2012高考福建理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类(福建卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于( )

A ．－1－i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i

2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为(

) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．下列命题中，真命题是( )

A ．x 0∈R ，0e 0x

≤ B ．x ∈R ，2x ＞x 2 C ．a ＋b ＝0的充要条件是

1a

b

=- D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件

4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 5．下列不等式一定成立的是( )

A ．lg(x 2＋

1

4)＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1

sin x

≥2(x ≠k π，k ∈Z )

C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )

D ．

21

11

x >+(x ∈R ) 6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )

A ．

14 B ．15 C ．16 D ．17

7．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，

为无理数，

则下列结论错误的是( )

A ．D (x )的值域为{0,1}

B ．D (x )是偶函数

C ．

D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数

8．已知双曲线

22

214x y b

-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )

A 5

B ．42

C ．3

D ．5

9．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪

--≤⎨⎪≥⎩

则实数m 的最大值

为( )

A ．

12 B ．1 C ．3

2

D ．2 10．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有

()()12121

(

)22

x x f f x f x +≤［＋］

，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：

①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；

②f (x 2)在［13P ；

③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341

(

)44

x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］

． 其中真命题的序号是( )

A ．①②

B ．①③

C ．②④

D ．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．

11． (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值等于________． 13．已知△ABC 2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

14．数列{a n }的通项公式π

cos

12

n n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2 012＝________． 15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.

a a

b a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，

，

设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．

三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已品牌 甲 乙 首次出现故障

时间x (年) 0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2

轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润

(万元)

1 2 3 1.8 2.9

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．

17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；

③sin 218°＋cos 2

12°－sin18°cos12°；

④sin 2(－18°)＋cos 2

48°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．

(1)求证：B 1E ⊥AD 1．

(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．

(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．

19．如图，椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12

e =．过

F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M