ，∴OF ＝OD ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）过D 作DF ⊥BC 于F ，连接OD ，∵tan ∠BCD =√24，∴DF CF =√24，设DF =√2a ，OF ＝x ，则CF ＝4a ，OC ＝4a ﹣x ， ∵O 是底边BC 中点，∴OB ＝OC ＝4a ﹣x ，∴BF ＝OB ﹣OF ＝4a ﹣2x ，∵OD ⊥AB ，∴∠BDO ＝90°，∴∠BDF +∠FDO ＝90°，∵DF ⊥BC ，∴∠DFB ＝∠OFD ＝90°，∠FDO +∠DOF ＝90°， ∴∠BDF ＝∠DOF ，∴△DFO ∽△BFD ，∴BF DF =DF FO ， ∴√2a =√2a x ，解得：x 1＝x 2＝a ，∵⊙O的半径为√3，∴OD=√3，∵DF2+FO2＝DO2，∴（√2x）2+x2＝（√3）2，∴x1＝x2＝a＝1，∴OC＝4a﹣x＝3，∴BC＝2OC＝6．。

三角函数与单位圆

sin A =
①
在 R t △A C1 B 1 中 , 有
sin A =
②
图中易知 , B 1 C1 ∥ B C ,得
河南聂智勇北京万尔遐 ( 特级教师)
1 三角比 — — — 与角的边长无关
即正弦比 sin A 的值与 ∠A 所在的直三角形的边长大小无关 . 同理可得 , ∠A 的其他三角比与所在的直三角形的边长大小无关 . ( 与边的长度 ∠A 的三角比是属于 “角的” 无关 ) . 当 ∠A 确定时 , ∠A 的三角比也随之确定 .
) ( 1 ) 这 2 个角不相等 , 即α α 解( Ⅱ 1 ≠ 2 ; ( 2) 这 2 个角的终边相同 , 都在第三象限角的角平分线上 ;
5
凡事总要有信心 , 老想着 “行” . 要是做一件事 , 先就担心着 “ : 怕不行吧 ? ” 那你就没有勇气了 . — — — 盖叫天
题根研究
随时可用坐标关系将其找回来 .
角的大小是变化的 , 由此而成为一个自变量 — — — 角变量α, 角α的三角比值如正弦比值λ 在 “角变量” 的变化时随之而变 , 由此λ成为 “角变量α ” 的函数 . 如果角变量用 α表示 ,α的正弦比λ 用 sin α 表 α ) = sin α 示 , 则得正弦函数λ= f ( . 因为 “正弦” 是个比值 , 所以正弦函数是正弦比值函数的简称 . α α 例2 1 , 2 都是锐角 , 若 α α 1 < 2 , 试比较 ( 1) co s α 1 和 co s α 2 的大小 ; ( 2) sin α 1 和 sin α 2 的大小 . 分析既然 “三角比” 与角的边长无关 , 于是我们可以将角的 2 条边长都简化为单位 1 , 并图3 将其中一边看作是另一边 ( 始边) 绕着角的顶点旋转后的结果 ( 终边 ) . 当问题中有多个角时 , 我们可以让这些角的始边重合 , 终边看作是始边绕公共顶点旋转到不同位置所得到的结果 . α 设α 1 、 2 的始边重合于 OA ( = 1 ) , 终边分别为 O P1 和 O P2 ( 如图 3 ) . 因为α A O P2 的内部 . 1 <α 2 , 所以 O P1 落在 ∠ 分别作 P1 M 1 ⊥ OA 于 M 1 , P2 M 2 ⊥ OA 于 M 2 . 由平面几何知识 , 点 M 2 落在线段 OM 1 的内部 . 即 OM 2 < OM 1 , M 2 P2 > M 1 P1 . 按 “余弦比” 和 “正弦比” 的定义 ,

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

圆和三角函数结合经典例题

圆和三角函数结合经典例题很多朋友在学习数学课程时，都会遇到圆和三角函数，它们有很多共同之处，也能互相结合起来，被广泛应用在物理、化学、生物等科学方面，这篇文章将通过一些经典例题，阐述圆和三角函数之间的联系。

首先，让我们来介绍一下什么是圆和三角函数，圆是一种几何图形，由一个圆心和一个固定的半径构成，而三角函数则是一种数学模型，包括正弦、余弦和正切函数等。

而圆和三角函数之间的结合，主要体现在图形方面，例如：<b>例题1：在半径为1的圆上，求圆周上一点A的正弦函数值？</b>解：这里的点A的极坐标形式为（1,），其中α代表该点A与圆心构成的直线与正半轴之间的夹角，那么A点的正弦函数就是：sin α = y/1 = 1/1 = 1可以看出，圆的半径就是正弦函数的分母，其他情况也类似，比如：<b>例题2：在半径为2的圆上，求圆周上一点B的余弦函数值？</b>解：这里的点B的极坐标形式为（2,），其中β代表该点B与圆心构成的直线与正半轴之间的夹角，那么B点的余弦函数就是：cos β = x/2 = 2/2 = 1从上面的例题可以看出，圆与三角函数之间的结合，可以把圆周上的每一点看成是一个正弦、余弦和正切函数，由此可以用这些函数来表示和求解圆上的点与特定角度之间的距离。

