离散趋势测量法教学内容
社会统计学教学大纲
社会统计学教学大纲课程名称：社会统计学英文名称：social statistics课程编号：12600722j使用专业：社会工作专业总学时数：48学时总学分：3学分大纲撰写人：文法学院社工系马永方内容简介社会统计学是社会学主干课之一，与社会学调查研究方法结合起来，完整地介绍了当代社会调查研究的科学方法和资料处理技术。
社会统计学则侧重介绍资料的收集、整理、分析和推论的处理技术。
从事社会工作研究理论和实践的人都有必要掌握社会统计学这门有用的工具。
本课程共7章。
第一章导论，介绍社会统计学和相关概念，第二章统计资料的搜集，第三章统计资料的整理，第四章到第七章是统计分析。
第四章和第五章是描述统计，第六到第七章是统计推断，第六章概率论是统计推断的基础，统计推断有两个基本内容：假设检验第七章。
一、讲授的主要内容第一章社会学研究和统计分析（2学时）第一节社会学研究的科学性第二节社会调查资料的特点和统计学的运用第二章单变量统计描述分析第一节分布统计表统计图第二节集中趋势测量法第三节离散趋势测量法第三章概率（3学时）第一节基础概率第二节概率分布、均值和方差第四章二项分布及其他离散型随机变量的分布（3学时）第一节二点分布第二节排列与组合第三节二项分布第四节多项分布第五节超几何分布第六节泊松分布第五章正态分布、常用统计分布和极限定理（3学时）第一节什么是正态分布第二节标准正态分布第三节标准正态分布表的使用第四节常用统计分布第五节大数定理和中心极限定理第六章参数估计（4学时）第一节名词解释第二节参数的点估计第四节正态总体的区间估计第五节大样本区间估计第七章假设检验（4学时）第一节统计假设第二节统计检验的基本步骤一、建立假设二、求抽样分布三、选择显著性水平和否定域四、计算检验统计量五、判定第八章单总体假设检验（4学时）第一节大样本假设检验第二节小样本假设检验第九章二总体假设检验第一节引言第二节大样本二总体假设检验第三节小样本二总体假设检验第十章列联表（4学时）第一节什么是列联表第二节列联表的检验第三节列联强度第十一章等级相关（定序变量之间）（4学时）第一节斯皮尔曼等级相关系数第二节Gamma等级相关第三节其他等级相关系数第十二章回归与相关（6学时）第一节回归研究的对象第二节回归直线方程的建立与最小二乘法第三节回归方程的假定与检验第四节相关第五节用回归方程进行预测第十三章方差分析（3学时）第一节引言第二节一元方差分析第三节二元方差分析第四节多元方差分析第十四章非参数检验（4学时）第一节非参数检验第二节符号检验第三节符号秩检验第四节累计频次检验第十五章抽样（4学时）第一节引言第二节抽样调查方法第四节样本容量的确定二、参考书目1. 社会统计学，卢淑华，北京大学出版社，2005年第三版.2.社会统计学，张彦，高等教育出版社，2005年第一版.3.社会统计学导论，周德民、贺翠微，中南大学出版社，2004年第一版.教学大纲说明一、教学目的与课程性质任务本课程属于专业限选课，是社会工作专业课程体系的重要组成部分。
卫生统计学--离散趋势的统计描述(衡量离散程度的指标、正态分布及应用、医学参考值范围)
课后习题：
3、将一组计量资料整理成频数表的目的（ ） A、化为计数资料 B、便于计算 C、提供原始数据 D、为能够更精确的检验 E、描述数据的分布特征
4、6人接种流感疫苗一个月后，测定抗体 滴度为1:20、1:40、1:80、1:80、1:160、 1：320，求平均滴度应选用的指标是（ ）
表2-7 282名正常人尿汞值（ g/L ）测量结果
尿汞值
频 数f
累计频数 f
累计频率（%）
0～
45
45
16.0
8.0～
64
109
38.6
16.0～
96
205
72.7
24.0～
38
243
86.2
32.0～
20
263
93.3
40.0～
11
274
97.2
48.0～
5
279
98.9
56.0～
2
281
99.6
统计学方法是（ ）
A、用均数评价 B、用中位数评价 C、用几何均数评价D、用变异系数评价 E、用医学参考值范围评价
2.用于计算变异系数 3.用于计算标准误 4.结合均值与正态分布的规律，估计参考值范
围
第一节 衡量离散程度的指标 （五）变异系数(coefficient of variation)
变异系数常用于比较度量单位不同或均数相 差悬殊的两组(或多组)资料的变异程度。
S CV 100%
X
例题：某地7岁男孩身高的均数为 123.10cm，标准差为4.71cm；体重 均数为22.29kg，标准差为2.26kg, 比较其变异度？
随机变量X N（，2）
拓展
Z X
第3章离散趋势的描述
离散趋势的统计描述
学习目的和要求：
掌握:
描述数据分布离散趋势的指标；正态分布的概念和 特征、标准正态分布下面积分布规律。
熟悉:
医学参考值范围的意义和计算；
了解：
正态分布表、正态分布的应用。
描述数值变量资料的分布特征必须从集中趋势和离 散趋势两方面来进行，缺一不可。
例: 三组同年龄女大学生体重(kg)如下,试分析其分 布特征。
95 99
表3-3 参考值范围所对应的正态分布区间 百分范围(%) 单侧 双侧(对称) 下限 上限 下限 上限 x -1.645s x+1.645s x -1.96s x +1.96s 95 99 x -2.33s x+2.33s x -2.58s x +2.58s
（二）离均差平方和
(X (X
X)
2
X)
2
X
2
( X ) n
2
(三)方差与标准差
2
(X )
N
2
S
2
( X x)
n 1
2
(X )
N
2
S
( X x)
n 1
2
N-1 称自由度 Degree of freedom
S
x x
Q=135.7-63.2=72.5(mg/dl)
例2.4 某地630名正常女性血清甘油三酯含量的频数表 甘油三酯（mg/dl) 频数 累积频数 累积频率 （1） （2） （3） （4） 10～ 27 27 4.3 40～ 169 196 31.1 70～ 167 363 57.6 100～ 94 457 72.5 130～ 81 538 85.4 160～ 42 580 92.1 190～ 28 608 96.5 220～ 14 622 98.7 250～ 4 626 99.4 280～ 3 629 99.8 310～ 1 630 100.0 合计 630 － －
第2讲 频数分布的集中趋势与离散趋势
第二讲 频数分布的集中趋势与离散趋势① 频数分布通过调查或试验取得原始资料后，要对全部资料进行检查和核对后，才能进行数据的整理。
