知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -基础

《解析几何初步》全章复习与巩固

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；

3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；

6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；

7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】

【要点梳理】

要点一：直线方程的几种形式

（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．

（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．

（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；

③2

2

0(0)Ax By C A B ++=+≠；

④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．

要点二：两条直线的位置关系

1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为0

90，互相平行；

(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为0

90），另一条直线的倾斜角为0

0时，两直线互相垂直。 2．斜率都存在时两直线的平行：

（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠

（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则

1l ∥2l ⇔

2

1

2121C C B B A A ≠= 。 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定。

3．斜率都存在时两直线的垂直：

（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则

1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．

要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2

2

00B

A C

By Ax d +++=

2．两平行线间的距离公式

已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与

2l 的距离为2

2

21B

A C C d +-=

。

要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题

1．点关于点成中心对称

点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。

设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--。 2．点关于直线成轴对称

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：

设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122

y y k x x y y x x k b '-⎧

⋅=-⎪'-⎪

⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、

y '。

特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-。

3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --。

要点五：圆的方程

求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．

1．圆的标准方程

222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.

要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2

2

2

x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222

a b r +=.

(2)圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

2．圆的一般方程

当22

40D E F +->时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,2

2D E ⎛⎫

-

- ⎪⎝⎭为圆心，