圆与三角函数综合专题

B

C

E

圆与三角函数

知识点：垂直的证明方法 (1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该

垂线段的长等于半径,也就是“作垂直,证半径”。

(2) 当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于

这条直线，也就是“连半径,证垂直”

例1.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC

相切于点D ，E 。

(1)求⊙O 的半径。(2)求sin ∠BOC 的值。

例2．如图，等腰△AB C 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。(1)求证：DE 为⊙O 的切线(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO 的值。

●专项训练：

1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC

相切于点D ，AD∥BC. (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若2求BC 的长．

2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论

B

A F

D

D

A B

(2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。

3．如图，在△ABC 中．AB=BC,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ．过D 作DF ⊥BC,交AB 的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE 是⊙O 的切线；(2) 当AB=5，

4．如图，Rt△ABC 中， ∠C=90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点0为圆心， 过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB 于点E EF ⊥AC 于点F 。 (1)求证：⊙O 与AC 相切：

(2)若EF=2，BC =4，求tan ∠A 的值。

5．如图， △ABP 中，∠ABP=90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于点C ，在弧AC 上取一点F ，使弧

CF=弧CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D 。 (1)求证：CD 为⊙O 的切线。(2)连BF 交AP 于B 若BE=6，EF=2． 求tan ∠FAE 。

初三承诺班晚辅专题答案（54期）

圆与三角函数

1、证：(1)：连OE,OD ，证四边形OECD 为正方形，设半径为R ，

2R =44R -, R=3

4； (2)

10

10

3，作CM ⊥AB 于M ，易求AB=25．AB · CM=BC ·AC ， ∴CM=

554,易求OC=R 2=32

4,∴sin ∠BOC=OC CM =10

103

2、解：(1)连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴∠ODE=∠DEC =90°

(2) ∠AEO=∠DOE, cos ∠AEO= cos ∠DOE=

OE

OD

，连DA.证CD=BD =25， 证△CDE∽△CDA,CD 2

=CE ·CA=CE · (CE+1) ∴CE =4, DE=22CE CD -=2, OD=

21AC=25，OE=22OD DE +=241, ∴cos ∠AEO== cos ∠DOE=

OE OD =41

41

5 专练1、答素：(1)连OD ，证∠ACB=∠DAO=∠ODA=∠E. (2) tan ∠DAC=tan ∠ E=tan ∠ACB=

22,AE AD =BC AB =BE BC =2

2

∵AD=1,∴AE=2,设AB=x ，则BC=2x ，∴

x

x +22=

2

2

，∴x=2,BC=2x=2 2、证：(I) DF 与⊙O 相切，连OD ．证∠OAD=∠ODA, ∠FDB=∠B

∠ODF= 90° (2)连OE ，易证

AC OA =AB AE =3

2

，△A OE∽△ACB ，∠AOE=∠C=90°． 又AD = DE,∴ AD= OD=OA ，∠A =60°， tan ∠B= tan30°=

3

3 3、 讧：(1)连结OD 、BD ，证AD=DC ，∵ OA= OB ， ∴OD∥BC ∵DE ⊥BC,∴DE ⊥ OD ，∴直线DE 是⊙O 的切线。

(2)作DH ⊥ AB ，垂足为H ，易证∠E=∠ODH ，在Rt△ADB 中，

BD=

22AD AB -=2245-=3,∵ AB ·DH=DA ·DB ，即5DH =3×4,∴ DH=

5

12， 在 Rt △ODH 中，

cos ∠OOH= OD DH =2

5512=2524,cos ∠E=25

24

．

4、解：①连OD, ∠EBD=∠ODB=∠DBC, OD//BC, OD ⊥AC (2)设BC 交⊙O 于M,证矩形EFCM ，设OD 交EM 于N ． EF= CM=ND=2，ON=

21BM=1，OD=3=2

1BE BE=6,∴ EM 22BM BE -=42,tan ∠A=tan ∠BEM =

EM BM =4

2

5、解：（1) OF=OB,∠FOC=∠BOC, OC ⊥BF.证∠AFB=∠M=90°，BF//DM.

(2)

2

2

，方法一：证CD=BD=PD, △CDP∽△EBP ,PC=CE ， CD //BE =3,PB=6,证△AFE ∽△ABP,

AB AF =PB FE =62=3

1

在Rt△AFB 中，BF=8,∴AF=22，∴tan ∠FAE=

AF EF =2

2

方法二：连OC 交BF 于N ，证BN =NF=4，EN =2，CN 2

=EN ·BN =8，CN= 22. tan ∠FAE=tan ∠

CBE=

BN CN =4

2

2