根据样本资料的多少确定是否分组，一般样本容量n<30称为小样本，可直接进行统计描述分析，样本容量n>30称为大样本，此时须将数据分成若干组后进行描述分析。
1、频数分布表1）、频数表的编制相同观察结果出现的次数称为频数。
将所有观察结果的频数按一定顺序排列在一起便是频数表(frequency table)。
步骤：① 找出最大和最小值，计算极差 R=X max ―X min② 根据斯梯阶公式确定组距n RH log 322.31+=③ 扫描样本值，划记后获得频数 2）、频数表的用途① 大样本数据（不限于计量资料）常用的表达方式。
② 便于观察数据的分布类型。
③ 便于发现资料中远离群体的某些特大或特小的可疑值，必要时经检验后舍去。
④ 当样本含量足够大时，各组段的分布频率作为分布概率的估计值。
样本量与分组数量的关系样本量分组数30 ~ 60 5 ~ 860 ~ 100 7 ~ 10100 ~ 200 9 ~ 12200 ~ 500 10 ~ 18500以上15 ~ 30例1：某地随机检查了140名成年男性红细胞数(1012/L)4.765.26 5.61 5.95 4.46 4.57 4.31 5.18 4.92 4.27 4.77 4.885.00 4.73 4.47 5.34 4.70 4.81 4.93 5.04 4.40 5.27 4.63 5.50 5.24 4.97 4.71 4.44 4.94 5.05 4.78 4.52 4.63 5.51 5.24 4.98 4.33 4.83 4.56 5.44 4.79 4.91 4.26 4.38 4.87 4.99 5.60 4.46 4.95 5.07 4.80 5.30 4.65 4.77 4.50 5.37 5.49 5.22 4.58 5.074.81 4.54 3.82 4.01 4.89 4.625.12 4.85 4.59 5.08 4.82 4.935.05 4.40 4.14 5.01 4.37 5.24 4.60 4.71 4.82 4.94 5.05 4.79 4.52 4.64 4.37 4.87 4.60 4.72 4.83 5.33 4.68 4.80 4.15 4.65 4.76 4.88 4.61 3.97 4.08 4.58 4.31 4.05 4.16 5.04 5.15 4.50 4.62 4.73 4.47 4.58 4.70 4.81 4.55 4.28 4.78 4.51 4.63 4.36 4.48 4.59 5.09 5.20 5.32 5.05 4.41 4.52 4.64 4.75 4.49 4.22 4.71 5.21 4.94 4.68 5.17 4.91 5.02 4.76R= 5.95 ― 3.82 = 2.13连续型资料:红细胞数(1012/L)（1）频数f(2)组中值X（3）Fx(4)=(2)*(3)3.80~4.00~ 4.20~ 4.40~ 4.60~4.80~5.00~ 5.20~ 5.40~ 5.60~ 5.80~ 261125322717134213.904.104.304.504.704.905.105.305.505.705.907.824.647.3112.5150.4132.386.768.922.011.45.9合计140（∑f）669.8（∑fX）离散型资料:我国某地农村1995年已婚育龄妇女现有子女数的分布子女数（1）妇女数f（2）频率（%）（3）累计频数（4）累计频率（%）（5）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ≥10 合计137512519130426285602171913695725532681513731561455259.4517.3020.9119.6214.929.414.982.250.100.260.11100.0013751389226934897908119627133322140577143845144996145369145525——9.4526.7547.6567.2882.2091.6196.6098.8599.6499.89100.00——（一）、均数（mean ）的计算① 直接法n xn x x x x x in∑=+++=...32 1例2. 10名7岁男童体重（kg ）分别为：17.3、 18.0、 19.4、 20.6、21.2、21.8、 22.5、 23.2、 24.0、 25.5，求平均体重。
集中和离散趋势指标
集中和离散趋势指标1.引言1.1 概述概述部分将介绍集中和离散趋势指标的基本概念和背景。
集中趋势指标和离散趋势指标是统计学中常用的分析工具，用于描述和度量数据集中和离散程度的重要指标。
在实际问题中，我们经常遇到需要描述和分析数据集中和离散程度的情况。
集中趋势指标主要关注数据的中心值，用于度量数据集中在何处，以及数据的均匀分布程度。
而离散趋势指标则用于度量数据的分散程度，即数据的离散程度有多大。
集中趋势指标和离散趋势指标在统计学、经济学、金融学等领域被广泛应用。
例如，在统计学中，我们常常使用平均值、中位数、众数等指标来描述数据的集中趋势；而方差、标准差、极差等指标则用于度量数据的离散趋势。
本文将分别介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义和解释，并列举一些常见的集中趋势指标和离散趋势指标的示例。
通过对这些指标的应用和分析，我们能够更加客观地了解数据的分布特征，为后续的数据分析和决策提供依据。
在下一章节的正文部分，我们将详细介绍集中趋势指标和离散趋势指标的定义、计算方法和使用场景。
希望通过本文的介绍，读者能够对集中和离散趋势指标有一个全面的认识，并能够在实际应用中灵活运用这些指标，提高数据分析的精确性和准确性。
接下来，我们将开始介绍集中趋势指标的相关内容，包括定义和解释等方面的内容。
敬请关注！1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将围绕集中和离散趋势指标展开讨论。
首先，在引言部分进行概述，介绍集中和离散趋势指标的基本概念和作用。
然后，通过分析文章目录可以看出，正文部分将重点介绍集中趋势指标和离散趋势指标，包括它们的定义和解释以及常见的指标类型。
最后，在结论部分对集中趋势指标和离散趋势指标的应用进行总结。
