离中趋势 (1)
离中趋势的具体指标
离中趋势的具体指标离中趋势的具体指标可以根据数据的分布情况来选择。
常用的离中趋势指标包括平均数、中位数、众数、四分位数、标准差和离差等。
下面将从这些指标的定义、计算和应用方面进行详细的说明。
平均数是最常见的离中趋势指标，它是一组数据的总和除以数据的总数。
平均数能够很好地反映数据的集中程度，但对于极端值的敏感度较高。
计算平均数的公式如下：平均数= 数据的总和/ 数据的总数中位数是将一组数据按照大小排列后，处于中间位置的数值。
中位数不受极端值的影响，适合用来表示数据的中间值。
计算中位数的方法有两种：奇数个数据，中位数为排序后的中间值，偶数个数据，中位数为排序后中间两个值的平均数。
众数是一组数据中出现次数最多的数值，可以用来反映数据的主要特征。
众数可以有一个或多个，也可以没有。
众数的计算比较简单，只需统计每个数值出现的频数，然后找出频数最大的数即可。
四分位数是将一组数据按照大小排列后，将数据分为四等份，四分位数是将数据分割点。
其中，第一四分位数是指将数据分割为四部分，第一部分包含25%的数据，第二四分位数是指将数据分割为四部分，第二部分包含50%的数据，第三四分位数是指将数据分割为四部分，第三部分包含75%的数据。
四分位数可以用来描述数据的分散程度和集中程度。
标准差是一组数据离平均数的平均距离，它衡量了数据的波动性或分散程度。
标准差越大，表示数据的离散程度越大；标准差越小，表示数据的离散程度越小。
标准差的计算公式如下：标准差= sqrt(每个数据与平均数的差的平方的和/ 数据的总数)离差是指一组数据中，各个数据与平均数的差值。
离差可以通过平均离差或标准离差来衡量。
平均离差是所有离差的平均值，标准离差是所有离差的平方和的平均值的平方根。
这些指标在实际应用中具有不同的作用。
平均数适用于对数据整体的描述，中位数适用于有极端值存在的情况下对数据的描述，众数适用于描述数据的最常出现的值，四分位数适用于描述数据的分布情况，标准差适用于衡量数据的波动情况，离差可以用于度量各个数据与平均数的离散程度。
第四章 集中趋势和离中趋势 《统计学》 ppt课件
六种相对数指标的比较
不同时期
同一现象 比较
不同现象 比较
同一时期比较 同类现象比较
动态 相对数
不同总体 比较
强度
同一总体中
部分与部分 部分与总体实际与计划
相对数 比 较 比 较 比 较 比 较
比例 相对数
结 构 计划完成
相对数 相对数 相对数
五、计算和应用相对指标的原则
1、正确选择对比的基础（即分母） 2、保证分子、分母的可比性 3、注意相对指标与总量指标结合运用 4、多个相对指标结合运用
(xi x) 0
(xi x) f 0
（2）各个变量值与算术平均数的离差平方和为最 小值。
(xi x)2 min
II调和平均数（H）
与算术平均数没有本质区别，是算术平均数的变形。 是根据变量值ｘ的倒数计算的，又称为倒数平均数。 1、简单调和平均数：未分组资料
步骤：（1） x1、x2、、xn
计量单位表现为两种形式：
一种是复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由 于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，故计算后仍保留 对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国 民生产总值用“元/人”表示；
另一种是无名数，即无计量单位。在计算这种强度 相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同， 在计算时已约去，故计算后其无单位，一般用千 分数、百分数表示，如：人口出生率用千分数来 表示。
（2） 1 、1 、 、1
x1 x2
xn
（3）
1 x
n
（4）
H
n
1 x
2、加权调和平均数：
各组变量值x 各组标志总量 m=xf
将算术平均数公式变形，得：
H
统计学复习资料(名词解释、简答)
统计学复习资料（名词解释、简答)计算题:以老师圈的重点,以及之前布置的作业为主，重点复习11/12章一、名词解释：时间序列数据：是在不同时间收集到的数据，这些数据是按时间顺序收集到的，用于所描述现象随时间变化的情况.总体：是包含所研究的全部个体(数据)的集合样本：是从总体中抽取的一部分元素的集合样本量：构成样本的元素的数目统计量:用来描述样本特征的概括性数字度量参数：用来描述总体特征的概括性数字度量概率抽样:即随机抽样，遵循随机原则进行的抽样，总体中每个单位都有一定的机会被选入样本非概率抽样：抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查简单随机抽样：指从总体N个单位中任意抽取n个单位作为样本,使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。
