第五章 离中趋势测量法

Σ( x − x ) f σ= Σf
2
…………（5.6） （ ）
例4，仍以例 的资料为例说明加权标 ，仍以例2的资料为例说明加权标 准差的计算，见表5－ 。 准差的计算，见表 －4。(FJ5-5)
在实际应用中， 在实际应用中，标准差和方差的计算 可采用下列简单公式计算。 可采用下列简单公式计算。 在资料未分组时，简单公式为： 在资料未分组时，简单公式为：
Z分数的数学性质： 分数的数学性质： 分数的数学性质
分数之和等于零， ⑴Z分数之和等于零，因为： 分数之和等于零 因为： (x − x ) 1 ΣZ = Σ = Σ( x − x ) = 0LLL （5.13） σ σ 分数的算术平均数等于零， ⑵Z分数的算术平均数等于零，因为： 分数的算术平均数等于零 因为： ΣZ Z= = 0LLL （5.14） n 分数的标准差等于1， 分数的方差也等于 分数的方差也等于1，因为： ⑶Z分数的标准差等于 ，Z分数的方差也等于 ，因为： 分数的标准差等于
Σ( Z − Z ) 2 ΣZ 2 1 x−x 2 Z 分数的标准差 = = = Σ( ) n n n σ 1 Σ( x − x ) 2 = = 1LLL （5.15a） 2 σ n
Z分数的方差＝1 分数的方差＝ 分数的方差
……………（5.15b） （ ）
（五）是非标志与成数 是非标志是指能将统计总体的全部 单位划分为具有某种属性和不具有 某种属性的两组的分组标志。 某种属性的两组的分组标志。 成数就是总体中具有某种属性的 单位数占全部单位数的比重， 单位数占全部单位数的比重，一 般用英文字母p或 表示 表示。 般用英文字母 或q表示。
(总标准差)σ = 209.98 = 14.49(分)
（四）标准分 标准分是离差与标准差的比值， 标准分是离差与标准差的比值，即：
Z=
x−x
σ
……………（5.12） （ ）
标准分有三个特性： 标准分有三个特性：
Z是和 一一对应的变量值。 是和X一一对应的变量值 ⑴Z是和X一一对应的变量值。 ⑵Z分数没有单位，是一个不受原资料单位影响 分数没有单位， 的相对数，因而可以用于不同单位资料的比较。 的相对数，因而可以用于不同单位资料的比较。 ⑶Z分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。 分数实际表达了变量值距总体均值有几个标准差。 标准分可以为正、负或零值。它的含义是以平均数为标准， 标准分可以为正、负或零值。它的含义是以平均数为标准， 以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。 以标准差为单位表示一个数据在团体中的相对位置。
仍用前一章计算四分位数的 例子求四分位差，可得： 例子求四分位差，可得：
Q3 − Q1 25.5 − 16.5 Q.D = = = 4.5(件) 2 2
三、平均差 平均差是各个标志值与其算术平均数离 差绝对值的算术平均数（ 平均离差） 差绝对值的算术平均数 （ 平均离差 ） ， 一般用AD表示 表示。 一般用 表示。它反映标志值与其算术 平均数之间的平均差异。 平均数之间的平均差异。 在统计中， 在统计中 ， 把总体中各个标志值与其算 术平均数之差（ 叫做离差。 术平均数之差（ x − x ）叫做离差。 离差总和等于零，即 Σ ( x − x ) = 0 离差总和等于零，
二、四分位差
四分位差就是第三四分位数和第 一四分位数之差的二分之一,用 一四分位数之差的二分之一 用 Q.D表示，即Q.D ＝(Q3-Q1)/2。 表示， 表示 。 四分位距就是第三四分位数和第一四 分位数之差，用于测定中间50%部分 分位数之差，用于测定中间 部分 的距离为多少。 的距离为多少。即IQR = Q3 －Q1 。
若y = ax，则σ y = a σ x；
若y = x / a，则σ y =
σx
； a
若y = a ± bx，则σ y = b σ x
⑷方差的分解定理（加法定理）： 方差的分解定理（加法定理）： 一个分组数列的总方差等于其各组组内 方差的平均数与其组间方差之和， 方差的平均数与其组间方差之和，即：
第五章 离中趋势测量法
离中趋势是指变量数列中变量值 离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。 之间的差异程度或离散程度。
本章重点： 本章重点： 1、平均差 2、方差与标准差 3、离散系数 本章难点： 本章难点： 1、方差与标准差 2、是非标志的方差
