均值不等式-中等难度-讲义

一、等号成立条件

条件：对于任意实数a b ，

，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立． 证明：2222()a b ab a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立．

二、均值不等式

定义：如果a b ，

，是正数，那么2

a b +a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．

证明：2220a b +-=+=≥

，即a b +≥

2

a b +三、均值不等式的几何解释 解释：对于任意正实数a b ，

，以AB a b =+的线段为直径做圆，在直线AB 上取点C ，使,AC a CB b ==，过点C 作垂直于直线AB 的弦DD '，连接AD 、DB 、如图已知Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2DC AC BC =⋅

，即CD ．这个圆的半径为2a b +

，显然2

a b +点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立．

四、均值不等式的理解 1.对于任意两个实数a b ，，2

a b +叫做a b ，

a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数． 2.对于=“”

的理解应为a b =

是2a b +a b ≠

，则2a b +> 3.注意222a b ab +≥

和

2

a b +>a b R ∈，，后者是+a b R ∈， 五、极值定理 1.若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24

s ； 【证明】x y ，

都是正数，2x y +≥x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24

s ； 2.若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +

取得最小值是

【证明】x y ，

都是正数，2

x y +≥x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +

≥ 【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：

①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不 等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；

②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．

③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；

④注意“1”的代换；

⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．

运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等． ab

b

a D '

D

C B A

1．已知x+y=1

x +4

y

+8（x，y＞0），则x+y的最小值为（）

A．5√3B．9 C．4+√26 D．10

2．设实数x，y满足条{4x−y−10≤0

x−2y+8≥0

x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2

a

+3

b

的最小值为（）

A．25

6 B．8

3

C．11

3

D．4

3．若不等式(1

2

)x2−2ax＜23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．（0，1） B．(3

4，+∞) C．(0，3

4

) D．(−∞，3

4

)

4．已知两个正数a，b满足3a+2b=1，则3

a +2

b

的最小值是（）

A．23 B．24 C．25 D．26

5．已知x＞0，y＞0，x+2y=1，若不等式2

x +1

y

＞m2+2m成立，则实数m的取值范围是（）

A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2

6．已知x，y∈R，满足4≥y≥4﹣x，x≤2，则x 2+y2+4x−2y+5

xy−x+2y−2

的最大值为（）

A．2 B．13

6C．10

3

D．17

4

7．正实数ab满足1

a +2

b

=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）

A．16 B．24 C．32 D．40

8．已知抛物线y=ax2+2x﹣a﹣1（a∈R），恒过第三象限上一定点A，且点A在直线3mx+ny+1=0（m＞0，n＞0）上，则1

m +1

n

的最小值为（）

A．4 B．12 C．24 D．36

9．若直线2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）过点（1，﹣2），则1

m +2

n

最小值（）

A．2 B．6 C．12 D．3+2√2

10．设x＞0，y＞0，x+y+xy=2，则x+y的最小值是（）A．3

2

B．1+√3 C．2√3﹣2 D．2﹣√3

11．已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=1，则a+2b的最大值是（）A．√3 B．2 C．√5 D．3

12．已知a＞0，b＞0，1

a +4

b

=2，则y=4a+b的最小值是（）

A．8 B．6 C．2 D．9

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．已知正实数a，b满足ab=a+2，那么2a+b的最小值为．

15．设x＞0，y＞0，且xy﹣（x+y）=1，则x+y的最小值为．

16．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为k．

（1）求k的值；（2）若a，b，c∈R，a 2+c2

2

+b2=k，求b（a+c）的最大值．