精选-通信原理-第12章 正交编码

ss32
(t (t
) )
: :
(0,0,1,1) (0,1,1,0)
s4 (t) : (0,1,0,1)
其反码为：
(1,1,1,1) (1,1,0,0) (1,0,0,1) (1,0,1,0)
两者的总体即构成如下双正交码： (0,0,0,0) (1,1,1,1) (0,1,1,0) (1,0,0,1)
设其初始状态(a3, a2, a1, a0) = (1, 0, 0, 0)，则在移位1次时，由a3和 a0 模2相加产生新的输入a4 = 1 0 = 1，新的状态变为(a4, a3, a2, a1) = (1, 1, 0, 0)。这样移位15次后又回到初始状态(1, 0, 0, 0)。
若初始状态为全“0”，即(0, 0, 0, 0)，则移位后得到的仍为全“0” 状态。应该避免出现全“0”状态，否则移存器的状态将不 会改变。
12.2.2 m序列
1. m序列的产生
2. m序列的性质
1）均衡性
在 m序列的一个周期中，“1”和“0”的数目基本相等。准确地说， “1”的个数比“0”的个数多一个。
2）游程分布
游程——指一个序列中取值相同的那些连在一起的元素合。 游程长度——指一个游程中元素的个数。
例 在前例中给出的 m序列可以重写如下：
度用来纠错。 ——这种编码在纠错编码理论中称为里德-缪勒(Reed-Muller)码。
12.1.3 沃尔什函数和沃尔什矩阵
沃尔什函数的定义
wal(2 j p, )
(1) j/2p wal[( j,2( 1/ 4)] (1) jp wal[ j,2( 1/ 4)]
wal(0,
)
1 0
1/ 2 1/ 2 1/ 2, 1/ 2
4级 移存器共有24 = 16种可能的状态。 除全“0”状态外，只剩15种状态可用。 这就是说，由任何4级反馈移存器产生 的序列的周期最长为15。 一般来说，一个n 级线性反馈移存器可 能产生的最长周期等于(2n - 1)。
一般的线性反馈移存器原理方框图
基本关系式 ——与产生m序列有关的三个方程
(0,0,1,1) (0,1,0,1)
(1,1,0,0) (1,0,1,0)
此码共有8种码组，码长为4，任两码组间的相关系数为0或－1。
12.1.2 阿达玛矩阵
定义
最低阶的H 矩阵是2阶的，即
1 1 H2 1 1
简写为 H 2
阶数为2的幂的高阶H 矩阵可以从下列递推关系得出
式中，N ＝ 2m； － 直积：指将矩阵HN / 2中的每一个元素用H2代替。
m ＝ 15
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
在其一个周期（m个元素）中，共有8个游程，其中长度为4的游程 有1个，即1111，长度为3的游程有1个，即000，长度为2的游程有 2个，即1 1和0 0，长度为1的游程有4个，即两个1和两个0。
一般说来，在m序列中，长度为1的游程占游程总数的1/2；长度 为2的游程占游程总数的1/4；长度为3的游程占1/8 ；. . . 。
W
沃尔什矩阵是按照每一行中 ＋1 和 -1的交变次数由少到多排列的。
沃尔什函数（矩阵）天生具有数字信号的特性，所以它们在数字 信号处理和编码理论中有广泛的应用前景。
§12.2
伪随机序列
——在数字通信技术中具有十分重要的地位。 ——在误码率测量、时延测量、扩谱通信、密码
i 1
n
an c1an1 c2an2 cn1a1 cna0 ciani （模 2）
i 1
一般说来，对于任意一个输入ak，有
n
ak ci aki i 1
--- 称为递推方程
它给出了移位输入ak 与移位前各级状态的关系。
按照递推方程计算，可以用软件产生m序列。
2）特征方程（特征多项式）
则它仅表示x0，x1和x4 的系数c0＝c1＝c4＝1，其余的ci为0，即c2 ＝c3＝0。按照这一特征方程构成的反馈移存器就是上图所示的。
3）母函数
G(x) a0 a1x a2 x 2 ak x k k 0
它表示反馈移存器的输出序列{ ak}。
几个定理 ——有关m序列和m序列产生器性质
