【2020年数学高考】2020届高三第三次模拟考试文科数学.doc
2020年高三第三次模拟考试卷文科数学(三)(含答案)
c 2 ，则角 C （ ）
A． 5π 6
B． π 6
C． π 4
D． π 3
uur uuur 10 ． 在 △ ABC 中 ， A, B 分 别 是 双 曲 线 E 的 左 、 右 焦 点 ， 点 C 在 E 上 ． 若 BA BC 0 ，
uur uuur uuur
( BA BC) AC 0 ，则双曲线 E 的离心率为（
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
）
A． 36
B． 18
C． 6 2
D． 5 2
8．如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知
甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（
）
2
A．
9
1
B．
5
3
C．
10
1
D．
3
9． △ ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知 sin B sin A(sin C cosC) 0 ， a 2 ，
增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间
x 与乘客等候人数 y 之间的关系，经过调查得到如下
数据：
间隔时间 x （分钟）
10
11
12
13
14
15
等候人数 y （人）
23
2020高考数学(文科)全国三卷高考模拟试卷(1)
）
A ．5
B ．10
C．﹣ 5
【解答】 解：根据题意，等差数列 { an} 中，有 a4+a8＝ 2a6，
若 a4+a8＝ 10，
则 a6＝ 5； 故选： A．
D． √10
10．（ 5 分）甲、乙两位同学将高三 6 次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成
绩均为整数满分 100 分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于
5
C． 4
16 D．
5
4．（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表
面积为（
）
A ．23π
23?? B．
4
C． 64π
5．（ 5 分）若 α为第二象限角，下列结论错误的是（
）
A ．sinα＞cosα
B． sinα＞ tanα
C． cosα+tanα＜0
D． sinα+cosα＞ 0
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）△ ABC 中， AC＝ 3，三个内角 A， B，C 成等差数列．
（ 1）若 ?????=??√?6，求 AB； 3
→→
（ 2）求 ???????的? 最大值．
18．（ 12 分）如图： AB⊥面 BCD， BC＝ CD，∠ BCD ＝ 90°．∠ ADB＝ 30°， E， F 分别是 AC， AD 的中点． （ 1）求证：平面 BEF ⊥平面 ABC
D． sinα+cosα＞ 0
所以 sinα＞ 0，cosα＜ 0， tanα＜ 0，A， B，C 都对， D 错误．
故选： D ．
2020年高考文科数学模拟试卷(三)Word版含答案及解析
2020年高考文科数学模拟试卷（三）时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.设命题，则为（）A.B.C.D.3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B.C. D.4.椭圆C：的右焦点为F，过F作轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为（）A. B.C. D.5.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，1)内是增函数的是（）A. B.C. D.6.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q—BMN的正视图如图2所示时，此三棱锥俯视图的面积为（）A. 1B. 2C.D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. －2B.C. 3D.8.以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P，则P落在该几何体内的概率为（）A. B.C. D.9.函数在上的值域为（）A. B.C. D.10.双曲线左、右焦点为F1，F2，直线与C的右支相交于P，若，则双曲线C渐近线方程为（）A. B. C.D.11.电子计算机诞生于20世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一．计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位(bit)”，1位只能存放2种不同的信息：0或l ，分别通过电路的断或通实现．“字节(Byte)”是更大的存储单位，1Byte=8bit ，因此1字节可存放从00000000(2)至11111111(2)共256种不同的信息．将这256个二进制数中，所有恰有相邻两位数是1其余各位数均是0的所有数相加，则计算结果用十进制表示为 （ ） A. 254 B. 381C. 510D. 76512.函数的零点个数是 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 与a 有关 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若,x y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =+的最大值为__________．14.平均数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__________． 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．16.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体，则该八面体的外接球与内切球体积之比为______．三、解答题：共70分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题III卷(6页)
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题III 卷文科数学试题III 卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}{|326}A x x B x x ，=-<=-<<，则A B =I （ ）A. 3(,2)2-B. (2,2)-C. 3(,3)2-D. (2,3)-2.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5-B. 5C. 34i -+D. 34i -3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是 （ ） A. 2()f x x =B. ||()2x f x =C. 21()log ||f x x = D. ()sin f x x =4.若a =r 2b =r ，且()-⊥r r r a b a ，则a r 与b r的夹角是（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 5.为了坚决打赢新冠状病毒的攻坚战，阻击战，某小区对小区内的2000名居民进行模排，各年龄段男、女生人数如下表.已知在小区的居民中随机抽取1名，抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全小区抽取64名居民，则应在50岁以上抽取的女居民人数为（ ）A. 24B. 16C. 8D. 126.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A.1003B.1043C. 27D. 187.已知2sin()4πα+=，则sin 2α=（ ）A.12C. 12-D. 8.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A. 25B. 90C. 50D. 459.函数f （x ）=3344xx -的大数图象为（ ） A. B.C. D.10.在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1b =，c =23C π=则ABC S ∆=（ ）A.B.4C.2D.3411.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，若212PF F F =且1123PF QF =，则椭圆的离心率为（ ）A.34B.45C.35D.512.已知定义在R 上的函数满足(2)()f x f x +=-，2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（ ）A. 6B. 4C. 2D. 0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设x ，y 满足约束条件2102702350x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则23z x y =-的最小值为__________.14.如图，y=f （x ）是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y= f （x ）在x=3处的切线，令g （x ）=xf （x ），其中是g （x ）的导函数，则'(3)g＝．15.已知双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3（c 为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率e 为__________.16.如图所示，某住宅小区内有一个正方形草地ABCD ，现欲在其中修建一个正方形花坛EFGH ，若已知花坛面积为正方形草地面积的23，则θ=________三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分)17.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，18a =，322(3)S a =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）已知12n n T a a a =L ，且n T 的最大值.18.在直三棱柱111ABC A B C -中，13,2,AB AC AA BC D ====是BC中点，F 是1CC 上一点.（1）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF-体积.19.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制的剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以22⨯下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）若在该样本“制剂吸收不足量”的植株中随机抽取3株，求这3株中恰有1株“植株存活”的概率. 参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++20.已知动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1. （1）求点M轨迹C 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线1l ，2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和M ，N .设线段AB ，MN 的中点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点； （3）在（2）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值.21.已知函数()ln xf x ax x=-. （1）若函数()f x 在()1,+∞上是减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在1x ，22,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，曲线222:12xC y +=.（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若射线((0)6πθρ=≥与1C 异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求AB .23.已知关于x 的不等式231x x m --+≥+有解，记实数m 的最大值为M . （1）求M 的值；（2）正数 a b c ，，满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++.的。
2020届高三第三次模拟考试数学文试题含答案
2020届第三次模拟考试文科数学试题参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-==--∑∑ 一、选择题（10小题，每小题5分，共50分） 1、设U R =，若集合{}|12M x x =-<≤，则U C M =A. (],1-∞-B. ()2,+∞C. ()[),12,-∞-⋃+∞D. (](),12,-∞-⋃+∞ 2、设i 为虚数单位，则复数343i i +为A.43i --B.43i -+C.i 4+3D.i 4-33．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 4、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上存在零点的是 A 、1y x=B 、lg ||y x =C 、x y e -=D 、21y x =-- 5．总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为A ．08B ．07C ．02D ．01 6．若如图所示的程序框图输出的S 是62，则在判断框 中M 表示的“条件”应该是A . 3n ≥B . 4n ≥C . 5n ≥D . 6n ≥7、在平面直角坐标系中，O （0,0），P （6,8），将向量OP uuu r按逆时针旋转2π后，得向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是A 、（－8，6）B 、（－6,8）C 、（6,－8）D 、（8，－6）8、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为第6题图A ．3y x =± B ． 32y x =±C ．33y x =±D ． 32y x =± 9、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3+∞，B. []83-，C. (],9-∞D. []89-，10、设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”。
2020届高三第三次模拟考试卷 文科数学(一) 解析版
2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设3i1iz +=-，则||z =（ ）A ．3B ．5C ．3D ．2答案：B 解：|3i |10||5|1i |2z +===-． 2．设集合{1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =≤，则()A B =R I ð（ ） A ．{4,5} B ．{3,4,5} C ．{1,2} D ．{1,2,3}答案：A解：{|3}B x x =>R ð，(){4,5}A B =R I ð．3．已知22log 5log 5x =-，5log 3y =，125z -=，则下列关系正确的是（ ） A ．z y x << B ．z x y << C ．x y z << D ．y z x <<答案：A解：∵222log 5log 5log 51x =-=>，5log 31y =<，1211525z -==<， 因为551log 3log 52>=，即y z >，∴z y x <<．4．定义：10000100010010abcde a b c d e =++++，当五位数abcde 满足a b c <<，且c d e >>时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为（ ） A ．16B ．110C ．112D ．120答案：D解：由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为6112020P ==． 5．函数||2()2x f x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D解：由||2()2x f x x =-为偶函数可排除A ，C ；当01x <<时，2xy =图象高于2y x =图象，即||220x x ->，排除B ，故选D ．6．将参加体检的36名学生，编号为1，2，3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为9的样本，已知样本中含有编号为33的学生，则下面十名学生编号中被抽到的是（ ） A ．13 B ．14 C ．23 D ．24答案：A解：从36名学生中抽取9名，抽样间隔为4，所以9名学生的编号分别为33，29，25，21，17，13，9，5，1． 7．若cos57m ︒=，则cos213︒=（ ）A ．21m--B ．2211m m--+ C ．21m --D ．m -答案：C解：2cos213cos(18033)cos33sin571m ︒=︒+︒=-︒=-︒=--．8．若向量(2,3)=m ，(1,)λ=-n ，且(23)⊥-m m n ，则实数λ的值为（ ） A ．329-B ．329C ．32D ．32-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号答案：B解：由题意得，23(7,63)λ-=-m n ，∵(23)⊥-m m n ，∴(23)0⋅-=m m n ，即141890λ+-=，解得329λ=． 9．执行下面的程序框图，如果输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）A ．5n <B ．5n ≤C ．6n <D ．6n ≤答案：D解：运行程序，0,2S n ==，判断是，1,42S n ==，判断是，11,624S n =+=，判断是，11111,824612S n =++==，判断否，输出1112S =，故答案为D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的焦点(2,0)F 3，则该双曲线的离心率为（ ） A ．1 B 3 C ．2 D ．23答案：C解：由题意知双曲线的焦点(2,0)到渐近线的距离为3b =2224c a b =+=，所以1a =，该双曲线的离心率为2ca=．11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos a B b A c C +=，sin sin sin 0a A c C b A -+=，则ba=（ ） A ．53B ．73 C ．72D ．52答案：A解：在ABC △中，由正弦定理及cos cos 3cos a B b A c C +=，得sin cos cos sin 3sin cos A B A B C C +=，∴sin()sin 3sin cos A B C C C +==， 又sin 0C ≠，∴1cos 3C =， 由正弦定理及sin sin sin 0a A c C b A -+=，得22a c ab -=-，∴由余弦定理得22221cos 223a b c b ab C ab ab +--===，即213b a -=，∴53b a =． 12．抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线22221y x -=的一个焦点，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A 、B ，则||AB =（ ）A 432 B ．432C ．163D ．16答案：D解：双曲线2211122y x -=，∴焦点(0,1)±，∴(0,1)F ，114a =，∴14a =，直线:31l y x =+，由2431x y y x ìï=ïíï=+ïî，得21410y y -+=，1214y y +=，1212||||||(1)(1)216AB AF BF y y y y =+=+++=++=．