此外，圆与三角函数结合还可以用来描述圆上椭圆的长短轴，其中长轴是圆周长，短轴是半径，因此椭圆的长短轴可以用圆的半径和圆周长来近似表示：2πR（R为半径）。

最后，圆也可以用三角函数的方法来绘制，比如，要想在极坐标系中绘制一个半径为2的圆，只需要将极坐标系中的点（x,y）替换成（2cosα,2sinα），即可把圆表示为三角函数，这样，圆就可以用三角函数的方式绘制出来。

综上所述，圆和三角函数之间的结合，可以应用在几何、物理、化学、生物等诸多学科中，它们的结合还可以用来描述圆上椭圆的长轴和短轴，也可以用来表示圆周上点与某个角度之间的距离，并且可以把圆绘制成三角函数的形式。

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。

（1）求证：AE∥BD。

（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。

专题07 圆的综合问题真题压轴汇编(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题07圆的综合问题真题压轴汇编一．圆与锐角三角函数综合1．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥BC于点H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AO＝OC＝CE＝2.5k，∵OH⊥BC，OC＝OB∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，∴tan∠CEO＝＝＝3．2．（2022•菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．（1）求证：直线HG是⊙O的切线；（2）若HA＝3，cos B＝，求CG的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半径，∴直线HG是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cos B＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．3．（2022•德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．（1）AB与⊙O的位置关系为相切；（2）求证：AC是⊙O的切线；（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，∴AB为⊙O的切线，∴AB与⊙O的位置关系为相切，故答案为：相切；（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，∵AB＝AC，O为底边BC的中点，∴AO为∠BAC的平分线，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∵OD为⊙O的半径，∴OE为⊙O的半径，这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，∵AB＝AC，∠A＝96°，∴∠B＝∠C＝＝42°，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．∵OF⊥DM，∴DF＝MF＝DM＝2，∵OD＝OM，OF⊥DM，∴OF为∠DOM的平分线，∴∠DOF＝∠BOD＝24°．在Rt△ODF中，∵sin∠DOF＝，∴sin24°＝，∴OD＝≈≈4.9，∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．4．（2022•河南）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得cos∠BAD＝．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．【解答】（1）证明：方法1：如图1，过点B作EF∥CD，分别交AD于点E，交OC于点F．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°．∴∠OBF+∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD，∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法2：如图2，延长OB交CD于点M．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∴∠BOC+∠BMC＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AB为⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠ABM＝90°．∴在四边形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．∵∠BMC+∠BMD＝180°，∴∠BMC＝∠BAD．∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法3：如图3，过点B作BN∥AD，∴∠NBA＝∠BAD．∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∴AD∥OC，∴BN∥OC，∴∠NBO＝∠BOC．∵AB为OO的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠NBO+∠NBA＝90°，∴∠BOC+∠BAD＝90°．（2）解：如图1，在Rt△ABE中，∵AB＝75，cos∠BAD＝，∴AE＝45．由（1）知，∠OBF＝∠BAD，∴cos∠OBF＝，在Rt△OBF中，∵OB＝25，∴BF＝15，∴OF＝20．∵OC＝25，∴CF＝5．∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，∴四边形CDEF为矩形，∴DE＝CF＝5，∴AD＝AE+ED＝50cm．二．圆+相似三角形+勾股定理综合5．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，∵CD切半圆于点D，∴OD⊥CD，∵BE⊥CD，∴OD∥BE，∴△COD∽△CBE，∴，∴，解得r＝，∴半圆O的半径为；（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，∵＝，BQ＝x，∴AP＝，∴CP＝AP+AC，∴y＝；（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，∴PR＝QE，∵PR＝PC×sin C＝，∴，∴x＝，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形，∴PH＝RE，EH＝PR，∵CR＝CP•cos C＝，∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，∴∠PQH＝45°＝∠QPH，∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，∴x＝，综上，x的值为或；②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∵CP＝，∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，∵BQ＝x，∴EQ＝3﹣x，∴ER＝EQ，∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，∴∠BQF'＝90°，∴QF＝QF'＝BQ•tan B＝，∵AB是半圆O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF＝AB•cos B＝，∴，∴x＝，∴．6．（2022•泸州）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O 于点D，交AB于点E，过点D作⊙O的切线交CO的延长线于点F．（1）求证：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的长．【解答】（1）证明：连接OD．∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∴AB∥DF；（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵BC＝，AC＝2，∴AB＝＝＝5，＝•AC•BC＝•AB•CH，∵S△ABC∴CH＝＝2，∴BH＝＝1，∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，∵DF∥AB，∴∠COH＝∠F，∵∠CHO＝∠ODF＝90°，∴△CHO∽△ODF，∴＝，∴＝，∴DF＝．7．（2022•遂宁）如图⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求点O到AD的距离．【解答】（1）证明：如图1，连接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线．（2）证明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△ABD∽△DCP；（3）解法一：如图，过点O作OE⊥AD于E，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝5，由（2）知：△ABD∽△DCP，∴＝，即＝，∴CP＝，∴AP＝AC+CP＝8+＝，∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，∴△BAD∽△DAP，∴＝，即＝，∴AD2＝6×＝98，∴AD＝7，∵OE⊥AD，∴DE＝AD＝，∴OE＝＝＝，即点O到AD的距离是．解法二：如图，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过点O作OE⊥AD 于E，连接OD，则∠M＝∠CND＝90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，∵A，B，D，C四点共圆，∴∠DBM＝∠DCN，∴△DCN≌△DBM（AAS），∴CN＝BM，同理得：AM＝AN，∵AB＝6，AC＝8，∴AM＝DM＝7，∴AD＝7，由解法一可得：OE＝．即点O到AD的距离是．8．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连接AD，AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，D为的中点，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵，∴∠CBF＝∠BAD，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，∴AB⊥BF，∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BE，AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，∴△OBF∽△AEB，∴OB：AE＝OF：AB，∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，OB＞0，则OB＝3，∴⊙O的半径为3．三．圆＋相似三角形+锐角三角函数9.（2022•安顺）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若tan∠DAE＝，求EF的长；（3）延长DE，AB交于点C，若OB＝BC，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠P AD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠P AD＝∠ABD，∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠PAB＝90°，∴AB⊥PA，∵AB是⊙O的直径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：连接BE，如图：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴＝，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，∴BE＝DE＝，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝＝，∴＝，∴EF＝1；（3）解：连接OE，如图：∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠OAE，∵∠OAE＝∠DAE，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴＝，∵OA＝OB＝BC，∴＝2，∴＝2，∵DE＝，∴CE＝2，CD＝CE+DE＝3设BC＝OB＝OA＝R，∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CEA，∴＝，即＝，∴R＝2，∴⊙O的半径是2．