高等数学求导公式
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I.基本函数的导数 01.()0C '=；
02.()1x x μμμ-'=；
03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-；
05.
()2tan sec x x '=； 06.()2
cot csc x x '=-；
07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-；
09.()
ln x x
a a a '=； 10.()x
x e e '=；
11.()1
log ln a
x x a
'=； 12.()1ln x x '
=；
13.
(
)1
arcsin x '=；
14.(
)arccos x '
=-； 15.()21
arctan 1x x '=
+； 16.()2
1
arccot 1x x '=-
+。
II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2
(0)u u v uv v v v '''
-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
。
III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ϕ==，则
dy dy du
dx du dx
= 或 ()()()y x f u x ϕ'''=。
● 计算极限时常用的等价无穷小
limsin x x
x → 0
lim tan x x
x → ()
20
1lim 1cos 2x x x →- ()
lim 1x x e x →- ()
limln 1x x x →
+ 0
11
x x n
→- ● 两个重要极限: 0
sin lim 1x x x →= 1lim 1x
x e x →∞⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 ()
()
lim g x B f x A =
● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一
(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。
● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0
F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()()
()
f b f a f F b F a F ξξ'-=
'-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()()
lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）()
()
lim
()
x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()()
()
()lim
lim ()()
x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式：
()()()()()()()()()()2
00000001!2!
!
n n
n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+
+-+
其中：()(
)
()()()
1101!
n n n f R x x x n ξ++=
-+ ,
()0,x x ξ∈。
● 马克劳林公式： ()()()()()()()2
00001!2!
!
n n
n f f f f x f x x x R x n '''=+++++
其中：()()()
()111!
n n n f R x x n ξ++=
+,()0,x ξ∈。
1.()()23
11 012!3!
!1!
n x x
n x x x e e x x n n θθ+=++++
++<<+ ()x -∞<<∞ 2. ()
()357
21
1
sin 13!5!7!21!
m m x x x x x x m --=-+-+
+-+
- ()x -∞<<∞
3. ()()()246
2cos 11 2!4!6!2!
n
n
x x x x x x n =-+-+
+-+
-∞<<∞
4.
()23
11 111n x x x x x x =++++++
-<<-
5. ()()24
22
111 111n
n x x x x x
=-+-+-+
-<<+
6. ()()234
1
ln 112341
n n
x x x x x x n ++=-+-+
+-+
+ ()11x -<≤
● 驻点：导数为零的点
拐点：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，则称()f x 在[],a b 上是凸的， ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
，则称()f x 在[],a b 上是凹的，
若曲线在0x 两旁改变凹凸性，则称()()00,x f x 为曲线的拐点。
● 凹凸性判断（充分条件）：设()f x ''存在，若a x b <<时()0f x ''<，则曲线是为凸的，若a x b <<时()0f x ''>，则曲线是为凹的。
设曲线方程()y f x =，()f x 具有二阶导数，则函数()y f x =在(),x y 的曲率K 为：()
2/3
21y K y ''
=
'+（工程中，若1y '<<时，K y ''=）。