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．答案：2解：1()ln +ax f x a x x-'=，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，410S =，则5a = ． 答案：323解：因为410S =，22S =，所以414(1)101a q S q -==-，212(1)2(1)1a q S q q-==≠-，， 两式相除可得215q +=，24q =，2q =±，由题设知2q =-舍，故123a =，1212233n n n a -=⋅=⋅，5323a =． 15．函数2()cos sin f x x x =-的最大值为 ．答案：5 4解：221()1sin sin5(sin)24f x x x x=-+-+=-，∵sin[1,1]x∈-，∴()f x的最大值为54．16．已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为4，E为棱1CC的中点，点M在正方形11BCC B内运动，且直线AM∥平面1A DE，则动点M的轨迹长度为．答案：22解：设平面1DA E与直线11B C交于点F，连接EF，则F为11B C的中点．分别取1B B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，则∵1A F AO∥，AN DE∥，1A F，DE⊂平面1A DE，AO，AN⊂平面ANO，∴1A F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，∵1A F、DE是平面1A DE内相交直线，∴平面1A DE∥平面ANO，所以NO∥平面1A DE，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段是线段NO，∴M的轨迹被正方形11BCC B截得的线段长22NO=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名．下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A类学生，已知体育健康A类学生中有10名女生．（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否有%95的把握认为达到体育健康A类学生与性别有关？非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生女生合计（2）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A+类学生，已知体育健康A+类学生中有2名女生，若从体育健康A+类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率．附：22()()()()()n ad bcKa cb dcd a b-=++++答案：（1）列联表见解析，没有95%的把握认为；（2）710．解：（1）右频率分布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A类学生有25人，从而22⨯列联表如下：非体育健康A类学生体育健康A类学生合计男生301545女生451055合计7525100由22⨯列联表中数据代入公式计算，得：时间/mint222()100(30104515)1003.030 3.841()()()()7525455533n ad bc K a c b d c d a b -⨯⨯-⨯====<++++⨯⨯⨯，所以没有%95的把握认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（2）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记123,,a a a 表示男生，12,b b 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b 3212(,),(,)}a b b b ．Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用B 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}B a b a b a b a b a b a b b b =共计7种，∴7()10P B =．18．（12分）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为()1,d a d ∈∈Z Z ，前n 项的和为n S ，且749S =，524S 26<<．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求n T ． 答案：（1）21n a n =-；（2）11(1)221n T n =-+． 解：（1）由题意可得11176749254245262,a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⨯⎪<+<⎨⎪∈∈⎪⎪⎩Z Z ，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)21n a a n d n =+-=-．（2）∴111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==-⋅-+-+，∴11111111[(1)()()](1)23352121221n T n n n =-+-++-=--++L ． 19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，如图2．（1）求证：BC ⊥平面DBE ； （2）求点D 到平面BEC 的距离． 答案：（1）证明见解析；（2）63． 解：（1）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥， 又因为平面ADEF⊥平面ABCD ，且平面ADEF I平面ABCD AD =，所以ED ⊥平面ABCD ，可得ED BC ⊥，在直角梯形ABCD 中，1AB AD ==，2CD =，可得2BC =在BCD △中，2BD BC ==2CD =，所以222BD BC CD +=，所以BC BD ⊥，ED BD D =I ，所以BC ⊥平面DBE ． （2）因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ， 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则DG ⊥平面BEC ， 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度． 在直角三角形BDE 中，1122BDE S BD DE BE DG =⋅=⋅△， 所以263BD DE DG BE ⋅===，所以点D 到平面BEC 的距离等于63． 20．（12分）已知函数()1xf x ae x =-+．（1）若()f x 在(0,3)上只有一个零点，求a 的取值范围； （2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：02123()4f x a a >-++． 答案：（1）3221(1,]{}e e -U ；（2）证明见解析． 解：（1）因为()f x 在(0,3)上只有一个零点，所以方程1x x a e-=在(0,3)上只有一个解， 设函数1()x x h x e -=，则2()xxh x e-'=， 当02x <<时，()0h x '>；当23x <<时，()0h x '<，所以max 21()(2)h x h e ==， 又(0)1h =-，32(3)h e =，故a 的取值范围为3221(1,]{}e e-U ．（2）证明：()1xf x ae '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，()f x 无极值，故0a >， 令()10xf x ae '=-=，得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<；当ln x a >-时，()0f x '>， 故()f x 的极小值为(ln )2ln f a a -=+，故要证02123()4f x a a >-++，只需证：2125ln 04a a a +-+>， 设函数1()ln 1g x x x =+-，21()(0)x g x x x-'=>，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，故min ()(1)0g x g ==，而2213913()042a a a -+=-≥， 于是221251139ln ln 1044a a a a a a a +-+=+-+-+>，从而02123()4f x a a >-++．21．（12分）已知动点P 到点1(,0)2的距离比到直线1x =-的距离小12，设点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过曲线C 上一点00(2,)(0)M y y >作两条直线1l ，2l 与曲线C 分别交于不同的两点A ，B ，若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且121k k =，证明：直线AB 过定点．答案：（1）22y x =；（2）证明见解析．解：（1）由题意可知，动点P 到点1(,0)2的距离与到直线12x =-的距离相等， 所以点F 的轨迹是以1(,0)2为焦点，直线12x =-为准线的抛物线， 所以曲线C 的方程为22y x =．（2）易知(2,2)M ，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为x my b =+，联立22x my b y x =+⎧⎨=⎩，得2220y my b --=，所以121222y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，所以21221222x x m b x x b⎧+=+⎪⎨=⎪⎩， 因为12121222122y y k k x x --=⋅=--，即121212122()2()y y y y x x x x -+=-+， 所以222440b b m m --+=，所以22(1)(21)b m -=-，所以2b m =或22b m =-+，当22b m =-+时，直线AB 的方程为22x my m =-+过定点(2,2)与M 重合，舍去； 当2b m =时，直线AB 的方程为2x my m =+过定点(0,2)-， 所以直线AB 过定点(0,2)-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 已知斜率为1的直线l 经过点(1,1)P ． （1）写出直线l 的参数方程；（2）设直线l 与圆224x y +=相交于A ，B 两点，求22PA PB-的值．答案：（1）1:12x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数；（2） 解：（1）直线l 的参数方程为π1cos 4π1sin4x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数，即112x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()t 为参数． （2）将112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入224x y +=，化简整理得220t +-=， 因为||||||4PA PB AB +==，12||||||||PA PB t t -=+=所以22||||||PA PB -= 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()2121f x x x =++-．（1）解不等式()(1)f x f >；（2）若不等式11()f x m n ≥+（0m >，0n >）对任意的x ∈R 都成立，证明：43m n +≥． 答案：（1）3(,)(1,)2-∞-+∞U ；（2）证明见解析． 解：（1）()(1)f x f >，即21215x x ++->． ①当12x >时，2(1)(21)5x x ++->，得1x >； ②当112x -≤≤时，2(1)(21)5x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <-时，2(1)(21)5x x -+-->，得32x <-， 综上，所求的x 的取值范围是3(,)(1,)2-∞-+∞U ．（2）因为21212221(22)(21)3x x x x x x ++-=++-≥+--=，所以113m n+≤． 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥，所以43m n +≥≥，当且仅当32==n m 时等号成立．。
2020届高三高中毕业班三诊模拟考试数学(文科)试题 Word版含解析
成都七中2020届高中毕业班三诊模拟数 学（文科）第Ⅰ卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,0,1,2,3,4A =-，{}2|,B y y x x A ==∈，则AB =（ ）A. {}0,1,2B. {}0,1,4C.1,0,1,2D. {}1,0,1,4-【★答案★】B 【解析】 【分析】根据集合A 求得集合B ，由此求得AB .【详解】由于{}1,0,1,2,3,4A =-，所以对于集合B ，y 的可能取值为()222222111,00,24,39,416-======，即{}0,1,4,9,16B =. 所以{}0,1,4A B =.故选：B【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2. 已知复数11iz =+，则z =（ ） A.22B. 1C. 2D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】首先利用复数除法运算化简z ，再求得z 的模.【详解】依题意()()()11111122i z i i i ⋅-==-+⋅-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 3. 设函数()f x 为奇函数，当0x >时，22f xx ，则()()1f f =（ ）A. -1B. -2C. 1D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质以及函数()f x 的解析式，依次求得()1f ，()()1f f 的值.【详解】函数()f x 为奇函数，()21121f =-=-，()()()()()11111ff f f =-=-=--=.故选：C【点睛】本小题主要考查奇函数的性质，属于基础题. 4. 已知单位向量1e ，2e 的夹角为23π，则122e e -=（ ） A. 3B. 7C. 3D. 7【★答案★】D 【解析】 【分析】利用平方再开方的方法，结合已知条件以及向量运算，求得122e e -. 【详解】依题意，()222121211212244e e e e e e e e -=-=-⋅+214cos473π=-⨯+=. 故★答案★为：D【点睛】本小题主要考查平面向量模和数量积的运算，属于基础题.5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为3y x =±，则双曲线的离心率是（ ）A. 10B.103C. 10D.109【★答案★】A 【解析】 【分析】由渐近线求得b a ，由双曲线的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭求得★答案★. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>∴其焦点在x 轴上根据焦点在x 轴上的渐近线为：b y x a=± 又该双曲线的渐近线方程为3y x =±， ∴3ba=， ∴双曲线的离心率2211310c b e a a ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，考查了分析能力和计算能力，属于基础题..6. 已知等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】结合等比数列通项公式可求得q 的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由14a a <得：311a a q <，又10a >，31q ∴>，解得：1q >，243115a a q a q a ∴=<=，充分性成立；由35a a <得：2411a q a q <，又10a >，42q q ∴>，解得：1q >或1q <-， 当1q <-时，3410a a q =<，41a a ∴<，必要性不成立.∴“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件.故选：A .【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题. 7. 如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A. 3?i ≤B. 4?i ≤C. 5?i ≤D. 6?i ≤【★答案★】C 【解析】 【分析】根据程序框图的运行，循环算出当31S =时，结束运行，总结分析即可得出★答案★. 【详解】由题可知，程序框图的运行结果为31， 当1S =时，9i =； 当1910S =+=时，8i =； 当19818S =++=时，7i =； 当198725S =+++=时，6i =； 当1987631S =++++=时，5i =. 此时输出31S =. 故选：C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.8. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A. ②③B. ②③④C. ①④D. ①②③【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得，若//αβ，//αγ，则//βγ，故①正确； 若//a α，//a β，平面,αβ可能相交，故②错误；若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.9. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A. 99 B. 131C. 139D. 141【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，寻找数列的一般规律，即可求得该数列的第8项； 【详解】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x = 故选：D ．【点睛】本题主要考查了数列的新定义，解题关键是理解题意和掌握等差数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．10. 已知2log πa e =，ln ,πb e =2ln e c π=，则( )A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【★答案★】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、作差法即可得出． 【详解】解：e eπ<，12b ∴<， 又1b c +=．c b ∴>．22πe 2log e ln (2)2220π2a c ln ln ln ln ππππ-=-=--=+->-=．a c ∴>．b c a ∴<<．故选：B ．【点睛】本题考查了对数函数的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11. 已知一个四面体的每一个面都是以3，3，2为边长的锐角三角形，则这个四面体的外接球的表面积为( ) A.11π4B.112πC. 11πD. 22π【★答案★】C 【解析】 【分析】考虑一个长方体1111ABCD A B C D -，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 恰好就是每个三角形边长为3,3,2，则四面体的外接球即为长方体的外接球，进而计算出其外接球的直径，即可得外接球的表面积.【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的长宽高分别是,,a b c ，其四个顶点就构成一个四面体11AB CD 满足每个面的边长为3,3,2，如图：则四面体的外接球即为长方体的外接球，因为229a b +=，229b c +=，224c a +=，所以22211a b c ++=， 所以，长方体的外接球直径211R =， 故外接球的表面积2411S R ππ==. 