10．（2022•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．【解答】（1）证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，设半径OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．四．切线+阴影面积11．（2022•淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线BD与⊙O相切，理由：连接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半径，∴直线BD与⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8△OBD﹣．12．（2022•徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）直线AD与圆O相切，连接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圆的半径，∴直线AD与圆O相切，（2）连接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，∴BC＝2BH＝6，∴扇形OBC的面积为：＝＝12π，＝BC•OH＝×6×3＝9，∵S△OBC∴阴影部分的面积为：12π﹣9．13．（2022•攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．（1）求证：∠PCB＝∠PAD；（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵CP与⊙O相切，∴OC⊥PC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB⊥DC，∴∠P AD+∠ADF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，∴∠PCB＝∠PAD；（2）解：连接OD，在Rt△ODF中，OF＝OD，则∠ODF＝30°，∴∠DOF＝60°，∵AB⊥DC，∴DF＝FC，∵BF＝OF，AB⊥DC，∴S△CFB＝S△DFO，∴S阴影部分＝S扇形BOD＝＝π．14．（2022•东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：过点O作OH⊥BC于H，则BH＝HC，在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，∴BH＝OB•cos∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，∴BC＝2，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×2×1＝﹣．五．勾股定理+特殊角综合15．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）求证：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，∴直线DE是⊙O的切线．（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等边三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．16．（2022•陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求EF的长．【解答】（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，∴，∵∠OAB＝∠BAC＝90°，∴△OAB∽△BAC，∴∠BOA＝∠ABC，∵∠OBA+∠BOA＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，即∠OBC＝90°，∵OB为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，∴BG＝AB，∵OB＝OB，∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，∴BD⊥EF，DF＝DE，∵OA＝2，AB＝4，∴，在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，∴DE＝∴EF＝．17．（2022•巴中）四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．（1）如图1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求证：BA平分∠PBD；（2）如图2，连接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【解答】（1）证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵∠PBA＝30°，∴∠ABO＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又∵OE＝AE，∴BE平分∠ABO．∴，∴BA平分∠PBD；（2）证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵AC为直径，∴∠ABC＝90°．∴∠OBC+∠ABO＝90°．∴∠OBC＝∠PBA．∵OB＝OC，∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，∴∠AOB＝∠ACD，又∵∠BAO＝∠BDC，∴△OAB∽△CDE．六．圆+相似三角形综合18．（2022•内蒙古）如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF ∥BC分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EF与⊙O相切于点D，∴OD⊥EF，∵BC∥EF，∴OD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴＝，∴DN＝，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2（负值舍去），∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．19．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．【解答】（1）证明：∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴OA⊥AF，∵OA是半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵⊙O的半径为5，∴AC＝10，∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，∴AD2＝AH•AC，∴AH＝，∵AD是△AEF的中线，∠EAF＝90°，∴AD＝ED，∴AE＝2AH＝．20．（2022•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：BC∥PF；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D为劣弧的中点，∴，∴OD⊥BC．∵PF是⊙O的切线，∴OD⊥PF，∴BC∥PF；（2）连接OD，BD，如图，设AE＝x，则AD＝1+x．∵D为劣弧的中点，∴，∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．∴BD2＝1+x．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．∵⊙O的半径为，∴AB＝2．∴，解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），∴AE＝3．（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，∵∠ADB＝90°，∴cos∠DAB＝＝．∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．∵OH⊥BC，∴BH＝CH，cos∠ADO＝，∴DH＝DE×＝．∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．∴BH＝＝，∴CH＝BH＝．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四边形CHDP为矩形，∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，∴△DCP的面积＝CP•DP＝．21．（2022•西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．（1）求证：四边形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半径为2，求FM的长．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD＝90°，∴∠CFD＝90°．∵⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝∠OEA＝90°．又∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴四边形EMFC是矩形．（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE＝，OE＝2，∴OA＝＝＝3，∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．∵∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AC＝，∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝．又∵四边形EMFC是矩形，∴FM＝CE＝．22．（2022•青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AD平分∠CAB，∴∠F AD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠F AD＝∠ODA，∴OD∥AF，∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF；（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：∵CK是⊙O的直径，∴∠CDK＝90°，∴∠K+∠DCK＝90°，∵OD⊥EF，∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，∵OC＝OD，∴∠DCK＝∠ODC，∴∠K＝∠CDF，∵＝，∴∠F AD＝∠K，∴∠F AD＝∠CDF，∵∠F＝∠F，∴△F AD∽△FDC，∴＝，∵CF＝1，AC＝2，∴F A＝CF+AC＝3，∴＝，解得FD＝，在Rt△AFD中，tan∠F AD＝＝，∴∠F AD＝30°，∵AD平分∠CAB，∴∠F AE＝2∠F AD＝60°，∴AE＝＝＝6，∵AB＝4，∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，答：BE的长为2．23．（2022•广西）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若＝，AF＝10，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠OCD，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵＝，∴设AE＝2m，DE＝3m，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，AD＝＝m，∵AC为直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠AED，∴∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴，∴AB ＝m，BD ＝m，∵AB＝AC，∠ADC＝90°，∴DC ＝m，BC＝2BD＝3m，连接CF，则∠ADB＝∠F，∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CFB，∴，∵AF＝10，∴BF＝AB+AF ＝m+10，∴，∴m＝4，∴AD＝4，CD＝6，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC ＝＝26，∴⊙O的半径为AC＝13．4142。

圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE＝BC·BF.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，∴EB＝EC，即点E为边BC的中点(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD•BA(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC ＝203.在Rt△AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE＝143，∴BE ＝AB－AE＝203－143＝24．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB ＝90°.∵E为BC的中点，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴DE是⊙O的切线(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝10105．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分的面积．(结果保留根号)解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH (2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S△OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183类型三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－12x2－32x＋2(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点D的坐标为(83，0) (3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋2927．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.(1)求m的值及抛物线的解析式；(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，连结CM，则MN＝1，CM＝5，∴CN＝2，于是m＝－1.同理，可求得B(3，0)，∴a×32－2a×3－3＝0，解得a＝1.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3 (2)由(1)得，A(－1，0)，E(1，－4)，D(0，1)，∴△BCE为直角三角形，BC＝32，CE＝2，∴OBOD＝31＝3，BCCE＝322＝3，∴OBOD＝BCCE，即OBBC＝ODCE，∴Rt△BOD∽Rt △BCE，得∠CBE＝∠OBD＝β，因此sin(α－β)＝sin(∠DBC－∠OBD)＝sin∠OBC＝COBC＝22(3)显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点O(0，0)．过点A作AP2⊥AC交y轴的正半轴于点P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2(0，13)．过点C作CP3⊥AC交x轴的正半轴于点P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3(9，0)．故在坐标轴上存在三个点P1(0，0)，P2(0，13)，P3(9，0)，使得以P，A，C为顶点的三角形与△BCE相似。