最小二乘法拟合插值法概论
插值法与最小二乘法
插值法与最小二乘法插值法与最小二乘法一、内容分析与教学建议本章内容统称为插值法，包括Lagrange插值、逐步线性插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段多项式插值、有理函数插值等内容，既是教学的重点。
在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，建立插值概念，注意讲解上述插值是如何根据实际问题要求的提高而先后发展起来的。
培养学生分析问题和解决问题的能力。
Lagrange插值1、回顾《高等数学》的Taylor公式，讲解Taylor公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。
2、将上述思想应用到多点的信息，即根据所给的多点的数据，建立插值多项式。
3、讲解过程中，沿着“发现问题EMBED Equation.DSMT4 提出解决方法EMBED Equation.DSMT4 方法的存在性和惟一性EMBED Equation.DSMT4 建立Lagrange插值公式EMBED Equation.DSMT4 误差公式”这样一个思路去讲解Lagrange插值的思想和方法。
逐步线性插值1、讲解为什么要建立逐步线性插值？这是由于Lagrange插值没有承袭性，当需要增加一个插值节点时，以前所做的工作要全部重做。
2、逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭代过程，正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。
3、强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法，不太适合建立插值解析式。
Newton 插值1、Newton 插值克服了上述两类插值的缺点，继承了它们的优点：即具有承袭性，又是一个完整的解吸式，便于理论研究和分析。
2、首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质，在此基础上建立Newton 插值公式和误差公式。
3、Newton 插值公式实际上是Lagrange插值公式的另外一种表现形式，这揭示了一种现象：将已有成果通过引入新思想、新方法，对其进行加工、改造，完全有可能产生新的、更好的成果。
数值计算方法插值与拟合
数值计算方法插值与拟合数值计算方法在科学计算和工程应用中起着重要的作用，其中插值和拟合是其中两个常用的技术。
插值是指通过已知的离散数据点来构造出连续函数或曲线的过程，拟合则是找到逼近已知数据的函数或曲线。
本文将介绍插值和拟合的基本概念和常见的方法。
一、插值和拟合的基本概念插值和拟合都是通过已知数据点来近似表达未知数据的方法，主要区别在于插值要求通过已知数据点的函数必须经过这些数据点，而拟合则只要求逼近这些数据点。
插值更加精确，但是可能会导致过度拟合；拟合则更加灵活，能够通过调整参数来平衡拟合精度和模型复杂度。
二、插值方法1. 线性插值线性插值是一种简单的插值方法，通过已知数据点构造出线段，然后根据插值点在线段上进行线性插值得到插值结果。
2. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式插值的方法，通过已知数据点构造出一个多项式，并根据插值点求解插值多项式来得到插值结果。
3. 分段线性插值分段线性插值是一种更加灵活的插值方法，通过将插值区间分成若干小段，然后在每个小段上进行线性插值。
三、拟合方法1. 最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的拟合方法，通过最小化实际观测点和拟合函数之间的残差平方和来确定拟合函数的参数。
2. 多项式拟合多项式拟合是一种基于多项式函数的拟合方法，通过选择合适的多项式次数来逼近已知数据点。
3. 曲线拟合曲线拟合是一种更加灵活的方法，通过选择合适的曲线函数来逼近已知数据点，常见的曲线包括指数曲线、对数曲线和正弦曲线等。
四、插值与拟合的应用场景插值和拟合在实际应用中具有广泛的应用场景，比如图像处理中的图像重建、信号处理中的滤波器设计、金融中的风险评估等。
五、插值与拟合的性能评价插值和拟合的性能可以通过多种指标进行评价，常见的评价指标包括均方根误差、相关系数和拟合优度等。
六、总结插值和拟合是数值计算方法中常用的技术，通过已知数据点来近似表达未知数据。
插值通过已知数据点构造出连续函数或曲线，拟合则找到逼近已知数据的函数或曲线。
最新-数值计算方法课件CH3插值法与最小二乘法—37数据拟合的最小二乘法-PPT文档资料
转化
(a0,a1, 取,an 极)小值
a0*,的a1*问,题,an*
由多元函数取极值的必要条件
得：
(a0,a1,,an) 0
ak
k0,1,,n
ak
m
n
i[2( ajj(xi)yi)k(xi)] 0
i0
j0
移项整理得：
mn
m
i ajj(xi)k(xi) iyik(xi)
i0 j0
i0
交换求和号顺序得：
n[ mij(xi)k(xi)a ]j miyik(xi) (k0,1, ,n) (7)
j0i0
i0
即
m
m
m
a0 i0(xi)k(xi)a1 i1(xi)k(xi) an in(xi)k(xi)
m
Байду номын сангаас
m
((jj,, kk)) ij(xi)k(xi) ik(xi)j(xi)(k,j) (8)
i0
i0
m
(f,k) iyik(xi)
(9)
i0
方程组(7)便可化为:
n
n
(j,k)aj (k,j)aj (f,k)(k0,1, ,n) (10)
一、最小二乘法的基本概念
根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠 近这些点的直线,其方程都可表示为：
S(t)atb
(1)
其中: a, b 待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种 度量标准来衡量最靠近所有数据点 (ti , si ) (的i直0,1线,....m ,)
若 a, b 给定,计算值 S(ti) 与测量数据 si 之差为:
第6章 插值与最小二乘法
( 2. 3 )
k = 0, 1 ,⋯, n .