第一节 变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 在资料已经分组时， 权平均法计算，其计算公式为： 权平均法计算，其计算公式为：
AD =
Σ x−x f Σf
…………（5.2） （ ）
(FJ5-3)
四、方差与标准差 （一）方差 总体方差，简称方差， 总体方差，简称方差，就是各个标志值与 其算术平均数离差平方的算术平均数， 其算术平均数离差平方的算术平均数，一 表示，其计算公式为： 般用符号 σ 2 表示，其计算公式为：
Σ( x − x ) 简单方差：σ = n 2 Σ( x − x ) f 2 加权方差：σ = Σf
2 2
………（5.3） （ ）
………（5.4） （ ）
（二）标准差 标准差，又称均方差， 标准差，又称均方差，是指各变量值与其算术 平均数离差平方的算术平均数的正平方根。 平均数离差平方的算术平均数的正平方根。 标准差就是方差的正平方根， 标准差就是方差的正平方根，记作 σ 。 标准差的计量单位与数据原来的计量单位相 这样一来， 同，这样一来，标准差就很容易与平均数以及 其他有相同计量单位的统计指标进行比较。 其他有相同计量单位的统计指标进行比较。
⑵由于离差平方和为最小值，故据此求得的方 由于离差平方和为最小值， 差小于各变量值对其他任意数的方差， 差小于各变量值对其他任意数的方差，即：
σ
2 x
＜
σ
2 为任意常数） （C为任意常数） 为任意常数 c
2 （3）假定原变量x的方差为σ x，标准差为σ x，
a、b为常数，那么：
若y = x ± a，则σ y = σ x；
………（5.10a） （ ）
=x −x
2
2
………（5.10b） （ ）
如果用以上5.7a至5.10a计算标 至 如果用以上 计算标 准差或方差，可以不必先求出， 准差或方差，可以不必先求出， 直接按各个标志值计算， 直接按各个标志值计算，从而避 免因计算平均数值四舍五入引起 的舍入误差。 的舍入误差。
⑴简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为： 采用简单法，其计算公式为：
Σ( x − x ) σ= n
2
………（5.5） （ ）
例3，仍以例1的资料为例说明简单标 ，仍以例 的资料为例说明简单标 准差的计算，见表5－ 。 准差的计算，见表 －3。(FJ5-4)
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列） 按照分组资料 （ 变量数列 ） 计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时， 用加权法 。 由组距数列计算标准差时 ， 还应先 求出组中值（ 求出组中值 （ 开口组的组中值以邻近组的组距 确定） 再按加权法计算。其计算公式为： 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
变异指标又称标志变动度，是反映总体各 变异指标又称标志变动度， 单位标志值之间差异程度的综合指标。 单位标志值之间差异程度的综合指标。
二、变异指标的作用
1、是衡量平均指标代表性的尺度（FJ5-1） 、是衡量平均指标代表性的尺度（ 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 、 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用 、
主要有异众比率、标准差系数、 主要有异众比率、标准差系数、平均 差系数和一些常用的偏态系数。 差系数和一些常用的偏态系数。
常用的变异指标有 全距、平均差、 全距、平均差、标 准差和变异系数 等几种。 等几种。
一、全距
全距又称极差， 全距又称极差，是指一个变量数列中的 最大值与最小值之差，一般用R表示 表示。 最大值与最小值之差，一般用 表示。 全距是测量变异度的一种粗略方 它计算简单，容易理解， 法，它计算简单，容易理解，但 受极端值影响大， 受极端值影响大，不能准确反映 全部数据的实际离散程度。 全部数据的实际离散程度。
Σ( x − x ) 2 Σ( x 2 − 2 xx + x 2 ) Σx 2 Σx nx 2 σ= = = − 2x ⋅ + n n n n n
Σx 2 Σ x 2 Σx 2 2 2 2 2 = − 2x + x = −( ) = x − x n n n
