人教新课标版数学高二-数学必修5训练空间距离问题

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高中数学(人教A版)解三角形——应用举例之空间距离问题

只有拼出来的成功，没有等出来的辉煌！
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解析：在△ACD 中，∠DAC＝30° ， ∠ADC＝60° －∠DAC ＝30° ，所以 CD＝AC＝0.1，又∠BCD＝180° －60° －60° ＝60° ，故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD＝BA， AB AC 在△ABC 中，＝， sin ∠BCA sin ∠ABC ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝＝， sin 15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ ≈0.33 km， 20 故 B、D 的距离约为 0.33 km.
解析：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β. BC CD 由正弦定理，得＝ . sin ∠BDC sin ∠CBD CDsin ∠BDC s· sin β 所以 BC＝＝ . sin ∠CBD sin α＋β s· tan θsin β 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sin α＋β
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一、选择填空题 1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( ) A．1公里 C.cos 10° 公里 B．sin 10° 公里 D．cos 20° 公里
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解析：如上图所示，在△ABC中，∠CAB＝15°，
∠ACB＝30°－15°＝15°，∴BC＝AB＝5 km，
在Rt△BCD中， CD＝BC×tan ∠DBC≈BC×tan 8°≈0.7025 km ≈703(m)．答：山的高度约为703米．

数学高中数学专练：空间距离

同步练习空间距离1．在ABC ∆中，9,15,120AB AC BAC ==∠=，ABC ∆所在平面外一点到三顶点,,A B C 的距离都是，则到平面的距离是（）2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，是面内一点，到三个面,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则到的距离是（）3．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（） 121d d << 121d d << 121d d << 211d d <<4．把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（）45．四面体ABCD 的棱长都是，两点分别在棱,AB CD 上，则与的最短距离是（）3256 676．已知二面角βα--l 为，30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则到平面的距离为．7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线到平面11BCD A 的距离是．8．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则到的距离为，到的距离为．9．已知二面角βα--l 为，平面内一点到平面的距离为4AB =，则到平面的距离为．10、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点为的中点，点为的中点，（1）证明:为异面直线11BD CC 与的公垂线；（2）求点到平面的距离．FE1111D C B A DCBA11、在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，分别是，与的中点，点在平面上的射影是ABD ∆的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．12．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，（1）求：点到平面的距离；（2）求点到平面11D AB 的距离；（3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线到11B CDA 的距离．参考答案 1—4、BADD 5. 67、60.138、9、10、解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22F ，11(,,0)22EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=， ∴为异面直线11BD CC 与的公垂线．G E D C 1B 1A 1C B A（2）设(1,,)n x y =是平面的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE = ∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-，点到平面的距离1||2||BD n d n ⋅==． 11、解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ，则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ，∵分别是，与的中点， ∴(0,0,1),(,,1)22a aD E ，∵是ABD ∆的重心， 5(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面，,,EG AB EG AD ⊥⊥ 得，且与平面所成角EBG∠，6||3EG=， 112BE BA ==sin 3EG EBG BE ∠==，（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍， ∵EG ⊥平面，到平面的距离等于262||3EG =． 12、23321y。

【精编】高中数学 1.2.1 距离问题课件新人教A版必修5-精心整理

=( 3)2+
6+ 2
2
2
-2
3×
6+ 2
2cos 75°=5.
∴AB= 5.
∴两个目标 A,B 之间的距离为 5 km.
题型一
题型二
如图所示,不可到达的 A,B 是地面上两点,要测量 A,B 两点之间的距离,步骤是: (1)取基线 CD;
题型一
题型二
(2)测量 CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD 中,解三角形得 AC;在△BCD 中,解三角形得 BC; (4)在△ABC 中,利用余弦定理得 AB= A��2 + B��2-2AC·BC·��∠ACB.
23a·6+42 2
=
3+ 4
3a.
2
1234
制作不易尽请参考
在△ADB 中,
∵AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cos∠ADB
=34a2+
3+ 4

3a
2-2×23a·3+4
3a·23
=38a2,∴AB= 46a.
∴蓝方这两支精锐部队的距离为 46a.
1234
在△BDC 中,∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°.
题型一
题型二
在△BCD
中,由正弦定理,得 BC=
3��75° ��60°
=
6+ 2
2.
则在△ABC 中,由余弦定理,得
AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA

2020-2021学年高二数学人教A版必修5学案：1.2 第1课时距离问题 Word版含解析

1．2应用举例
第1课时距离问题
[目标] 1.能够运用正、余弦定理的知识和方法求解距离问题；2.从实际问题中抽象出数学模型(即画出三角形)．
[重点] 在三角形中运用正、余弦定理求解距离问题．
[难点] 实际问题的理解与建模．
知识点一距离问题
[填一填]
1．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
2．测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题．
[答一答]
1．如果知道一个三角形的三个角，是否可以解出这个三角形？
提示：不可以．要解一个三角形，至少知道这个三角形的一条边长．
2．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？
提示：
知识点二基线
[填一填]
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．。