分层抽样：将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层,然后从不同的层中独立、随机地抽取样本整群抽样：是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不重复的集合,称之为群；然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。
系统抽样:根据样本容量要求确定抽选间隔，然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式抽样误差：由抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之间的误差分组数据:根据统计研究的需要，将原始数据按照某种标准化分成不同的组别，分组后的数据称为分组数据。
方法有单变量值分组和组距分组两种。
众数：是一组数据中出现次数最多的变量值中位数:是一组数据排序后处于中间位置上的变量值平均数：也称均值，是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果算术平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
几何平均数:是n个变量乘积的n次方根方差：各变量值与其平均数离差平方的平均数经验法则:当一组数据对称分布时,经验法则表明：约有68％的数据在平均数1个标准差的范围之内。
约有95％的数据在平均数2个标准差的范围之内。
约有99%的数据在平均数3个标准差的范围之内。
分布的离中趋势
二、分布的离中趋势
在统计实践中，有时需要计算成数的标准差，即是非标志的标准 差。是非标志把总体分成两个部分：一部分具有某种标志，另一部 分不具有此种标志。这种用“是”或“非”来表示总体单位特征的 标志，称为是非标志。
计算是非标志的标准差时要把是非标志从质的差别转化为量的差 别，一般把“是”的标志值用“1”代替，把“非”的标志值用 “0”代替；总体单位数用N表示；具有所研究的标志的单位数用N1 表示，成数用P表示，P=N1/N；不具有所研究的标志的单位数用N0 表示，成数用Q表示，Q=N0/N。显然，N1+N0=N,P+Q=1。
二、分布的离中趋势
（1）样本方差的 计算。
（2）样本标准差 的计算。
二、分布的离中趋势
4. 标准差的计算应用
（1）未分组数据标准差的计算应用。 【例4-18】 某工厂某车间甲、乙两个组各有10名工人，每人日 产某种零件数(单位：件)为 甲组：20，21，21，22，22，22，23，23，23，23 乙组：14，15，16，21，22，22，23，28，29，30 试计算两组工人的日产量的标准差。 解：计算过程见表4-11。
二、分布的离中趋势
一 、 全距
全距也称为极差，它是表明总体单位标志数值
变动范围的指标，是总体各单位全部变量值中两个极
端值（最大值和最小值）之差，用R表示。其计算公
式为
离中趋势的含义和
离中趋势的含义和离中趋势，也被称为离散趋势，是统计学中常用于描述一组数据的波动情况的概念。
它表明数据点相对于数据集的中心位置（通常指平均值）的偏差程度。
离中趋势可以帮助我们了解数据的分布规律及变化情况，进而对数据进行更全面的分析和解读。
在本文中，我将详细探讨离中趋势的含义、计算方法以及其在实际应用中的重要性。
离中趋势是一组数据点相对于其平均值的离散程度的度量。
在统计学中，我们常常使用平均数作为数据集的中心位置的代表，因此离中趋势通常是指数据点与平均数之间的偏差。
这个偏差可以分为正偏差和负偏差，分别表示数据点大于平均数和小于平均数。
离中趋势的计算方法有很多种，常见的包括范围（range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）和四分位数（quartiles）等。
范围是指数据集中最大值与最小值之间的差异，它可以快速计算出数据的整体离散程度，但忽略了数据分布的形状。
方差是数据点离平均数的偏差的平方和的平均值。
它量化了数据点与平均数之间的距离，可以反映数据的整体离散程度。
然而，由于方差计算得到的单位是原数据单位的平方，难以直观地解释和比较。
标准差是方差的平方根，它与原数据具有相同的单位，更加直观和易于理解。
标准差越大，表示数据的离中趋势越大；标准差越小，表示数据的离中趋势越小。
四分位数是将数据集按大小顺序排列后，将数据分为四等份，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
四分位数可以帮助我们判断数据的分布情况以及离中趋势的大小。
离中趋势在实际应用中具有重要作用。
首先，它可以帮助我们了解数据的波动情况，即数据点相对于平均数的分散程度。
对于金融市场、股票交易等实时数据，离中趋势的计算可以揭示市场的波动性和不确定性，为风险评估和投资决策提供参考。