Σx 2 Σx 2 σ2 = − ( ) = x2 − x 2 n n
………（5.11b） （ ）
= b x′ − x′
2
2
………（5.11c） （ ）
（三）方差和标准差的性质 方差和标准差具有以下主要的数学性质： 方差和标准差具有以下主要的数学性质： ⑴变量数列的方差等于其变量值平方 的平均数减去平均数的平方， 的平均数减去平均数的平方，即：
σ =x −x
2 2
2
⑴简单平均差 在资料未分组时， 在资料未分组时，平均差采用简单平 均法计算，其计算公式为： 均法计算，其计算公式为：
AD =
Σ x−x n
…………（5.1） （ ）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： ，有两个参赛篮球队队员身高（单位： ）如下： 甲队： 甲队：185 191 195 202 217 乙队： 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。 以上述资料为例，计算简单平均差。 FJ5-2
第二节 变异指标的种类和计算
变异指标如按数量关系来分有以下两类: 变异指标如按数量关系来分有以下两类 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势; 凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势
主要有极差、平均差、四分位差、 主要有极差、平均差、四分位差、 标准差等。 标准差等。
凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势 凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;
Σ( xk − x ) 2 f k (82 − 80.08)2 × 20 + (78.8 − 80.08) 2 × 30 2 σ 组间 = = = 2.46 Σf k 20 + 30
2 2 （总方差）σ 2 = σ 组内 + σ 组间 = 207.52 + 2.46 = 209.98
Σ xk f k 82 × 20 + 78.8 × 30 解：x = = = 80.08(分) Σf k 20 + 30 Σσ k2 f k 12.4 2 × 20 + 15.6 2 × 30 2 σ 组内 = = = 207.52 20 + 30 Σf k
简捷法的计算公式为： 简捷法的计算公式为：
x−a 2 x−a Σ( ) f Σ( )f b b σ =b − Σf Σf （ ） ………（5.11a）
2
x−a 令x′ = （a ≠ 0，b ≠ 0），则： b
Σx ′ 2 f Σx′f 2 −( σ =b ) Σf Σf
Σ( x − x ) Σx Σx 2 = −( ) σ= n n n
2 2
…………（5.7a） （ ）
= x −x
2
2
2
2 2
…………（5.7b） （ ）
Σ( x − x ) Σx Σx 2 σ = = −( ) n n n
…………（5.8a） （ ）
=x −x
2
2
…………（5.8b） （ ）
证明： 证明：
σ =σ
2 总
2 组内
+σ
2 组间
Σ( x − x ) 2 f Σσ k2 f k Σ( xk − x ) 2 f k 亦即 = + Σf Σf k Σf k
式中，σ k2为各组的组内方差；
xk 为各组的算术平均数；f k 为各组的次数。
名学生考试数学， 例5，某班 名学生考试数学，其中女同学 ，某班50名学生考试数学 其中女同学20 平均成绩82分 标准差为12.4分；男同学 名，平均成绩 分，标准差为 分 30名，平均成绩 名 平均成绩78.8分，标准差 分 标准差15.6分。试确 分 定全班同学的总平均成绩、方差和标准差。 定全班同学的总平均成绩、方差和标准差。
同理可证， 同理可证，依据分组资料计算标准差 和方差的简单计算公式为： 和方差的简单计算公式为：
Σ( x − x ) 2 f Σx 2 f Σxf 2 σ= ) = −( Σf Σf Σf
………（5.9a） （ ）
= x −x
2
2
2
2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ………（5.9b） （ ）
Σ( x − x ) f Σx f Σxf 2 σ = = −( ) Σf Σf Σf