故选：C.【点睛】本题考查求一个几何体的外接球表面积，关键是求出外接球的半径，将几何体补成一个长方体是解题的关键，考查数形结合思想，属于基础题．12. 已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos ,PA PB 的最大值是（ ） A.624- B.1717C.1776- D.1414【★答案★】A 【解析】 【分析】记,PA PB θ=，考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时tan 4ABAPθ==，当直线AP 、BP 斜率都存在时由tan 1AP BPAP BPk k k k θ-=+⋅求出tan θ关于y 的表达式，利用换元法和基本不等式即可求得tan θ的范围，再由21cos 1tan θθ=+转化为cos θ的范围即可求得最大值.【详解】记,PA PB θ=，若θ90>，则cos 0θ<；若90θ=，则cos =0θ；考虑θ90<，当直线AP 、BP 之中有一条直线的斜率不存在时，不妨设P 点位于左顶点， 此时直线AP 斜率不存在，tan 4ABAPθ==； 当直线AP 、BP 斜率都存在时，设(,)P x y ，有2214x y +=，22114(1)22tan 1114(1)122AP BP AP BPy y k k y x x y y k k x y x x θ-----+-===--+⋅-+-+⋅+-2224(1)4(1)444(1)321y y y y y y --==--+---+，(11)y -≤≤令1[0,2]t y =-∈，则24tan 384tt t θ=-+-，当0t =时，tan 0θ=(此时1,,cos 1y θπθ===-)，当(0,2]t ∈，444tan 234448433883t t t t θ==≥=+<⎛⎫---+-+ ⎪⎝⎭，当且仅当43t t =即233t =时取等号， 则()()222111cos 1tan 12366242θθ=≤==++-++. 综上所述，cos ,PA PB 的最大值是624-. 故选：A【点睛】本题考查椭圆中的最值问题、椭圆的几何性质、直线的斜率，涉及换元法求函数的最值、基本不等式、同角三角函数的关系，属于较难题.第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡上.13. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()112n n a S n -=+≥，则4a =______. 【★答案★】8 【解析】 【分析】根据()112n n a S n -=+≥可得11n n a S +=+，两式相减可得12n n a a +=(2)n ≥，利用递推关系即可求解. 【详解】()112n n a S n -=+≥①，11n n a S +∴=+②，②-①得，12n n a a +=(2)n ≥， 当2n =时，211112a S a =+=+=，3224a a ∴==， 4328a a ∴==，故★答案★为：8【点睛】本题主要考查了数列的项n a 与前n 项和n S 的关系，考查了利用递推关系求数列的项，属于中档题.14. 已知实数x ，y 满足线性约束条件117x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是______.【★答案★】15 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线2y x z =-+在y 轴上截距的几何意义求最大值即可. 【详解】作出可行域如图，由2z x y =+可得2y x z =-+， 平移直线2y x =-，当直线过点A 时，2z x y =+在y 轴上截距最大，由17y x y =-⎧⎨+=⎩解得8,1x y ==-，即(8,1)A -,此时z 的最大值为28115z =⨯-=， 故★答案★为：15【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，数形结合，属于中档题. 15. 如图是一种圆内接六边形ABCDEF ，其中BC CD DE EF FA ====且AB BC ⊥.则在圆内随机取一点，则此点取自六边形ABCDEF 内的概率是______.【★答案★】322π【解析】 【分析】半径为1，利用三角形面积公式得出六边形ABCDEF ，最后由几何概型概率公式计算即可. 【详解】连接AC ，显然，AC 中点O 为ABC ∆的外接圆圆心，设半径为1 连接,,,FO EO DO BO由于BC CD DE EF FA ====，AC 为直径，则180454BOC ︒∠==︒，135AOB ∠=︒ 该六边形的面积为A F EFO EDO DCO BCO AO O B S S S S S S ∆∆∆∆∆∆=+++++12132551112212222BCO AOB S S ∆∆=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=则此点取自六边形ABCDEF 内的概率为23232212P ππ==⋅故★答案★为：322π【点睛】本题主要考查了几何概型的概率计算，涉及了三角形面积公式的应用，属于中档题.16. 若指数函数xy a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围是_________. 【★答案★】1(1,)e e 【解析】 【分析】根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】由题意，当0x ≤时，函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交点，设当0x >时，指数函数(0xy a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则1a >，设(0xy aa =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1e a e =.即(0xy a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.故★答案★为：11,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2tan sin a bA B=. （1）求角A 的大小； （2）若7a =，2b =，求ABC 的面积.【★答案★】（1）3A π=（2）332【解析】 【分析】（1）根据正弦定理sin sin a b A B=和2tan sin a b A B =，得到2sin tan a aA A =，然后利用同角三角函数基本关系式化简求解.（2）根据7a =，2b =，3A π=，利用余弦定理求得c ，再代入1sin 2ABCSbc A =求解. 【详解】（1）由正弦定理知sin sin a b A B=，又2tan sin a bA B =， 所以2sin tan a aA A=. 所以1cos 2A =，因为0A π<<， 所以3A π=.（2）因为7a =，2b =，3A π=，由余弦定理得2227222cos 3c c π=+-⨯⨯，即2230c c --=. 又0c >，所以3c =. 故ABC 的面积为1133sin 23sin 2232ABCSbc A π==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18. 成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校40个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查（满分100分，最低分20分）.根据检查结果：得分在[80,100]评定为“优”，奖励3面小红旗；得分在[60,80)评定为“良”，奖励2面小红旗；得分在[40,60)评定为“中”，奖励1面小红旗；得分在[20,40)评定为“差”，不奖励小红旗.已知统计结果的部分频率分布直方图如图：（1）依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；（2）学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取6个班级，再从这6个班级中随机抽取2个班级进行抽样复核，求所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率.【★答案★】（1）70分；（2）1415. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图，能求出班级卫生量化打分检查得分的中位数．（2）“良”、“中”的频率分别为0.4，0.2．又班级总数为40．从而“良”、“中”的班级个数分别为16，8．分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4，2．由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率．【详解】（1）得分[20,40)的频率为0.005200.1⨯=；得分[40,60)的频率为0.010200.2⨯=； 得分[80,100]的频率为0.015200.3⨯=；所以得分[60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4-++= 设班级得分的中位数为x 分，于是600.10.20.40.520x -++⨯=，解得70x = 所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.（2）由（1）知题意 “良”、“中”的频率分别为0.4,0.2又班级总数为40 于是“良”、“中”的班级个数分别为16,8.分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为4,2因为评定为“良”，奖励2面小红旗，评定为“中”，奖励1面小红旗.所以抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级.记这个事件为A 则A 为两个评定为“中”的班级.把4个评定为“良”的班级标记为1,2,3,4. 2个评定为“中”的班级标记为5,6从这6个班级中随机抽取2个班级用点(,)i j 表示，其中16i j ≤<≤.这些点恰好为66⨯方格格点上半部分（不含i j =对角线上的点），于是有366152-=种. 事件A 仅有(5,6)一个基本事件. 所以114()1()11515P A P A =-=-= 所抽取的2个班级获得的奖励小红旗面数和不少于3的概率为1415.【点睛】本题考查中位数、概率的求法，考查分层抽样、频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19. 如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB =，23MD =.（1）证明：AB ⊥平面ADM ； （2）若//CD AB 且23CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求三棱锥A CEM -的体积.【★答案★】（1）证明见解析；（2）239. 【解析】 【分析】（1）推导出AB AM ⊥，AB AD ⊥，由此能证明AB ⊥平面ADM ．（2）推导出13C AEM C ABM V V --=，111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====，由此能求出三棱锥A CEM -的体积．【详解】（1）因为2AB AM ==，22MB =， 所以222AM AB MB +=，于是AB AM ⊥又AB AD ⊥且,AM AD A AM ⋂=⊂平面ABD ，AD ⊂平面ADM ， 所以AB ⊥平面ADM（2）因为2,23AM AD MD ===，所以3ADM S =△ 因为2BE EM =，所以13C AEM C ABM V V --= 又,CD//AB AB ⊥平面ADM所以111333A CEM C AEM C ABM D ABMB ADM V V V V V -----====1111232333339ADM S AB =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=所以三棱锥A CEM -的体积为239. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 已知函数22(),(,)ln x x e f x x e x x++=∈+∞.（1）证明：当(e,)x ∈+∞时，3ln x ex x e->+； （2）证明：()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.（其中e 2.71828=是自然对数的底数）.【★答案★】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）构造函数3()ln x eg x x x e-=-+，利用导数研究函数单调性及最值即可证明不等式；（2）求出函数()f x 的导数，利用（1）中所证不等式判断()f x 的导数中分母的符号即可确定导数的符号，从而确定()f x 的单调性.【详解】（1）令3()ln ,(,)x eg x x x e x e-=-∈+∞+，则22214()()0()()e x e g x x x e x x e -'=-=>++ 于是()g x 在(,)e +∞单调递增，所以()()0g x g e >=即3ln ,(,)x ex x e x e->∈+∞+ （2）22222222(21)ln ()(ln 1)()ln ()()(ln )(ln )x x x x x e x x e x x x e f x x x x x +-+++--++'==令2222()()ln (),(,)h x x e x x x e x e =--++∈+∞ 当(,)x e ∈+∞时，由（1）知3ln x ex x e->+ 则2222231()()()2(41)2[(2)]2x e h x x e x x e x e x x x e x e ->--++=-+=-++ 当1[2,)2x e ∈++∞时，()0h x >，从而()0f x '> 故()f x 在1[2,)2e ++∞单调递增.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、证明不等式，属于中档题. 21. 已知点P 是抛物线C ：212y x =上的一点，其焦点为点F ，且抛物线C 在点P 处的切线l 交圆O ：221x y +=于不同的两点A ，B . （1）若点()2,2P ，求AB 的值；（2）设点M 为弦AB 的中点，焦点F 关于圆心O 的对称点为'F ，求'F M 的取值范围.【★答案★】（1）255AB =（2）233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）利用导数求出过点()2,2P 的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；（2）设点()00,P x y ，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点M 的坐标，由两点间距离公式表示出420020'1121x x F M x -+=+，令201t x =+换元，利用函数的单调性即可求出取值范围.【详解】设点()00,P x y ，其中20012y x =. 因为'y x =，所以切线l 的斜率为0x ，于是切线l ：20012y x x x =-. （1）因为()2,2P ，于是切线l ：22y x =-. 故圆心O 到切线l 的距离为25d =. 于是22225212155d AB ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）联立22200112x y y x x x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()223400011104x x x x x +-+-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(),M x y .则3012201x x x x +=+，()()2324000141104x x x ⎛⎫∆=--+-> ⎪⎝⎭.解得20222222x -<<+又200x ≥，于是200222x ≤<+.于是()301220221x x x x x +==+，()22000201221x y x x x x =-=-+. 又C焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是'10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故()()223200220'0122121F x x x x M ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()642000222001112141x x x x x +-+==++. 令21t x =+，则1322t ≤<+.于是2'13313322F t t t t tM -+==+-.因为3t t +在)1,3⎡⎣单调递减，在()3,322+单调递增.又当1t =时，'12F M =；当3t =时，'2332F M =-； 当322t =+时，'221122F M -=>. 所以'F M 的取值范围为233221,22⎡⎫--⎪⎢⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑. 选修44-：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0απ≤≤）.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线l 的极坐标方程是6πθ=.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求OA OB ⋅的值. 【★答案★】（1）24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤ ⎪⎝⎭；（2）1 【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数方程通过消去参数α得出其普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）设1,6A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立射线l 与曲线C 的极坐标方程，得出121ρρ=，根据极坐标的定义即可求解OA OB ⋅的值.【详解】（1）消去参数α得()()22230x y y -+=≥，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得22(cos 2)(sin )3ρθρθ-+=，即24cos 10ρρθ-+=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭. （2）将6πθ=代入24cos 1003πρρθθ⎛⎫-+=≤≤⎪⎝⎭得22310ρρ-+=， 设1,6A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则121ρρ=，于是121OA OB ρρ⋅==. 【点睛】本题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，以及对极坐标的定义的理解. 选修45-：不等式选讲23. 己知0a >，0b >，且24a b +=，函数()2f x x a x b =++-在R 上的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若22a mb tab +≥恒成立，求实数t 的最大值.【★答案★】（1）2（2）最大值为22. 【解析】 【分析】(1)去绝对值把函数()f x 写成分段函数，再利用函数()f x 的单调性确定当2ax =-时函数()f x 取到最小值m ，代入计算即可求出m 的值；(2)由已知不等式22a mb tab +≥可转化为22a mb t ab +≤，即要求出22a mb ab +的最小值，利用基本不等式可求出22a mb ab+的最小值为22，即22t ≤，从而求出实数t 的最大值.【详解】解：（1）()3,,22,,23,(,)a x a b x a f x x a x b x a b x b x a b x b ⎧⎛⎫--+∈-∞- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎡⎤=++-=++∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪+-∈+∞⎪⎩. 当,2a x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，函数()f x 单调递减， 当,2a x b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当(),x b ∈+∞时，函数()f x 单调递增， 所以当2ax =-时函数()f x 取到最小值， 所以2422222a a a b m f a b +⎛⎫=-=-++=== ⎪⎝⎭. （2）因为22a mb tab +≥恒成立，且0a >，0b >，所以22a mb t ab+≤恒成立即min a mb t b a ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 由（1）知2m =，于是2222a mb a mb m b a b a+≥⋅==， 当且仅当2a bb a=时等号成立即()4210a =->，()2220b =->，所以22t ≤，故实数t 的最大值为22.【点睛】本题考查了含两个绝对值的分段函数的最值，考查了利用基本不等式求最小值，属于一般题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020年普通高等学校招生第三次统一模拟考试文科数学
