2011年希望杯全国数学竞赛试试题及答案

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初一 第2试

2011年4月10日 上午9：00至11：00 得分＿＿＿＿

一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1. 有理数a ，b 满足20a +11| b |=0 (b ≠0)，则2

b a 是 (A) 正数 (B) 负数 (C) 非正数 (D) 非负数 。

2. 如图1，直线MN //直线PQ ，射线OA ⊥射线OB ，∠BOQ =30︒。若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是 (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 。

3. 有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式 1|1|++a a -a a ||+||b a a b ---|1|1--b b 的值是 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 。

4. 如图3，ABCD ，AEFG ，BIHE 都是平行四边形，且E 是DC 的中点，点D 在FG 上，点C 在HI 上。△GDA ，△DFE ，△EHC ，△BCI 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，S 4，则

(A) S 1+S 2>S 3+S 4 (B) S 1+S 2

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 。

7. 甲用1000元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙，若上述股票交易中的其它费用忽略不计，则甲 (A) 盈亏平衡 (B) 盈利1元 (C) 盈利9元 (D) 亏损1.1元 。

8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的面积是 (A) 18 (B) 22.5 (C) 26.25 (D) 30 。 9. 已知| x |≤3，| y |≤1，| z |≤4且| x -2y +z |=9，则x 2y 2011z 3的值是 (A) 432 (B) 576 (C) -432 (D) -576。

10. 如图5，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP =20︒，∠ACP =50︒，则∠A +∠P =

(A) 70︒ (B) 80︒ (C) 90︒ (D) 100︒ 。

图1 N M A B P Q

图2

a b I

图3

图4

F D E

G α

H A B C β C

E 图6 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括P

20︒ 50︒

二、填空题 (每小题4分，共40分)

11. 若y 2=2x -a ，则4x 2-4ax -4xy 2+2ay 2+y 4+a 2-1= 。

12. 如图6，有两个长度相同的滑梯BC 和EF ，滑梯BC 的高度 AC 等于滑梯EF 在水平方向上的长度DF ，则∠ABC +∠DFE = 度。

13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是= 。

14. 如图7， ， ，●，❍都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3⨯3平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为S 1，S 2，S 3和S 4。则S 1，S 2，S 3和S 4中最小的与最大的和是 平方厘米。

15.

3

ax c =2

23

b c a = 。 16. 6是= 。 17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔131分钟相遇一次。现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了 分钟。

18. 如图8，长方形ABCD 的长为8，宽为5，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△DEF 的面积为16，则点D 到直线EF 的距离为 。

19. If A =n 81020112010812811810⨯⨯⨯⨯⨯ is a positive interger, then The maximum value of positive integer n is 。

20. 自然数n 的各位数字中，奇数数字的和记为S (n )，偶数数字的和记为E (n )，例如S (134)=1+3 =4，E (134)=4，则S (1)+S (2)+…+S (100)= ，E (1)+E (2)+…+E (100)= 。

三、解答题 每题都要写出推算过程。

21. (本题满分10分)

甲乙两车在A ，B 两城连续地往返行驶。甲车从A 城出发，乙车从B 城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离A 、B 两城为200千米和240千米的C 处第一次相遇。相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再C 处第二次相遇。之后如果甲车再提速5千米/时，乙车再提速50千米/时，那么两车在C 处再次相遇，求乙车出发时的速度。

22. (本题满分15分)

如图9所示，∠C =90︒，Rt △ABC 中，∠A =30︒，Rt △A ’B ’C 中，∠A ’=45︒。点A ’、B 分别在线段AC 、B ’C 上。将△A ’B ’C 绕直角顶点C 顺时针旋转一个锐角θ 时，边A ’B ’分别交AB 、AC 于P 、Q ，且△APQ 为等腰三角形。求锐角θ 的度数。 23. (本题满分15分) 的倍数。 试简答 一、选择题 图7

● ❍ B 图8 图9 B P Q A ’

45︒ A

B C B ’ 30︒ θ

图5 B

C M