高中数学课时作业3 距离问题新人教A版必修5

课时作业3 距离问题时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．海面上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 与C 之间的距离是( )A ．103海里 B.1063海里 C ．52海里D ．53海里解析：在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝90°，∴BC ＝AB sin60°＝53海里．答案：D2．甲、乙二人同时从A 点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B 点时，两人距离恰好为3千米，那么这时甲走的距离是( )A ．23千米B ．2千米 C.3千米D ．1千米解析：假设甲走到了C ，则在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos60°，即(3)2＝22＋AC 2－2×2AC ·12，解得AC ＝1.故选D.答案：D 3.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ) A．a kmB.3a kmC.2a kmD．2a km解析：如题图，∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos∠ACB，∴AB2＝a2＋a2－2a2c os120°＝3a2.∴AB＝3a.答案：B4．已知A，B两地相距10 km，B，C两地相距20 km，且∠ABC＝120°，则A，C两地相距( )A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos120°＝102＋202－2×10×20×(－12)＝700∴AC＝107 km. 答案：D5.如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km解析：∠CBD ＝180°－∠BCD －∠CDB ＝60°. 在△BCD 中，由正弦定理，得BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋6＋224＋2×3×6＋22×6－24＝5＋2 3.∴AB ＝5＋23≈2.9 (km)． ∴炮兵阵地与目标的距离约为2.9 km. 答案：C 6.如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km解析：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，∴A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝10 2 (km)．答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛与B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离为________n mile.解析：画出示意图，易得C ＝45°，由正弦定理10sin45°＝BCsin60°，∴BC ＝5 6.答案：5 68．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km.解析：如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km. 设BC ＝a km.由余弦定理，得cos120°＝a 2＋4－94a ，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)，即B 到C 的距离为(6－1)km.答案：6－19．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图，在△ABC 中，AC ＝4×15＝60，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°， ∴∠ABC ＝45°.∴BC ＝AC ·sin30°sin45°＝60×1222＝30 2 (k m)．答案：30 2三、解答题(共计40分)10．(10分)海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，问再过多少分钟，海盗船到达商船？解：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A ，B ，C 处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°.在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°，∠BAD ＝60°－30°＝30°， ∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．∴再过403分钟，海盗船到达商船．11．(15分)某观测站C 在A 城的南偏西20°的方向，由A 城出发有一条公路，公路走向是南偏东40°，在公路上测得距离C 31 km 的B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时C ，D 之间相距21 km ，问此人还要走多远才能到达A 城？解：如图，∠CAB ＝60°，BD ＝20 km ，CB ＝31 km ，CD ＝21 km.在△BCD 中，由余弦定理，得cos ∠BDC ＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，则sin ∠BDC ＝437.在△ACD 中，∠ACD ＝∠BDC －∠CAD ＝∠BDC －60°.由正弦定理，可得AD ＝CD sin ∠ACDsin60°.∵sin ∠ACD ＝sin(∠BDC －60°)＝sin ∠BDC cos60°－cos ∠BDC sin60°＝5314，∴AD＝21×531432＝15 (km)．∴此人还要走15 km 才能到达A 城．12．(15分)一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最短时间及所经过的路程．解：如图所示，若“黄山”舰以最短时间在B 处追上商船，则A ，B ，C 构成一个三角形．设所需时间为t 小时，则AB ＝21t ，BC ＝9t .又已知AC ＝10，依题意知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos∠ACB . ∴(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t cos120°， ∴(21t )2＝100＋81t 2＋90t ，即360t 2－90t －100＝0. ∴t ＝23或t ＝－512(舍去)．∴AB ＝21×23＝14(海里)．即“黄山”舰需要用23小时靠近商船，共航行14海里．。

人教新课标版数学高二B版必修5课时作业距离和高度问题.

一、选择题1．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10 km B．10 3 kmC．10 5 km D．107 km【解析】由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝700，AC＝107.【答案】 D图1－2－82．如图1－2－8，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于() A．100米B．503米C．502米D．50(3＋1)米【解析】设山高为h，则由题意知CB＝h，DB＝3h，所以3h－h＝100，即h＝50(3＋1)．【答案】 D图1－2－93．在一个高为h的建筑物顶看一旗杆，测得杆顶仰角为30°，杆底俯角为60°，则旗杆高为()A.43h B.32hC.54h D.23h【解析】在△ACE中，AE＝tan 30°×h＝3 3h.在△ADE中，DE＝AE×tan 30°＝33h×33＝h3，∴DC＝DE＋EC＝h3＋h＝43h.【答案】 A图1－2－104．(2013·抚顺高二检测)如图1－2－10：D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α(α<β)，则A点离地面的高度AB 等于()A.a sin α·sin βsin(β－α)B.a sin α·sin βcos(α－β)C.a sinα·cos βsin(β－α)D.a cos α·sin βcos(α－β)【解析】在△ADC中，∠DAC＝β－α.由正弦定理得：asin(β－α)＝AC sin α，∴AC＝a·sin αsin(β－α)，∴AB＝AC·sin β＝a·sin α·sin βsin(β－α).【答案】 A5．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长()A．1千米 B.2千米C.3千米D．2千米【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 B二、填空题图1－2－116．(2013·威海高二检测)如图1－2－11，一艘船上午8∶00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile，则此船的航行速度是________n mile/h.【解析】如图△ABS中，∠S＝45°.由正弦定理：BSsin 30°＝ABsin 45°，∴AB＝42·2212＝8，∴船的航行速度为8÷12＝16 n mile/h.【答案】167．在200 m的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________．【解析】如图，设塔AB高为h，在Rt△CDB中，CD＝200 m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∴BC＝200cos 30°＝40033(m)．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝120°.在△ABC中，由正弦定理得BCsin 120°＝ABsin 30°，∴AB＝BC·sin 30°sin 120°＝4003m.【答案】4003m8．如图1－2－12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________．图1－2－12【解析】tan 30°＝CDAD，tan 75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，∴AD＝603，故CD＝60.【答案】60 m三、解答题图1－2－139．A、B、C、D四个景点，如图1－2－13，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A、D相距2 km，C、D相距(32－6)km，求A、B两景点的距离．【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A、B两景点的距离为2 km.10．A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.【解】如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．所以CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以山高CD约为2 186 m.11．为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一个铅垂平面内，如图1－2－14，飞机能测量的数据有俯角和A、B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．图1－2－14【解】①需要测量的数据有A到M、N的俯角α1、β1，B到M、N的俯角α2、β2，A、B的距离d(如图所示)．②方案一第一步：计算AM，由正弦定理AM＝d sin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN，由正弦定理AN＝d sin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN，由余弦定理MN＝AM2＋AN2－2AM·AN cos(α1－β1).方案二第一步：计算BM，由正弦定理BM＝d sin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN，由正弦定理BN＝d sin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN，由余弦定理MN＝BM2＋BN2＋2BM·BN cos(β2＋α2)。