具体而言，在正文部分，我们会首先介绍集中趋势指标，包括其定义和解释。
随后，会详细介绍一些常见的集中趋势指标，例如均值、中位数和众数等。
这些指标能够反映数据集中在某个位置或数值上的趋势，有助于我们对数据的整体特征进行理解和分析。
离散趋势的统计描述演示文稿
第一页，共49页。
（优选）离散趋势的统计描述
第二页，共49页。
例3.1 对甲乙2名高血压患者连续观察5天，测得的收缩压分 别为：
甲患者（mmHg）：162 145 178 142 186 （
）
乙患者（mmHg）：164 160 163 159 166 （
）
第三页，共49页。
第十四页，共49页。
140名正常成年男子红细胞计数的标准差计算表
红细胞数（×1012/L) 3.8 ～
4.00 ～ 4.20 ～ 4.40 ～
组中值 频数（f)） 3.90 2
4.10 6 4.30 11 4.50 25
fx 7.80
24.60 47.30 112.50
fx2 30.42
100.86 203.39 506.25
(1 0.0294) 0.0202
0.9504
第三十八页，共49页。
三、正态分布的应用
1、估计频数分布
2、制定医学参考值范围
3、质量控制 正常情况下，测量误差服从正态分布。所以，一般以X±2S作为上、 下警戒值，以X±3S作为上下控制值。 4、多种统计方法的理论基础 Χ2分布、t分布和F分布都是在正态分布的基础上推倒出来的，t分布、
CV=
10.7 77.5
100%
13.8%
CV=
17.1 122.9
100%
13.9%
第十八页，共49页。
可见两种指标的变异度 几乎没有什么差别。
思考题：
1985年通过十省调查得知，农村刚满周岁的女童体重均数为 8.42kg，标准差为0.98kg；身高均数为72.4cm，标准差为 3.0cm。试比较身体与体重的变异情况？
5,数据的离散趋势及描述
能不能说这名学生的学习成绩退步了呢?这是不能的。因为
两次考试试题内容及难度都不同，两个分数无法进行比较。 但换算成标准分，其进步还是退步就明白了。设期中成绩 67分换算成标准分为一0.12，期末成绩62分换算成标准分 为0.35，那么这位同学在前后两次考试中，标准分增长了 0.35-（-0.12)=0.47，说明这位同学的进步还是不小的。
3. 计算过程要取绝对值；
4. 有绝对值不利于统计的进一步计算（代数性质不是很
好）。
三、方差与标准差
方差是各个数据分别与其平均数之差的平方
的和的平均数，标准差是方差的算术平方根。方
差和标准差能较好地反映一个数据集的离散程度，
是最经常应用于描述次数分布离散程度的差异量
数。
总体方差与总体标准差
2
x
离散趋势的测度，在统计学中也称为标志变异指标， 是用来描述数列中指标值的离散趋势与离散程度的。常用 的标志变异指标有极差（全距）、平均差、方差、标准差 和百分位差等。
一、极差
又称全距、两极差，用符号R表示。 把一组数据从大到小排列起来，用最大值减去最小值，就得到极差。 计算公式：
R X max X min
举例
原始数据：1、2、3、4、5、6、7、8、9
样本：2、4、6、8
自由度
1. 一组数据中可以自由取值的数据的个数； 2. 当样本数据的个数为 n 时，若样本均值x 确定后，只 有 n-1 个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能 自由取值； 3. 例如，样本有 3 个数值，即 x1=2 ， x2=4 ， x3=9 ，则 x = 5。当 x = 5 确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由 取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3 则必然取2，而不能取其他值； 4. 样本方差用自由度去除，其原因可从多方面来解释，从 实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计 总体方差σ 2时，它是σ 2的无偏估计量。
第五章 离趋势测量法
第五章离中趋势测量法主要内容：（1）变异指标；（2）全距和四分位差；（3）平均差、标准差和标准分；（4）绝对离势和相对离势；（5）偏度（及峰度）所谓离中趋势，是指数列中各变量值之间的差距和离散程度。
离势小，平均数的代表性高；离势大，平均数代表性低。
例如有A、B、C、D四组学生各5人的成绩如下：A组：60 ，60，60，60，60B组：58，59，60，61，62C组：40，50，60，70，80D组：80，80，80，80，80数据显示，平均数相同，离势可能不同；平均数不同，离势可能相同。
变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。
变异指标如按数量关系来分有以下两类：凡用绝对数来表达的变异指标，统称绝对离势;主要有极差、平均差、四分位差、标准差等。
凡用相对数来表达的变异指标，统称相对离势;主要有异众比率、标准差系数、平均差系数和一些常用的偏态系数。
第一节全距与四分位差1.全距(Range)全距（R）：最大值和最小值之差。
也叫极差。
全距越大，表示变动越大。
R =Xmax - Xmin[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数字的全距。
[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，显然有 R =Xmax - Xmin＝91 - 69＝22对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距：（1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值（2）用组值最大组的上限减去最小组的下限（3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；或最大组的上限减去最小组的组中值优点：计算简单、直观。
缺点：（1）受极端值影响大；（2） 没有量度中间各个单位间的差异性，数据利用率低，信息丧失严重；（3）受抽样变动影响大，大样本全距比小样本全距大。
2. 四分位差(Quartile deviation)第三四分位数和第一四分位数的半距。
避免全距受极端值影响大的缺点。
第五章-离中趋势测量法