（L 再构造 插值多项式 n(x)是n+1个插值基函数的线性组合）
Ln ( x） f ( x k ) l k ( x )
k 0
n
定理2（Lagrange）插值多项式 设 y f ( x )函数表( xi , f ( x i ) ) ( i 0, 1, ..., n) ( xi xj , 当 i j ) , 则满足插值条件 n ( x i ) f ( xi )， 0,1...n)的插值多项式为 L (i
解决思路：根据 f (x)在已知点的值，求一个足够光滑又比较简
单的函数φ(x)作为 f (x)的近似表达式，然后计算φ(x)在[a,b] 上点
x 处的函数值作为原来函数 f (x)在此点函数值的近似值。
插 值 法 代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
曲 线 拟 合
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近 似函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这 些点上的总偏差量最小，这类方法称为曲线拟合 的最小二乘法。
(1) 设已知y f ( x )函数表( xi , f ( xi )), i 0, 1, ..., n), xi x j ,
当i j , xi [a , b], Ln( x )为满足插值条件的 次插值多项式。 n
一、线性插值与抛物线插值 1、线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数 值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)， 求线性插值 多项式L 1(x ) ，使其满足
L1 ( x k ) y k , L1 ( x k 1 ) y k 1 . yk 1 yk L1 ( x ) yk ( ) xk 1 x k x xk
最小二乘曲面拟合插值法
最小二乘曲面拟合插值法1. 引言1.1 背景介绍最小二乘曲面拟合插值法是一种重要的数学建模方法，它在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
背景介绍将从最小二乘法和曲面拟合的基本概念入手，引出最小二乘曲面拟合插值法的重要性和必要性。
在数学建模中，最小二乘法是一种用于拟合数学模型与实际数据之间关系的经典方法。
通过最小化误差的平方和，最小二乘法能够找到最佳的拟合曲线或曲面，从而准确描述数据的分布规律。
曲面拟合则是在二维或三维空间中，用曲面来逼近一组离散数据点的方法，它在地理信息系统、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
最小二乘曲面拟合插值法结合了最小二乘法和曲面拟合的优势，能够更加灵活地适应不规则数据的拟合需求。
通过在曲面上插值数据点，可以得到更加平滑和连续的曲面模型，提高了数据的分析和预测精度。
在接下来的将详细介绍最小二乘曲面拟合插值法的原理、算法流程、应用领域以及优缺点，以便更好地理解和运用这一重要的数学建模方法。
1.2 研究目的研究目的是通过最小二乘曲面拟合插值法，实现对给定数据集的曲面拟合，从而可以更准确地预测未知数据点的值。
目前，曲面拟合在许多领域都有着广泛的应用，比如地理信息系统中的地形建模、工程领域中的曲面设计等。
我们的研究目的是探讨最小二乘曲面拟合插值法的原理和方法，分析其在实际应用中的优缺点，为实际工程和科学研究提供一种更精确的曲面拟合方法。
我们希望通过本研究，能够为相关领域的研究者和实践者提供一个有效的工具，帮助他们更好地解决曲面拟合问题，提高数据预测的准确性和可靠性。
最终的目的是推动科学技术的发展，促进社会的进步和发展。
2. 正文2.1 最小二乘曲面拟合方法最小二乘曲面拟合方法是一种在数学建模和数据分析中常用的技术，它可以通过拟合数据点来找到最佳的曲面模型。
最小二乘曲面拟合方法的核心思想是通过最小化误差的平方和来求解最优的曲面参数，从而使得拟合曲面与实际数据点尽可能接近。
插值法与最小二乘拟合
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
ln11.25L2(11.25)
(11.25 11)(11.25 12) 2.302585 (10 11)(10 12)
(11.25 10)(11.25 12) (11 10)(11 12)
2.397895
(11.25 10)(11.25 11) (12 10)(12 11)
xk+1 x
9
待定系数
求 lk-1(x):
令lk 1( x) A ( x xk ) ( x xk 1) ,
由
ll
k k
1( xk ( xk )
1) 1,
1,
lk1( xk ) lk1( xk1 ) 0; l k(xk 1) l k( xk 1) 0;
l
k
1( xk 1)
L2( x j ) = y j
(i, k 0,1,, n)
可知 lk ( x) Ak ( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ),
插值法与最小二乘法
取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1
xn
x3 n1
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点 但如果增加节点的数量 减小步长,会改善插值效果
