均值不等式-中等难度-讲义

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课件5：§3.2 均值不等式

解法二：∵0＜x＜13，∴13－x＞0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2＝112，当且仅当 x＝13－x，即 x＝16时，等号成立． ∴x＝16时，函数取最大值112.
变式训练 2：已知 t>0，则函数 y＝t2－4tt＋1的最小值为________．【解析】∵t>0，∴y＝t2－4tt＋1＝t＋1t －4≥2－4＝－2，当且仅当 t＝1t ，即 t＝1 时，等号成立.
变式训练 1：某工厂第一年产量为 A，第二年的增长率为 a, 第
三年的增长率为 b，这两年的平均增长率为 x，则( )
A．x＝a＋2 b
B．x≤a＋2 b
C．x＞a＋2 b
D．x≥a＋2 b
【解析】∵这两年的平均增长率为 x， ∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设 a＞0，b＞0. ∴1＋x＝ 1＋a1＋b≤1＋a＋2 1＋b ＝1＋a＋2 b，∴x≤a＋2 b. 等号在 1＋a＝1＋b 即 a＝b 时成立．
【答案】6 4
4．若正数 a、b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的取值范围是________．
【解析】∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab. ∵ab＝a＋b＋3≥2 ab＋3， ∴( ab)2－2 ab－3≥0， ∴ ab≥3 或 ab≤－1(舍去)， ∴ab≥9.
【答案】[9，＋∞)
5．a>0，b>0，且1a＋9b＝1，求 a＋b 的最小值．解：∵a>0，b>0，1a＋9b＝1， ∴a＋b＝(1a＋9b)(a＋b) ＝1＋9＋ba＋9ba≥10＋2 ba·9ba＝10＋2×3＝16. 当且仅当ba＝9b，即 b2＝9a2 时等号成立．

不等式均值不等式ppt

不等式的基本性质和定理已经比较完善，但仍有可能发现新的不等式或不等式性质，完善不等式理论体系。
数学与其他学科的交叉
不等式在数学、物理、经济等多个领域都有应用，未来可能会进一步探索不等式在不同学科之间的交叉应用。
不等式在各领域的研究现状及趋势
在数学领域的应用
不等式在数学分析、函数分析、数论等领域都有广泛的应用，未来可能会进一步探索不等式在数学其他领域的应用。
广义不等式
不等号左侧或右侧不相等的称为广义不等式。
02
均值不等式的证明和应用
均值不等式的证明
柯西不等式
柯西不等式是不等式理论中的基本不等式之一，可以用来证明均值不等式。
排序不等式
排序不等式是不等式理论中的另一个基本不等式，也可以用来证明均值不等式。
均值不等式的应用
几何意义
均值不等式在几何学中有重要应用，如根据均值不等式的几何意义，可以得到椭圆的长短轴之间的关系。
在其他领域的应用
不等式在经济、社会、环境等领域也有应用，未来可能会进一步探索不等式在其他领域的具体应用。
不等式问题的求解算法研究
优化算法的设计
不等式问题往往比较复杂，需要设计更加优秀的算法进行求解，未来可能会进一步探索更加有效的优化算法。
数值计算的实现
不等式问题的求解需要进行数值计算，如何保证数值计算的精度和稳定性也是一个重要的问题，未来可能会进一步探索数值计算的实现方法和精度保障。
THANK YOU.
运用微积分基本定理，将不等式转化为求最值问题，从而证明不等式
详细描述
首先，根据题意将不等式转化为相应的积分表达式，再根据微积分基本定理，将积分转化为求最值问题，从而证明不等式
利用矩阵知识证明不等式