人教版高中数学必修五专题距离问题习题(含答案)

距离问题一、选择题1．科学家发现，两颗恒星A与B分别与地球相距5亿光年与2亿光年，且从地球上观测，它们的张角为60°，则这两颗恒星之间的距离为________亿光年()A.19B.17C．219 D．2172．(2017·福州高二期末)某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 公里到B处，再沿正东方向行走2公里到C处，则AC两地的距离为()A．3公里B．5公里C．7公里D．8公里3．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°，则两条船相距()A．10 3 米B．100 3 米C．2030 米D．30 米4．如图，一船从C处向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔A，B恰好在一条直线上，继续航行半小时后到达D处，看见灯塔B在船的南偏西60°，灯塔A在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5海里B．5 3 海里C．10海里D．10 3 海里5．海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100 3 海里，渔船B被困海面，已知B距离基地100海里，而且在救护船A正西方，则渔船B与救护船A的距离是() A．100海里B．200海里C．100海里或200海里D．1003海里二、填空题6．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为________．7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A 、B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________ km.8．如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．三、解答题9．海上某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12 6 海里；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 海里；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处之间的距离．10．(2017·郑州第二次质量预测)如图所示，一辆汽车从O 点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O 点的距离为5公里，距离公路线的垂直距离为3公里的M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机，问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？答案与解析1.A 设地球为O ，则根据条件，OA ＝5，OB ＝2，∠AOB ＝60°，再利用余弦定理可得：AB 2＝52＋22－2×5×2cos60°＝19，故AB ＝19 亿光年．故选A 项．2．C 如图所示，AB ＝3 3 公里，BC ＝2公里，∠ABC ＝150°，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝(33)2＋22－2×33×2×cos150°＝27＋4－2×33×2×⎝⎛⎫－32＝49. ∴AC ＝7(公里)．3．D 设炮台顶部为A ，底部为D ，两条船分别为B ，C ，如图所示，由题意知，∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°， ∠BDC ＝30°，AD ＝30. 在Rt △ABD 中，求得BD ＝30. 在Rt △ACD 中，求得DC ＝30 3. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos30°＝302＋(303)2－2×30×303×32＝900，解得BC ＝30.4．C 由题意知，AB ＝BD ＝10，在Rt △BCD 中，CD ＝12BD ＝5，∴这只船的速度是每小时10海里．5．C 如图所示，设基地位于点O 处，在△OAB 中，OB ＝100，OA ＝1003，A ＝30°，由正弦定理得 sin B ＝OA sin A OB ＝32，∴B ＝60°或120°.当B ＝60°时，A ＝30°，∠BOA ＝90°. ∴BA ＝2OB ＝200；当B ＝120°时，A ＝∠BOA ＝30°， ∴BA ＝OB ＝100. 6．50 2 m解析：∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠CBA ＝30°.由正弦定理得sin ∠CBA AC ＝sin ∠ACB AB ，即1250＝22AB ，可得AB ＝50 2 m. 7.6－1解析：如右图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝40°＋80°＝120°，AB ＝3 km ，AC ＝2 km.设BC ＝a km.由余弦定理，得cos120°＝a 2＋4－94a ，解得a ＝6－1或a ＝－6－1(舍去)，即B 到C的距离为(6－1) km.8. 3解析：因为AD ⊥AC ，所以∠BAC ＝π2＋∠BAD ，又因为sin ∠BAC ＝223，所以cos ∠BAD＝223，在△BAD 中，由余弦定理得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ＝ (32)2＋32－2×3×32×223＝ 3. 9．解：由题意，画出示意图．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，B ＝45°. 由正弦定理AD ＝ABsin60°sin45°＝24 海里． (2)在△ADC 中，由余弦定理CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝8 3 海里．∴A 处与D 处之间距离为24海里，C 、D 之间的距离为8 3 海里．10.解：作MN 垂直公路所在直线于点N ，则|MN |＝3，∵|OM |＝5，∴|ON |＝4，∴cos ∠MON ＝45.设骑摩托车的人的速度是v 公里/小时．追上汽车的时间为t 小时，则由余弦定理得(v t )2＝52＋(50t )2－2×5×50t ×45，即v 2＝25t 2－400t ＋2 500＝25⎝⎛⎭⎫1t －82＋900，∴当t ＝18时，v 取最小值30，∴其行驶距离为v t ＝308＝154(公里)．∴骑摩托车的人至少以每小时30公里的速度匀速行驶才能实现他的愿望．他驾驶摩托车行驶了154公里．。