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
插值与拟合（最小二乘法）
二者区别：插值必须精确的经过所给定的点 x,f(x); 但是拟合不需要，拟合允许f(x) , p(x) 之间有误差的存在，但是误差不能太大，要尽可能的 小， 到底怎么来最小化误差，可以： error = |f(x) - p(x)|, min(error), 或者 min(error^2)........ 因为最小化误差的平方和， 所以叫 least square method, 其实翻译的不好，应该叫 最小平方和法。。。。。。
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插值与拟合（最小二乘法）
插值与拟合都是给பைடு நூலகம்一组y = f(x)数据的前提下，用函数 p(x) 近似表示 f(x)的方法；
插值用很多种方法，比如多项式插值，三角函数插值等，意思就是选取哪种函数作为插值的函数； 拟合方法很多，其中包括最小二乘法等；
数据拟合方法范文
数据拟合方法范文数据拟合是指利用已知的观测数据，通过建立数学模型，找到最能描述这些数据的函数关系。
数据拟合方法在科学研究、工程设计、统计分析等领域都有广泛的应用。
下面将介绍几种常用的数据拟合方法。
1.最小二乘法：最小二乘法是一种常用且经典的数据拟合方法。
它的基本思路是求解使观测数据与拟合函数之间的残差平方和最小的参数估计值。
通过最小化残差平方和，可以使拟合函数最佳地拟合已知数据。
最小二乘法可以应用于线性拟合、非线性拟合以及多项式拟合等多种情况。
2.插值法：插值法是一种通过已知数据点之间的连续函数来估计其他位置上的数值的方法。
插值法通过构造一个合适的插值函数，将已知的数据点连接起来，使得在插值函数上的数值与已知数据点的数值一致。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法等。
3.曲线拟合：曲线拟合是一种利用已知的散点数据来拟合一个曲线的方法。
曲线拟合可以应用于各种类型的数据，包括二维曲线、三维曲面以及任意高维的数据拟合。
曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合、幂函数拟合等。
4.非参数拟合：非参数拟合是一种在拟合过程中不对模型形式作任何限制的方法。
非参数拟合不依赖于已知模型的形式，而是利用数据自身的特征来对数据进行拟合。
常用的非参数拟合方法包括核密度估计、最近邻估计、局部回归估计等。
5.贝叶斯拟合：贝叶斯拟合是一种利用贝叶斯统计方法进行数据拟合的方法。
贝叶斯拟合通过将已知的先验信息与观测数据结合起来，得到拟合参数的后验分布。
贝叶斯拟合可以有效地利用先验信息来改善参数估计的准确性，并且可以对参数的不确定性进行量化。
在实际应用中，选取适合的数据拟合方法需要考虑多个因素，包括数据类型、数据规模、拟合模型的复杂度等。
不同的拟合方法有不同的假设和限制条件，因此需要根据具体情况选择最适合的方法。
在使用数据拟合方法进行拟合时，也需要进行模型验证和评估，以确定拟合模型的有效性和可靠性。
第3章_曲线拟合的最小二乘法 计算方法
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=-3.657,a2=0.272。 最小二乘拟合多项式为：
计 算 方 法 课 件
y p2 ( x) 13.454 3.657x 0.272x 2
3 非线性曲线转化为线性拟合:
y a e ln y ln a bx
14
xi i 1 n 2 xi i 1
n
即法方程。
计 算 方 法 课 件
n n xi i 1
n xi yi a0 i 1 i 1 n n a 2 1 xi xi yi i 1 i 1
x ax b
11
§3.3 解矛盾方程组
1. 矛盾方程组 已知数据点为
计 算 方 法 课 件
( xi , yi ), i 1,2,...,n
通过点(xi,yi),则
作拟合直线 若直线
p( x) a0 a1 x
p( x) a0 a1 x
p( xi ) a0 a1 xi yi
简化为
x1 x2 xn
a0 a1 m xn am x x
m 1 m 2
y1 y2 y n
Ax b
16
其法方程为：
计 算 方 法 课 件
n xi xm i
n
3
由此可出求系数 拟合直线为
ˆ ˆ, b a
ˆx ˆ b p( x) a
( xi , yi ), i 1,2,...,n
计 算 方 法 课 件
最小二乘法
x
yabx
y 1 y
ybax
y 1 y
y x y
yax2bxc
yax2bxc
（ n m 且 0 (x),1(x),L ,n (x) 线性无关）中，存
在唯一的函数
* (x) a0*0 (x) a1*1(x) L an*n (x)
使得关系式（3.2.5）成立，并且其系数 a0*, a1*,L , an可*
以通过解法方程组得到。
三、特例：（代数多项式拟合）
如取 i (x) xi 就得到代数多项式 ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n
M
(n
,0
)
(n ,1)
L
(0,n ) 0 (0, f )
(1,n )
1
(1,
f
)
M M M
(n
,n
)
n
(n ,
f
)
(3.3.2)
法方程组(或正规方程组)
由于向量组 0 ,1,,n 是线性无关, 故式(3.3.2)的系数行列式 G(0,1,,n ) 0,
故式(3.3.2)存在唯一解