⑴简单标准差 对于未分组资料计算标准差时可 采用简单法，其计算公式为：
(x x ) n
2
例，求26,45,88,62,74这些数字的标准差
⑵加权标准差 按照分组资料（变量数列）计算标准差时可采 用加权法。由组距数列计算标准差时，还应先 求出组中值（开口组的组中值以邻近组的组距 确定），再按加权法计算。其计算公式为：
AD x x n
…………（5.1）
例1，有两个参赛篮球队队员身高（单位：cm）如下： 甲队：185 191 195 202 217 乙队：190 197 199 200 204 以上述资料为例，计算简单平均差。
⑵加权平均差 在资料已经分组时，平均差采用加 权平均法计算，其计算公式为：
AD
第五章 离中趋势测量法 离中趋势测量法
离中趋势是指变量数列中变量值 之间的差异程度或离散程度。
本章重点： 1、平均差 2、方差与标准差 3、离散系数 本章难点： 1、方差与标准差 2、是非标志的方差
变异指标的概念和作用
一、变异指标的概念 变异指标又称标志变动度，是反映总体各单位标志值之间差异程度的 综合指标。 二、变异指标的作用 1、是衡量平均指标代表性的尺度 2、可用来研究现象的稳定性和均衡性 3、在抽样调查和相关分析中有着重要作用 变异指标用以反映总体各单位标志值的变动范围或参差程度，与平 均指标相对应，从另一个侧面反映了总体的特征。变异指标不仅可以 综合地显示变量值的离中趋势，还可以用来判别平均数的代表性。
(1)当 x M
e
M 0时 ， 对 称 分 布 ；
，右偏分布； ＜Me ＜ Mo时，左偏分布。
(三) 偏态系数
我们在前面讨论统计图时已经对频数分布的正态和 偏态有所认识。我们又看到了算术平均数与中位数、众 数之间存在的关系：当总体呈对称分布时，X 、 M 、 M 三者完全相等；当总体呈不对称的偏态分布时，它们之 间存在着数量(位置)的差异。因此，偏态可由 X 与 M o 的差来表示，即
第五章 离散趋势测量法
第五章离散趋势测量一、单项选择题(在各题的备选答案中，只有1项是正确的，请将正确答案的序号，填写在题中的括号内。
每小题2分，共20分)1. 离散系数的主要目的是( )。
A. 反映一组数据的平均水平B. 比较多组数据的平均水平C. 反映一组数据的离散程度D. 比较多组数据的离散程度2. 两组数据的平均数不相等，但是标准差相等。
那么( )。
A. 平均数小的，离散程度小B. 平均数大的，离散程度大C. 平均数大的，离散程度小D. 两组数据离散程度相同二、名词解释(每题4分，共20分)3. 方差与标准差四、计算题(每题 1 5分，共30分)4.某校社会学专业共有两个班级。
期末考试时, 一班同学社会学理论平均成绩为86分，标准差为12分。
二班同学成绩如下所示。
二班同学社会学理论成绩分组数据表按成绩分组(分) 人数(个)60分以下 260~70 770~80 980~90 790~100 5合计30要求:(1) 计算二班同学考试成绩的均值和标准差。
(2) 比较一班和二班哪个班成绩的离散程度更大? (提示: 使用离散系数)5.甲单位人均月收入4500元, 标准差1200元。
乙单位月收入分布如下所示。
乙单位月收入分布表按收入分组(元) 人数(个)3000 分以下1203000~4000 4204000~5000 5405000~6000 4206000 以上300合计1800要求:(1) 计算乙单位员工月收入的均值和标准差。
(2) 比较甲单位和乙单位哪个单位员工月收入的离散程度更大? (提示: 使用离散系数)答案： 1. C 2. C3. 方差与标准差方差(variance) 是各数值与均值离差平方的平均数，它是数值型数据离散趋势最主要的测量值。
(2分)标准差(standard variance) 是方差的平方根，用于测量数值型数据离散趋势。
(2分)4.（1）均值：kkk f f f X f X f X f X ++++++=212211=（55×2+65×7+75×9+85×7+95×5）÷ 30 = 2310 ÷ 30= 77 （4分）方差：()Nf X Xki ii∑=-=122σ()()()()()30577957778597775777652775522222÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= = 4080 ÷ 30= 136标准差： 6619.111362≈==σσ （4分）（2）一班考试成绩的离散系数为：1395.08612=÷==一班一班一班X S V （3分）二班考试成绩的离散系数为：1515.07766.11=÷==二班二班二班X S V （3分）一班V <二班V ，所以说一班成绩的离散程度小于二班。
统计学课件 第2章-集中趋势与离散趋势
∑ (X
N i =1
i
− X
)=
0
（2）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小： ）各变量值与其算术平均数的离差平方和最小：
∑ (X
N i =1
i
− X
)
2
= min
▲注意： 注意： 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 均值容易受到统计数据中个别极端数据的影响， 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平” 从而使均值代表某组统计数据的“平均水平”时失 去意义，这时往往用“剔除极端值” 去意义，这时往往用“剔除极端值”的方法加以修 正。 的最高值用10000代替， 代替， 如例1中，如果将月薪 中 如果将月薪2825的最高值用 的最高值用 代替 则均值为3038 则均值为
S m −1 + f m + S m +1 = ∑ f
某班级英语考试成绩分组情况见下表： 例4.某班级英语考试成绩分组情况见下表： 某班级英语考试成绩分组情况见下表
成绩分组 人数 （分） 50以下 2 以下 50~60 5 60~70 10 累计人数 2 7 17 成绩分组 （分） 70~80 80~90 90以上 以上 人数 18 9 6 累计人数 35 44 50
X < Me < Mo
当分布右偏时（说明存在极端大的值） 当分布右偏时（说明存在极端大的值）
X > Me > Mo