高二数学距离试题答案及解析

高二数学距离试题答案及解析1.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】0.【解析】直接由空间两点的距离公式知：，解之得.【考点】空间两点的距离公式.2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点，球面上有两个点的坐标分别为，则( )A．18B．12C．D．【答案】C【解析】由空间中两点间的距离公式可得，故选答案C.【考点】空间中两点间的距离公式.3.如图，在长方体中,，点是棱上的一个动点.(1)证明:；(2)当为的中点时，求点到面的距离；(3)线段的长为何值时，二面角的大小为.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.【解析】解决立体几何中的垂直、距离及空间角，有几何法与空间向量法，其中几何法，需要学生具备较强的空间想象能力及扎实的立体几何理论知识；向量法，则要求学生能根据题意准确建立空间直角坐标系，写出有效点、有效向量的坐标必须准确无误，然后将立体几何中的问题的求解转化为坐标的运算问题，这也需要学生具备较好的代数运算能力.几何法：（1）要证，只须证明平面，然后根据线面垂直的判定定理进行寻找条件即可；（2）运用的关系进行计算即可求出点到面的距离；（3）先作于，连接，然后充分利用长方体的性质证明为二面角的平面角，最后根据所给的棱长与角度进行计算即可得到线段的长.向量法： (1)建立空间坐标，分别求出的坐标，利用数量积等于零即可；(2)当为的中点时，求点到平面的距离，只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；(3)设，因为平面的一个法向量为，只需求出平面的法向量，然后利用二面角为，根据夹角公式，求出即可.试题解析：解法一：(1)∵平面，∴，又∵，∩，∴平面， 4分(2)等体积法：由已知条件可得，，，所以为等腰三角形=，，设点到平面的距离，根据可得，，即，解得 8分(3)过点作于，连接因为平面，所以，又，∩，所以平面故，为二面角的平面角所以，，，，由可得， 14分解法二: 以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系设,则,(1),,故；(2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则也即,得,从而,所以点到平面的距离为；(3)设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),∴时,二面角的大小为.【考点】1.空间中的垂直问题；2.空间距离；3.空间角；4. 空间向量在立体几何中应用.4.已知点B是点A（3，4，-2）在平面上的射影，则等于( )A．B．C．5D．【答案】 C【解析】因为点B是点A（3，4，-2）在平面上的射影，所以点,由此,所以,故选C．【考点】本题考查的知识点是四种命题的关系，及其真假性的关系，正确把握四种命题真假性的关系以及判断命题的真假性是解题的关键．5.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12.则球O的半径为()A．B．2C．D．3【答案】C【解析】因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上，,,，,所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为,,,,所以球的半径为：.故选．【考点】1.球内接多面体；2.点、线、面间的距离计算.6.关于图中的正方体，下列说法正确的有：____________．①点在线段上运动，棱锥体积不变；②点在线段上运动，直线AP与平面平行；③一个平面截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面在平面与平面间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。