其次，离中趋势可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
例如，在市场研究中，我们可能需要比较不同地区或不同年份的销售数据，离中趋势可以帮助我们分析并解释这些差异。
第三章 集中趋势和离中趋势
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
离中趋势的测定
离中趋势的测定
离中趋势是统计学中用于描述数据集中趋势的一种指标。
常见的离中趋势测定方法包括以下几种：
1. 平均值：计算数据集的算术平均值，即将所有数据相加后除以数据的个数。
2. 中位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后找出中间位置的数值。
如果数据个数为奇数，则中位数是中间的数值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个数值的平均值。
3. 四分位数：将数据集按照大小的顺序排列，然后将数据集分成四个等分，每个等分包含25%的数据。
第一个四分位数(Q1)是数据集的25%位置处的数值，第二个四分位数是数据集的50%位置处的数值（即中位数），第三个四分位数(Q3)是数据集的75%位置处的数值。
4. 极差：计算数据集的最大值与最小值之间的差值。
5. 方差：计算数据集中每个数据与平均值的差值的平方的平均值。
6. 标准差：方差的平方根。
这些测定方法可以帮助我们了解数据集的离散程度和分布情况，从而揭示出数据集的离中趋势。
选择合适的测定方法取决于数据集的特点以及我们希望得到的信息。
集中趋势和离中趋势
平均时速
H
10+10
10 50
10
30
2
1 50
1 30
37.5
（2）总体单位数未知时，例4.11（71）
加权调和平均数
1
N
MH
N i 1
fi
1 Xi
N i 1
fi
1 Xi
N
▪ 应用条件：资料经过分组，各组次数不同。
算术平均、几何平均、调和平均三者关系
▪ 三者均属于均值体系 ▪ 算术平均值是直接对观察值进行平均；几
【例】：9个家庭旳人均月收入数据(3种措施计算)
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2023 1250 1630
排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2023
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
措施1：
QL位置
9 4
2.25
i 1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大旳顺序排列，处于数列中点位置旳数值就是中位 数（Me）。
中位数旳拟定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置旳标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1旳两个标志值旳平均数为中位数。
③假如是组距分组资料，公式为：
限；N表达数据总个数；Fi-1表达第i个K分位数所在组旳前一组
旳累积次数；fi是第i个K分位数所在组旳次数。di= Ui-Li是第i
个K分位数所在组旳组距。
四分位数旳位置拟定措施：
措施1：定义算法
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
离中趋势名词解释
离中趋势名词解释
离中趋势是一个统计学术语，用来描述一个数据集中各个数据点相对于中心值的分布。
中心值通常指的是数据的平均值、中位数或者模式。
在一个数据集中，离中趋势可以通过标准差、四分位数差、偏离程度等指标来衡量。
离中趋势越小，代表数据点相对于中心值的分布越紧密，反之亦然。
常见的离中趋势指标包括：
1. 平均偏差（Mean Deviation）：平均偏差是指数据点与平均
值之间的距离的平均值。
它衡量了数据集中数据点相对于平均值的离散情况，数值越小代表数据点分布越紧密。
2. 方差（Variance）：方差是指数据点与平均值之间的距离的
平方的平均值。
它衡量了数据集中数据点相对于平均值的离散程度，数值越小代表数据点分布越紧密。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于衡量数据点相对于平均值的离散程度。
标准差越小，代表数据点分布越紧密。
4. 四分位数差（Interquartile Range）：四分位数差是指数据集的上四分位数与下四分位数之差。
它衡量了数据点在中间50%范围内的离散程度，数值越小代表数据点分布越紧密。
5. 离群值（Outliers）：离群值是指数据集中与其他数据点相差较大的异常数值。
离群值可能会对离中趋势的计算产生较大的影响。
通过测量离中趋势，我们可以了解数据点相对于中心值的分布情况，从而对数据集的特征有一个更清晰的认识。