3.在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏，中位数与 在偏斜度适度的情况下，不论是左偏还是右偏， 在偏斜度适度的情况下 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的1/3， 算术平均数之差约等于众数与算术平均数之差的 ，即有如 下经验公式： 下经验公式： 1 M e − X = (M O − X ) 3
集中和离散趋势
K n(n 1) ( xi x )4 3[ ( xi x )2 ]2 (n 1) (n 1)(n 2)(n 3)s 4
分组
K
4 ( M x ) fi i i 1
k
ns
4
3
峰度系数
K=0，数据服从标准正态分布 K>O，数据呈尖峰分布 K<0，数据呈平峰分布
总体方差
2
样本方差
2 ( X X ) i i 1
N
N
2 ( x x ) i i 1 n
s2
n 1
自由度
概念
一组数据中可以自由取值的个数 当样本数据的个数为n时，若样本均值 x 确 定后，只有n－1个数据可以自由取值，其中必 有一个数据不能自由取值，所以自由度为n－1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
A、B两组学生成绩
6 方差和标准差
方差（Variance）
各变量值与其平均数离差平方的平均数
图示 变量值 平均数 变量值 到均值 的距离
标准差（Standard
deviation，S.D.）
方差的平方根 标准差越大，变量值越分散，平均数解释力越低
方差的计算公式
小结
集中－离散
众数－异众比例 中位数－极差 四分位数－四分位差 平均数－方差、标准差、标准误、离散系数 选用哪组测度指标要根据掌握的数据的类型和分 析目的来确定
小结
表1 不同层次数据的集中趋势测量指标 众数 分 定类 变量值 类 定序 连 定距 变量值 续 组中值 定比 计算 中位数 平均数
社会统计学课件：第4章 离中趋势的测量
f
190
1090750 5740.79 190
2 x2 x 2
5740 .79 74.47 2 195 .01
13.96
成绩
x
人数 f
50 以下 45
10
50—60 55
20
60—70 65
40
70—80 75
50
80—90 85
40
90 以上 95
30
合计
190
标准差的作用
用来比较分析两个或两个以上同类现象平均数相等时平均 数的代表性：即
第四章 离中趋势测量法
二、标志变异指标的作用
1、用标志变异指标衡量和比较平均指标 的代表性。
2、用标志变异指标反映经济活动过程的 均衡性、稳定性和节奏性。
3、标志变异指标在相关分析和抽样调查 中的应用。
甲乙丙三车间都有7个工人，生产的零件 数如下：
甲：72 73 74 75 76 77 78 乙：30 50 65 75 90 100 115 丙：75 75 75 75 75 75 75 平均数都为75件。但代表性谁好。
R =Xmax– Xmin
[例] 求74，84，69，91，87，74，69这些数字 的全距。
[解] 把数字按顺序重新排列：69，69，74， 74，84，87，91，显然有
R =Xmax– Xmin ＝91—69＝22
对分组资料，不能确知最大值和最小值，求全距： （1）用组值最大组的组中值减去最小组的组中值 （2）用组值最大组的上限减去最小组的下限 （3）用组值最大组的组中值减去最小组的下限；
集中趋势和离散趋势
众数
(mode)
1. 2. 3.
出现次数最多的变量值
不受极端值的影响
一组数据可能没有众数或有几个众数
4.
主要用于分类数据，也可用于顺序数据 和数值型数据
The Mode 众数
1.
排序后处于中间位置上的值
50%
Me
50%
2. 不受极端值的影响 3. 主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能 用于分类数据
顺序数据的中位数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别
非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市
户数 (户)
24 108 93 45 30
累计频数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
位置 n 1 2 9 1 2 5
中位数 1080
数值型数据的中位数
(10个数据的算例)
【例】：10个家庭的人均月收入数据
排 位 序: 置: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
22 18 12 18 100
在所调查的50人中，购 买可口可乐的人数最多， 为15人，占总被调查人数 的30%，因此众数为“可 口可乐”这一品牌，即 Mo＝可口可乐
顺序数据的众数
(例题分析)
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 百分比 (%) 8 36 31 15 10
四、单变量的描述统计离散趋势分析和集中趋势分析
解：Md位置
＝
成 绩 甲 乙 丙 丁 N
频 累计频次 次 cf 85 500 195 415 210 220 10 10 500 500
N＋ 1 2
500＋ 1 ＝ 2
＝250.5
中位值Md＝乙
15
2、分组数据
根据统计表中的累积百分比，找出含有 50%的区间 找出含有50%区间的上界值U，下界值 L，上界累计百分数U%，下界累计百分 数L%以及组距等信息 根据线段对应成比例的原理，计算出累 计百分比为50%的变量值
O
fM
o
：众值的频次
44
异众比率(先找出众值.找到众值的频次分布)
表 1 家庭结构的频次分布表 家庭结构 频次 百分比 核心家庭 1050 49.3 直系家庭 720 33.8 联合家庭 110 5.2 其它 250 11.7 N 2130 100
【例1】：根据表1中 的数据，计算众值 和异众比率。
16
n cf 2 Md L f
w
L：中位数组的下限 f：中位数组的频数 w：中位数组的组距 （U-L） cf：低于中位数组下 限的累加次数 n：全部个案数 Md位置=n/2 （上 下各50%的位置）
17
ห้องสมุดไป่ตู้
例：分组数据：
首先将各组的次数累加起来
求中位数的位置： Md位置=n/2 =212/2=106
第106个位置在 25-35之间
18
分组变量看作是一组连续的数值
10 25 94 12
?