人教版高中数学必修五优化练习：第一章1.2第1课时距离问题

[ 课时作业][A组基础稳固]1．两灯塔A ，B 与大海察看站C 的距离都等于a(km) ，灯塔A 在C 北偏东30°，B 在 C 南偏东 60°，则A ，B 之间距离为()A. 2a km C ． a kmB. 3a kmD ．2a km分析： △ ABC 中， AC ＝ BC ＝ a ，∠ ACB ＝ 90°， AB ＝ 2a. 答案： A2.如图，一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行， 30 分钟后抵达 B 处． C 处有一座灯塔，海轮在A处察看灯塔，其方向是南偏东 70°，在 B 处察看灯塔，其方向是北偏东 60°，那么 B ， C 两点间的距离是 ( )A ．10 2海里B ．10 3海里C ． 20 3海里D ．20 2海里分析：由题目条件，知 AB ＝ 20 海里，∠ CAB ＝ 30°，∠ ABC ＝ 105°，因此∠ ACB ＝ 45°.由正弦定理，得 20 ＝ BC ，因此 BC ＝ 10 2海里，应选 A. sin 45 °sin 30 °答案：A3．有一长为 10 m 的斜坡，倾斜角为 75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°，则坡底要延长的长度 (单位： m)是()A ． 5B ．10C ．10 2D ．10 3分析：如图，设将坡底加长到 B ′时，倾斜角为 30°，在△ ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．在△ ABB ′中，∠ B ′＝30°，∠BAB ′＝75°－ 30°＝ 45°， AB ＝ 10 m ，由正弦定理，得2ABsin 4510×°2．BB ′＝sin 30＝＝ 10 2(m) °12∴坡底延长 10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变成 30°.答案： C4．一船自西向东匀速航行，上午 10 时抵达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里的 M 处，下午 2 时抵达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为()A. 176海里 /小时 B ．34 6海里 /小时2C. 172海里 /小时D ．34 2海里 /小时2分析：如下图，在△ PMN 中，PM ＝ MN，sin 45 °sin 120 °∵MN ＝68× 3＝34 6，2MN17 6∴v ＝ 4 ＝ 2 (海里 /小时 )．答案： A5.如图，某炮兵阵地位于 A 点，两察看所分别位于 C ，D 两点．已知△ ACD为正三角形，且DC ＝3 km ，当目标出此刻 B 点时，测得∠ CDB ＝ 45°，∠BCD ＝ 75°，则炮兵阵地与目标的距离是 ( )A ． 1.1 kmB ． 2.2 kmC ． 2.9 kmD ．3.5 km分析： ∠ CBD ＝ 180°－∠ BCD －∠ CDB ＝ 60°.在△ BCD 中，由正弦定理，得CD sin 75 °6＋ 2＝ 2 .BD ＝sin 60 ° 在△ ABD 中，∠ ADB ＝45°＋ 60°＝ 105°，由余弦定理，得AB 2＝ AD 2＋ BD 2－ 2AD ·BDcos 105 °6＋226＋ 2 6－ 2＝3＋＋2× 3×42 ×4＝5＋ 2 3.∴AB ＝ 5＋ 2 3≈2.9(km)．∴炮兵阵地与目标的距离约是 2.9 km.答案： C6．在相距 2 千米的 A 、 B 两点处丈量目标点 C ，若∠ CAB ＝75°，∠ CBA ＝60°，则 A 、C 两点之间的距离为 ________千米．分析： ∠ C ＝ 180°－ 75°－60°＝ 45°，由正弦定理2sin 45＝ AC°sin 60， °∴AC ＝ 6.答案： 67．某人从 A 处出发，沿北偏东 60°行走 33 km 到 B 处，再沿正东方向行走 2 km 到 C 处，则 A ， C 两地距离为 ________km.分析：如下图，由题意可知AB ＝3 3， BC ＝ 2，∠ ABC ＝ 150°，由余弦定理，得AC 2＝ 27＋ 4－ 2×3 3×2×cos 150 °＝ 49，AC ＝ 7.则 A ， C 两地距离为 7 km.答案：78．一艘船以每小时 15 km 的速度向东行驶，船在 A 处看到一灯塔 B 在北偏东 60°，行驶后，船抵达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为 ________km.分析：如下图， AC ＝ 15×4＝ 60，∠BAC ＝ 30°，∠ B ＝ 45°，4 h在△ ABC中由正弦定理得60sin 45＝ BC°sin 30，°∴BC ＝30 2.答案：30 29.如图，为了丈量河的宽度，在一岸边选定两点 A ， B ，望对岸的标志物 C ，测得∠ CAB ＝ 45°，∠CBA ＝ 75°，AB ＝120 米，求河的宽度．分析：在 △ABC 中，∵∠ CAB ＝ 45°，∠ CBA ＝ 75°，∴∠ ACB ＝ 60°.由正弦定理，可得AB ·sin ∠ CBA 120sin 75 °AC ＝sin ∠ ACB ＝ sin 60 °＝ 20(3 2＋ 6) ，设 C 到 AB 的距离为 CD ，则 CD ＝ ACsin ∠ CAB2＝2AC＝ 20 (3＋3)．∴河的宽度为20(3＋ 3)米．10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机障蔽仪，要求在考点四周 1 千米处不可以收得手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 1.732 千米有一条北偏东方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时 12 千米的速度沿公路行驶，问最长60°需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并起码连续多长时间该考点才算合格？