在统计分析和数据挖掘中，离中趋势的分析对于了解数据特点、检测异常值、预测趋势等方面都具有重要的意义。
第五章-离中趋势测量法
⑴简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为：
(x x ) n
2
例，求26,45,88,62,74这些数字的标准差
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列）计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时，还应先 求出组中值（开口组的组中值以邻近组的组距 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
AD x x n
…………（5.1）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： 甲队：185 191 195 202 217 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 权平均法计算，其计算公式为：
AD
第五章 离中趋势测量法 离中趋势测量法
离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。
本章重点： 1、平均差 2、方差与标准差 3、离散系数 本章难点： 1、方差与标准差 2、是非标志的方差
变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念 变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异程度的 综合指标。 二、变异指标的作用 1、是衡量平均指标代表性的尺度 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用 变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平 均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。变异指标不仅可以 综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
(1)当 x M
e
M 0时 ， 对 称 分 布 ；
，右偏分布； ＜Me ＜ Mo时，左偏分布。
(三) 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，X 、 M 、 M 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 X 与 M o 的差来表示，即
统计数据集中趋势和离中趋势分析(平均指标) PPT
适用情况：
x1 x 2 x n n
x
n
①未分组资料；②分组中各个标志值出现的次数相同 2.加权算术平均数
适用情况：
x 1f1 x 2f2 ... x k fk xf x f1 f2 ... fk f
总体分组，且各个标志值出现的次数不同 当权数为比重或频率形式时： X
三、平均指标的计算与分析——调和平均数H
1.定义：总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数， 也称倒数平均数。 2.公式： H
n 1
X1
1
X2
1
n
Xm
X
1
（简单） （加权）
m1 m 2 m n H m1 m m 2 n X1 X2 Xn
m m X
X
X i fi i
1
m
fi i
1
m
9710 12.1375(件） 800
二、平均指标的计算与分析——算术平均数 (x )
【练习 3】某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活 动的一个月以来节约用水的病况，从八年级的 400名同学中选 出20名同学统计了解各自家庭一个月的节水情况，见下表：
9710 800
m/x 70 100 380 150 100 800
12.1375 件
H
m m X
三、平均指标的计算与分析——调和平均数H
【练习 5】市场上有三种苹果，甲种每斤 2 元，乙种每斤 1.6元，丙种每斤1.2元。试问： （1）甲种苹果买2斤，乙种买3斤，丙种买5斤，则平均每 斤价钱是多少？ （2）三种苹果各买2元，则平均每斤价钱又是多少？
离中趋势的量度：变异指标
第五章离中趋势测量法平均指标对总体的共性和一般水平作了概括，以此来说明总体标志值分布的集中趋势。
但是总体作为统计对象，还有其变异性的一面。
变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。