232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计事件 A 发生的概率为
2
(A)
9
5
(B)
18
1
(C)
3
7
(D)
18
9.已 知 f (4-x)=f (2+x) ， f x 在 (-¥,3ùû 上 单 调 递 减 , f 0 0 ， 则 f 2 3x 0
它 在 复 变 函 数 理 论 里 占 有 非 常 重 要 的 地 位 ， 被 誉 为 “ 数 学 中 的 天 桥 ”， 根 据
欧拉
公
式
可
知，
πi
e6
表
示
的复
数
在
复
平面中
位
于
(A)第 一 象 限
(B)第 二 象 限
(C)第 三 象 限
(D)第 四 象 限
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3. 已 知 角 的 终 边 经 过 点 (4，3) ， 则 cos( ) 2
对 角 线 BD 上 两 个 三 等 分 点 ， 则 AE CF
4 (A)
3
4
(B)
3
28 ( C )
3
28
(D)
3
8.袋子 中有四张 卡片，分 别写有 “学 、习、强、 国 ”四个字，有放回 地从 中任取一张卡片，将三次抽取后 “学”“习”两个字都取到记为事件 A， 用 随 机 模 拟 的 方 法 估 计 事 件 A 发 生 的 概 率 ，利 用 电 脑 随 机 产 生 整 数 0，1，2， 3 四个随机数，分别代表“学、习、强、国”这四个字，以每三个随机数为 一组 ， 表 示 取 卡 片 三 次 的 结 果 ， 经 随 机 模 拟 产 生 了 以 下 18 组随 机 数 ：
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2020届高三第三次模拟考试数学（文科）试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|12M x x =-<<，{}2|0N x x mx =-<，若{}|01M N x x =<<，则m的值为（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．2 2.命题p ：2x ∀>，230x ->的否定是（ ）A ．2x ∀>，230x -≤B ．2x ∀≤，230x ->C ．02x ∃>，230x -≤D ．02x ∃>，230x ->3.设i 为虚数单位，若复数()12az i a R i =+∈-的实部与虚部互为相反数，则a =（ ） A ．-5 B ．53- C ．-1 D ．13-4.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．变量x ，y 之间呈现负相关关系B ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-C ．4m =D ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,45.在等差数列{}n a 中，35712a a a +=-，则19a a +=（ ） A ．8 B ．12 C ．16 D ．206.在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-，()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A ．336B ．510C ．1326D ．3603 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．14-B ．45C ．4D ．5 9.若函数()24log m x m f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（0m >且1m ≠）在[]2,3上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(]1,36B ．[)36,+∞C ．(][)1,1636,+∞ D ．(]1,1610.已知变量x ，y 满足2220240x y x y x y -≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，若方程2260x y y k ++-=有解，则实数k 的最小值为（ ） A．455 B ．295- C．33 D ．16511.将函数()2cos2f x x x =-的图象向左平移()0t t >个单位后，得到函数()g x 的图象，若()12g x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则实数t 的最小值为（ ） A ．524π B ．724π C ．512π D ．712π12.已知关于x 的不等式()221x x m x x e e -+≥在(],0-∞上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)0,+∞C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.已知向量()2,1a =，()1,b x x =-，()3,3c x x =-，满足//a b ，则b ，c 夹角的余弦值为 ．14. 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为 ．15.已知球面上有四个点A ，B ，C ，D ，球心为点O ，O 在CD 上，若三棱锥A BCD -的体积的最大值为83，则该球O 的表面积为 ． 16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A cB b+=，则b c +的最大值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22122a S =+，32a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2log 3n n b a =+，数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求满足13n T >的正整数n 的最小值.18.新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为300n =公斤；如果平均气温位于[)20,25摄氏度，需求量为200n =公斤；如果平均气温位于[)15,20摄氏度，需求量为100n =公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为50n =公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.19.如图，PAD ∆是边长为3的等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD .点E 、F 分别为CD 、PD 上的点，且12PF CE FD ED ==，点G 为AB 上的一点，且AGGBλ=.（Ⅰ）当12λ=时，求证：//PG 平面AEF ； （Ⅱ）当FG AC ⊥时，求三棱锥A EFG -的体积.20. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且椭圆C 过点2⎫-⎪⎪⎭.过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =，PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知函数()()ln f x x x m m R =--∈. （Ⅰ）若函数()f x 有两个零点，求m 的取值范围；（Ⅱ）证明：当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.请考生在22、23题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩后得到曲线2C .以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-. （Ⅰ）求出曲线2C 、3C 的参数方程；（Ⅱ）若P 、Q 分别是曲线2C 、3C 上的动点，求PQ 的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()225f x x =+-. （Ⅰ）解不等式：()1f x x ≥-；（Ⅱ）当1m ≥-时，函数()()g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围.2020届高三第三次模拟考试 数学（文科）参考答案一、选择题1-5: ACBCA 6-10: ABDDB 11、12：BC 二、填空题13. 10- 14. 2213y x -= 15. 16π 16. 6 三、解答题17.（Ⅰ）由题意知，22122a S =+，∴212122a a a =++，得2112a a =+， 设等比数列{}n a 的公比为q ， 又∵32a =，∴22212q q =+，化简得2440q q -+=，解得2q =. ∴3323222n n n n a a q ---=⋅=⋅=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2log 3n n b a =+22log 23231n n n -=+=-+=+.∴()()11112n n b b n n +=++1112n n =-++， ∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111233412n n =-+-+⋅⋅⋅+-++()112222n n n =-=++. 令13n T >，得()1223n n >+，解得4n >， ∴满足13n T >的正整数n 的最小值是5. 18.（Ⅰ）当需求量100n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4100400⨯=元； 当需求量100n <，即50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504500⨯-⨯=元. ∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为204008839190⨯+⨯≈元.（Ⅱ）当需求量200n ≥时，荔枝为该商场带来的利润为4200800⨯=元； 当需求量100n =时，荔枝为该商场带来的利润为410041000⨯-⨯=元； 当需求量50n =时，荔枝为该商场带来的利润为4504150400⨯-⨯=-元； ∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，则所求概率902449045P -==. 19.（Ⅰ）连接CG ，当12λ=时，//CE AG ，∴四边形AECG 是平行四边形，∴//AE CG ，∵12PF CE FD ED ==，∴//EF PC ，∵AE EF E =，PC CG C =， ∴平面//PCG 平面AEF ，又PG ⊂平面PCG ，∴//PG 平面AEF . （Ⅱ）取AD 的中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD . 过点F 作FH AD ⊥于点H ，连接GH，则2233FH PO ===∵2DH DF HO PF ==，∴213DH OD ==， ∵PO AD ⊥，FH AD ⊥，PO ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD ， ∴FH AC ⊥，又FG AC ⊥，∴AC ⊥平面FGH ，∴AC GH ⊥， 又ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，∴//GH BD ，∴2AG AH ==， ∴A EFG F AGE V V --=112332=⨯⨯⨯=20.（Ⅰ）由题意知，222223112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=. （Ⅱ）∵MS SN =，PT TQ =，∴S 、T 分别为MN 、PQ 的中点. 当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线1l 的方程为()1y k x =-， 则直线2l 的方程为()11y x k=--，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ， 联立()221421x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(21)4240k x k x k +-+-=，∴224160k ∆=+>， ∴2122421k x x k +=+，21222421k x x k -=+，∴PQ 中点T 的坐标为2222,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；同理，MN 中点S 的坐标为222,22k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴232(1)ST k k k -=-， ∴直线ST 的方程为223212(1)kky k k -+=+-22221k x k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，即2322(1)3k y x k -⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST 的方程为0y =，也过点2,03⎛⎫⎪⎝⎭； 综上所述，直线ST 过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 21.（Ⅰ）令()ln 0f x x x m =--=，∴ln m x x =-； 令()ln g x x x =-，∴()11'1xg x x x-=-=， 令()'0g x >，解得01x <<，令()'0g x <，解得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11g x g ==-. 要使函数()f x 有两个零点，则函数()g x 的图象与y m =有两个不同的交点， 则1m <-，即实数m 的取值范围为(),1-∞-.（Ⅱ）∵()()20xf x x e +-<，∴()2ln xm x e x x >-+-.设()()2ln xh x x e x x =-+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()1'1xh x x e x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 设()1x u x e x =-，∴()21'0x u x e x =+>，则()u x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又1202u ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110u e =->， ∴01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00u x =，即001x e x =，∴00ln x x =-.当01,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0u x <，()'0h x >；当(]0,1x x ∈时，()0u x >，()'0h x <；∴函数()h x 在01,2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]0,1x 上单调递减， ∴()()()00000max 2ln xh x h x x e x x ==-+-()00000122212x x x x x =-⋅-=--. 设()212x x xϕ=--，∴()222222'2x x x x ϕ-=-=， 当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()'0x ϕ>恒成立，则()x ϕ在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()()13x ϕϕ<=-，即当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()3h x <-，∴当3m ≥-时，关于x 的不等式()()20xf x x e +-<在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.22.（Ⅰ）曲线1C ：221x y +=经过伸缩变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩，可得曲线2C 的方程为2214x y +=， ∴其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-，即22sin ρρθ=-， ∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-，即()2211x y ++=，∴其参数方程为cos 1sin x y ββ=⎧⎨=-+⎩（β为参数）.（Ⅱ）设()2cos ,sin P αα，则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离d==∵[]sin 1,1α∈-，∴当1sin 3α=时，max 3d =.∴max max PQ d r=+3133=+=. 23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于理综押题【绝密】12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥，综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞. （Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++315x =+-， 此时()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+-37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增. 要使函数()g x 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m -=-<⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。
2020届全国高考三卷模拟试卷数学(文)试题(三)解析版
0
x
1，
g ( x)
0
)
上单调递增，
在 (1， ) 上单调递减. g(2) 0 ， g(x)max g(1) e ，当 x 2，g(x) 0. x ，g (x) ，
x ，g (x) 0 ． 由 g 2 (x) (3a 1)g(x) 2a2
的最大值即：圆心到原点的距离+半径，即 9 3 3 3 3 ，故选 D．
文科数学参考答案·第 1页（共 7页）
11 ． 设 P(x0，y0 )，A(x1，y1)，B(x2，y2 )
， 则 kAB
y1 y2 x1 x2
x12 x22 22 x1 x2
x1 x2 2
2．
z
1i 2i
(1 i)(2 i) (2 i)(2 i)
1 5
3 5
i
，点
1 ， 5
3 5
在第四象限，故选
D．
3．由判定定理和性质定理知，只有 B 选项正确，故选 B． 4．作出可行域，由 z x y，得 y x z ，当 y x z 与边界直线 x y 2 0 重合时， z 取得最小值，
2
2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13
14
15
16
答案
π
6
3
x2 y2 1
①③
5
33
【解析】
13．由正弦定理 AC AB ，∴ 2 2 ，∴ sin C 1 ， 又 AB AC，∴ C π .