分析：如下图，考点为A，检查开始处为B，设公路上C、D 两点到考点的距离为 1 千米．在△ ABC 中， AB ＝3≈1.732， AC＝ 1，∠ ABC＝ 30°，由正弦定理 sin ∠ACB＝sin 30°3，∴∠ ACB＝ 120°(∠ACB＝ 60°不合题意 )，AC·AB＝2∴∠ BAC＝ 30°，∴ BC＝ AC＝ 1，在△ ACD 中， AC＝ AD，∠ ACD ＝ 60°，∴△ ACD 为等边三角形，∴CD＝ 1，∴BC12×60＝ 5，∴在 BC 上需 5 分钟， CD 上需 5 分钟．答：最长需要 5 分钟检查员开始收不到信号，并连续起码 5 分钟才算合格．[B组能力提高]1．甲船在岛 B 的正南乙船自 B 出发以每小时A 处， AB＝ 10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时，6 千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是________．分析：设行驶 x 小时后甲到点C，乙到点D，两船相距y km ，则∠ DBC ＝ 180°－ 60°＝ 120°.∴y2＝(10－ 4x)2＋(6x)2－ 2(10－ 4x) ·6xcos 120 °＝ 28x2－ 20x＋ 100＝28(x2－5x)＋ 100＝ 28 x－52－25＋1007147∴当 x＝145(小时 ) ＝1507(分钟 )时， y2有最小值．∴y 最小．答案：1507分钟2．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，以后船沿南偏东60°方向航行 30 n mile 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________ n mile.分析：如下图， B 是灯塔， A 是船的初始地点， C 是船航行后的地点，则 BC⊥ AD ，∠ DAB＝ 30°，∠DAC ＝ 60°，则在 Rt △ ACD 中，DC ＝ ACsin ∠ DAC ＝ 30sin 60 ＝°153 n mile ，AD ＝ACcos ∠ DAC ＝ 30cos 60 ＝°15 n mile ，则在 Rt △ ADB 中，DB ＝ADtan ∠DAB ＝ 15tan 30 ＝°5 3 n mile ，则 BC ＝ DC － DB ＝ 15 3－ 5 3＝ 10 3 n mile.答案： 10 33．一蜘蛛沿东北方向爬行 x cm 捕获到一只小虫，而后向右转 105 °，爬行 10 cm 捕获到另一只小虫，这时它向右转 135°爬行回到它的出发点，那么 x ＝ ________.分析：如下图，设蜘蛛本来在 O 点，先爬行到 A 点，再爬行到 B 点，易知在△ AOB 中，AB ＝ 10 cm ，∠ OAB ＝75°，∠ ABO ＝45°，则∠ AOB ＝60°，由正弦定理知：AB ·sin ∠ ABO x ＝sin ∠ AOB＝ 10×sin 45 °10 6sin 60＝3 (cm)．°即 x 的值为106 cm.3 答案：10634．某海岛四周 38 海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东 60°方向，航行 30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险 (填 “有 ”或 “无 ”)．分析：由题意在三角形 ABC 中， AB ＝30，∠ BAC ＝ 30°，∠ ABC ＝135°，∴∠ ACB ＝ 15°，由正弦定理AB ·sin ∠ BAC ＝ 30 ·sin 30 ＝° 15＝ 15( 6＋ 2)．BC ＝sin 15 6－ 2 sin ∠ ACB °4在 Rt △ BDC 中， CD ＝22 BC ＝ 15(3＋ 1)＞ 38.答案：无5.如下图为起重机装置表示图．支杆 BC ＝10 m ，吊杆 AC ＝ 15 m ，吊索 AB ＝ 519 m ，求起吊的货物与岸的距离AD .分析：在△ABC 中，由余弦定理，得222cos∠ACB＝ AC ＋ BC － AB＝152＋ 102－1921.2×15×10＝－2∴∠ ACB＝ 120°.∴∠ ACD＝ 180°－ 120°＝ 60°.153∴AD ＝ AC·sin 60 °＝(m)．即起吊的货物与岸的距离为1532m.6.如图，某丈量人员为了丈量西江北岸不可以抵达的两点A， B 之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从 C 点能够察看到点A， B；找到一个点 D ，从 D 点能够察看到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点能够察看到点 B，C；并丈量获得数据：∠ ACD ＝ 90°，∠ ADC＝ 60°，∠ ACB＝15°，∠BCE ＝ 105°，∠ CEB＝ 45°，DC ＝ CE＝ 1 百米．求 A，B 之间的距离．分析：由题干图，连结 AB(图略 )，依题意知，在 Rt△ ACD 中，AC＝DC ·tan∠ ADC＝ 1×tan 60 °＝ 3.在△ BCE 中，∠ CBE ＝ 180°－∠ BCE－∠ CEB＝180°－ 105°－ 45°＝ 30°，由正弦定理BC＝CE，sin∠ CEB sin∠ CBE得 BC＝CEsin∠CBE·sin ∠ CEB＝1×sin 45 ＝° 2.sin 30°cos 15 ＝°cos(60 －°45°)＝c os 60 °·cos 45 °＋sin 60 °sin 45 °＝1×2＋ 3×2＝ 6＋ 2，22224在△ ABC 中，由余弦定理AB2＝AC 2＋ BC2－ 2AC·BC·cos∠ ACB，可得 AB2＝ (3)2＋ (2)2－ 2 3× 2×6＋24＝2－ 3，∴AB ＝2－3百米．即 A， B 之间的距离为2－3百米．。