式中，x 的下标按模n 运算，即有xn＋k xk 。
例 设 x (x1, x2 , x3 , x4 ) (1,1,1,1)，则有：
x (0)
1 4
4 i 1
xi2
1
x (1)
1 4
4 i 1
xi
xi1
1 4
( x1x2
x2 x3
x3 x4
x4 x1)
0
x (2)
1 4
4 i 1
xi
xi2
1 4
( x1x3
x2 x4
x3 x1
x4x2 )
1
x (3)
1 4
4 i 1
xi
xi3
1 4
( x1x4
x2 x1
x3 x2
x4 x3)
0
超正交码和双正交码
超正交码
的取值范围：
-1 +1
例 在上例子中，若仅取后3个码组，并且删去其第一位，构成如下
新的编码：
s1 '(t) : (0,1,1) s2 '(t) : (1,1,0) s3 '(t) : (1,0,1)
3）移位相加特性
一个m序列 Mp与其经过任意次延迟移位产生的另一个不同序列Mr 模2相加，得到的仍是 Mp 的某次延迟移位序列 Ms，即
Mp Mr = Ms
现在分析一个m = 7的 m序列 Mp作为例子。设 Mp的一个周期为 1110010，将其向右移位一次得到另一个序列 Mr 的一个相应周期 为0111001。这两个序列的模2和为
按照递推关系式可以构造出所有2k阶的H 矩阵。可以证明， 高于2阶的H 矩阵的阶数一定是4的倍数。
H 矩阵是一种正交方阵。若把其中每一行看作是一个码组，则这些 码组也是互相正交的，而整个H 矩阵就是一种长为n 的正交编码，它 包含n 个码组。因为长度为n 的编码共有2n个不同码组，若只将这n 个码组作为准用码组，其余(2n - n)个为禁用码组，则可以将其多余
式中， p = 0或1，j = 0，1，2，； 指数中的 [j / 2] 表示取 j / 2的整数部分。
沃尔什函数的性质
由沃尔什函数的波形可以验证：（见图12-2）
任意两个沃尔什函数相乘积分的
结果为0，即满足两两正交的条件。
将 8个沃尔什函数的抽样值
写成如下的沃尔什矩阵：
1）递推方程 设一个n 级移存器的初始状态为：a－1 a－2 a－n 1 次移位后: a0 a－1 a－n＋1 n 次移位后: an－1 an－2 a0
如图：
再移位1次时，移存器左端新得到的输入an ，按图中线路连接关系，
可写为:
n
an c1an1 c2an2 cn1a1 cna0 ciani （模 2）
n
f (x) c0 c1 x c2 x 2 cn x n ci xi i0
它决定了移存器的反馈连接和序列的结构。
式中， xi 仅指明其系数（1或0）代表反馈线的连接状态ci 的值， x本身的取值并无实际意义。
ci＝1 表示此线接通（参加反馈）； ci＝0 表示此线断开。
例 若特征方程为: f (x) 1 x x 4
例
H4
H2
H2
H2
H
2
H2 H
2
例
H8
H4
H2
H4
H
4
H4 -H
4
H 矩阵的性质
在H 矩阵中，交换任意两行或两列，或改变任一行或列中每个元
素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。
ss32
(t (t
) )
: :
(0,0,1,1) (0,1,1,0)
s4 (t) : (0,1,0,1)
按照
s1 (t) : (1,1,1,1)
ss32
(t ) (t )
: :
(1,1,1,1) (1,1,1,1)
s4 (t) : (1,1,1,1)
计算出的互相关系数仍为0。
自相关系数
一个长为n的码组x , 其自相关系数定义为:
及分离多径等方面都有着十分广泛的应用 。
12.2.1 基本概念
伪随机序列
又称伪随机噪声，伪随机信号，伪随机码。
什么是伪随机噪声？
如何产生伪随机噪声？
通常，由周期性数字序列经过滤波等处理后得到。 因此，将这种周期性数字序列称为伪随机序列。
12.2.2 m序列
1. m序列的产生
例 下图中示出一个4级线性反馈移存器。
T