课件6：§3.2 均值不等式

解：y＝ xx2＋2＋54＝x2＋x24＋＋41＝ x2＋4＋ x21＋4≥2. 当且仅当 x2＋4＝ x21＋4，即 x2＋4＝1 时，等号成立，这显然不可能．
∴令 t＝ x2＋4，∵x2＋4≥4，∴t≥2. ∴y＝t＋1t 在[2，＋∞)上为增函数， ∴当 t＝2 时，函数取最小值52.
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证法二：∵a>0，b>0，c>0， ∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c) ＝1＋ba＋ac＋ab＋1＋bc＋ac＋bc＋1 ＝3＋(ba＋ab)＋(ac＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9. ∴1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
变式训练 2：已知 x>0，y>0，z>0，且 x＋y＋z＝1，求证： x＋ y＋ z≤ 3.
知成立．
④
a3
＋
b3
＝
(a
＋
b)(a2
－
ab
＋
b2)≥3
⇔
a2
－
ab
＋
b2≥
3 2
⇔
(a
＋
b)2
－
3ab≥32⇔4－32≥3ab⇔ab≤56，由①知，ab≤56不恒成立． ⑤欲证1a＋1b≥2，即证a＋ abb≥2，即 ab≤1，由①成立．
【答案】①③⑤
4．求函数 y＝ xx2＋2＋54的最小值．
∴
1－ ab
ab≥32，∴(
ab－
1ab)2≥94.
∴左边≥94＋2＋2＝245，(当且仅当 a＝b＝12时取等号)．
课堂检测
1.已知 a、b∈R＋，则下列不等式不一定成立的是( )
A．a＋b＋ 1ab≥2 2

均值不等式讲义

一元二次不等式讲义
一目标：
1．利用均值定理求极值.
2.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用
3.ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实
数，而后者要求a,b 都是正数 “当且仅当”的含义是等价
二、例题讲解
（1)已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2+
281x 的值最小，最小值是多少？
（2）已知x>1,求y=x+
11-x 的最小值
（3）已知x ∈R ，求y=
1222++x x 的最小值
（4）已知x>1,求y=x+
x 1+1
162+x x 的最小值
（5）求y=x 21x -的最大值
（6）要建一个底面积为12m 2，深为3m 的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？
（7）一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
（8）、若+
∈R c b a ,,，则c b a a c c b b a ++≥++2
22
（9）、已知a ,b ,c ,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++。

均值不等式教学课件ppt

均值不等式的形式与性质
基于基本不等式的证明：利用基本不等式证明均值不等式的方法是最常用的方法之一。
均值不等式的证明
均值不等式的应用
03
1
均值不等式在数学中的应用
2
3
利用均值不等式可以简洁明了地证明一些不等式成立。
证明不等式
通过运用均值不等式，可以求出函数的最值，使函数取得最优解。
解决最值问题
在求解一些方程时，运用均值不等式能够简化计算，提高解题效率。
均值不等式的现代形式
对于任意正数$a$和$b$，总有$(a+b)/2 \geq \sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时等号成立。
均值不等式的推广形式
均值不等式的定义
形式
均值不等式有许多形式，如$A \geq B \geq C \geq D$，其中A、B、C、D是实数或变量。
性质
均值不等式具有对称性、传递性和可加性等性质。
求解方程
03
生产计划
通过均值不等式，可以帮助生产厂家制定生产计划，实现产能和成本的最优配置。
均值不等式在经济学中的应用
01
投资组合选择
在确定投资组合时，利用均值不等式可以找到最优投资组合的比例，以实现最大收益。
02
资本预算
在资本预算中，运用均值不等式可以确定最优资本结构，以最小成本获得最大收益。
教学内容的难度和深度需要进一步调整和完善
虽然小组讨论的教学方式有助于培养学生的合作精神和思维能力，但在实际操作中容易出现小组讨论不够充分、讨论方向偏离主题等问题。因此，在今后的教学中，我将更加注重小组讨论的组织和引导，确保学生能够充分参与到讨论中，并沿着正确的方向展开讨论。
小组讨论的组织需要更加严谨