106
35
124
30
19
离散趋势的方法有哪些
离散趋势的方法有哪些离散趋势是指数据集中数据的分布方式，用于描述数据的集中程度和离散程度。
在统计学和数据分析领域中，有许多方法用于测量和描述离散趋势。
下面将介绍一些常用的离散趋势方法，以及它们的原理和应用。
1. 极差（Range）：极差是指一组数据中最大值和最小值之间的差值。
计算方法为极差= 最大值- 最小值。
极差可以快速测量数据的离散程度，但它只考虑了最大值和最小值，未能考虑中间数值的分布情况。
因此，极差通常配合其他方法一起使用。
2. 四分位差（Interquartile Range，IQR）：四分位差是指数据集中处于25%和75%位置之间的数据的差值。
首先，计算数据的上四分位数（Q3）和下四分位数（Q1），然后计算四分位差= Q3 - Q1。
四分位差能够更好地反映数据集中间50%数据的分布情况，不受极端值的影响。
3. 方差（Variance）：方差是衡量随机变量离散程度的一种方法。
方差反映了各数据与其均值之间的差距的平方的平均值。
方差越大，数据的离散程度也就越大。
方差的计算方法有两种：总体方差和样本方差。
总体方差计算方法为总体方差= 平均数[(数据值- 平均数)^2]；样本方差计算方法为样本方差= (平均数[(数据值- 平均数)^2]) * (n-1)/n（其中n为样本容量）。
4. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，用于度量数据集的离散程度。
标准差的计算方法与方差相同，但是最后需要对方差结果开方。
与方差一样，标准差也有总体标准差和样本标准差两种计算方法。
5. 平均绝对偏差（Mean Absolute Deviation，MAD）：平均绝对偏差是衡量数据离散程度的一种方法。
它是各数据与其均值的差的绝对值的平均值。
平均绝对偏差越小，数据的离散程度也就越小。
6. 变异系数（Coefficient of Variation，CV）：变异系数是标准差与均值之比的一种指标，用于衡量数据离散程度相对于均值大小的一种方法。
社会统计学(二章)1节方案
表头 标识行
主体行
表尾
SPSS统计包对多选项问题的处理方法
• 1.多选项二分法 对每一个问题进行分别统计，做出不同的统计表。
• 2.多选项分类法 由于各项取值分散在不同变量中，因此把取值相同的频次累计起来。作为该取
值的总人次，把不同变量总取值相加，得出被选中的总人次。然后用每个变 量总取值/被选中的总人次，进行比较。
组距式分类
家庭人口数
1—2 3—4 5—6 6以上
频次
n1 n2 n3 n4
第一节 分布 统计图 统计表
一、统计表(Statistical tables) 统计表就是用表格形式来表示所研究变量的分布 (一) 定类变量
例：某校学生的父亲职业（XX地，2003,7）
Hale Waihona Puke 职业 农民 工人 干部频次（n） 110 152 228
连续，如身高
若变量为离散型变量，且取值相对较少，可以按照定类或定序统计表方 式统计频次或百分比。统计表中变量取值，按取值大小排序，不要任意 打乱。
若变量为连续型变量，则需要将变量值分为若干个区间或组，统计每一 个组内或区间内的频次或百分比。
• 数据分组时需要考虑的几个问题：
A 组数
B 组距
C 组限
如何制作分组统计表
规律
2. 不等距分组
– 各组频数的分布受组距大小不同的影响 – 各组绝对频数的多少不能反映频数分布的实际
状况 – 需要用频数密度（频数密度＝频数/组距）反映
频数分布的实际状况
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
03集中趋势与离散趋势
极差小表示资料比较集中，
极差大表示资料分散。 极差计算方便，但是由于它的值是由端点的变量值 决定的，因此个别远离群体的极值会极大的改变极 差，使它不能真正反映资料全体的分散程度。
（三）四分互差（Interquartile range）Q 用对应于c%↑为75%的变量值 Q和对应于 c%↑为25%的变 75 量值 Q相减，得到四分互差。 25
频次 累计频次
70 121 182 85 91 242 363 545 697 788
累计百分比C%↑
24.2 36.3 54.5 69.7 78.8
L(U % 25%) U (25% L%) Q25 U % L%
L(U % 75%) U (75% L%) Q75 U % L%
2、分组数据： 真实组界限
0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 下界值L←0.8-1.0 →上界值U 1.0-1.2
频次 累计频次
累计百分比C%↑
121 182
363 545
36.3→下界累计百分比L% 54.5 →上界累计百分比U%
通过累计百分比中的50%点求出：
（1）根据统计表中的累计百分比， 找出含有50%的区间。
N f mo N
f mo 众值的频次。
异众比率越小，众值的代表性越好，信息量越 大。反之，一种比率越大，众值的代表性越差，所 提供的信息量越小。 异众比率是众值的补充。 例如：（男，10） 10 0 .2 50 （女，40）
（二）极差(range）R
——对定序以上变量分散程度的度量。 R=max-min（观察的最大值减去最小值） 例如：1，2，3，4，6 R=6-1=5
70
60
简述离散趋势的测度
简述离散趋势的测度离散趋势是指一组数据在数值上的波动或变异程度。
在统计学中，为了测量离散趋势，常用的测度有极差、方差和标准差。
首先，极差是最简单直观的离散趋势测度。
它表示一组数据中最大值与最小值之间的差异程度。
计算极差的公式为最大值减去最小值。
极差的优点在于简单易懂，但它只考虑了最大和最小值，忽略了其他数据的分布情况，所以极差的测度不够全面准确。
其次，方差是衡量数据离散程度的一种常用测度。
方差是各个数据值与其平均值之差的平方和的平均值。
方差的计算公式为所有数据与平均值之差的平方和除以数据个数。
方差的优点在于考虑了每个数据和平均值之间的差异，能够更全面地反映数据的离散程度。
然而，方差的单位是原数据的单位的平方，不够直观，而且方差对异常值比较敏感。