0 s1 (tLeabharlann s2 (t)dt 0若M个周期为T 的模拟信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)构成一个 正交信号集合，则有:
T
0si (t)s j (t)dt 0
i j；i, j＝1, 2, …, M
码组间的正交性 ——可用互相关系数来描述。
①设长为 n 的编码中 码元只取值 +1和 -1，以及 x 和 y是其中两个码组：
n
h(x)
ci xi
ai x i
a x (i1) ( i 1)
a1 x 1
i 1
可见，当电路给定后，h(x)仅决定于初始状态(a-i a-1)。
本原多项式
由【定理12.4】可以简单写出一个线性反馈移存器能产生 m序列的充要条件为：
反馈移存器的 特征多项式 为本原多项式 。
例 要求用一个4级反馈移存器产生m序列，试求其特征多项式。
解
n = 4，故此移存器产生的m序列的长度 m = 2n – 1 = 15。
特征多项式 f (x) 应可整除(xm + 1) = (x15 + 1)，或者说，应该是 (x15+1) 的一个因子，而且还应该是一个4次本原多项式。
x15 1 x4 x 1 x4 x3 1 x4 x3 x2 x 1 x2 x 1 x 1
x (x1, x2 , x3 , , xn )
y ( y1, y2 , y3 , , yn )
其中 xi , yi (1,1), i 1,2, , n
1 1
例 如图所示的4个数字信号
s1(t)
可以看作是如下4个码组：
s1 (t) : (1,1,1,1)
s2(t)
ss32
(t ) (t )
: :
(1,1,1,1) (1,1,1,1)
s3(t)
s4 (t) : (1,1,1,1)
按照
s4(t)
计算得知：
①设长为 n 的编码中 码元只取值 +1和 -1，以及 x 和 y是其中两个码组：
x (x1, x2 , x3 , , xn )
y ( y1, y2 , y3 , , yn )
其中 xi , yi (1,1), i 1,2, , n
本原多项式表
由上述可见，只要找到了本原多项式，我们就能由它构成m序列 产生器。下表中列出了部分已经找到的本原多项式:
本原多项式也可用 8进制 数字表示。
例如，对于 n = 4 表中给出“23”，它表示
2
3
010
011
c5c4c3
c2c1c0
即 c0 = c1 = c4 = 1，c2 = c3 = c5 = 0
本章内容:
第12章 正交编码
正交编码的定义和用途 阿达玛矩阵和沃尔什函数 m序列的性质及其产生方法 扩展频谱通信的基本概念 伪随机序列的其他应用
§12.1
正交编码
——在数字通信技术中具有十分重要的地位 ——可用作纠错编码，实现码分多址通信等
12.1.1 正交编码的基本概念
信号间的正交性
若两个周期为T 的模拟信号s1(t) 和 s2(t) 互相正交，则有:
s1 (t) : (0,0,0,0) s2 (t) : (0,0,1,1) s3 (t) : (0,1,1,0) s4 (t) : (0,1,0,1)
则不难验证，由这3个码组所构成的编码是超正交码。
双正交编码：
由 正交编码 和 其反码 便可以构成 双正交编码。
例 在前面例子中，正交码为：
s1 (t) : (0,0,0,0)
则 x 和 y 间的互相关系数定义为
1 1
若 (x, y) = 0，则 x 和 y 正交 。 ②若用二进制数字“0和1”分别代替上述码组中的“＋1和－1”，则
A ---x 和 y中对应码元相同的个数；D ---x 和 y中对应码元不同的个数。
例 按照上式规定，上面例子:
可以改写成:
s1 (t) : (0,0,0,0)
上式表明，(x15+1)可以分解为 5个既约因子，其中3个是4次多项式。 可以证明，前2个是本原多项式，由其中任何一个都可产生 m 序列。
用(x4 + x+1)作为特征多项式构成的4级反馈移存器见上图。
第3个不是，因为 x4 x3 x2 x 1 x 1 x5 1
这就是说，它不仅可整除(x15+1)，还可整除(x5+1)，故它不是本原的。