大一线性代数期末考试试卷+答案

线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）

1. 若02

2

1

50

1

31

=---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++0

00321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。

4．矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=3231

2221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032

=--E A A ，则=-1

A 。

二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）

1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。（ ）

2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）

3. 向量组m a a a ，，

， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ）

4. ⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=010*********

0010

A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1

-A 的特征值为λ。 ( )

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)

1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。

①n

2②1

2

-n ③1

2

+n ④4

2. n 维向量组s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。

①s ααα，，

， 21中任意两个向量都线性无关 ②s ααα，，

， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③s ααα，，

， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④s ααα，，

， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。

① 任意n 个1+n 维向量线性相关

② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关

4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。

① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆

5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（）

①解向量② 基础解系③ 通解 ④ A 的行向量

四、计算题 ( 每小题9分，共63分)

2. 设B A AB 2+=，且A ,410011103⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛= 求B 。

3. 设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=20

001200312

043

1

2C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -=求X 。 4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？123112211

,,221122a a a ααα⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=-==- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪

⎝⎭⎝⎭

。

5. λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=++-=++-=++2

23

321

321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多

解时求其通解。

6. 设.77103 ,1301 ,3192 ,01414321⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

线性代数期末考试题答案

一、填空题

1. 5

2. 1≠λ

3. n n s s ⨯⨯，

4. 相关

5. E A 3- 二、判断正误

1. ×

2. √

3. √

4. √

5. × 三、单项选择题

1. ③

2. ③

3. ③

4. ②

5. ① 四、计算题 2.

A B E A =-)2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--111122112)

2(1

E A ，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=-=-322234225)2(1A E A B

3.

()[]

()

[]

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=-⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=---12

1

0121001200011210012100120001

12

3

4

012300120001

)(1000

21003210

4321

1

'1

''B C E X B C B C B C ，，

4.

)22()12(81

2

12

121212

121

2321-+=-

---

--

=a a a

a a

a a a ，，当21-=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相

关。 5.

① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解； ②当2-=λ时方程组无解

③当1=λ时，有无穷多组解，通解为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=X 10101100221c c 6.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡-=⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------=0000110020102001131300

161600241031

21713010430241031217130731110094312

1)(4321a a a a ，，，

则 ()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组，321422a a a a ++-=