曲线拟合的最小二乘法
1 曲线拟合的问题： 2 什么是最小二乘法 3 最小二乘法的求法
1 曲线拟合的问题
一、问题的提法 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可
根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。 但在科学实验和生产实践中，往往节点上的函数值是由
实验或观测得到的数据，这些函数值不可避免地带有测量 误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有 的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。
n(xi)f(xi)]0
最小二乘法线性与非线性拟合
最小二乘法线性与非线性拟合最小二乘法实现数据拟合最小二乘法原理函数插值是差值函数p(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同，即p( )=f( ) (i=0,1,2,3……,n)，而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点( )，也就是说拟合函数在处的偏差=不都严格地等于零。
但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求| |按某种度量标准最小。
即=为最小。
这种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法。
(一)线性最小二乘拟合根据线性最小二乘拟合理论，我们得知关于系数矩阵A的解法为A＝R\Y。
例题假设测出了一组，由下面的表格给出，且已知函数原型为y(x)=c1+c2*e^(-3*x)+c3*cos(-2*x)*exp(-4*x)+c4*x^2试用已知数据求出待定系数的值。
在Matlab中输入以下程序x=[0,0.2,0.4,0.7,0.9,0.92,0.99,1.2,1.4,1.48,1.5]';y=[2.88;2.2576;1.9683;1.9258;2.0862;2.109;2.1979;2.5409;2.9627;3.155;3.2052];A=[ones(size(x)) exp(-3*x),cos(-2*x).*exp(-4*x) x.^2];c=A\y;c'运行结果为ans =1.22002.3397 -0.6797 0.8700下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图x1=[0:0.01:1.5]';A1=[ones(size(x1)) exp(-3*x1),cos(-2*x1).*exp(-4*x1) x1.^2]; y1=A1*c;plot(x1,y1,x,y,'o')事实上，上面给出的数据就是由已知曲线y(x)= 0.8700-0.6797*e^(-3*x)+ 2.3397*cos(-2*x)*exp(-4*x)+1.2200*x^2产生的，由上图可见拟合效果较好。
3.插值与最小二乘法
18
ห้องสมุดไป่ตู้
Lagrange插值公式具有结构紧凑，清晰的 特点，故适用于作理论分析和应用。且编程 方便. 缺点是节点变动时，基函数随着改变。
给实际计算带来不便 因此后面将引入 , Newton插值公式。
《数值分析》 主讲教师 19
结束
输出y
等于
开始 输入X（xi,yi） i=0,1,…,n 0:=y 0：=k 1:=t (x-xj)/(xk-xj)*t:=t y+t*yk:=y j=0,…,k-1, k+1,….n K=n? 不等
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
Ln ( xi ) f ( xi ), i 0, n 的插值多项式Ln ( x) Pn 对x [a, b]有： f ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n 1 ( x), (n 1)! （a b）
( n 1)
前面的Cramer方法和该定理表明了插值多项式的唯一性。 两插值函数在n+1个点上函数值相同，故两多项式相同。
《数值分析》 主讲教师
13
§2.2 Lagrange插值多项式
拉格朗日利用n 1个插值节点( xi , yi )来构造出插值多 项式Ln ( x)，使Ln ( xi ) f ( xi ), i 0,1, , n 用插值基函数方法可得 Ln ( x) ：
l ( x) f ( x )
数值分析第3章 插值法与最小二乘法
§4 牛顿插值
记 f [x, y] f ( y) f (x) , f [x, y, z] f [x, z] f [x, y]
y x
z y
插值多项式。
§1 插值法
1.3 插值基函数与Lagrange插值
注：③ 不同基函数可得不同的插值多项式，如 Lagrange，Newton，Hermite等。但由插值多项式的 唯一性知本质上是相同的。
§2 插值多项式的误差
因为 175 的精确值13.22875656…，
故L2(175)=13.230158 较 L1(175)=13.214285 更精确。
一般地令
l j ( x)
( x x0 )( x ( x j x0 )( x j
x j1 )(x x j1 )( x xn ) x j1 )(x j x j1 )( x j xn )
n i 1
(x xi ) ( x j xi )