2020届新课标Ⅲ高考数学文科模拟试题有答案(Word版)(已审阅)
普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð= （A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，， （2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55-（3）已知向量BA u u u r =（12，2），BC uuu r =（2，12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tan13θ=，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（9）在ABC △中，π4B =，BC边上的高等于13BC ,则sin A = (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）545+ （C ）90 （D ）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）9π2 （C ）6π （D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为________.（14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. （15）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =__________ .（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式. （18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑ 回归方程y a bt =+)))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑)，$ay bt =-$ （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2020届高考高三第三次模拟考试卷 文科数学(四) 含答案解析
2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}0A y y =≥，A B B =I ，则集合B 不可能是（ ） A ．{},0y y x x =≥B ．1,2xy y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭RC ．{}log ,0y y x x => D ．∅2．已知i 是虚数单位，则12i2i-+等于（ ） A ．iB ．4i 5- C ．43i 55-D ．i -3．过点()2,3A 且垂直于直线052=-+y x 的直线方程为（ ） A ．052=+-y xB ．072=-+y xC ．032=+-y xD ．042=+-y x4．下列函数()f x 中，满足“对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >”的是（ ） A ．2()(1)f x x =+B ．()ln(1)f x x =-C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95SS =（ ）A ．2B ．259C ．9D ．9256．将函数cos 2y x =的图象向右平移π4个单位，得到函数()sin y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式可以是（ ） A ．x x f cos 2)(-=B ．x x f cos 2)(=C ．x x f 2sin 22)(=D ．)2cos 2(sin 22)(x x x f +=7．设,x y 是0,1,2,3,4,5中任意两个不同的数，那么复数i x y +恰好是纯虚数的概率为（ ）A ．16B ．13C ．15D ．1308．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆， 则该几何体的表面积是（ ）A ．2(π3)+B ．2π3+C ．π3+D ．π23+9．阅读如图的程序框图，若输入6n =，则输出k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在ABC △所在的平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，那么PBC △的面积与ABC△的面积之比是（ ） A ．43 B ．21 C ．31 D ．32 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
【精品高考数学】[2020年新课标III 高考仿真模拟卷-文科数学]+答案
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2020年新课标III高考仿真模拟卷数学（文科）2020.4满分：150分考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若2020i3i1iz-=+，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402978191925273842812479569683 231357394027506588730113537779则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为()A．14B．25C．710D．153．《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮仓的三视图如图所示（单位：尺，1尺0.33≈米），已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则估算出该粮仓存放的米约为( )A．43斛B．45斛C．47斛D．49斛4．若执行下图的程序框图，则输出i的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ）A ．16B ．19C ．20D ．256．若sin 2cos αα=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．125 B ．95 C ．1 D ．457．若圆226:80M x y x y +-+=上至少有3个点到直线:1(3)l y k x -=-的距离为52，则k 的取值范围是（ ）A ．[3,0)3]-⋃B ．[3,3]C ．(,3]3,)-∞⋃+∞D ．(,3)3,)-∞⋃+∞8．若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则2212x x +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．)2,+∞C ．()2,+∞D ．()0,19．函数()()22sin x xf x x -=-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．12B ．14C ．23D ．6411．若不等式0x x xe e a -+-≥的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞ D ．221,e e ⎛⎤-∞+⎥⎝⎦12．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()220y px p =>的焦点为2F ，设两曲线的一个交点为P ，若221216PF F F p ⋅=u u u u v u u u u v ，则椭圆的离心率为( )A ．12B 2C 3D 3第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高三第三次模拟考试卷 文科数学(二)
2020届高三第三次模拟考试卷 文 科 数 学（二） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数()()1i 2i z =++，则其共轭复数z =（ ）A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --2．已知集合{}1,0,1A =-，集合{}220B x x x =∈-≤Z ，那么A B U 等于（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2- 3．下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续5次考试成绩均不低于120分”．现有甲、乙、丙三位同学连续5次数学考试成绩的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120；②乙同学：5个数据的中位数为125，总体均值为127；③丙同学：5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8；则可以判定数学成绩优秀的同学为（ ）A ．甲、丙B ．乙、丙C ．甲、乙D ．甲、乙、丙 4．三个数2log 3，30.2，3log 0.2的大小关系是（ ）A ．332log 0.20.2log 3<< B ．332log 0.2log 30.2<<C ．323log 30.2log 0.2<< D ．3320.2log 0.2log 3<<5．已知a b ∈R ，，则“1a ≤”是“1a b b -+≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象上所有点向右平移θ(0θ>)个单位长度到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．π 7．一个孩子的身高y （cm ）与年龄x （周岁）具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归 方程$ 6.21771.984y x =+，则下列说法错误的是（ ） A ．回归直线一定经过样本点中心(),x y B ．斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217个单位 C ．年龄为10时，求得身高是134cm ，所以这名孩子的身高一定是134cm D ．身高与年龄成正相关关系 8．抛物线28y x =的焦点为F ，设()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上的两个动点，若122343x x AB ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3π B ．43π C ．65π D ．32π 9．由两个14圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3π B ．2π C ．π D ．2π 10．在ABC △中，角A B C ，，所对边长分别为a b c ，，，若2222a b c +=，则角C 的取值范围（ ） A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．,64ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,43ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号11．若x y ，满足约束条件()()22111x y -+-≤的最小值为（ ）A1 B．3- C1 D．3+12．若函数()22ln f x m x x =-+在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(2e,e 2⎤-⎦B ．2411,e 2e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ C ．411,4e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．[)1,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在一次考试后，为了分析成绩，从123，，班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A B C ，，，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为 ．14．在区间[]3,2-上随机选取一个数X ，则0X ≤的概率为 ．15．设x y ，满足则22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最小值是 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1xy C a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，双曲线2222:1xy E a b -=的渐近线为12l l ，，以OF 为直径的圆交12l l ，于M N ，．若2OF MN =，则双曲线E 的率为 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{}n a 满足()11121222n n n a a a n -++++=L (n *∈N )．（1）求12a a ，和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB △为等边三角形，AC BC ⊥且AC BC ==O M ，分别AB VA ，的中点． （1）求证：VB ∥平面MOC ； （2）求三棱锥V ABC -的体积．19．（12分）纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏．2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁24年龄大于40岁20合计22 50（1）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（2）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．()2P K k≥0.100 0.050 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.63520．（12分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0a b>>)的左、右顶点分别为A B、，且4AB=，椭圆C的离心率为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点()1,M m(0m≠)在椭圆C内，直线AM与BM分别与椭圆C交于E F、两点，若AMF△面积是BME△面积的5倍，求m的值．21．（12分）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =-（b 为常数）．（1）若1b =，求函数()()()H x f x g x =-图象在1x =处的切线方程；（2）若2b ≥，对任意[]121,2x x ∈，，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x ->-成立，求实数b 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ= （1）若l 与C 相交于A B ，两点()2,0P -，求PA PB ⋅； （2）圆M 的圆心在极轴上，且圆M 经过极点，若l 被圆M 截得的弦长为1，求圆M 的半径．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()3124f x x x =+--．（1）求不等式()3f x >的解集；（2）若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围．2020届高三第三次模拟考试卷文 科 数 学（二）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解：∵()()1i 2i 2i 2i 113i z =++=++-=+，∴13i z =-．2．答案：D解：∵集合{}1,0,1A =-， 集合{}{}{}220020,1,2B x x x x x =∈-≤=∈≤≤=Z Z ，∴{}1,0,1,2A B =-U ．3．答案：A解：在①中，甲同学：5个数据的中位数为127，众数为120，所以前三个数为120，120，127，则后两个数肯定大于127，故甲同学数学成绩优秀，故①成立；在②中，5个数据的中位数为125，总体均值为127，可以找到很多反例，如：118，119，125，128，128，故乙同学数学成绩不优秀，故②不成立；在③中，5个数据的中位数为135，总体均值为128，总体方差为19.8，设1234x x x x <<<， 则()()()()()222221234112812812812813512819.85x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，∴()()()()2222123412812812812850x x x x -+-+-+-=，∴()211112850128128120x x x -≤⇒-≤⇒≥->，∴丙同学数学成绩优秀，故③成立，∴数学成绩优秀有甲和丙2个同学．4．答案：A解：∵22log 3log 21>=，3000.20.21<<=，33log 0.2log 10<=，∴332log 0.20.2log 3<<．5．答案：B 解：∵1a b b a b b a ≥-+≥-+=，∴“1a ≤”是“1a b b -+≤”的必要条件， 反之，比如1a =，3b =，推不出后者，故为必要不充分条件． 6．答案：C 解：函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 将()f x 的图象上所有点向右平移θ(0θ>)个单位长度， 得()()2sin 22sin 2266y f x x x θθθππ⎡⎤⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 又函数y 的图象关于直线6x π=对称， 即22662k θπππ⨯-+=π+，k ∈Z ，解得12k θ=-π，k ∈Z ， 又0θ>，所以θ的最小值为2π． 7．答案：C 解：回归直线一定经过样本点中心(),x y ，故A 正确； 由线性回归方程$ 6.21771.984y x =+，得斜率的估计值等于6.217，说明年龄每增加一个单位，身高就约增加6.217个单位，故B 正确； 年龄为10时，求得身高是134cm ，估计这名孩子的身高约是134cm ，故C 错误； 由线性回归方程可知，身高与年龄成正相关关系，故D 正确． 8．答案：D解：∵124x x ++=，124AF BF x x +=++，∴AF BF +=． 在AFB △中，由余弦定理得：()222222cos 22AF BF AF BF AB AF BF AB AFB AF BF AF BF +-⋅-+-∠==⋅⋅ 222431126AB AB AB AF BF AF BF -=-=-⋅⋅，又2231233AF BF AB AF BF AF BF AB +=≥⋅⇒⋅≤，∴22113cos 11223AB AFB AB∠≥-=-⨯，∴AFB ∠的最大值为23π．9．答案：C 解：由两个14圆柱组合而成的几何体的直观图如图：所以几何体的体积为21122⨯π⨯⨯=π．10．答案：C解：∵22222222a b a b c c ++=⇒=， ∴222222212cos 2442a ba b a b abC ab ab ab ++-+==≥=，当且仅当a b =时等号成立，∴0,3C π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．11．答案：A解：()()22111x y -+-≤表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆和圆内的点，22x y +表示点(),x y 与()0,0的距离，显然最小值为121OA -=-．12．答案：C解：令()0f x =，可得22ln m x x =-，令()22ln g x x x =-，则()22222x g x x x x -'=-=．∴当211e x ≤≤时，()0g x '≤；当1e x <≤时，()0g x '>，∴()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,e 上单调递增，∴当1x =时，()g x 取得极小值()11g =，又24114e e g ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2e e 2g =-，∴()21e e g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭， ∵()m g x =有两解，∴4114e m <≤+． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．答案：B 解：根据题意可知，B 不是来自2班，A 不是来自2班，所以C 来自2班； 又B 的成绩比来自2班的同学高，C 的成绩比来自3班的同学高， 所以B 不能来自3班，只能来自1班． 14．答案：35 解：在区间[]3,2-内满足小于等于0的区间为[]3,0-，∴0X ≤的概率为35．