高中数学选修4-4知识点归纳

高中数学选修4-4知识点总结

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结：

1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').

0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .

极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互

化：

6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；

在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；

在极坐标系中，以 )2

,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),

(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩

⎨⎧+=+=r b y r a x . 椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.

sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x . 抛物线px y 22

=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==. 经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩

⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）. 10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.

练习

1．曲线25()12x t t y t =-+⎧⎨=-⎩

为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)52、

B ．11(0,)(,0)52、

C ．(0,4)(8,0)-、

D ．5(0,)(8,0)9、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）．

A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩

B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩

D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+⎧⎨=-⎩

为参数，则直线的斜率为（ ）．

A ．2

3 B ．2

3- C ．3

2 D ．3

2-

4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ

θ=-+⎧⎨=⎩的（ ）．

A ．内部

B ．外部

C ．圆上

D ．与θ的值有关

5．参数方程为1

()2

x t t t y ⎧

=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）．

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线

6．两圆⎩⎨⎧+=+-=θθsin 24cos 23y x 与⎩⎨⎧

==θθ

sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）．

A ．内切

B ．外切

C ．相离

D ．内含

7

．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ）．

A ．2

214y x += B ．2

2

1(01)4y x x +=≤≤

C ．2

21(02)4y x y +=≤≤ D ．2

2

1(01,02)4y x x y +=≤≤≤≤

8．曲线5cos ()5sin 3x y θ

π

θπθ=⎧≤≤⎨=⎩的长度是（ ）．

A ．5π

B ．10π

C ．35π

D ．310π

9．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为（ ）．

A

． B

． C

D

10

．直线1

12()2x t

t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（

）．

A ．(3,3)- B

．( C

．3)- D

．(3,

11．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数上，则||PF 等于（ ）．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5