运筹学第二章习题答案

由于(1)和(4)是矛盾约束，故对偶问题无可行解 。所以原问题目标函数值无界。
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第二章习题解答
2.7 给出线性规划问题 minZ 2x1 4x2 x3 x4 x1 3x2 x4 8 2x x 6 1 2 st. x2 x3 x4 6 x x x 9 2 3 1 , , xj 0, ( j 1 4)
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minb 12 2 m m W 1 b y y y b m 2 n i c j 1 ) ij ay j ( , , , 1 i 1 m 对偶问题： j n 1 1, n , st ay j ( 1 n 2 , ) ij i c i 1 y 0 i 1 m ) i ( , , 1 无约束（m y j 1 ） m1 , , i
2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min 2 1 2 2 4 3 Z x x x x x x 1 3 2 4 3 2 x x 3 3 2 x () 1 1 2 3 st x x x 1 4 2 3 3 5 1, x ,0 x 无约束 x 2 , 3
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2.2 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶 问题也一定存在可行解； 答：不对！如原问题是无界解，对偶问题无可行 解。 (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 答：不对！道理同上。
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max 5 1 x x Z x 6 2 3 3 x 22 23 5 1 x x x x x () 2 1 5 2 33 3 st 41 7 2 33 8 x x x 1 x ,x , , 3 0 2 无约束 0 x
(2) 最优解是：y1=-8/5,y2=1/5,目标函数值-19/5。 (3)由于 y1=-8/5,y2=1/5都不等于零，原问题中的约 束取等号。又上面第4个约束不等号成立，故x4=0，令 x3=0就可以得到最优解： x1=8/5,x2=1/5。
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2.3 已知某求极大化线性规划问题用单纯形 法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表 所示，求表中各括弧内未知数的值。 解： l=1, k=0 , h=-1/2, a=2, c=3, b=10, e=5/4, f=-1/2, d=1/4, g=-3/4, i=-1/4, j=-1/4
(2)已知原问题最优解为X*=(2，2，4，0)，代入 原问题，第4个约束不等式成立，故y4=0。有由于 x1,x2,x3大于0，上面对偶问题前3个约束取等号，故得 到最优解： y1=4/5, y2,=3/5, y3=1, y4=0
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2.5 给出线性规划问题
max x 2x x Z 1 2 3 x 1 x x 2 2 3 x x 1 x 1 2 3 st . 21 2 3 x x x 2 1 0 x 0 x 无约束 x , 2 , 3
(1)写出其对偶问题；(2)利用对偶问题性质证明 原问题目标函数值z≤1。
max51 y y W y 32 83 y y 43 5 1 2 y y y y 6 2 对偶问题： 73 1 52 st 21 32 33 3 y y y 1 y ,y ,y 0 2 0 无约束 3
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Cj→ CB 0 0 0 ┆ 0 3 2
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3 b (b) 15 20 ┆ 5/4 X1 1 (a) 2 3
2 X2 1 1 (c) 2
2 X3 1 2 1 2 ┆ (d) (e) (f) (g)
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2.4 给出线性规划问题
min 21 x x x Z x 3 2 53 6 4 x x x 4 2 1 2 2 33 x st x 2 3 x 3 . 21 x x 34 x ,(j, , ) 0 1 4 j
0 X4 1 0 0 0 ┆
0 X5 0 1 0 0 ┆
0 X6 0 0 1 0 ┆
基 X1 X2 X3 Cj－Zj ┆ X4 X2 Cj－Zj
┆ ┆ 0 1 0 0 0 0 1 (k)
(l) -1/4 -1/4 0 0 0 3/4 (i)
X1 25/4 5/2
(h) 1/2 -5/4 of Management School (j)
(1)写出其对偶问题；(2)用图解法求解对偶问题； (3)利用(2)的结果及根据对偶问题性质写出原问题最优 解。
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min 2y 3 2 W y 1 2 y 2y 1 2 y y 2 3 2 1 () 1 对偶问题： st y y . 31 5 2 y 3 y 6 2 1 y 0 y 0 , 2 1
max 21 y y W y 32 53 y 22 y 2 1 y 3 31 y 43 2 对偶问题 2 y : y st 41 32 33 4 y y y 1 ,y ,y无限制 y 02 03
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max ib Wa i y y j jm 对偶问题： y jmc i , m1 n , j y ( 1, , ,) i ij st . y 无限制， i 1, n , m i
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i1 j1
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2.8 已知线性规划问题A和B如下：
问题A min Z c j x j
j 1 n n
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y1 a1 j x j b1 j 1 n a x b y2 2 st. 2 j j j 1 n y3 a3 j x j b3 j 1 x j 0, ( j 1,, n)
试根据对偶问题性质证明上述线性规划问题目标 函数值无界。
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解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 偶问题为：
min 2y1 y2 W ) y1 2y2 1 (1 y y 1 (2) 1 2 st. (3) y1 y2 0 y1, y2 0 (4)
(2)y1=y3=0,y2=1时对偶问题的一个可行解，目标 函数值为1，故原问题的目标函数值小于等于1。
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2.6 已知线性规划问题
max x 2 x x Z 1 x 5 3 6 4 1 2 3 x x x 2 st x 2 3 . 21 x x 1 ,(j ,) x 1 , 3 j 0
m
n
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max cx Z j j
j1 n j b i 1 1 ) ij ax i ( , ,m m j () 1 4 n st ax i ( 1 m 2 ,m , ) ij j b i m 1 1, j 1 j x 0 ( , ,n ),j无约束（n j 1 1 nx , j1 n 1 ,） , m
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min c x Z ij ij
i j 1 1 m n
n , , ) ij i (i 1m x a jn1 (3 ) st ij bj ( j 1n , , ) . x 1 i x , , , , , ) ij 0 (i 1m j 1n
试分别写出yi同y*i(i＝1，2，3)间的关系式。
要求：(1)写出其对偶问题；(2)已知原问题最优解 为X*=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶 问题的最优解。
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min 81 y y y W y 6 2 63 94 2 y y 4 1 22 y y 3 2 3 4 1 y y y 1 () 1 对偶问题： y 4 1 3 y y 3 1 1 y 1 4 y ,(j, , ) j 0
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min 21 2 y W y y 23 y y y 1 1 2 3 y 2 3 () 1 对偶问题： 2 1 y y st 1 y y 1 y 2 3 1 ,y y 无约束 ,y 3 0 02
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问题 B min j xj Z c
j 1 n
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n 51 b a j xj 5 1 jn1 1a x 1b st5 2 j j 5 2 . j1 n ( b a3j 3a j )xj b 3 1 1 3 j1 , , xj 0,( j 1 n)
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(3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管 原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值 一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； 答：不对！如果原问题是求极小，结论相反。 (4)任何线性规划问题具有惟一的对偶问题。 答：结论正确！