变异指标不仅可以综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。
离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。
变异指标的种类较多，如按计算的基准来分有以下两类：(1)以两数之差来表达的有全距和四分位差等。
(2)以对平均数偏差来表达的有平均差、标准差等。
变异指标如按数量关系来分有以下两类；(1)凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势，主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。
(2)凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势，主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
第一节全距与四分位差1．全距全矩是最大变量值与最小变量值之差，用R来表示。
对未分组资料，计算全距用原始式。
由于全距是一组数据中两个极端值之差，所以它又称极差。
全距的最大优点是：计算简单，便于直观。
缺点是；①受极端值影响大，遇含开口组的资料时将无法计算；②由于没有量度中间各个单位间的差异性，所以数据利用率很低，信息丧失严重；③受抽样变动影响很大。
一般说来，大样本全距要比小样本全距大些，因为大样本有较多的机会包含最极端的变量值。
2．四分位差四分位是用第三四分位数和第一四分位数的半距作为测定离中趋势的一种变异指标，它可以避免全距测量离中趋势受极端值影响大这个缺点。
但由于它仅以两数之差为基准，全距的另两个缺点依然无法避免。
第二节平均差要测定变量值的离中趋势，尤其是要测定各变量值相对于平均数的差异情况，一个很自然的想法就是计算各变量值与算术平均数的离差。
但由于算术平均数的性质，各变量值与其算术平均数离差的代数和恒为零，所以用这个性质无法构造出能够测定离中趋势的变异指标。
离中趋势名词解释
离中趋势名词解释
离中趋势（Outlier）是统计学中常用的概念，也是数据分析中
常用的一种方法。
它指的是在一个数据集中，与其他数据点相比具有显著偏离的数值。
离中趋势的存在可能是由于测量误差、实验异常或真实的异常情况引起的。
离中趋势在数据分析中的作用主要有以下几个方面：
1. 异常值检测：离中趋势可以帮助分析人员检测出数据集中可能存在的异常值。
通过查看离中趋势，可以判断数据点是否符合其余数据点的模式和规律。
如果某个数据点与其他数据点有很大偏离，那么就可能需要对其进行额外的审查和分析。
2. 数据清洗：数据集中的异常值会对数据分析的结果产生较大的影响，因此需要对其进行清洗。
通过移除异常值，可以使得数据分析的结果更加准确和可靠。
离中趋势可以帮助分析人员识别出可能的异常值，并采取相应的措施进行处理。
3. 模型建立：在进行回归分析或其他模型建立的过程中，离中趋势可以帮助分析人员判断模型是否适合数据集。
如果存在离中趋势，那么模型的适应性可能会受到影响，需要对其进行调整或重新选择模型。
4. 趋势分析：离中趋势还可以帮助分析人员识别出数据集中的趋势和规律。
通过观察离中趋势的分布和趋势，可以对数据集的整体特征和变化进行初步分析。
这对于制定决策和规划具有重要意义。
总之，离中趋势是数据分析中的一个重要概念，它可以帮助分析人员识别出数据集中的异常值，进行数据清洗和模型建立，并为趋势分析提供支持。
通过合理使用离中趋势，可以提高数据分析的准确性和可靠性，从而更好地理解和应用数据。
社会统计学课件：第4章 离中趋势的测量
f
190
1090750 5740.79 190
2 x2 x 2
5740 .79 74.47 2 195 .01
13.96
成绩
x
人数 f
50 以下 45
10
50—60 55
20
60—70 65
40
70—80 75
50
80—90 85
40
90 以上 95
30
合计
190
标准差的作用
用来比较分析两个或两个以上同类现象平均数相等时平均 数的代表性：即
第四章 离中趋势测量法
二、标志变异指标的作用
1、用标志变异指标衡量和比较平均指标 的代表性。
2、用标志变异指标反映经济活动过程的 均衡性、稳定性和节奏性。
3、标志变异指标在相关分析和抽样调查 中的应用。
甲乙丙三车间都有7个工人，生产的零件 数如下：
甲：72 73 74 75 76 77 78 乙：30 50 65 75 90 100 115 丙：75 75 75 75 75 75 75 平均数都为75件。但代表性谁好。
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数字 的全距。
[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；
集中趋势和离中趋势的度量
