用函数图像看方程的根

现 ．思路 ２采 用 了参 变量 分 离法 ，从 而使 解答 更简 捷． 此外 ．使 用图像 法解题 时，既要 考虑作 图的可行
性 ．又要 注意 问题 转化 的等 价 性 ．
思路 一 可 以导 出思路 二 中根 所在 的 区间端 点．关 于这 类
问题 ， 们 还要 注意 以 下 两点 ：１构 造 的 两 个 函数 必 须 我 （）
ｌ（－ ） ｇａ ｘ 的实根 的个数．
拨｝．（） ． 为偶函数， ， ． 题意等价于， （） － ２ 似
ｆｌ ， ． ． ｘ ＞ －Ｏ
Ｉ －＞ ａ ｘＯ
（＿） ０ ｘＯ内有两不 同的解， ３口＿ 在 ＞ 而方程转化为 ｘ ＝ ％３ ａ
（＋ ） ｘ１＝
十ｌ
４
结合 图形 ，当 ｎ 或 — ≤１ １ ３时
，
方程没有实根 ；
圃 判断方程 ｌ ２ －ｘ １ ＋ 的根的个数． ｏｘ （－ ） ２ ｇ＝
毒到思路 １ 构造函数，ｘ＝ ｇ＋ｘ１＋ ， ： （）ｌ ｒ （ ） ２函数 ｏｘ 一
在定义域内不单调 ． 当 ｘ ｌ时 （ ） 增 ＞ 递
ｘ＝－ ． ）ａｘ －
’
令 ｘ ｌ ｔ 出函数－ ｆ： ＋ ＝ ，作 厂 ） 抖 － ，￡ 时的图像 ， （ ２ ≥１
令 － ＝ １ （－ ）（＜ 厂 ） （一 ）３－ ，１ （ ｘ
ｘ ３ ，（）ａｘ（ ） ＜ ）ｇｘ＝－ ．
＿ ＼ ＼
．
而ｆ （）ｏ中的一条 直线 与图像有两个交点 时， ￡＝ 由图 ４
由 图可 知方 程 ｌ ￣ 一 １２２只有 一个 解 ． ｏ ｘ （一 ） ｇ＝ ＋
阚 思路一考察一个函数的图 像与轴的交点状况，
这里应用了函数的零点存在性定理：思路二直接考察两
个 函数 的图像 的 交点 ， 然 思路二 较 思路一要 简捷 些 ， 显 但
直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 问 题 ．从 求 解 过 程 不 难 发
‘ ． ．
令 ） ｚ （＜＜ ） （） ＝ ＋ ５ １ｘ ３ ，ｇｘ
．
在 同一坐标系 内作 出两个 函
在 （ ，＋ ０ ）上 ， （） ， 有且仅有一个零点．
数 的 图 像 ， 动 直 线 与 曲 线 交 点
图３
即方程 ｌ ２ 一 １ ｚ ｏ ｘ （一 ） ２的解只有一个． ｇ＝ ＋ 思路 ２ 令 ｘ ＝ｏ２，（） ｘ １２２ ： ）ｌ ｘ ｇ 一 一 ） ｇ ＋
的个数对应方程解 的个数 （ 如图 ３ ）．
本题是 一个含有参数的方程 问题． 等价 经过
转化 ．本 题 其 实是 一 个根 限制 在 某 个 区间上 的二 次 方 程 问 题 ． 种 思 路 都 把 原 问题 转 化 为在 某 个 区 间 上 的 两
在 同一坐标 系中作 出二者的图像 （ 图 １ 如 ）．
是图像容 易画出的初等 函数 ；２方程 中不合参数． （）
巨ｉ 匿圈对于函 数 ） Ｐ ２３。 ＝ ’ ＋ ＿ ｋ－ （ ）
Ｊ 二
ｚ ） 若
陵式 １设 ｎ Ｉ 为常数， 试讨论方程 ｌ ｘ １＋ｇ３ ） ｇ 一 ）ｌ（ （
＝
有六个不 同的单调区间 ， ａ 求 的取值范 围．
可 知 ２ ８．
对 于有些数 学问题 ，剥开原题 的 “ 包装” ，
其 实就是 两 个 图像 的 交 点 问题 ，这 时往 往 可 以通 过 一
。 ｉ ’ ；
ｉ
图２
离牵 ２ ｉ ０ ０年 第 １ ０端
数 学 商 数
勾 画示意 图 ，解题第一步
■ 曹淑 红
不 少 Ｉ 对 解 数 学 题很 是 “ 头 ” 司学 挠 ，其 买 ，数 形
圈
…
本题题设条件并没有函 ＝ 与ｇ 数八 ）似 ＋
…
结合很重要 ，勾 画出示意 图，走好解题 的第一步 ，整
道题的解决也就 势如破竹 了，下面的几例就很 能说 明
这 第 一 步 的 重要 性 ．
（）车 的图像， ＝ 但想到了奇函数 ｇ ＝ （）
｝ １０ ＞， 一
１ ｌ ＞， ３ Ｏ
ｆ ＿－ ５３ ，
＝ ｛＜＜． 争 ｌｘ３ 【
２
一
的一个零点．
当 Ｏ ｘ １时 ｊ ＜ ＜≤ －（） ０
图 １
ｌ Ｉ
：／
ａ ｘ＞ － Ｏ
恒 成立 ＇（ 在 （ ，】 无零 ， ） ０ ｌ 上
点．
０ １ ３
．
（ 图２ 如 ）．
让我们对 函数的性状一览无遗 ，从而启迪 我们寻找解
题 思路． 函数与方程是 密不可分 的 ，方程根 的个 数 问 题 ，往往可 以转化为两个 函数 图像 的交点 问题． 于是 ， 用 函数 图像看方程的根既合情合理 ，又十分有效．
当方程 （一 ）３ ｘ ＝－ １ （ ． １＝２０ ）０ ）０
‘ ．
当 孚或 ３方 只 一 根 当＜孚 １≤时 程 有 实 ； ３＜ 口
时方 程 有 两 实 根 ．
思路 ２ ：原方程等价于 ｆ３ （一 ） ， （ － ） １＝
Ｊｙ
” ●，
… … …
， 在（ ， ） ． ） ０ ＋ 上有唯 （
数 学有 数
用 函 数 图 像 看 方 程 的 根
■ 王佩 其
说 到函数 ，我们 往往只想到 函数解析 式． 其实从 某种角度说 ，函数的图像 比它 的解析式更 重要 ，它能
在 同一坐标 系中作 出两个 函数 的图像 ， （） （一 ， ＝
１ （－ ） （＜＜ ）ｇｘ ＝ －， ）３ ｘ ，１ｘ ３ ，（ ）ａｘ （
般 思 ： 满 条 是： －Ｏ ｌ＜ ＿Ｉ路１ 应 足的 件 ｛ ｘ ｆ ｘ Ｉ ＞ ｊ｛ ３ ５ ＜ ，
ｌ ｎ
＋ ＋ ！ 一 ， ≥０ １ — ２ ．
十ｌ
原 方 程 变 形 为 ：ｌ［ｘ ｇ（ － １ （－ ） ｌ（－） （－ ）３ ） ３ｘｌ ｇａｘ￣ ｘ １（一 － ＝