15．答案：4- 解：作出不等式组22022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩对应的平面区域如图： 由11333z x y y x z =-⇒=-， 平移直线1133y x z =-，由图象可知当直线1133y x z =-经过点C 时， 直线1133y x z =-的截距最大，此时z 最小， ()22022,22202x y x C x y y --==⎧⎧⇒⇒⎨⎨-+==⎩⎩， 此时2324z =-⨯=-． 1662解：设1:b l y x a =，2:b l y x a =-，椭圆的半焦距为c ， 则以OF 为直径的圆的方程为220x cx y -+=， 联立220by x a x cx y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得2222M ab a b y a b -=+，同理求得2222N ab a b y a b -=-+，∴222ab a b MN -=，22OF a b =-，由2OF MN =，得2222224ab a b a b a b --=+，整理得2240a ab b -+=，即23ab =+，或23ab =-（舍）．设双曲线的半焦距为1c ，则双曲线的离心率()222212112362c a b b e a a a +⎛⎫===+=+-=- ⎪⎝⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1）14a =，26a =，22n a n =+；（2）125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解：（1）由题意得1112222n n n a a a n -++++=⋅L ，①21124a =⨯=，∵()21212212n n n a a a n --+++=-⋅L (2n ≥)，②∴①-②得()()11221212n n n n n a n n n -+=⋅--⋅=+(2n ≥)，得22n a n =+，1n =也满足上式，∴{}n a 的通项公式为22n a n =+．（2）数列{}n a kn -的通项公式为()2222n a kn n kn k n -=+-=-+，∴该数列是以4k -为首项，公差为2k -的等差数列，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时，n S 取得最大值，()()45242201255225220a k k k a k k -=-+≥⎧⎪⇒≤≤⎨-=-+≤⎪⎩． 18．答案：（1）证明见解析；（2）33． 解：（1）O M ，分别AB VA ，的中点，∴OM VB ∥， VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， ∴VB ∥平面MOC ． （2）AC BC =，O 为AB 的中点，∴OC AB ⊥， ∵平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB ， 在等腰直角三角形ACB 中，2AC BC ==，∴2AB =，1OC =， ∴等边三角形VAB 的面积3VAB S =△， ∵OC ⊥平面VAB ，∴三棱锥C VAB -的体积等于33， ∵三棱锥V ABC -的体积与三棱锥C VAB -的体积相等， ∴三棱锥V ABC -的体积为3． 19．答案：（1）能够判断；（2）710． 解：（1）根据题意，设表中数据为 喜爱 不喜爱 合计年龄不大于40岁 a b 24 年龄大于40岁 20 c d 合计 e 22 50 则有2250e +=，则28e =；2450d +=，则26d =； 2028a e +==，则8a =；24a b +=，则16b =； 22b c +=，则6c =，故列联表为：喜爱 不喜爱 合计年龄不大于40岁 8 16 24年龄大于40岁 20 6 26合计 28 22 50则有()2250862016289009.623 6.635242628223003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a b c ，，；非学生记为A B ，， 则从5人中任取2人，共有(),a b ，(),a c ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),A B 共10种结果．其中至多有1位学生的有7种，∴至多有1位学生的概率710P =．20．答案：（1）2214x y +=；（2）12m =±．解：（1）由题意可得222242a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214xy +=．（2）∵()1,M m ，()2,0A -，()2,0B ，∴直线AM 的斜率3AM mk =，∴直线AM 的方程为()23my x =+， 联立方程()222314my x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得21294E my m=+， 同理可得2414F my m =+，∵5AMF BME S S =△△，即()()5ABF ABM ABE ABM S S S S -=-△△△△，∴54ABF ABE ABM S S S =-△△△，∴22412541494m m m m m =-++， 又∵0m ≠，∴42161630m m -+=，解得214m =或34， ∵点M 在椭圆内，∴234m <，21142m m =⇒=±． 21．答案：（1）2210x y --=；（2）2b =． 解：（1）若1b =，函数()21ln 2H x x x x =-+(0x >)， ∴()11H x x x '=-+，故()11H '=， 又切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求切线方程为2210x y --=． （2）不妨设12x x >， ∵函数()ln f x x =在区间[]1,2上是增函数，∴()()12f x f x >， ∵函数()g x 图象的对称轴为x b =，且2b >， ∴当2b ≥时，函数()g x 在区间[]1,2上是减函数， ∴()()12g x g x <， ∴()()()()1212f x f x g x g x ->-等价于()()()()1122f x g x f x g x +>+， 等价于函数()()()21ln 2h x f x g x x x bx =+=+-在区间[]1,2上是增函数， 等价于()10h x x b x '=+-≥在区间[]1,2上恒成立， 等价于1b x x ≤+在区间[]1,2上恒成立， ∴2b ≤， 又2b ≥，故2b =． 22．答案：（1）6；（2）13． 解：（1）由ρ=2210x y +=，将122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2210x y +=，得2260t t --=， 设A B ，两点对应的参数分别为12t t ，，则126t t =-，故126PA PB t t ⋅==．（2）直线l0y -+=，设圆M 的方程为()()222x a y b a -+-=(0a >)， 圆心(),0a 到直线l的距离为d =，∵1=，∴()22232144a d a +=-=，解得13a =（10a =-<，舍去）， 则圆M 的半径为13．23．答案：（1）()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）(][),19,-∞-+∞U ． 解：（1）当1x <-时，()()()31243f x x x =-++->，解得10x <-；当12x -≤≤时，()()()31243f x x x =++->，解得45x >，则425x <≤； 当2x >时，()()()31243f x x x =+-->，解得4x >-，则2x >，综上知，不等式()3f x >的解集为()4,10,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ． （2）由()()23124231323129f x x x x x x x x x --=+----=+--≤+--=， 若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立， 则289t t -≥，解得1t ≤-或9t ≥，则t 的取值范围是(][),19,-∞-+∞U ．。
2020届高三第三次调研考试 文科数学 试题正式版
惠州市2020届高三第三次调研考试文科数学 2020.1全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若{}{}=0,1,2,32,A B y y x x A ==∈，，则A B =U （ ）．A ．{}0,2,4,6B ．{}0,2C ．{}0,1,2,3,4,6D ．{}0,1230246,,,,,,2．设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第（ ）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四3．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =（ ）．A ．1B ．1-C ．D 4．“()()110b a -⋅->”是“log 0a b >”成立的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5．已知圆C ：2240x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ）． A ．1 B ．1- C ．0 D ．126．在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r ，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则m =（ ）．A. 4-B.1- C ．1 D ．47．惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来。
吉林省长春市2020届高三三模考试数学(文)试题 Word版含解析
2020年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共12小题）1.已知集合{}21A x x =≤，{}lg 1B x x =≤，则A B =（ ）A. []0,1B. (]0,1C. ()0,1D. []1,10-【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算集合A 和B ，再计算AB【详解】{}{}21=-11A x x x x =≤≤≤{}{}lg 1010B x x x x =≤=<≤ {}01A B x x ⋂=<≤故答案选B【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.2.已知向量,a b 满足a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则2a b +＝（ ） 5 B. 52 C. 5D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得y ，根据向量模的坐标表示求得正确答案. 【详解】根据题意，a =（2，1），b =（1，y ），且a b ⊥，则有a b ⋅=2+y ＝0，解可得y ＝﹣2，即b =（1，﹣2），则2a b +=（4，﹣3），故2a b +=169+=5； 故选：C【点睛】本小题主要考查向量垂直和模的坐标表示，属于基础题.3.已知复数z 满足（1+i ）2•z ＝1﹣i ，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解析】【分析】利用复数除法运算求得z，由此求得z，进而求得z对应点的坐标及其所在象限.【详解】由（1+i）2•z＝1﹣i，得z()()2211111(1)2222i ii iii i i----====--+-，则1122z i=-+，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（12-，12），位于第二象限．故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，考查复数对应点所在象限，属于基础题.4.某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x y+的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】对甲组数据进行分析，得出x的值，利用平均数求出y的值，解答即可．【详解】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是83，80+x，85，因为甲班学生成绩众数是83，所以83出现的次数最多，可知x＝3．由茎叶图可知乙班学生的总分为76+81+82+80+y+91+91+96＝597+y，又乙班学生的平均分是86，总分等于86×7＝602．所以597+y＝602，解得y＝5，可得x+y＝8．【点睛】本题主要考查统计中的众数与平均数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x+y的值．5.等比数列{a n}中，a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，则a3•a9等于（）A. ﹣3B. 3C. ﹣4D. 4【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系关系列方程，结合等比数列的性质求得39a a⋅的值.【详解】∵a5、a7是函数f（x）＝x2﹣4x+3的两个零点，∴a5、a7是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，∴a5•a7＝3，由等比数列的性质可得：a3•a9＝a5•a7＝3．故选：B【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查根与系数关系，属于基础题.6.函数3()x xxf xe e-=-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据解析式求得函数奇偶性，以及()1f 即可容易求得结果.【详解】因为()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()3x xx f x f x e e--==-，故()f x 为偶函数，排除C ，D ，验算特值11(1)=0f e e-<-，排除A ,故选：B【点睛】本题考查函数图像的辨识，涉及函数奇偶性的判断和指数运算，属基础题. 7.设,a b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A. ,//,a b αβαβ⊥⊥ B. ,,//a b αβαβ⊥⊥ C. ,,//a b αβαβ⊂⊥ D. ,//,a b αβαβ⊂⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件的判断，即从选项中找出能推出a b ⊥成立的即可，由空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断，即可得出答案.【详解】A. 由,//,a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（1），所以不正确. B. 由,,//a b αβαβ⊥⊥，还可能得到 //b a ，如图（2），所以不正确. C. 由,//b βαβ⊥，可得b α⊥，又,a α⊂所以有a b ⊥，所以正确. D. 由,//,a b αβαβ⊂⊥，如图（3），所以不正确. 故选：C【点睛】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，考查充分条件的判断和空间想象能力，属于基础题.8.已知直线y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A. 566k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， B. 51212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， C. 51166k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， D. 511612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期求得ω，再根据单调区间的求法，求得()f x 的单调区间. 【详解】∵y ＝﹣2与函数()23f x sin x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（其中w ＞0）的相邻两交点间的距离为π， ∴函数的周期T ＝π，即2πω=π，得ω＝2，则f （x ）＝2sin （2x 3π-），由2k π2π-≤2x 3π-≤2k π2π+，k ∈Z，得k π12π-≤x ≤k π512π+，k ∈Z，即函数的单调递增区间为[k π12π-，k π512π+]，k ∈Z，故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，考查三角函数的周期性，属于基础题. 9.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，且f （﹣4）＝0，则使得xf （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ） A. （﹣4，4）B. （﹣4，0）∪（0，4）C. （0，4）∪（4，+∞）D. （﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，求得不等式()x f x ⋅的解集.【详解】∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴函数f （x ）是在（﹣∞，0）上是增函数，又f （﹣4）＝0，∴f （4）＝0，由xf （x ）＞0，得()00x f x ⎧⎨⎩＞＞或()00x f x ⎧⎨⎩＜＜，∴x ＞4或x ＜﹣4．∴x 的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）． 故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 10.若函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则a 的取值范围是（ ） A. （﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） B. （﹣∞，﹣1）∪[0，+∞） C. [﹣1，0） D. [0，+∞）【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 在(],0-∞没有零点列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】当x ＞0时，因为log 21＝0，所以有一个零点，所以要使函数()2020xlog x x f x a x ⎧=⎨--≤⎩，＞，有且只有一个零点，则当x ≤0时，函数f （x ）没有零点即可，当x ≤0时，0＜2x ≤1，∴﹣1≤﹣2x ＜0，∴﹣1﹣a ≤﹣2x ﹣a ＜﹣a ，所以﹣a ≤0或﹣1﹣a ＞0，即a ≥0或a ＜﹣1. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数零点，属于基础题.11.已知双曲线2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）与椭圆22182x y +=1有相同焦点F 1，F 2，离心率为43．若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为12，N 为线段MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A. 4 B. 3C. 2D.23【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的定义求得NO的表达式，根据椭圆方程求得双曲线的c，结合双曲线的离心率求得a，由此求得NO的值.【详解】如图，∵N为线段MF2的中点，∴|NO|12=|MF1|12=（|MF2|﹣2a）＝6﹣a，∵双曲线2222x ya b-=1（a＞0，b＞0）的离心率为e43=，∴43ca=，∵椭圆22182x y+=1与双曲线2222x ya b-=1的焦点相同，∴c182=-=4，则a＝3，即6﹣a＝3，∴|NO|＝3．故选：B．【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率，考查椭圆的几何性质，属于基础题. 12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”．整个图形是一个圆形．其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是1 2②当32a=-时，直线y＝ax+2a与白色部分有公共点；③黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则x+y的最大值为2；④设点P（﹣2，b），点Q在此太极图上，使得∠OPQ＝45°，b的范围是[﹣2，2]．