四川省高考文科数学真题及详细解析解析版学生版精校版

四川省高考文科数学真题及详细解析解析版学生版精校版The latest revision on November 22, 20202016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i 2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．33．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y ＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．27．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：=，=，lg2=）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A ．35B ．20C ．18D ．99．（5分）已知正三角形ABC 的边长为2，平面ABC 内的动点P ，M 满足||=1，=，则||2的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）设直线l 1，l 2分别是函数f （x ）=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）sin750°=．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则b为整数的概率是．loga14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，），[，1），…，[4，]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）已知数列{an }的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，S n+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en ，且e2=2，求e12+e22+…+en2．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA||MB|=|MC||MD|21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．2016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】1E：交集及其运算．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】利用交集的运算性质即可得出．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D．【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【考点】3A：函数的图象与图象的变换；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】4A：数学模型法；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可得答案．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A．【点评】本题考查的知识点是函数图象的平移变换法则，熟练掌握图象平移“左加右减“的原则，是解答的关键．5．（5分）设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y ＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取x=3，y=．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．7．（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：=，=，lg2=）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】设第n年开始超过200万元，可得130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边取对数即可得出．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）＞lg2﹣，n﹣2015＞=．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所着的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．35 B．20 C．18 D．9【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．【考点】91：向量的概念与向量的模．【专题】31：数形结合；35：转化思想；56：三角函数的求值；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．解法二：取AC 中点N ，MN=，从而M 轨迹为以N 为圆心，为半径的圆，B ，N ，M 三点共线时，BM 为最大值．所以BM 最大值为3+=．故选：B ．【点评】本题考查了数量积运算性质、圆的参数方程、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设直线l 1，l 2分别是函数f （x ）=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（0，2）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】设出点P 1，P 2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l 1与l 2的斜率，由两直线垂直求得P 1，P 2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A ，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P 的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围．【解答】解：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（0＜x 1＜1＜x 2）， 当0＜x ＜1时，f′（x ）=，当x ＞1时，f′（x ）=，∴l 1的斜率，l 2的斜率，∵l 1与l 2垂直，且x 2＞x 1＞0， ∴，即x 1x 2=1．直线l 1：，l 2：．取x=0分别得到A （0，1﹣lnx 1），B （0，﹣1+lnx 2），|AB|=|1﹣lnx 1﹣（﹣1+lnx 2）|=|2﹣（lnx 1+lnx 2）|=|2﹣lnx 1x 2|=2．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=，∴|AB||x|==．P＜1，∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）sin750°=．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题考查运用诱导公式化简求值，着重考查终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值，属于基础题．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为1，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．【点评】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，是基础题．13．（5分）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则b为整数的概率是．loga【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．b为整【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出loga 数满足的基本事件个数，由此能求出logb为整数的概率．a【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，logb为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，ab为整数的概率p=．∴loga故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14．（5分）若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）= ﹣2 ．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3T：函数的值．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是②③．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】23：新定义；36：整体思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特殊值法进行排除即可．【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，故答案为：②③【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确理解“伴随点”的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，），[，1），…，[4，]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【考点】B8：频率分布直方图；BB：众数、中位数、平均数．【专题】38：对应思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（++a+++a+++）×，整理可得：2=+2a，∴解得：a=．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（++）×=，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×=万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；×+×+×+×=＜，+×=＞，∴中位数应在（2，]组内，设出未知数x，令×+×+×+×+×x=，解得x=；∴中位数是2+=．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（Ⅰ）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（Ⅱ）证明：平面PAB⊥平面PBD．【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME平面PAB，PA平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE平面PAB，AB平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM平面CME，∴CM∥平面PAB若M为AD的中点，连接CM，由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，CM平面PAB，AB平面PAB，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{an }的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，S n+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en ，且e2=2，求e12+e22+…+en2．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得a 2与a 3的值，又由a 2，a 3，a 2+a 3成等差数列，可得2a 3=a 2+（a 2+a 3），代入a 2与a 3的值可得q 2=2q ，解可得q 的值，进而可得S n+1=2S n +1，进而可得S n =2S n ﹣1+1，将两式相减可得a n =2a n ﹣1，即可得数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意S n+1=qS n +1，同理有S n =qS n ﹣1+1，将两式相减可得a n =qa n ﹣1，分析可得a n =q n ﹣1；又由双曲线x 2﹣=1的离心率为e n ，且e 2=2，分析可得e 2==2，解可得a 2的值，由a n =q n ﹣1可得q 的值，进而可得数列{a n }的通项公式，再次由双曲线的几何性质可得e n 2=1+a n 2=1+3n ﹣1，运用分组求和法计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n }的首项为1，即a 1=1， 又由S n+1=qS n +1，则S 2=qa 1+1，则a 2=q ， 又有S 3=qS 2+1，则有a 3=q 2，若a 2，a 3，a 2+a 3成等差数列，即2a 3=a 2+（a 2+a 3）， 则可得q 2=2q ，（q ＞0）， 解可得q=2， 则有S n+1=2S n +1，①进而有S n =2S n ﹣1+1，② ①﹣②可得a n =2a n ﹣1，则数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列， 则a n =1×2n ﹣1=2n ﹣1；（Ⅱ）根据题意，有S n+1=qS n +1，③ 同理可得S n =qS n ﹣1+1，④ ③﹣④可得：a n =qa n ﹣1， 又由q ＞0，则数列{a n }是以1为首项，公比为q 的等比数列，则a n =1×q n ﹣1=q n ﹣1； 若e 2=2，则e 2==2，解可得a 2=， 则a 2=q=，即q=， a n =1×q n ﹣1=q n ﹣1=（）n ﹣1，则e n 2=1+a n 2=1+3n ﹣1，故e 12+e 22+…+e n 2=n+（1+3+32+…+3n ﹣1）=n+．【点评】本题考查数列的递推公式以及数列的求和，涉及双曲线的简单几何性质，注意题目中q＞0这一条件．20．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA||MB|=|MC||MD|【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条件求得a，b得答案；（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把|MA||MB|化为（|AB|）2，再由两点间的距离公式求得|MC||MD|的值得答案．【解答】（Ⅰ）解：如图，由题意可得，解得a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=，联立，得x2+2mx+2m2﹣2=0．∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），则，|AB|==．∴x=﹣m，，即M（），则OM所在直线方程为y=﹣，联立，得或．∴C（﹣，），D（，﹣）．则|MC||MD|===．而|MA||MB|=（10﹣5m2）=．∴|MA||MB|=|MC||MD|．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f （x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证，令h（x）=，则h′（x）=，=h（1）=e，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得，设t（x）=，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，∵t（1）=0，∴有t′（x）=2ax=≥0在（1，+∞）内恒成立，令φ（x）=，则φ′（x）=2a=，当x≥2时，φ′（x）＞0，令h（x）=，h′（x）=，函数在[1，2）上单调递增，=h（1）=﹣1．∴h（x）mine1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，由2a﹣1≥0，∴a≥．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．。