最后，为了解决方差的问题，引入了标准差作为离散趋势的测度。
标准差是方差的正平方根，计算公式是方差的平方根。
标准差的计算结果与原数据有相同的单位，更具直观性。
标准差的优点在于能够衡量数据的稳定性和离散性。
标准差越小，表示数据越稳定，离散趋势越小；标准差越大，表示数据越离散，离散趋势越大。
但标准差也有一个缺点，就是它只能说明数据的波动范围，不能具体说明波动的方向。
除了以上三种测度，还有其他的离散趋势测度方法，比如变异系数、四分位差等。
变异系数是标准差与平均值之比的绝对值。
它的计算公式是标准差除以平均值再乘以100%。
变异系数可以比较不同数据集之间的离散趋势，因为它消除了量纲单位的影响。
四分位差是指将数据分为四个部分，每个部分包含大约25%的数据量。
四分位差的计算方法是将数据按大小排序，然后计算第三个四分位数与第一个四分位数之差。
四分位差能够反映数据的集中趋势和离散趋势。
总之，离散趋势的测度是为了衡量一组数据在数值上的波动程度。
极差、方差和标准差是最常用的三种测度方法。
它们分别从最大值与最小值之差、数据与平均值之差的平方和以及方差求平方根的角度出发，衡量了数据集的离散程度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散趋势测量法第五章 离散趋势测量法第二节、全距与四分位差• 一、全距• 1、未分组资料计算公式• 全距又称极差，是一组数据的最大值与最小值之差，用表示。
计算公式为：•• 式中， 、 分别表示为一组数据的最大值与最小值。
由于全距是根据一组数据的两个极值表示的，所以全距表明了一组数据数值的变动范围。
越大，表明数值变动的范围越大，即数列中各变量值差异大，反之，越小，表明数值变动的范围越小，即数列中各变量值差异小。
2、分组资料计算公式R=最高组上限 - 最低组下限• R=最高组组中组-最低组组中值• R=最高组组中组-最低组下限• R=最高组上限-最低组组中值• 如果资料经过整理，并形成组距分配数列，全距可近似表示为：• R ≈最高组上限值－最低组下限值3、优缺点：优点：计算简单，易于理解。
缺点：（1）受极端值影响大，遇含开口组的资料时无法计算；max()min()i i R X X =-max()i X min()i X（2）数据利用率低，信息丧失严重；（3）受抽样变动影响大（一般大样本的全距会比小样本的全距大）。
二、四分位差（inter-quartile range）上四分位数与下四分位数之差的平均数，称为四分位差，亦称为内距或四分间距。
四分位差的计算方法：Q·D=(Q3-Q1) /2四分位差反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中；数值越大，说明中间的数据越分散。
此外，由于中位数处于数据的中间位置，因此，四分位差的大小在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。
四分位差主要用于测度顺序数据的离散程度。
当然，对于数值型数据也可以计算四分位差，但不适合于分类数据。
优缺点：主要是避免了全距受极端值影响的缺点，其他优缺点同全距：数据利用率低，信息丧失严重；受抽样变动影响大。
第三节、平均差•平均差是各变量值与其算术平均数离差绝对值的平均数，用A.D表示。
根据掌握资料的不同，平均差有以下两种计算方法：• 1. 简单平均法•对于未分组资料，采用简单平均法。
其计算公式为：2. 加权平均法在资料分组的情况下，应采用加权平均式第四节、方差和标准差•一、概念要点•方差和标准差同平均差一样，也是根据全部数据计算的，反映每个数据与其算术平均数相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的差异程度。
但与平均差不同之处是在计算时的处理方法不同，平均差是取离差的绝对值消除正负号，而方差、标准差是取离差的平方消除正负号，这更便于数学上的处理。
因此，方差、标准差是实际中应用最广泛的离中程度度量值。
由于总体的方差、标准差与样本的方差、标准差在计算上有所区别•1、方差是个变量值与其均值离差平方的平均数，标准差是方差的开方。
• 2、离散程度的测度值之一。
• 3、最常用的测度值。
• 4、反映了数据的分布。
•5、反映了各变量值与均值的平均差异。
•6、根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差。
根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差二、总体的方差和标准差设总体的方差为，标准差为，对于未分组整理的原始资料，方差和标准差的计算公式分别为（二）样本的方差和标准差样本的方差、标准差与总体的方差、标准差在计算上有所差别。
总体的方差和标准差在对各个离差平方平均时是除以数据个数或总频数，而样本的方差和标准差在对各个离差平方平均时是用样本数据个数或总频数减1去除总离差平方和。
4. 方差的数学性质第五节、标准分相对位置的度量：标准分数有了均值和标准差之后，我们可以计算一组数据中各个数值的标准分数，以测度每个数据在该组数据中的相对位置，并可以用它来判断一组数据是否有离群值。
1、定义。
变量值与其平均数的离差除以标准差后的值，称为标准分数，也称标准化值或Ｚ值标准分数也给出了一组数据中各数值的相对位置。
比如，如果某个数值的标准分数为-2，我们就知道该数值低于均值2倍的标准差。
(４.4.21) 式也就是我们常用的统计标准化公式，在对多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常需要对各变量数值进行标准化处理。
实际上，z分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数分布的形状，而只是将该组数据变为均值为0、标准差为1•经验法则表明：当一组数据对称分布时•——约有68.27%的数据在平均数加减1个标准差的范围内•——约有95.45%的数据在平均数加减2个标准差的范围内•——约有99.73%的数据在平均数加减3个标准差的范围内。
•由此可见，一组数据中低于或高于平均数3个标准差以上的数据很少。