均值不等式PPT优秀课件1

以下不等式是否成立？ a2+b2≥2|ab| a2+b2≥－2ab，
基础知识
3. 定理：(重要不等式）
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
4.定理的几何意义：
基础训练
1 1．试判断 a , ( a 0) 与 2 的 a
大小关系？
( 2 x ) ( 0 x 2 )与 1 的 2．试判断 x x 2 x 大小关系？ x 2 ( 2 x ) ( ) 1
8.已知 a,b, cR, 求证：
2 2 2
1 x 4 , 函数 y x , 当 x _____ 4 x
5
abc a b b c c a
课堂小结
知识要点：（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义思想方法技巧：（1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
1 5. 已知 0 x , 求函数 y x ( 1 3 x ) 3
的最大值及相应的x值。
1 x 6 y m ax 1 12
6. 求
x 0
2x 时，f (x ) 2 的值域： x 1
f (x) [ 1 ,0 )
能力训练 7.已知
大 6 时，函数有最_______ 值是_______
a b 2
请尝试用四个全等的直角三角形拼成一个 “风车”图案？
赵爽弦图
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
该结论成立的条件是什么？
形的角度数的角度
a2+b2－2ab
a>0,b>0
=(a－b)2≥0

课件3：§3.2均值不等式

几何直观解释：
令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，
作出长度为 a b 和
2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长. 具体作图如下：
（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
（4）连接AC，BC，CA，则
OC a b 2
【解析】在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值.
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题
意有xy=100(m2)，
因为x>0，y>0，所以
x y≥ 2
xy
，
因此，即2(x+y)≥40.
§3.2 均值不等式
定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”）证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时，(a b)2 0
当a
b时，(a b) 2
0
a 2 b 2 2ab
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a,b R ab
2．语言表述：两个非负数的算术平均数不小
于它们的几何平均数.
3.我们把不等式
ab 2
ab (a≥0,b≥0)
称为基本不等式
把
ab 2
看做两个正数a，b
的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?

平均值不等式第一课时平均值不等式【公开课教学PPT课件】

2
2
33 12 26 324
上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？
三、典例分析
练习 4
若a,
b

R

且a

b,
求a

(a
1 b)b
的最小值。
四、当堂检测
课本第 12 页练习 1，2，3
五、课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个（三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件
探究二：如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是 AB
上一点，AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 D
DE，连接 AD,BD．
根据射影定理可得：
A
B OC
CD AC BC ab
E
由于 Rt COD中直角边 CD<斜边 OD，
于是有 ab a b 当且仅当点 C 与圆心 O 重合
六、课后作业：
课本第 14 页习题 1-3 A 组 1，3，4，9 B组 1
3
且仅当 a b c 时取“=”）
证明： (3 a )3 (3 b)3 (3 c)3 33 a 3 b 3 c
a b c 33 abc
a b c 3 abc 3
二、合作探究
定理推广：
①如果 a1, a2 ,, an R , n 1且n N 则：
(a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca) 1 (a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2 ]
2 ∵ a,b,c R ∴上式≥0 从而a3 b3 c3 3abc

均值不等式课件

ຫໍສະໝຸດ 解答0102
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由于平方数总是非负的，所以原不等式成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代数公式和不等式性质，通过一系列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”

高中数学竞赛均值不等式讲义

均值不等式1.均值不等式知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即：设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数，则12n a a a n+++≥L 123a a a a n ====L ）.如何证明?知识点2: 设,,,123a a a a nL 为n 个非负实数,n Q , 12nn a a a A n+++=L L,n G =, 12111n nnH a a a =++L L ,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当123a a a a n ====L ) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=11()ni i a nαα=∑,特别的,我们有:lim ()n f G αα→=，11()()ni i a f nααα==∑为关于α的增函数.知识点3:重要结论 (1)222,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++(2) ()2,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++(5),,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++(6) 222;2a a a b b a b b-≥-+≥(a,b,c>0)(7) 2222221()()3a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0)(8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则2111n ni i i ia n a ==⋅≥∑∑(当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++知识点4:加权平均值不等式已知12+...1(0,1,2.,,,)n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥.均值不等式的使用前要注意两个方面,一个是观察题目中不等式证明方向,另外一个是取等条件，根据这些信息,相应去选择均值不等式的技巧、模型，不断尝试，最终解决问题。

