高考导数题型及解题方法总结
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高考压轴题:导数题型及解题方法
一.切线问题
题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。
方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。
题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。
方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。
注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。
例已知函数f(x)=x 3
﹣3x.(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x )
(2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、
(提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--)
题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。
方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );
建立21,x x 的等式关系,12112)()(y y x f x x -='-,12212)()(y y x f x x -='-;求出21,x x ,进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点,用导数求斜率,建立等式关系。
例求曲线2
x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。(答案02=--e y x e )二.单调性问题
题型1求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有:(1)在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;(2)在求极值点的过程中,有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);(3)在求极值点的过程中,极值点的大小关系不定而引起的分类;(4)在求极值点的过程中,极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
例已知函数x a x x a x f )1(2
1ln )(2+-+=(1)求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点的大小关系分类)
(2)若[]e x ,2∈,求函数)(x f 的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类)
题型2已知函数在某区间是单调,求参数的范围问题。
方法1:研究导函数讨论。
方法2:转化为0)(0)('
'≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题,方法3:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增区间或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集。
注意:“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。
例已知函数2()ln f x x a x =++
x
2在[)+∞,1上是单调函数,求实数a 的取值范围.(答案[)+∞,0)题型3已知函数在某区间的不单调,求参数的范围问题。
方法1:正难则反,研究在某区间的不单调
方法2:研究导函数是零点问题,再检验。
方法3:直接研究不单调,分情况讨论。
例设函数1)(23+++=x ax x x f ,R a ∈在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21内不单调,求实数a 的取值范围。(答案:()
3,2--∈a ))三.极值、最值问题。
题型1求函数极值、最值。
基本思路:定义域→疑似极值点→单调区间→极值→最值。
例已知函数12
1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ,求在()2,1-∈x 的极小值。(利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类)
题型2已知函数极值,求系数值或范围。
方法:1.利用导函数零点问题转化为方程解问题,求出参数,再检验。
方法2.转化为函数单调性问题。
例函数1)1(2
1)1(3141)(234+----+=x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。(答案:1)题型3已知最值,求系数值或范围。
方法:1.直接求最值;2.转化恒成立,求出范围,再检验。
例设a ∈R ,函数233)(x ax x f -=.若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈,,,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围.(答案:⎥⎦
⎤ ⎝⎛
∞-56,)四.不等式恒成立(或存在性)问题。
一些方法
1.若函数()n m x f ,)(值域,a >)(x f 恒成立,,则n
a ≥2.对任意()()n m x n m x ,,,21∈∈,)()(21x g x f ≥恒成立。则≥min 1)(x f max 2)(x g 。
3.对()()n m x n m x ,,,21∈∃∈∃,)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f min 2)(x g 。
4.对(),,1n m x ∈,恒成立)()(11x g x f ≥。转化0)()(11≥-x g x f 恒成立
4.对()()n m x n m x ,,,21∈∃∈∀,)()(21x g x f ≥成立。则≥min 1)(x f min 2)(x g 。
5.对()()n m x n m x ,,,21∈∀∈∃,)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f max
2)(x g 6.对()()n m x n m x ,,,21∈∈,a x x x f x f ≥--2
121)()(成立。则构造函数ax x f x t -=)()(。转化证明)(x t 在()n m ,是增函数。题型1已知不等式恒成立,求系数范围。
方法:(1)分离法:求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
(2)讨论法:有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法:在求极值点的过程中,未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;有无
极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定);极值点的大小关系不定而而引起的分类;极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏。
(3)数形结合:
(4)变更主元
解题思路 1.代特值缩小范围。2.化简不等式。3.选方法(用讨论法,或构造新函数)。
方法:分离法。
求最值时,可能用罗比达法则;研究单调性时,或多次求导。
例函数a x x e x f x +-=)ln ()(2
。在[]e x ,1∈e x f ≥)(恒成立,求实数a 取值范围。(方法:分离法,多次求导答案:[)+∞,0)