第五章数据分布特征的描述第一节集中趋势指标概述一、集中趋势指标及其特点集中趋势（Central tendency），是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是要寻找数据一般水平的代表值或是心值。
在现象的同质总体中，各个单位的标志值是不尽相同的。
如果我们的目的是要对总体的数量水平有一个概括地、一般地认识，显然不能用某一单位的标志值表示。
统计平均数就是用来反映总体的一般水平和集中趋势的指标。
通俗的理解就是，在不变更总体总量的情况下，对总体内的全部标志值进行“截长补短”，使得总体各单位拥有同一水平的数量表现，这个同一水平的数量表现就是平均数，即集中趋势指标。
统计平均数有两个重要的特点：第一，平均数是一个代表值，表示被研究总体的一般水平。
例如，某企业职工的工资水平有高有低，有的职工月工资1680元，有的职工月工资1900元，有的职工月工资1870元，有的职工月工资2200元，等等。
若根据该企业各个职工月工资额综合计算出职工月平均工资为1860元，那么，1860元就是一个代表值。
它反映了该企业职工月工资的—般水平。
第二，平均数把被研究总体各单位的标志值的数量差异抽象化了。
例如，某企业职工的月平均工资为1860元，但是各个职工的工资水平有高有低，高于1860元的工资和低于1860元的工资互相抵消了，从而得出平均工资1860元。
由此可见，平均工资（1860元）已把各职工月工资水平的差别抽象化了。
二、集中趋势指标的作用集中趋势指标——统计平均数，在统计研究中被广泛应用，平均数的作用可以归纳为以下几点：1.利用平均数对比不同总体的一般水平。
平均数可以用来对同类现象在各单位、各部门、各地区之间进行比较，以说明生产水平的高低或经济效果的好坏。
例如，要比较不同的生产企业生产水平的好坏，仅对比企业的产品总产量是不足以说明问题的，因为产品总产量受到企业规模大小的影响。
要比较，需要计算各企业生产人员的平均产品产量，即劳动生产率，并分析不同的生产条件，才能做出正确的判断。
语言统计第四章 离中趋势和差异量数-精选文档
1.未分组数据标准差和方差的求法 第一步：计算个数值与平均数之差（离均差） 第二步：求离均差的平方 第三步：把平方离均差相加，求”平方和“； 第四步：把平方和除以数值的个数，求得方差； 第五步：方差的平方根即为标准差。用公式表示：
显然，由于涉及到平均数，上述公式使用 起来很不方便；我们可以在上述的公式的 基础上得出一个不涉及平均数的求标准差 的公式：
第三节
四分差
一、概念 四分差指一个分布中，中间50%的次数的 全距之半，用符号Q表示。 正如中数把一个次数分布分成两半那样， 有一些点把一个次数分布分成四等份，这 些点称作四分点或四分位数。第一个四分 点（或称下25分点）用Q 表示，其下有全 部数值的1/4或25%，其上则有全部数值 的3/4或75%，其上则有全部数值的1/4或 25%。
第二节
两极差
一、概念 两极差也称全距，用符号R表示。所谓两极差就是一组数 据中最高值与最低值之差。 二、两极差的求法 R=最大数值-最小数值 三、小结： 1.两极差是简单而粗略的差异量数 2.不能反映中间数值的差异情况，也受两极 端异常数值的影响。 3.可以作为数据分布的初步统计，在一定程度上反映 数据的差异情况（前提是分布比较对称、没有极端数值）
下面我们仍用上例中的数据说明公式的用法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三个公式计算结果一样，但计算过程要简 便得多。
2.次数分布数据标准差和方差的求法：
如果已有次数分布表，那么标准差和方差的计算 将更加简便。计算公式为：
3.分组次数分布数据标准差和方差的求法
从分组次数分布数据标准差和方差的公式如下：
第三章集中趋势和离中趋势
第三章 集中趋势和离中趋势在一个右偏的分布中，在一个左偏的分布中，xX Md Mo§2 离中趋势的计量与集中趋势相反，离中趋势反映的是一组资料中各观测值之间的差异或离散程度。
一、全距（Range ）全距又称极差，指一组资料中最大的数值与最小的数值之差。
Ｒ ＝ 最大值－最小值简单明了，但没有考虑中间值以及数据的分布情况。
二、平均差（Average Deviation ）1、一组数据值与其均值之差的绝对值的平均数称为平均差。
以Ａ.D.表示，其计算公式为：对于未分组资料：nXX D A ni i ∑=-=1..对于分组资料：∑∑=-=iii ii f f XX D A 1..例4.12 某企业100名工人的每周工资资料如下：100名工人每周工资资料 按工资分组 人数 组中值 离差 离差的 绝对值 离差绝对值×次数 100—200 10 150 -170 170 1700 200─300 30 250 -70 70 2100 300─400 40 350 30 30 1200 400─500 20 450 130 130 2600 合计100－——7600则： x =x f fi iii i∑∑=3200100=320（元） A.D. =x x ffi iii i-∑∑=7600100=76（元） 平均差充分考虑了每一个数值离中的情况，完整地反映了全部数值的分散程度，在反映离中趋势方面比较灵敏，计算方法也比较简单。