其中所有正确结论的序号是（）A. ①④B. ①③C. ②④D. ①②【答案】A 【解析】 【分析】根据几何概型概率计算，判断①的周期性.根据直线332y x =--和圆()2211x y ++=的位置关系，判断②的正确性.根据线性规划的知识求得x y +的最大值，由此判断③的正确性.将45OPQ ∠=转化为过P 的两条切线所成的角大于等于90，由此求得OP 的取值范围，进而求得b 的取值范围，从而判断出④的正确性.【详解】对于①，将y 轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，正确；对于②，当32a =-时，直线()()33222322y ax a a x x x =+=+=-+=--,过点()()2,0,0,3--，所以直线2y ax a =+与白色部分在第I 和第IV 象限部分没有公共点.圆()2211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，圆心()0,1-到直线332y x =--，即直线3260x y ++=2211332=>+，所以直线2y ax a =+与白色部分在第III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线y ＝ax +2a 与白色部分没有公共点，②错误； 对于③，设l ：z ＝x +y ，由线性规划知识可知，当直线l 与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切时，z 最大，1=解得z 1=（1z =，③错误； 对于④，要使得∠OPQ ＝45°，即需要过点P 的两条切线所成角大于等于90，所以245sin OP ≥︒=，即OP22+b 2≤8，解得22b -≤≤． 故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知tanα＝3，π＜α32＜π，则cosα﹣sinα＝_____．【答案】5【解析】 【分析】根据tan 3α=，求cos ,sin αα的值，由此求得cos sin αα-的值. 【详解】∵tanα＝3，π＜α32＜π，∴cosα==，sinα==， 则cosα﹣sinα10105=-+=.故答案为：5【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.14.已知长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，现将长方形ABCD 沿着对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则折后几何图形的外接球表面积为_____． 【答案】4π 【解析】 【分析】设出球心的位置，利用勾股定理列方程组，解方程组求得球的半径，进而求得球的表面积.【详解】长方形ABCD 中，AB ＝1，∠ABD ＝60°，可得BD ＝2，AD 3=，作AE ⊥BD 于E ，可得AE •BD ＝AB •AD ，所以AE 3=，BE 2231142AB AE =-=-=， 因为平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊂面ABD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以AE ⊥面BCD ， 由直角三角形BCD 可得其外接圆的圆心为斜边BD 的中点O 1，且外接圆的半径r 12BD ==1，过O 1作OO 1垂直于底面BCD ，所以EO 1＝O 1B ﹣BE ＝11122-=， 所以OO 1∥AE ，取三棱锥外接球的球心O ，设外接球的半径为R ，作OF ⊥AE 于F ，则四边形EFOO 1为矩形，O 1E ＝OF ，EF ＝OO 1，则OA ＝OC ＝OB ＝OD ＝R ， 在△AFO 中，OA 2＝AF 2+OF 2＝（AE ﹣EF ）2+EO 12即R 2＝（3-OO 1）214+；①在△BOO 1中：OB 2＝OO 12+EO 12，即R 2＝OO 1214+；② 由①②可得R 2＝1，OO 1＝0，即外接球的球心为O 1，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π， 故答案为：4π【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的有关计算，属于中档题.15.若12,x x 是函数2()74ln f x x x x =-+的两个极值点，则12x x =____，12()()f x f x +=____.【答案】 (1). 2 (2). 654ln 24- 【解析】 【分析】根据极值点的定义，即可由方程的根与系数之间的关系，即可求得12x x 以及12x x +，再结合对数运算即可容易求得结果.【详解】2121247()2702740,22f x x x x x x x x x '=-+=⇒-+=⇒+==，2212111222()()74ln 74ln f x f x x x x x x x +=-++-+21212121265()27()4ln()4ln 24x x x x x x x x =+--++=-. 故答案为：2；654ln 24-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，涉及对数运算，属综合基础题.16.已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N*），设b n ＝（﹣1）n •a n a n +1，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 20＝_____． 【答案】880 【解析】 【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由此求得n b 的表达式，利用并项求和法求得20T .【详解】∵4S n ＝a n 2+2a n （n ∈N*），当n ＝1时，211142S a a =+，解得a 1＝2或0（舍去），当n ≥2时，4S n ＝a n 2+2a n ①，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1②，①﹣②得：2211422n n n n n a a a a a --=+--，整理得：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ，∴b n ＝（﹣1）n •a n a n +1＝4×（﹣1）n n （n +1），∴T 20＝4×[﹣2+6﹣12+20﹣30+42﹣……﹣380+420]＝4×[（﹣2+6）+（﹣12+20）+（﹣30+42）+……+（﹣380+420）] ＝4×（4+8+12+……+40）＝4()104402⨯+⨯=880，故答案为：880【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查并项求和法，属于中档题. 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即“文房四宝”．笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中的“纸”指的是宣纸，宣纸“始于唐代，产于泾县”，而唐代泾县隶属于宣州府管辖，故因地而得名“宣纸”，宣纸按质量等级，可分为正牌和副牌（优等品和合格品），某公司年产宣纸10000刀，公司按照某种质量标准值x给宣纸确定质量等级，如表所示：x（48，52]（44，48]∪（52，56]（0，44]∪（56，100]质量等级正牌副牌废品公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌纸的利润是10元，副牌纸的利润是5元，废品亏损10元．（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）纸中抽出一个容量为5的样本，再从这个样本中随机抽出两张，求其中无废品的概率；（Ⅱ）试估计该公司生产宣纸的年利润（单位：万元）．【答案】（Ⅰ）35；（Ⅱ）400万元【解析】【分析】（I）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（II）根据频率分布直方图求得一刀宣纸的利润，由此估计出年利润.【详解】（Ⅰ）按正牌、副牌、废品进行分层抽样，从这一刀（100张）约中抽出一个容量为5样本，设抽出的2张正牌为A ，B ，2张副牌为a ，b ，1张废品为t ，从中任取两张，基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，At ，Ba ，Bb ，Bt ，ab ，at ，bt ，共10种，其中无废品包含基本事件有：AB ，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，ab ，共6种，∴其中无废品的概率p 63105==． （Ⅱ）由频率分布直方图得：一刀（100张）宣纸有正牌宣纸100×0.1×4＝40张， 有副牌宣纸100×0.05×4×2＝40张，有废品100×0.025×4×2＝20张， ∴该公司一刀宣纸的利润为40×10+40×5+20×（﹣10）＝400元， ∴估计该公司生产宣纸的年利润为：400万元．【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查频率分布直方图的运用，属于基础题. 18.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a ＝2b cos C +c sin B ． （Ⅰ）求tan B ； （Ⅱ）若C 4π=，△ABC 的面积为6，求BC ．【答案】（Ⅰ）tanB ＝2；（Ⅱ）【解析】 【分析】（I ）利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值.（II ）由tan B 的值求得,cos sinB B 的值，从而求得sin A 的值，利用正弦定理以及三角形的面积公式列方程，由此求得a也即BC 的值.【详解】（Ⅰ）∵2a＝2b cos C +c sin B ，利用正弦定理可得：2sinA ＝2sinB cos C+sin C sin B ，又sin A ＝sin （B +C ）＝sin B cos C +cos B sin C ， 化为：2cos B ＝sin B ≠0，∴tanB ＝2．（Ⅱ）∵tan B ＝2，B∈（0，π），可得sin B =，cos B =． ∴sin A ＝sin （B +C）＝sin B cos C +cos B sinC=+=∴a b sinA sinB =，可得：a 24b ==．又12ab sin 4π=6，可得b =． ∴a =，即218a =，解得BC a =＝【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题. 19.四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，PA ＝CD ＝2，PA ⊥平面ABCD ，E 在棱PB 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥PD ； （Ⅱ）若V P ﹣ACE 29=，求证：PD ∥平面AEC ． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（I ）过A 作AF DC ⊥，判断出四边形ABCF 为则方程，由此证得AC DA ⊥，结合AC PA ⊥证得AC ⊥平面PAD ，从而证得AC PD ⊥.（II ）利用题目所给体积求得E 到平面ABCD 的距离，连接DB 交AC 于O ，连接OE ，通过证明::PB EB DB OB =，证得//PD OE ，由此证得//PD 平面AEC .【详解】（Ⅰ）过A 作AF ⊥DC 于F ，∵AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，∴四边形ABCF 为正方形，则CF ＝DF ＝AF ＝1，∴∠DAC ＝90°，得AC ⊥DA ，又PA ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PA ， 又PA ，AD ⊂平面PAD ，PA ∩AD ＝A ，∴AC ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AC ⊥PD ； （Ⅱ）设E 到平面ABCD 的距离为h ，则V P ﹣ACE ()112112329h =⨯⨯⨯⨯-=，得h 23=． 又PA ＝2，则PB ：EB ＝PA ：h ＝3：1．∵BC ＝1，CD ＝2，∴DB 5=DB 交AC 于O ，连接OE ，∵△AOB ∽△COD ，∴DO ：OB ＝2：1，得DB ：OB ＝3：1，∴PB ：EB ＝DB ：OB ，则PD ∥OE ．又OE ⊂平面AEC ，PD ⊄平面AEC ，∴PD ∥平面AEC ．【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面平行的证明考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知O 为坐标原点，抛物线E 的方程为x 2＝2py （p ＞0），其焦点为F ，过点M （0，4）的直线l 与抛物线相交于P 、Q 两点且△OPQ 为以O 为直角顶点的直角三角形． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设点N 为曲线E 上的任意一点，证明：以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【答案】（Ⅰ）x 2＝4y ；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（I ）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和抛物线方程，化简后写出根与系数关系，根据三角形OPQ 是直角三角形，结合向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得p ，由此求得抛物线方程.（II ）设出N 的坐标，求得线段NF 中点N 的纵坐标，结合抛物线的性质，证得结论成立. 【详解】（Ⅰ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y ＝kx +4，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线l 与抛物线的方程242y kx x py=+⎧⎨=⎩，整理可得：x 2﹣8kpx ﹣8p ＝0，所以x 1x 2＝﹣8p ，所以y 1y 222212122()224x x x x p p p=⋅==16， 因为△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，所以OP OQ ⋅=0，即x 1x 2+y 1y 2＝0，所以﹣8p +16＝0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得F （0，1），准线方程为：y ＝﹣1，设N （m ，n ），则NF 的中点M 的纵坐标12n +，即以NF 为直径的圆的圆心M 到x 轴的距离为12n +， 而由抛物线的性质可得|NF |＝n +1，即以NF 为直径的圆的半径为12n +，所以可得圆心M 到x 轴的距离恰好等于圆的半径，所以可证得以FN 为直径的圆与x 轴相切． 【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线方程的求法，属于中档题. 21.已知函数f （x ）＝axe x ，g （x ）＝x 2+2x +b ，若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝g （x ）都过点P （1，c ）．且在点P 处有相同的切线l ． （Ⅰ）求切线l 的方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式k [ef （x ）]≥g （x ）对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）4x ﹣y ﹣2＝0；（Ⅱ）1e≤k ≤e 【解析】 【分析】（I ）根据切点和斜率列方程，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得切线方程.（II ）构造函数()()()h x k ef x g x =-⎡⎤⎣⎦，利用导数研究()h x 的单调性，对k 进行分类讨论，结合()0h x ≥恒成立，由此求得k 的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵f ′（x ）＝ae x（x +1），g ′（x ）＝2x +2，由已知可得()()()()'1'111f g f g c ⎧=⎪⎨==⎪⎩，即243ae ae b c=⎧⎨=+=⎩，解得a 2e =，b ＝﹣1，c ＝2，∴切线的斜率g ′（1）＝4，∴切线l 的方程为y ﹣2＝4（x ﹣1），即4x ﹣y ﹣2＝0， （Ⅱ）由（Ⅰ）可得f （x ）＝2xe x ﹣1，g （x ）＝x 2+2x ﹣1，设h （x ）＝k [ef （x ）]﹣g （x ）＝2kxe x﹣（x 2+2x ﹣1），即h （x ）≥0，对任意x ∈[﹣1，+∞）恒成立，从而h （x ）min ≥0， ∴h ′（x ）＝2k （x +1）e x﹣2（x +1）＝2（x +1）（ke x﹣1），①当k ≤0时，h ′（x ）≤0，h （x ）在[﹣1，+∞）上单调递减，又h （1）＝2ke ﹣2＜0，显然h （x ）≥0不恒成立，②当k ＞0时，h ′（x ）＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣lnk ，（i ）当﹣lnk ＜﹣1时，即k ＞e 时，h ′（x ）≥0，h （x ）单调递增，又h （x ）min ＝h （﹣1）2ke =-+2()2e k e-=＜0，显然h （x ）≥0不恒成立， （ii ）当﹣lnk ＝﹣1时，即k ＝e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （﹣1）2ke =-+2()2e k e-==0，即h （x ）≥0恒成立， （iii ）当﹣lnk ＞﹣1时，即0＜k ＜e 时，当x ∈[﹣1，﹣lnk ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ∈（﹣lnk ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，∴h （x ）min ＝h （﹣lnk ）＝-2lnk ﹣（ln 2k ﹣2lnk ﹣1）＝1﹣ln 2k ≥0，解得1e ≤k ≤e ，∴1e≤k ＜e ， 综上所述得：1e≤k ≤e ． 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，直线l的参数方程为253x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （1）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（2）设点过P 为曲线C 上的动点，点M 和点N 为直线l 上的点，且满足PMN 为等边三角形，求PMN 边长的取值范围.【答案】（1）C：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α参数，02πα≤≤），l ：280x y +-=；（2）⎣⎦【解析】 【分析】（1）利用公式即可容易化简曲线C 的方程为直角坐标方程，再写出其参数方程即可；利用消参即可容易求得直线的普通方程；（2）设出P 的坐标的参数形式，将问题转化为求点P 到直线距离的范围问题，利用三角函数的值域求解即可容易求得结果.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为22120,3sin 2πρθθ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭， 故可得2223sin 12ρρθ+=，则()222312x yy++=，整理得223412x y +=，也即22143x y +=，由0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可得0,0x y ≥≥，故其参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数，02πα≤≤）；又直线的参数方程为2535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故可得其普通方程为280x y +-=.（2）不妨设点P的坐标为()2cos αα， 则点P 到直线280x y +-=的距离d ==0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 容易知4sin 86y πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]6,4--，故可得d ∈⎣⎦. 则三角形PMN，故其范围为⎣⎦.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用参数求点到直线的距离的范围，属综合中档题.23.已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，()3g x x =+． （Ⅰ）当x ∈R 时，有()()f x g x ≤，求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式()0f x ≥的解集为[]1,3，正数a ，b 满足231ab a b m --=-，求+a b 的最小值．【答案】（Ⅰ）(],5m ∈-∞（Ⅱ）()min 7a b +=【解析】 【分析】(I)根据不等式恒成立的等价不等式，可转化为求含两个绝对值的最值，利用绝对值的三角不等式求最值即可；(II)由不等式()0f x ≥的解集为[]1,3可求出m 的值，代入231ab a b m --=-并用a 表示b ，再把b 代入a b +利用基本不等式求出最小值.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：()()f x g x ≤在x R ∈上恒成立，23m x x ∴--≤+在x R ∈上恒成立．()min 32m x x ∴≤++-，又()()32235x x x x ++-≥--+=，当且仅当()()230x x -+≤，即[]3,2x ∈-时等号成立． 5m ∴≤，即(],5m ∈-∞．（Ⅱ）令()0f x ≥，2x m ∴-≤， 若0m ≤时，∴解集为∅，不合题意；若0m >时，2m x m ∴-≤-≤，[]2,2x m m ∴∈-+，又[]1,3x ∈，1m ∴=，∴综上所述：1m =， 22ab a b ∴--=，221a b a +∴=- 00a b >⎧⎨>⎩，∴解得1a >，2241311a a b a a a a +∴+=+=-++--，37a b∴+≥=，当且仅当411aa-=-，即3a=时等号成立，此时2241aba+==-．∴当3a=，4b=时，()min7a b+=．【点睛】本题考查了绝对值的三角不等式，以及利用基本不等式求最值，属于一般题.。