高中数学立体几何专：空间距离的各种计算(含答案)doc(K12教育文档)

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高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离。

4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】如图,在空间四边形ABCD 中,AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点。

（1）求证:EF 是AB 和CD 的公垂线; （2）求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1）证明：连结AF ,BF ，由已知可得AF =BF 。

又因为AE =BE ,所以FE ⊥AB 交AB 于E 。

同理EF ⊥DC 交DC 于点F .所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2）在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21，所以EF 2=BF 2—BE 2=a 212，即EF =a 22.由（1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ，AE =EB 。

人教新课标版数学高二-数学必修5训练平面距离问题

数学·必修5(人教A 版)1.2 应用举例 1．2.1 平面距离问题►基础达标1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A.1507分钟B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案：A3．如图，已知A ，B ，C 三地，其中A ，C 两地被一个湖隔开，测得AB ＝3 km ，B ＝45°，C ＝30°，则A 、C 两地的距离为( )A ．3 2 kmB ．3 3 kmC ．6 kmD ．3 6 km 解析：根据题意，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B，代入数值得3sin 30°＝ACsin 45°，解得AC ＝3 2.故选A. 答案：A4．在△ABC 中，若C ＝90°，a ＝6，c ＝10，则AB 边上的高等于( )A.125B.485C.65D.245解析：如下图所示，Rt △ABC 中，b ＝102－62＝8，AB 边上的高h ＝6×810＝245.故选D.答案：D5.等腰三角形一腰上的高是3，底边长为23，则这条高与底边的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：如下图所示，等腰三角形ABC的腰AB边上的高CH＝3，而底边BC＝23，∴cos ∠BCH＝323＝1 2，∵0°<∠HCB<90°，∴∠HCB＝60°.故选C.答案：C6.设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为( )A ．40 mB ．50 mC ．60 mD ．70 m解析：如下图所示，△ABC 是Rt △，AB ＝12AC ，∴AB ＝50 m ．故选B. 答案：B►巩固提高7．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2 2 km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为()A．2 km B．3 km C．4 km D．5 km解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝22，在△ABC中由勾股定理得：AB＝AC2＋BC2＝8＋8＝4.故选C.答案：C8.如右图所示，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝100 m，并且在C、D两点分别测得∠BCA ＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A、B两点的距离为()A．50 6 m B．100 6 mC．100 3 m D．100 2 m答案：A9.如右图所示，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45°，与之相距10 海里的C处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间．解析：设所需时间为t 小时，在点B 处相遇，在△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21t ，BC ＝9t ， ∠ACB ＝360°－135°－105°＝120°. 由余弦定理：(21t )2＝102＋(9t )2－2×10×9t ×cos 120°，整理得：36t 2－9t －10＝0，解得：t 1＝23，t 2＝－512(舍去)，由正弦定理得：AB sin 120°＝BC sin ∠CAB⇒sin ∠CAB ＝⎝⎛⎭⎪⎫9×23×3221×23＝3314， ∴∠CAB ＝21°47′，答：该海上救生艇的航向为北偏东66°47′，与呼救船相遇所需时间为23小时．10．如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?解析：连接BC，由余弦定理得：BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.于是，BC＝107.∵sin∠ACB20＝sin 120°107，∴sin ∠ACB＝37，∵∠ACB＜90°，∴∠ACB＝41°.∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．1．解决实际测量问题一般要充分理解题意，正确作出图形，从中抽象出一个或几个三角形把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，然后解三角形，得到实际问题的解．2．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．3．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是在可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量.。

人教A版高中数学必修五练习距离和高度问题

1.2 应用举例第1课时距离和高度问题课后篇巩固提升1.如图,要测量某湖泊两侧A ,B 两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A ,B 两点间的距离的是( ) A.角A ,B 和边b B.角A ,B 和边a C.边a ,b 和角C D.边a ,b 和角A,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.如果在测量中,某渠道斜坡的坡度为34,设α为坡角,那么cos α等于( ) A.35B.45C.34D.43,知tan α=34.因为0<α<π2,得cos α=45,故选B .3.如图,在河岸一侧取A ,B 两点,在河岸另一侧取一点C ,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C 处河面宽CD 为( ) A.6(3+√3)m B.6(3-√3)m C.6(3+2√3)mD.6(3-2√3)m{CD sin60°=BDsin (90°-60°),CDsin45°=ADsin (90°-45°)⇒{BD =√33CD ,AD =CD⇒AB=AD+BD=(1+√33)CD=12⇒CD=6(3-√3)m,故选B .4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinβsin(β-α)B.asinαsinβcos(α-β)C.asinαcosβsin(β-α)D.acosαsinβcos(α-β)△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin(β-α)=ACsinα,∴AC=asinαsin(β-α),∴AB=AC sin β=asinαsinβsin(β-α).5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为()A.20(√3−√2)m .√4-√2mC.√4-√3m D.10(√3+√2)m,得AO=√3h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos 60°,即400=3h2+h2-√3h2,解得h=√4-√3(m).6.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m . 在Rt △ABD 与Rt △ACD 中,tan 45°=DB AD ,tan 30°=DC AD, 则DB=30 m,DC=10√3 m .在△DBC 中,由余弦定理,得BC 2=DB 2+DC 2-2DB ·DC cos 30°,即BC 2=302+(10√3)2-2×30×10√3×√32,解得BC=10√3(m).√37.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的持续时间为小时.t 小时时,B 城市恰好处于危险区,则由余弦定理,得(20t )2+402-2×20t×40cos 45°=302,即4t 2-8√2t+7=0,∴t 1+t 2=2√2,t 1·t 2=74.故|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√(2√2)2-4×74=1.8.如图,某炮兵阵地位于地面A 处,两观察所分别位于地面C 处和D 处,已知CD=6 000 m,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B 处,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°,求炮兵阵地与目标的距离.∠ACD=45°,∠ADC=75°,得∠CAD=60°.在△ACD 中,由正弦定理,得CD=AD,则AD=√6CD.在△BCD 中,可得∠CBD=135°,由正弦定理,得BD=CDsin30°=√2CD.又∠ADB=∠ADC+∠BDC=75°+15°=90°,连接AB ,则在△ABD 中,AB=√AD 2+BD 2=√42CD=√42×6 000=1 000√42(m).故炮兵阵地与目标的距离为1 000√42 m . 9.如图,A ,B ,C ,D 都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B ,D 为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A 处测得点B 和点D 的仰角分别为75°,30°,于C 处测得点B 和点D 的仰角均为60°,AC=1 km,求点B ,D 间的距离.方法一)在△ACD 中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120°=√3.在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°, 由正弦定理,得AB=ACsin60°sin15°=3√2+√62.在△ADB 中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=√AB 2+AD 2-2AB ·ADcos75°=√(3√2+√62)2+3-2×3√2+√62×√3cos75°=3√2+√62.即点B ,D 间的距离为3√2+√62km .(方法二)如图,过点D 作DH 垂直于水平线于点H ,过点B 作BE 垂直于水平线于点E ,记AD 与BC 的交点为M.由已知,得∠CDA=∠DCH-∠DAC=60°-30°=30°,所以∠DAC=∠CDA=30°, 所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC ≌△DMC , 所以M 为AD 的中点,所以BA=BD. 又在△ABC 中,∠ABC=75°-60°=15°, 所以AB=ACsin60°=3√2+√6, 所以BD=3√2+√6. 所以点B ,D 间的距离为3√2+√6km .。