它的缺陷在于，由于它的敏感性，使得它易受极端值影响，特别是绝对值运算给数学处理带来很多不便。
2、在ECXCEL 中计算平均差 未分组资料：函数A VEDEV分组资料：运用函数：SUMPRODUCT, ABS （求绝对值）三、方差（Variance ）与标准差（Standard Deviation ） 方差与标准差是测度离中趋势的最重要、最常用的量。
1、总体方差是一组资料中各数值与其算术平均数离差平方和的平均数。
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( xi x)2 f
σ 2=
i 1
n
i
f
i 1
n
i
52 = 50
3.2变异指标的计算方法——标准差 步骤五：计算离差平方和的算术平均数的平 方根，即方差σ
σ=
( xi x)2 f
i 1
n
i
f
i 1
n
=
i
52 50
3.2变异指标的计算方法——标准差
某工厂工人产量情况如表，请计算其标准差
标准差：σ=
( xi x)2
i 1
n
n
标准差越大，说明数据的变异越 大，即数据越分散。
练习
以下是7个美国 东部城市的日租车 费用，请计算其极 差及标准差。
城市 波士顿 亚特兰大 迈阿密 纽约 奥兰多
日费用（美元） 43 35 34 58 30
匹兹堡
华盛顿
30
36
3.2变异指标的计算方法——标准差
甲
1 1
乙
练习
下表是某班一次测验的成绩，请计算其方差与标准差
练习
缺下限开口组组中值等=上限-相邻组组距的一半 =60-（70-60）/2 =55
缺上限开口组组中值等=下限+相邻组组距的一半 =90+（90-80）/2 =95
练习
练习
步骤一：首先计算测验成绩的算术平均数，因该组 数据已经 分组，因此所要计算的是它们的加权算术平均数。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
对两组不同的数据进行对比，有一个被忽略的 前提条件，那就是它们的平均数相等。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
某企业中级技工 的平均工资是6800 元，工资标准差为 500元，高级技工 的平均工资为9000 元，工资的标准差 为540元，请问哪 种技工的工资变动 幅度更小？
=102.75
练习
步骤五：计算标准差，即求方差的平方根
102.75
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件 ，为检验质量，从中抽取6件测量数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及标准差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
对于平均数不相同的两个总体的数据，不应直接用标准差 比较其变异程度的大小，而是应该用标准差系数进行比较。
Vσ =
x
100 ％
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
500 中级技工工资标准差系数Vσ = 100％ 7.35％ 6800 540 高级技工工资标准差系数Vσ = 100％ 6％ 9000
加权式标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤一：计算加权算术平均数
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤二：计算变量值与平均数的差，即离差
xi x
_
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤三：计算离差的平方和
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤四：计算离差平方和的加权平均数，即方差σ
Add Your Company Slogan 统计工作基础
P
o
w
e
r
P
o
i
n
t
离中趋势的代表值——标志变异指标
Company Logo
标志变异指标
1 2 3
变异指标的含义 变异指标的作用 变异指标的计算方法
1.变异指标的含义
1.变异指标的含义
标志变异指标是指各总体单位值差异程度的 综合指标，表明数据的离散程度和离中趋势。
3.1变异指标的计算方法——极差
R=？
3.1变异指标的计算方法——极差
组距分布数列极差=最高值组上限—最低值组下限 =800-300 =500
极差仅依靠两个变量值来计算，容易受极端值 的影响，因此它一般不被单独用来描述数据的变异 程度。
3.2变异指标的计算方法——标准差 简单式标准差