江西省九江市2020届高三第三次高考模拟统一考试文科数学试题含答案【推荐】.doc
九江市2020年第三次高考模拟统一考试文科数学第I卷（共60分）、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2—i1. 复数z二------ （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）1 -2iA.第一象限 B •第二象限 C •第三象限 D •第四象限2. 设全集U 二R，集合A 二「x |x^-2 或x_3? , B“x|x ・1,贝U Cu A U B 二（）A. *.x|x_—2? B . 、x|x —2? C • l x|1：：：x ：：3? D. *.x|1：：：x乞3.若从集合〈1,2,3,5?中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为()A . 1B . 1C . 2D 1 4 2 4 34 . 已知数列（a n［为等比数列，若a? = 2, aw = 8，贝V a6 二()A.4 B . -4 C. 4 D .52 2x y5.若双曲线C : r 2 =1的离心率为2，则直线mx • ny -1 = 0的倾斜角为（）m n5- 2 二兀.5兀A. B C. —或一6 3 6 66.已知a =21.3,b =4°.7,c =log38，贝y a,b,c的大小关系为(A. a ：： c ：： b B . b :: c :: a C.7.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）怡]|X (U l|k=k + ]A .-lg9B .-1C.-lg11D.1‘X + y K a8. 已知实数x, y 满足* x — y Ea(a>0), 严2丄 2z= x + y 的最小值为 2，则a 的值为（ )"aA.罷B .2C.2渥D.49.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时， 发现有这样的一列数1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列订,称为斐波那契数列•则 现-a 2a 4- a 3a 5- a 4a 6 -昕7 - a 6a ^?：a f ■ a 3■ a 4a 5 a 6■a 7=（）A . 0B. -1C.1D. 210.如图所示，在棱长为6的正方体ABCD -ABQD 中，点E,F 分别是棱C 1D 1,B 1C 1的中点，过代E,F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）A . 18 3、、2 BC. 6.5 9.2D6 13 3三10 3、24.1011.在平面直角坐标系2xOy 中，已知抛物线E: y =2px p 0的焦点为F,P 是抛物线 E 上位于最大值为（ ）第一象限内的任意一点, Q 是线段PF 上的点，且满足OQ/OP 」#，则直线3 3OQ 的斜率的A ——B . 、3 C. 1 D . i 22佗已知函数f x =alnx x -l a 2 x恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）A.—1,二 B . —2,0 C. -1,0 D . —2,_1第U卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）e * x13. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f x =2 -1，则f f -1的值为__________ .14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某一几何体的三视图，则该几何体的体积为___________ .15. 已知向量a = 1, -3 , b - -2,6，若向量c与a的夹角为60，且c • a • b - -10，则c = ________ ._ A16. 已知数列:an紺勺前n项和为Sn,且满足a1 =1,an an 1 = 2&，设g二Tr2-，则数列的3n前n项和为___________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC中，内角代B,C所对的边分别为a,b,c，且满足b2• c2- a2= 2bcsinB B C .（1）求角A的大小；卄n（2）若a =2,B ，求ABC的面积.318. 某农科所发现，一种作物的年收获量y （单位：kg ）与它“相近”作物的株数x具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近作物的株数为1,2,3,5,6,7时，该作物的年收获量的相关数据如下：y6055 53 46 4541(1)求该作物的年收获量 y 关于它“相近”作物的株数 x 的线性回归方程;(2)农科所在如图所示的直角梯形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点)处都种了一株该作物， 图中 每个小正方形的边长均为 1,若从直角梯形地块的边界和内部各随机选取一株该作物，求这两株作物“相近”且年产量仅相差 3kg 的概率. 附：对于一组数据x 1,y 1 , x 2,y 2 ,..., x n ,y n ，其回归直线y = bx • a 的斜率和截距的最小二乘估nnS X i y — nxy 迟(K—x)® - y) 计分别为，b=宇 _ v Z x 2 -n(x)2i 生19.如图所示，等腰梯形 ABCD 的底角 A 等于60，直角梯形 ADEF 所在的平面垂直于平面a = y - bxn_' (X i -X )2i £二AD =2AB =2AF .证明：平面 ABE _平面EBD ;(1)(2) 若三棱锥A- BDE的外接球的体积为8三,3 求三棱锥A - BEF的体积.20.2 2已知椭圆C*計a b e的长轴长为4，离心率为山3(1) 求椭圆C的方程;(2) 过椭圆C上的任意一点P ，向圆O : x2 y2二r20 ■ r < b引两条切线1(2，若1(2的斜率乘积恒为定值，求圆O的面积.x _121. 已知函数f x2(a R ).In x — ax(1 )当a=0时，求函数 f x 的单调区间；(2)若对于任意xw 〔1,e ，不等式f x . 1恒成立，求 a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，点 P 的极坐标是 .3/ ，曲线 C 的极坐标方程为 T =4cos.以极点为I 2丿I 3丿坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 -1的直线I 经过点P . (1 )写出直线I 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线I 和曲线C 相交于两点 代B ，求PA PB 的值. I P B I PA I23. 选修4-5 :不等式选讲已知函数 f x =2 X 1| —|x —a (a ・ R). (1 )若a=1，求不等式 f x _5的解集； (2)若函数f x 的最小值为3，求实数 a 的值.九江市2017年第三次高考模拟统一考试文科数学试题参考答案一、选择题 1-5ABBCC 6-10CBBAB 11-12: DC三、解答题]*rQQQ17. 解：(1) * A B C =叭 sin B C A si n A, b c -a -2bcsi nA ，二、填空题13. -114.15.2.1016.“ n 1 1 n3nb2 c22 -a2bc =si nA，由余弦定理得* * HcosA^si nA=ta nA = 1，又，A「0,二，A .4(2)根据正弦定理得b =asin Asin B 〜6 ,又sinC=sin A B 二sin1 - 1 18.解：⑴：x 1 2 3 5 6 7 ；=4, y 60 55 53 46 45 • 41 ；=50 ,6 66 _ _'X i -X y i —y 》！—310V 25V 13 1 -4 2 -5 3 —9B-84,i 4—2工222222— X i ； m 「3 ］亠 i 2-1 12 22 32 =28,收获量 y 关于它相邻作物的株数 x 的线性回归方程为y = -3x • 62 .⑵ 由(1)得，当x = 4时，y - -3 4 • 62 = 50，从直角梯形地块的边界和内部各随机选取一株该作物，共有 10 2=20种情形，因为这两株作物年产量仅相差 3kg ，故满足条件的情形有 4种，所以这两株作物 4 1“相近”且年产量仅相差 3kg 的概率为4 = 120 519.解：⑴因为平面ADEF _平面ABCD ，平面ADEF 门平面ABCD = AD,ED _ AD, ED 二平ADEF , ED _ 平面 ABCD ，\ AB 平面 ABCD , AB _ ED ，又：AD =2, AB =1,A =60：,. AB_BD .又 BD 门 ED=D,BD,ED 平面 EBD, AB _ 平面EBD，又A 兀平面ABE ，所以平面ABE -平面EB D .(2)由(1)得AD _ DE, AB _ BE ，所以三棱锥 A - BDE 的外接球的球心为线段 AE 的中点4I AE ，解得 AE =2 2, AD 二 ED =2,AB 二 AF =1，3 2 320.解：(1)依题意得a =2,又 c ,6 e, 2^62 2c,b a_c 2 =4_8 二 —，故椭圆C 的方程a 333 3为 &愛=1.4 4⑵设P 心y °，则2 2 X . 3y 0 24= 1,y °2x 0，设切线方程为4 433V A -BEF 二 V B 」EF1•ABC = 2 ab sin C_1.2 ...Q .2 3「32X i y i -nx yi 4 nX i 2 -n(x)2n _ _、(X i -x)(y i-y)i 4 _____________________n _'(X -x)2i 二84 3, a 28= y _bx =：50・3 4=62,故该作物的年x 2-1 Inx-ax^ a ■ ，令「x 1 x 1 - 2ln x .,'X30,：x 在(2 \ 1,\e 上单递减，. x — -1,0 ,. a —0，综上所述, \e 丿a 的取值范围为.f 兀）22.解：⑴ 由曲线 C 的极坐标方程 P =4cosp-二 可得 I 3丿- 2cos ) 2、. 3 sin 二，即 7 =2'cosv 2.,^?sinv ，因此曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 y 2 _2x -2、. 3y = 0 ,即x-1'讨-、3=4，点P 的直角坐标为 0,'、3，直线 l 的倾斜角为X = _ ---- 1方程为 2 _ (t 为参数)• I 厂亠血y — 3 t L 2, , , 门y 。
2020届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试题
高三第三次模拟考试数学文科卷满分:150分 时间:120分钟一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}(2)(1)0M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（ ）A ．(11)-，B ．(21)--，C ．(21)-，D ．(12)，2．设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．183．给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．设等比数列{}n a 的公比q =2，前n 项和为S n ，则24a S = （ ） A ．4 B ．2 C ．217D ． 2155. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π3B.π37C.π320D.π 6. 函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ） A ．1-，1B ．2-，2C ．2-，32D ．3-，327. 下列程序运行结果是 ( ) s=0；i=1；j=0；while s<30 s=s+i ； i =i +3； j=j+1； endprint(%io(2),j)A ． 4B ．5C ．6D ．78．右图是由一个圆，一个三角形和一个长方形组合而成的图形，现用红，蓝两种颜色为其涂色，则三个图形颜色不全相同的概率为 （ ） A.34 B. 38 C.14 D.189.已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为23π，点C 是弧AB 的中点，12OD OB =-，则C D A B ⋅的值为 （ ）A ．3B ．4C ．3-D ．4-10. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，a b b ⊕=2。
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4
（Ⅰ）假设该商场在这 90 天内每天进货 100 公斤，求这 90 天荔枝每天为该商场带来的平均
利润（结果取整数） ；
（Ⅱ）若该商场每天进货量为 200 公斤，以这 90 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生
的概率，求当天该商场不亏损的概率 .
19. 如图， PAD 是边长为 3 的等边三角形，四边形 ABCD 为正方形，平面 PAD 平面
A． 1,36
B
． 36,
C． 1,16 36,
D
． 1,16
xy2 10. 已知变量 x ， y 满足 x 2y 2 0 ，若方程 x2 y2 6 y k 0 有解，则实数 k 的最小
2x y 4 0
值为（ ）
A． 4 5 45 5
B
． 29
45 3
C．
D
． 16
5
3
5
11. 将函数 f x 3sin 2x cos2 x 的图象向左平移 t t 0 个单位后， 得到函数 g x 的图
ABCD . 点 E 、 F 分别为 CD 、 PD 上的点，且 PF CE 1 ，点 G 为 AB 上的一点，且 FD ED 2
AG
.
GB
名师精准押题
（Ⅰ）当
1
时，求证：
PG / / 平面 AEF ；
2
（Ⅱ）当 FG AC 时，求三棱锥 A EFG 的体积 .
20. 已知椭圆 C ： x2 a2
的值为（ ）
A． 1
B
． -1
C
．1
D
．2
2. 命题 p ： x 2 ， 2x 3 0 的否定是（ ）
A． x 2 ， 2x 3 0
B
． x 2 ， 2x 3 0
C． x0 2 ， 2 x 3 0
D
． x0 2， 2x 3 0
3. 设 i 为虚数单位，若复数 z
a
i a R 的实部与虚部互为相反数，则 a （ ）
象，若 g x g
x ，则实数 t 的最小值为（ ）
12
A． 5 24
B
．7
C
．5
D
．7
24
12
12
12. 已知关于 x 的不等式 m x2 2 x ex 1 ex 在
,0 上恒成立，则实数 m 的取值范围为
（）
A． 1,
B
． 0,
C
．
1 ,
2
D
．
1 ,
3
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上）
A．
B
．
C
．
D
．
7. 数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的
方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”
. 图 2 所示的是某个部落一
段时间内所擒获猎物的数量， 在从右向左依次排列的不同绳子上打结， 右边绳子上的结每满 7
个即在左边的绳子上打一个结，请根据图
17. 已知正项等比数列
an 的前 n 项和为 Sn ，且 2a2Biblioteka S21 ， a32.
2
（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；
（Ⅱ）若 bn log 2 an 3 ，数列
1
的前 n 项和为 Tn ，求满足 Tn
1
的正整数
n 的最小
bn bn 1
3
值. 18. 新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相
. 某大型超市进行扶贫工作，按计划每
年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤
20 元，售价为每公斤 24 元，未
售完的荔枝降价处理，以每公斤 16 元的价格当天全部处理完 . 根据往年情况，每天需求量与
当天平均气温有关 . 如果平均气温不低于 25 摄氏度， 需求量为 n 300 公斤； 如果平均气温位
于 20,25 摄氏度，需求量为 n 200 公斤；如果平均气温位于 15,20 摄氏度，需求量为
13. 已知向量 a 2,1 ， b 1 x, x ， c 3x,3x ，满足 a / / b ，则 b ， c 夹角的余弦值
为
．
14. 双曲线 C ： x2 a2
y2 b2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2，其渐近线与圆
2
xa
y2
3
相
4
切，则该双曲线的方程为
．
15. 已知球面上有四个点 A ， B ， C ， D ，球心为点 O ， O 在 CD 上，若三棱锥 A BCD 的
C． m 4
D．由表格数据知，该回归直线必过点
9,4
5. 在等差数列 an 中， a3 a5 12 a7 ，则 a1 a9 （ ）
A． 8
B
． 12
C
．16
D
． 20
6. 在同一直角坐标系中，函数 f x 2 ax ， g x log a x 2 （ a 0 ，且 a 1 ）的图
象大致为（ ）
名师精准押题
n 100 公斤；如果平均气温低于 15 摄氏度，需求量为 n 50 公斤 . 为了确定 6 月 1 日到 30
日的订购数量，统计了前三年 6 月 1 日到 30 日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分
布表：
平均气温
10,15
15,20
20,25
25,30
30,35
35,40
天数
2
16
36
25
7
体积的最大值为 8 ，则该球 O 的表面积为
．
3
16. 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 a
则 b c 的最大值为
．
3 ， 1 tan A tan B
2c
，
b
名师精准押题
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1 2i
A． -5
B
．5
C
． -1
D
1
．
3
3
4. 已知变量 x ， y 之间的线性回归方程为 y 0.7x 10.3，且变量 x ， y 之间的一组相关数
据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）
x
6
8
10
12
y
6
m
3
2
A．变量 x ， y 之间呈现负相关关系
B．可以预测，当 x 20 时， y 3.7
2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为
（）
A． 336
B
．510
C
．1326
D
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a （ ）
． 3603
A． 1 4
B
4
．
C
5
9. 若函数 f x
logm
4 x2 m （ m x
．4
D
．5
0 且 m 1）在 2,3 上单调递增，则实数
m 的取值
范围为（ ）
名师精准押题
名师精准押题
2020 届高三第三次模拟考试 数学（文科）试题
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合 M x | 1 x 2 ， N x | x2 mx 0 ，若 M N x |0 x 1 ，则 m