人教A版高中数学必修五青海师范大学附属第二新人教A导学案应用举例距离问题练习题

一、选择题1．海面上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 与C 之间的距离是( )A ．103海里B .1063海里C ．52海里D ．53海里2．甲、乙二人同时从A 点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B 点时，两人距离恰好为3千米，那么这时甲走的距离是( )A ．23千米B ．2千米C.3千米 D ．1千米3.如图，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( ) A ．a km B.3a kmC.2a kmD ．2a km4．已知A ，B 两地相距10 km ，B ，C 两地相距20 km ，且∠ABC ＝120°，则A ，C 两地相距( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km5.如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知 △ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km6.如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12h 到达C 点，观测灯塔 A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km二、填空题7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛与B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛与C 岛之间的距离为________n mile.8．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 到C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船的距离为3 km ，则B 到C 的距离为________km.9．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.三、解答题 (共计40分)10．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，问再过多少分钟，海盗船到达商船？11．某观测站C在A城的南偏西20°的方向，由A城出发有一条公路，公路走向是南偏东40°，在公路上测得距离C 31 km的B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时C，D之间相距21 km，问此人还要走多远才能到达A城？。

人教新课标版数学高二人教A必修5试题测量距离问题

1．2．1测量距离问题双基限时练(四)1．在△ABC 中，若sin B ：sin C ＝3：4，则边c b 等于( )A ．4：3，或16：9B ．3：4C ．16：9D ．4：3解析由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c b ＝sin C sin B ＝43. 答案 D2．在△ABC 中，已知a ＝32，b ＝162，∠A ＝2∠B ，则边长c 等于( ) A ．32 2 B ．16 2 C ．4 2D ．16解析由正弦定理，可得a b ＝sin A sin B ＝sin2B sin B ＝2cos B .∴cos B ＝22，∴B ＝45°，A ＝90°，∴c ＝b ＝16 2.答案 B3．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解析由正弦定理及题设条件，知sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C .由sin A cos A ＝sin Bcos B ，得sin(A －B )＝0.∵0<A <π，0<B <π，得－π<A －B <π，∴A －B ＝0.∴A ＝B .同理B ＝C ，∴△ ABC 是等边三角形．答案 B4．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．2 6 C ．3 6D ．4 6解析由余弦定理，得 AC 2＝BC 2＋AB 2－2·AB ·BC ·cos B ＝62＋42－2×6×4×13＝36，∴AC ＝6. 答案 A5．有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )A ．5B ．10C ．10 2D ．10 3解析如图，设将坡底加长到C 时，倾斜角为30°，在△ABC 中，AB ＝10 m ，∠C ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AB sin C .即BC＝AB sin∠BACsin C＝10×2212＝102(m)．答案 C6．在△ABC中，已知AC＝2，BC＝3，cos A＝－513，则sin B＝________.解析∵cos A＝－513，∴sin A＝1213.由正弦定理，可得3sin A＝2sin B，∴sin B＝2sin A3＝23×1213＝813.答案8137．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 3 h，该船实际航程为________．解析如图所示，设O A→表示水流方向，O B→为船航行方向．则O C→为船实际航行方向．由题意，知|A C→|＝43，|O A→|＝23，∠OAC＝60°，在△OAC中，由余弦定理，得OC2＝(43)2＋(23)2－2×43×23×12＝36.∴|OC|＝6.答案 6 km8．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为________ km.解析如图所示，由题意可知AB＝33，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×33×2×cos150°＝49，AC＝7.则A，C两地距离为7 km.答案79．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin45°sin60°＝1063(cm)．答案 1063 cm10．如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠BCD ＝75°，∠CDB ＝45°，求炮兵阵地与目标的距离．解 ∠CBD ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝180°－45°－75°＝60°，在△BCD 中，由正弦定理，得 BD ＝CD sin75°sin60°＝6＋22.在△ABD 中，∠ADB ＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos105°＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×2－64＝5＋2 3. ∴AB ＝5＋2 3.∴炮兵阵地与目标的距离为5＋23km.。

人教新课标版数学高二-数学必修5训练 空间距离问题