第11讲-均值不等式-中等难度-讲义

均值不等式引入1、利用作差法证明：22,,2.a R b R a b ab ∈∈+≥2、当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab.解读1、等号成立条件对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立．证明：222()a b a b a b +-=-，当a b ≠时，2()0a b ->；当a b =时，2()=0a b -．222a b ab ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立． 2、基本不等式如果a b ，，是正数，那么2a b+a b =时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：2220a b +-+=≥，即a b +≥所以2a b+ 3、均值不等式的理解（1）对于任意两个实数a b ，，2a b+叫做a b ，a b ，的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．（2）对于=“”的理解应为a b =是2a b+a b ≠，则2a b+ （3）注意222a b ab +≥和2a b+成立的条件不同．前者是a b R ∈，，后者是+a b R ∈，4、极值定理（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，xy 取得最大值是24s ；证明：x y ，都是正数，2x y+有x y s +=，22()24x y s xy +≤=，当且仅当x y =时，xy 取得最大值是24s ；（2）若=xy p （积为定值），则当x y =时，x y +取得最小值是；证明：x y ，都是正数，2x y+当且仅当x y =时，等号成立．又=xy p ，x y +≥【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；②求积xy 最大值时，应看和x y +是否是定值；求和x y +最小值时，看xy 是否为定值．③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； ④注意“1”的代换；⑤等号是否成立: 只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究下面是基本不等式2a b+ 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD .由射影定理可知，CD ＝，而OD ＝，因为OD CD ，所以2a b+当且仅当C 与O ，即时,等号成立．答案：CD ．OD ＝2a b +，OD CD ≥，2a b+C 与圆心O 重合，即a b =时，等号成立．典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2018秋•延吉市校级期中）已知＞，＞，，则x+4y的最小值是（）A．6 B．C．D．2．（2017秋•平顶山期末）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为（）A．6 B．4 C．D．3．（2018秋•海淀区期中）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，，则ab的值为（）A．1 B．2 C．4 D．84．（2018春•孝感期末）已知两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则+有（）A．最大值3 B．最大值1 C．最小值27 D．最小值95．（2017秋•济宁期末）若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）A．B．C．5 D．66．（2018秋•新罗区校级月考）函数y=a x﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+4n的图象上，其中m，n＞0，则的最小值为（）A．8 B．9 C．18 D．167．（2017秋•新乡期末）已知a＜b，则的最小值为（）A．3 B．2 C．4 D．18．（2018春•成都期末）若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2018春•吉安期末）设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8 D．1+210．（2018春•上虞区期末）已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．1011．（2018春•重庆期末）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为（）A．5 B．C．D．212．（2017秋•亳州期末）不等式的解集为（）A．B．＜C．且x≠﹣2}D．13．（2018秋•长汀县校级月考）不等式x+＞2的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）14．（2018秋•武平县校级月考）不等式（x3﹣4x2+4x）（3+2x﹣x2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或0＜x＜3}B．{x|0＜x＜3且x≠2}C．{x|﹣1＜x＜0或x＞3}D．{x|x＜﹣1或0＜x＜2或2＜x＜3}15．（2018春•朝阳区校级期中）a＞1，关于x的不等式≥1的解集是（）A．[﹣1，]B．（﹣1，]C．（﹣∞，1）U（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）U[，+∞）二．填空题（共4小题）16．（2018秋•徐州期中）已知正实数a，b满足a+2b=1，则的最小值为．17．（2017秋•资阳期末）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为60°，四边形CDEF为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为．18．（2018春•河南期末）若x＞0，y＞0，且，则的最小值为．19．（2018春•金安区校级期末）已知点（1，2）在直线＞上，则2a+b的最小值为．三．解答题（共4小题）20．（2017秋•上饶期末）（1）若x，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求x+y的最小值；（2）若1＞x＞﹣4，求的最大值．（2）若1＞x＞﹣4，则=﹣[（1﹣x）+]≤﹣1，当且仅当x=0时取等号．21．（2018春•东胜区校级期末）已知a，b为正实数，a+b=1．（1）求的最小值；（2）求的最小值．22．（2018春•南京期中）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE=CE，AB＞AD，矩形的周长为8cm．（1）设AB=xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；（2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．23．（2018•衡阳二模）已知a＞0，b＞0，c＞0．若函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c 的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求的最小值．归纳总结1、（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2、（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）（3）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3、若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用。