因此，在统计上，往往将平均数3个标准差以外的数据称为异常值或离群值•2、标准分的特性•（1）对于给定资料，由于算术平均数和标准差都是确定值，所以z是和X一一对应的变量。
•（2）它没有单位，是一个不受原资料单位影响的相对数，因而也适用于不同单位资料的比较。
•（3）均值和方差不同的正态分布经Z分数标准化后，可以转化为标准正态分布，所以Z又称标准正态变量。
•（4）Z分数的数学特性：•Z分数之和等于0；•Z分数的算术平均数等于0；•Z分数的标准差和方差均为1。
3、标准分的主要作用：标准分数的作用主要在两个方面，一是可以表明原始数据在总体分布中的相对位置，二是可以对不同分布的各原始数据进行比较。
第六节离散系数相对离散程度：离散系数用离差的绝对指标除以平均指标来求离差的相对指标，就可以在计量单位不同或平均水平不一的对象间进行直接比较。
这种由绝对离差与其算术平均数的比值，叫变异系数。
•1、全距系数：全距与算术平均数之比。
•2、平均差系数：平均差与算术平均数之比。
•3、标准差系数（最重要和最常用的变异系数）•（1）标准差与其相应的均值之比•（2）消除了数据水平高低和计量单位的影响•（3）测度了数据的相对离散程度•（4）用于对不同组别数据离散程度的比较离散系数是反映一组数据相对差异程度的指标，是各变异指标与其算术平均数的比值。
离散系数是一个无名数，可以用于比较不同数列的变异程度。
离散系数通常用表示，常用的离散系数有平均差系数和标准差系数，其计算公式分别为：[例3.19] 甲乙两组工人的平均工资分别为138.14元、176元，标准差分别为21.32元、24.67元。
两组工人工资水平离散系数计算如下：【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表，试比较产品销售额与销售利润的离散程度企业编号产品销售额（万元）X1销售利润（万元）X21 2 3 4 5 6 7 8 17022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0X1=536.25（万元）X2=32.5215（万元）S1=309.19（万元）S2=23.09（万元）V1=S1/X1=0.577 V2=S2/X2=0.710结论：计算结果表明，V1<V2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度第七节、异众比率•非众数组的频数占总频数的比率(variation ratio)，称为异众比率，用表示。
•异众比率的计算公式为：•式中：为变量值的总频数；为众数组的频数•异众比率的作用是衡量众数对一组数据的代表性程度的指标。
•异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重就越大，众数的代表性就越差；反之，异众比率越小，众数的代表性就越好。
•异众比率主要用于测度分类数据的离散程度，当然，对于顺序数据也可以计算异众比率[例3.10]一家市场调查公司为研究不同品牌饮料的市场占有率，对随机抽取的一家超市进行了调查。
调查员在某天对50名顾客购买饮料的品牌进行了纪录。
整理得不同品牌饮料的频数分布资料如表4.4.1所示，要求根据资料计算异众比率数据类型和所适用的离散程度测度值数据类型定类数据定序数据定距数据或定比数据适用的测度值※异众比率※四分位差※方差或标准差—异众比率※离散系数（比较时用）——平均差——极差——四分位差——异众比率第八节偏度和峰度数据分布偏态与峰度的测度指标•偏度是对数据分布在偏移方向和程度所作的进一步描述；峰度是用来对数据分布的扁平程度所做的描述。
•对于偏斜程度的描述用偏态系数，扁平程度的描述用峰度系数。
•集中趋势和离中趋势是数据分布的两个重要特征，但要全面了解数据分布的特点，还需要知道数据分布的形状是否对称、偏斜的程度以及分布的扁平程度等。
偏态和峰度就是对这些分布特征的描述。
一、偏态的度量•（一）由算术平均数与众数之间的关系求偏态系数•任何一个频数分布的算术平均数与众数之间的差异情况，与这个频数分布的形态有固定的关系。
若频数分布是对称的，则算术平均数等于众数；若频数分布为右偏，则算术平均数大于众数；若频数分布为左偏，则算术平均数小于众数。
用其二者的差量除以标准差，即可求得偏态系数，•（二）动差法•动差又称矩，原是物理学上用以表示力与力臂对重心关系的术语，这个关系和统计学中变量与权数对平均数的关系在性质上很类似，所以统计学也用动差来说明频数分布的性质。
•二、峰度的度量•峰度是用来衡量分布的集中程度或分布曲线的尖峭程度的指标。
•当峰度β＞0时，表示分布的形状比正态分布更瘦更高，这意味着分布比正态分布更集中在平均数周围，这样的分布称为尖峰分布，如图3.4（a）；•β=0时，分布为正态分布；•β＜0，表示分布比正态分布更矮更胖，意味着分布比正态分布更分散，这样的分布称为平峰分布如图3.4（b）。
[例3.20] 根据例4.5.1中的数据，计算农民家庭人均收入分布的峰度系数【例】已知1997年我国农村居民家庭按纯收入分组的有关数据如表。
试计算偏态系数按纯收入分组（元）户数比重（%）（百元）4292111==Ki i iK i i （百元）429.2111=•=∑∑==&&K i i i K i i F F X X 11==K i i i K i i （百元）089.1211=•=∑∑==&&K i i i K i i F F X σ311133133==i i iK i i i ()()()956.07339.176625.1689089.121429.21311133133==⨯-=-=∑∑==i i i K i i i F X N F X X σα结论：偏态系数为正值，而且数值较大，说明农村居民家庭纯收入的分布为右偏分布，即收入较少的家庭占据多数，而收入较高的家庭则占少数，而且偏斜的程度较大【例】根据表中的计算结果，计算农村居民家庭纯收入分布的峰度系数。
结论：由于=3.4>3，说明我国农村居民家庭纯收入的分布为尖峰分布，说明低收入家庭占有较大的比重。
4.3089.25.24144==Ki i i()()4.3089.12125.7252124144=⨯=-=∑=σαN F X X K i i i。