人教版八年级数学下册 第1讲 二次根式的性质与化简

第1讲 二次根式的性质与化简

考点一：二次根式的概念

定义：一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号，a 叫

做被开方

二次根式应满足两个条件： ①有二次根号“

”，即根指数为2；

②被开方数是正数或0（非负数） 注意：

①表示a 的算术平方根； ②a 可以是数,也可以是式； ③形式上含有二次根号

④a ≥0,

a ≥0 ( 双重非负性)；

⑤既可表示开方运算,也可表示运算的结果.

经典题型

1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

2、

3

3、

x

1

、 )0(＞x x 、 0、

4

2、 y +x （x ≥0，y ≥0）

2．下列各式中，不是二次根式的是（ ）

A ．

45

B. 3- C . 32+a D.

3

2 D .

3．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）

A.

7- B.3m C. D.2x

考点二：二次根式的双重非负性

a

（1）被开方数 a ≥0 （2）二次根式a ≥0 应用：非负性求值 例如：已知

32552x --+

-=x y 求x 的值。

解：

5250,5202

x x x -≥-≥∴=

经典例题

例1.要使式子

1

1

-+m m 有意义，则m 的取值范围 。 例2.若式子12112+-+-x x 有意义，则x 的取值范围是 。

例3.使代数式

x x 343

1

-++有意义的整数x 有 例4.若3-|2|b a +++（c -4）²，则a -b+c= 。

随堂练习

1．使代数式

4

-x 3

-x 有意义的x 的取值范围是（ ）

A ．x>3

B ．x≥3

C ． x>4

D ．x≥3且x≠4

2．若

2-2-+x x +y=4成立，则xy=（ ）

A ．0

B ．6

C ．8

D ．16

3．若3-m +（n+1）²=0，则m+n 的值为 。

4．已知x,y 为实数，且1-x +3（y -2）²=0，则x -y 的值为（ ） A ．3

B ．-3

C ．1

D ．-1

考点三：二次根式的性质

（1）二次根式的基本性质： ①a≥0；a ≥0 （双重非负性）．

②（

a ）2=a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③a =a （a≥0）（算术平方根的意义）

经典例题

例1.计算：

)2

3

(

² ）（53

² 2

)6

5(

2

2

7）（

例2．计算：

（1）9 （2） 24-）

（ （3）25 （4）23-）（

例3．如图：A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简：

2

2)(b)-(c -|b -a |c a -+

随堂练习

1．计算下列各式的值：

2

7-）（= ；2-Π）（= ；23-）

（∏= 。 2．如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简 │a －b│+ 的结果等于（ ）

A ．－2b

B ．2b

C ．－2a

D ．2a

3．如果1≤a≤ 2 ，则44a 2+-a +|a ﹣1|的值是（ ）

A ．1

B ．﹣1

C ．2a ﹣3

D ．3﹣2a

考点四：二次根式的积和商的性质

性质1．积的算术平方根 用“＞，＜或＝”填空：

， 性质2．商的算术平方根 填空：

4×94×916×

2516×25100×36

一般地，二次根式的积与商有如下性质：

积的性质：

(a ≥0,b ≥0，积的算术平方根等于各算术平方根的积)；

商的性质：

（a ≥0,b ＞0商的算术平方根等于各算术平方根的商）．

经典例题

例1．化简：

随堂练习

1．化简：

2．商的算术平方根填空：

9

16

＝________，9

16＝________；1636＝________，16

36

＝________；9

16______916

；16

36______

1636

=

（1）9×

16；（2）16×81；（3）81×

100；（4

（5）（6）

64b 2

9a

2

．1．化简：

（1

；（2

（3；（4）)169()144(-⨯-．

2．化简：

6431）（ 81362）（

考点五：最简二次根式

最简二次根式：

（1）根号内不再含有可以开方的因式；

（2）根号内不再含有分母；

（3）结果的分母中不含根号.

经典例题

例1．化简：

1）364；（2）3681；（3）64b 29a 2；（4）

9x

64y 2.(1)12；（2）

54；

（3

；（4）

；（5）1.5；（6）