模具队 编号 1 2 3 4 5 身高（cm） 178 180 175 173 177 编号 1 2 3 4 5 汽修队 身高（cm） 179 170 176 184 179
练习
下面是2010与2011年各季度我国GDP的增 长幅度，请问哪一年的经济增长更为稳定？
Add Your Company Slogan
P
o
w
e
r
P
o
i
n
t
Thank you
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3.2变异指标的计算方法——标准差
练习
评评哪名运动员发挥更稳定
练习
依据某单位职工的年龄（岁）资料计算其极差与标准差 18，19，25，35，42，50，56
练习
请计算9月份广州各肯德基分店销售额的标准差
练习
某企业需从AB两家企业中选择一家作为自己的原 材料供应商，以下是两个企业之前的交货记录： A企业交货的天数：11 10 9 10 11 11 10 11 10 10 B企业交货的天数：8 10 13 7 10 11 10 7 15 12 请通过计算极差与标准差来帮助该企业进行选择。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
某企业需从AB两家企业中选择一家作为自己的原材 料供应商，以下是两个企业之前的交货记录： A企业交货的天数：11 10 9 10 11 11 10 11 10 10 B企业交货的天数：8 10 13 7 10 11 10 7 15 12 请通过计算极差与标准差来帮助该企业进行选择。
3.3变异指标的计算方法——标准差系数
当比较两组数据的变异程度或者平均数代表性 高低的时候，是用标准差还是用标准差系数，要看 数据的具体情况：如果两组数据性质相同、计量单 位一致、平均数相等，可以直接采用标准差进行对 比，如两个班学生成绩的平均分均为85分。否则 应采用标准差系数。
练习
财会专业高中班和三年制班级本学期都开有统 计学这门课程，下面是两个班级一次测验的成绩， 请回答哪个班级的成绩更为集中？
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤一：计算算术平均数
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤二：计算变量值与平均数的差，即离差
xi x
_
3.2变异指标的计算方法——标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤三：计算离差的平方和
3.2变异指标的计算方法——标准差
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤四：计算离差平方和的算术平均数，即方差σ
2
σ 2模具 = σ 2汽修 =
( xi x )2
i 1 n
n
n
( xi x )2
i .2 = 5
3.2变异指标的计算方法——标准差
步骤五：计算离差平方和的算术平均数的平方根，即 方差σ
3.2变异指标的计算方法——标准差
2.变异指标的作用 作用一：衡量平均值的代表性高低
2.变异指标的作用
作用二：衡量经济活动过程的均衡性、节奏性、稳定性
2.变异指标的作用
作用三：揭示数据分布的离中趋势
3.1变异指标的计算方法——极差
极差（R）=最大变量值—最小变量值 以下是两个学习小组的成绩： A组：65，68，72，75 R=75-65=10 B组：34，51，95，100 R=100-34=66 两组的平均成绩均为70分
练习
甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为 检验质量，从中抽取6件测量数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及标准差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定。
练习
步骤一：首先计算两组数据的算术平均数，因该两组 数据 均没有分组，因此所要计算的是它们的简单算术平均数。
x甲
_
=
100
x乙
_
=
100
练习
步骤二：计算离差
练习
步骤三：计算离差的平方和
练习
练习
步骤四：计算离差平方的算术平均数，即方差
2
甲
=
1 0 4 0 0 9 ≈2.17 6
1 0 4 1 0 0 =1 6
2
乙
=
练习
步骤五：计算标准差，即求方差的平方根
2.17
=
55 2 65 8 75 16 85 10 95 4 2 8 16 10 4
=76.5
练习
步骤二：计算离差
练习
步骤三：计算离差的平方和
练习
步骤四：计算离差平方的加权算术平均数，即方差
n
2
i 1 n
xi
fi
i 1
fi
462 .5 2 132 .25 8 2.25 16 72.25 10 342 .25 4 = 2 8 16 10 4