运筹学习题答案(第二章)2

st.
x1 2 x1
2
x2 x2
3x3 x4 x3 3x4
2 3
x j 0, ( j 1, ,4)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题； (3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 解。
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第二章习题解答
min W 2 y1 3 y2
y1 2 y2 2
(1)对偶问
题： st
.32
y1 y1
y2 y2
3 5
y1
3y2
6
y1 0, y2 0
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
(4)
j1
st
n
aij x j
bi
(i m1 1, m1 2, , m)
j1
x
j
0
( j 1, , n1, n), x j无约束（j n1 1, , n）
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minW b1 y1 b2 y2 bm ym
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(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管 原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值 一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值；
答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。
(4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。 答：结论正确！
(2)
st
4 xx1175xx22
3x3 3x3
3 8
x1无约束, x2 , 0, x3 0
maxW 5 y1 3y2 8 y3
y1 y2 4 y3 5
对偶问题：
st
2 2
y1 y1
5 3
y2 y2
7 y3 3 y3
6 3
y1无约束, y2 0, y3 0
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m
aij yi
cj
( j 1,2, , n1)
对偶问题：
st
i 1 m
aij
yi
cj
( j n1 1, n1 2, , n)
i1 yi 0 (i 1, , m1)
yi无约束（j m1 1, , m）
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d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4
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2.4 给出线性规划问题
min Z 2x1 3x2 5x3 6x4
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min W 2 y1 y2 2 y3
y1 y2 y3 1
(1)对偶问题：st
y1y1
y2 y2
y3 y3
2
1
y1 0, y2无约束, y3 0
(2)y1=y3=0,y2=1 时 对 偶 问 题 的 一 个 可 行 解 ， 目 标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
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2.5 给出线性规划问题
max Z x1 2x2 x3
x1 x2 x3 2
st 2x1x1x2x2x3x31 2
.
x1 0, x2 0, x3无约束
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
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mn
min Z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
(i 1, , m)
(3) j1
st
n
xij bj
( j 1, , n)
.
i1
xij 0 (i 1, , m, j 1, , n)
m
n
maxW ai yi bj y jm
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2.2 判断下列说法是否正确，为什么?
(1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶 问题也一定存在可行解；
答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行 解。
(2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解；
答：不对！道理同上。
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2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形 法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表 所示，求表中各括弧内未知数的值。
解：
l=1, k=0 , h=-1/2, a=2,
c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2,
对偶问题：
st.
yi yi无
i 1
y jm cij 限制，i
j 1
(i 1,
1, , n
, m, m
j
1,
, n)
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m
max Z c j x j
j 1
n
aij x j bi
(i 1, , m1 m)
运筹学教程（第二版） 习题解答
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2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z 2x1 2x2 4x3
x1 3x2 4x3 2
(1)
st
2x1x1 4
x2 x2
3x3 3x3
3 5
x1, x2 , 0, x3无约束
maxW 2 y1 3y2 5 y3
y1 2 y2 y3 2
对偶问题
:
st
3 4
y1 y1
y2 4 y3 2 3y2 3y3 4
y1 0, y2 0, y3无限制
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max Z 5x1 6x2 3x3
x1 2x2 2x3 5