MATLAB在高等数学中的应用

x
p


i
x
p i
p
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
写成矩阵形式可表示为：AX＝B 或 XA＝B。其中系数矩
阵A的阶数为m×n。在MATLAB中，引入矩阵除法求解。 求解方程AX=B 格式：X=A\B 条件：矩阵A与矩阵B的行数必须相等。 例如：矩阵的基本运算示例——求解方程组。
阵P(用来表示排列规则的矩阵)，满足L*U=P*A；如果P为单
位矩阵，满足A=L*U。
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
Leabharlann Baidu
>> a=[1:3;4:6;4,2,6]
a=
1 4 2 5 3 6
4
2
6
>> [L,U]=lu(a) L=
0.2500 -0.2500
1.0000 1.0000 0 1.0000
>> x = inv(A)*b
x= 1.0000 -1.0000 2.0000
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
>> %求解方程，使用矩阵左除运算 >> x = A\b x= 1.0000 -1.0000 2.0000
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
4．矩阵的分解
(1)三角(LU)分解函数lu
x
p


i
x
p i
p
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
3.1 矩阵分析
1．矢量范数和矩阵范数 矩阵范数是对矩阵的一种测度。矢量的p范数和矩阵A的p 范数分别定为：
1/ p
x
p
p xi i
A
p
max
x
Ax x
p
p
当p＝2时为常用的欧拉范数，一般p还可取l和∞。这在
x
p


i
x
p i
p
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
格式：X=det(A)
功能：计算方阵A的行列式值。
2．线性代数方程求解
a11x1 a12 x2 a1n x1n b1
一般线性 方程组的
a21x1 a22 x2 a2 n x1n b2 am1 x1 am 2 x2 amn x1n bm
1 0 0 0 l 1 0 L 21 0 l n1 l n 2 1
格式一：[L,U]=lu(A)
u11 u12 0 u 22 U 0 0
u1n u2n u nn
功能：返回一个上三角矩阵U和一个置换下三角矩阵L(即下 三角矩阵与置换矩阵的乘积)，满足A=L*U。 格式二：[L,U,P]=lu(A) 功能：返回上三角矩阵U，真正下三角矩阵L，及一个置换矩
U=
4.0000
0
5.0000
0
6.0000
0
0 -3.0000
1.5000
P=
0 0 1 0 0 1
1
0
0
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
(2) 正交(QR)分解函数
将矩阵A分解为一个正交矩阵与另一个矩阵的乘积称为矩 阵A的正交分解。 格式一：[Q, R]=qr(A) 功能：产生与A同维的上三角矩阵R和一个实正交矩阵或复 归一化矩阵Q，满足：A=Q*R，Q’*Q=I。 格式二：[Q,R,E]=qr(A)
⑵ p=2时，计算矩阵A的最大奇异值，等同于norm(A)。
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
⑶ p=‘fro’时，计算矩阵A的Frobenius范数，即
sqrt(sum(diag(A’*A)))。 ⑷p=’inf‘时，计算矩阵A的无穷范数，或行的和的最 大值max(sum(abs（A’)))。 当A为向量时，函数norm所求的范数为： ⑴norm(A,p) 对任意的p（1≤p＜∞），可得到 sum(abs(A).^p)^(1/p)。 ⑵ norm(A) 返回值norm(A,2)。
1.0000
0 0
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
U=
4.0000 5.0000 6.0000 0 0 -3.0000
0
0
1.5000
>> [L,U,P]=lu(a)
L=
1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0
0.2500 -0.2500
1.0000
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
MATLAB中可利用norm函数实现，p缺省时为p=2。
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
格式：n＝norm(A)
功能：计算矩阵A的最大奇异值，相当于
n=max(svd(A))。 格式：n＝norm(A，p)
功能：norm函数可计算几种不同类型的矩阵范数，根据p
的不同可得到不同的范数。 ⑴ p=1时，计算矩阵A的1范数，即矩阵A按列求和的最 大值，max(sum(abs(A)))。
所谓三角分解就是将一个方阵表示成两个基本三角阵的
乘积(A=LU），其中一个为下三角矩阵L，另一个为上三角形
矩阵U，因而矩阵的三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩阵
A {aij }nn
分解的两个矩阵分别可表示为：
x
p


i
x
p i
p
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
功能：产生一个置换矩阵E，一个上三角矩阵R(其对角线
元素降序排列)和一个归一化矩阵Q，满足A*E=Q*R；
x1 x2 2 x3 2 3 x1 x2 x3 6 x 3 x 4 x 4 2 3 1
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
>> %创建线性方程组的系数矩阵和向量
>> A = [-1 1 2; 3 -1 1; -1 3 4]; >> b = [2;6;4]; >> %求解方程，使用矩阵求逆的方法
第 3 章 MATLAB在高等数学中的应用
⑶ norm(A，inf) 返回值max(abs(A))。
2．矩阵求逆及行列式值 ⑴矩阵求逆函数inv及行列式值函数det 逆矩阵的定义：对于任意阶 n×n 方阵A，如果能找到一
个同阶的方阵V，使得满足：A*V=I。其中I为n阶的单位矩阵
eye(n)。则V就是A的逆矩阵。数学符号表示为：V=A-1。逆 矩阵V存在的条件是A的行列式不等于0。 格式：V=inv(A) 功能：返回方阵A的逆矩阵V。