i j
(j = 0，1，2，…，n)
则
n
n
n
Ln( x) y jl j ( x) y j
所以可设 Rn ( x) K ( x)( x x0 )( x x1 )( x xn ) K ( x)n ( x)
§2 插值多项式的误差
定理1.1 设f在[a，b]上n+1次可微，pn(x)为f的n次插
值多项式。则
Rn ( x)
f (x)
pn ( x)
f n1 (n
( )
1)!
n
1
(
§4 牛顿插值
CH3插值法与最小二乘法3.13.3插值法
对于本例,如果取两个插值节点, 将获得1次Lagrange插值多项式,
即n=1的情况,这种插值方法称为Lagrange线性插值,是两个一次插值
基函数的线性组合。设两个节点为 xk、x,函k1数值为 y,k则、yk 1
Lagrange 线性插值基函数：
lk (x)
x xk 1 xk xk 1
lk 1(x)
本章主要内容
插值法 Lagrange插值 插值误差 分段插值法 Newton插值 Hermit插值 数据拟合 最小二乘法
引言
科学研究和其它许多实际问题都和函数有关。常常会出现函数不便
于处理和计算的情形：
1）函数虽然有明确的解析表达式，但表达式形式复杂，很难计算或
不能直接用计算机计算,例如 等x ,；ln x
Ln (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
(*)
n
Ln ( x) yi li ( x) i 0
例1 给定 f (x) 的x函数表如下：
x
144
169
255
y f (x)
12
13
15
写出二次Lagrange插值基函数，并用二次Lagrange插值 多项式计算 f(175) 的近似值。
从而
插值多项式：Pn(x) a0l0(x) a1l1(x) anln(x)
如何求得系数？
由 Pn (xi ) f (xi ) yi
n
得
a jl j (xi ) yi
j0
i 0,1,2,, n
i 0,1,2,, n
li (x j ) ij
ai yi
i 0,1,2,, n
于是 y f (x) 在节点 xi (i 0,1,, n)上以l j (x) (i 0,1,, n) 为插值基函数的插值多项式 (记为Ln (x)) 为
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三 函数逼近一、 实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。
2. 会求函数的插值三角多项式。
二、实验问题（2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。
三、 实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。
2. 求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。
3. 对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。
《数值分析》实验报告【实验课题】 利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线 【实验目标】（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈ ,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =⋅⋅⋅上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅的曲线拟合，这里(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅拟合，若记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅,()01,,,Tm δδδδ=⋅⋅⋅,设01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅中找一个函数*()S x ，使误差平方和|2222*2()0|||[()][()]min mmmii i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑这里0011|()()()()()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=++⋅⋅⋅+<这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
插值法与最小二乘法
二次插值
总结词
二次插值通过构造二次多项式来逼近已知的数据点，以提高插值的精度。
详细描述
二次插值利用已知的多个数据点来拟合一个二次多项式，然后通过该多项式计算 新的x值对应的y值。这种方法在数据点分布较为复杂时能提供更准确的插值结果 。
立方插值
总结词
立方插值通过构造三次多项式来逼近已知的数据点，进一步 提高了插值的精度。
最小二乘法
适用于回归分析，即根据已知数据点 ，拟合一条最佳拟合线或曲线，预测 新数据点的趋势。例如，根据历史销 售数据预测未来销售额。
计算复杂度比较
插值法
计算复杂度相对较低，因为只需要计 算已知数据点之间的线性关系。
最小二乘法
计算复杂度较高，因为需要求解一个 线性方程组来找到最佳拟合线或曲线。
结果准确性比较
数据降维
最小二乘法可以用于主成分分析等降维方法，提取数 据的主要特征。
在工程计算中的应用
工程设计
插值法和最小二乘法在工程设计 中用于计算材料强度、应力分布 等参数，提高设计精度和可靠性。
系统仿真
在系统仿真中，插值法和最小二 乘法用于逼近系统响应函数，模 拟系统行为。
测量数据处理
在测量数据处理中，插值法和最 小二乘法用于处理离散测量数据， 提高测量精度和可靠性。
函数逼近
数值积分
插值法可以用于数值积分，通过插值 多项式来近似积分函数，提高积分精 度。
插值法可以用于逼近已知数据点的函 数，通过插值多项式来近似未知函数。
在数据分析中的应用
数据拟合
最小二乘法用于拟合数据，找到最佳拟合直线或曲线， 使得数据点与拟合线之间的误差平方和最小。
数据预测
通过最小二乘法拟合数据后，可以预测未来数据点的 值，为决策提供依据。
插值法与最小二乘法
样条插值
样条插值是一种更复杂的插值方法，通过构造样条函数（如多项式样条、 立方样条等）来逼近数据点。
样条插值通过已知的多个点确定一个样条函数，然源自利用这个样条函数来 计算其他点的值。
样条插值的优点是精度高，适应性强，但计算速度较慢，且需要更多的数 据点。
05
最小二乘法的具体实现
普通最小二乘法
定义
插值法的优缺点
插值法简单易行，能够快速得到未知点的估计值。但是，插值法假设数据点之间存在线性关系，对于 非线性数据可能存在较大的误差。此外，插值法无法给出估计值的精度和不确定性。
最小二乘法案例分析
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来估计回归参数。例如， 在金融领域，可以使用最小二乘法对股票价格进行回归分析，预测未来的股票走势。
应用场景比较
插值法
插值法适用于已知数据点之间存在线性或非线性关系的情况，尤其适用于需要 快速估算未知数据点的情况。在科学计算、工程技术和金融领域都有广泛应用。
最小二乘法
最小二乘法适用于需要找到最佳函数匹配的情况，特别是当观测数据受到随机 误差影响时。在统计学、经济学、社会学等领域中，最小二乘法被广泛应用于 回归分析。
型的数据。
最小二乘法的缺点
最小二乘法对于存在多 重共线性的自变量较为 敏感，可能会导致模型 过拟合。此外，最小二 乘法假设误差项是随机 且相互独立的，这在某 些情况下可能不成立。
04
插值法的具体实现
线性插值
01
线性插值是最简单的插值方法，适用于数据点之间变化不大的 情况。
02
线性插值通过两点确定一条直线，然后利用这条直线的斜率和
最小二乘法拟合插值法概论
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7
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1
Xi
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Xi
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i 1 i 1
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Xi
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Xi 3Biblioteka i 1 i 1i 1
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Xi 2
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Xi 3
Xi
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步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
7 Yi
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7 YiXi
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YiXi
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i 1
步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
步骤8：将方程区间等分，并求各X点对应的Y值，画 拟合点的图，如图：
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步骤5：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：
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步骤6：将求得的数列进行逆矩阵 计算，如图：
步骤7：将求得的逆矩阵与矩阵B相 乘，求得根，如图：
步骤8：将方程区间等分，并求各X点对应的Y值，画 拟合点的图，如图：
最小二乘法拟合插值法
步骤1：根据X与Y对应的值，插入散点 图并做出趋势图，如图：
步骤2：从该图可以看出最接近 这7个点的趋势线为抛物线，所以 设该抛物线方程为：
Y=(A0+A1*X+A2*X2)
步骤3：分别对方程中的A0,A1,A2 进行求导，可得：
步骤4：根据该求导公式，在Excel 中利用SUM与SUMPRODUCT命令分别求 出：