【35套精选试卷合集】2020届吉林省长春市东北师大附中明珠学校中考数学模拟试卷含解析

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【20套精选试卷合集】吉林省长春市东北师大附中明珠学校2019-2020学年中考数学模拟试卷含答案

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2020年吉林省长春市南关区东北师大附中明珠学校中考数学一模试卷

中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.实数2019的相反数是（）A. 2019B. -2019C.D.2.据统计，第15中国（长春）国际汽车博览会成交额约为6 058 000 000，6 058 000 000这个数用科学记数法表示为（）A. 60.58×1010B. 6.058×1010C. 6.058×109D. 6.058×1083.把多项式a3-a分解因式，结果正确的是（）A. a（a2-1）B. a（a-1）2C. a（a+1）2D. a（a+1）（a-1）4.下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（）A. B. C. D.5.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.6.一元二次方程2x2-4x+1=0的根的情况是（）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根7.如图，直线y=x+b与直线y=kx+4交于点（，，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（）A. x＞B. x≥C. x＜D. x≤8.如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y=（k＜0，＜0）的图象上一点A作AB⊥x轴于B，连结AO，过点B作BC∥AO交y轴于点C．若点A的纵坐标为4，且tan∠BCO=，则k的值为（）A. -6B. -12C. -24D. 24二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.写出一个比5大且比6小的无理数______．10.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？译文：假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少？若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______．11.如图，AB∥CD．若∠ACD=82°，∠CED=29°，则∠ABD的大小为______度．12.如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，A岛与C岛之间的距离约为36海里，B岛在C岛的南偏东43°，A、B两岛之间的距离约为______海里（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB=AC，∠BAC=90°，则m=______．14.在数学课上，老师提出如下问题：已知：直线l和直线外的一点P（如图1）求作：过点P作直线PQ⊥l于点Q小华的作法如下：如图2，第一步：以点P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线于A，B两点；第二步：连接PA、PB，作∠APB的平分线，交直线l于点Q．直线PQ即为所求作．老师说：“小华的作法正确”请回答：小华第二步作图的依据是______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.先化简，再求值：（x+1）2+x（x-2），其中x=-．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.一个不透明的口袋中装有三个小球，上面分别标有数字3、4、5，这些小球除数字不同外其余均相同．（1）从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是偶数的概率是______；（2）从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球上的数字都是奇数的概率．17.如图，在⊙O中，点C为OB的中点，点D为弦AB的中点，连结CD并延长，交过点A的切线于点E．求证：AE⊥CE．18.甲、乙两名同学做中国结．已知甲每小时比乙少做6个中国结，甲做30个中国结所用的时间与乙做45个中国结所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数．19.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．20.张老师计划通过步行锻炼身体，她用运动手环连续记录了6天的运动情况，并用统计表和统计图记录数据：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672492755436648步行距离（公里） 6.8 3.1 3.4 4.3卡路里消耗（千卡）1577991127燃烧脂肪（克）20101216（1）请你将手环记录的4月5日和4月6日的数据（如图①）填入表格（2）请你将条形统计图（如图②）补充完整（3）张老师这6天平均每天步行约______公里，张老师分析发现每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系，她打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡，那么每天步行距离大约至少为______公里（精确到0.1公里）21.某校初三年级进行女子800米测试，甲、乙两名同学同时起跑，甲同学先以a米/秒的速度匀速跑，一段时间后提高速度，以米/秒的速度匀速跑，b秒到达终点，乙同学在第60秒和第140秒时分别减慢了速度，设甲、乙两名同学跑的路程为s （米），乙同学所用的时间为t（秒），s与t之间的函数图象如图所示．（1）乙同学起跑的速度为______米/秒；（2）求a、b的值；（3）当乙同学领先甲同学60米时，直接写出t的值是______．22.【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△PAC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图②，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图③（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图③网格中画出线段AB′；（2）若存在一点P，使得PA=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接PQ，将线段PQ绕点Q顺时针旋转90°得到线段QE，以PQ、QE为边作正方形PQEF．设点P运动的时间为t秒（t＞0）（1）点P到边AB的距离为______（用含t的代数式表示）（2）当PQ∥BC时，求t的值（3）连接BE，设△BEQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式（4）当E、F两点中只有一个点在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围24.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2-2mx-3m（1）当m=1时，①抛物线的对称轴为直线______，②抛物线上一点P到x轴的距离为4，求点P的坐标③当n≤x≤时，函数值y的取值范围是-≤y≤2-n，求n的值（2）设抛物线y=x2-2mx-3m在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y0，直接写出y0与m之间的函数关系式及m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：实数2019的相反数是：-2009．故选：B．直接利用相反数的定义进而得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：6.058×109=1.76×105，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：原式=a（a2-1）=a（a+1）（a-1），故选：D．原式提取a，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4.【答案】B【解析】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；故选：B．分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5.【答案】A【解析】解：，∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集为：1＜x≤2，在数轴上表示不等式组的解集为：，故选：A．求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，再在数轴上把不等式组的解集表示出来，即可得出选项．本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式（组）的应用，关键是能正确在数轴上表示不等式组的解集．6.【答案】D【解析】解：∵△=（-4）2-4×2×1=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：D．直接计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．7.【答案】A【解析】解：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞．故选：A．写出直线y=x+b在直线y=kx+4上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．8.【答案】C【解析】解：∵AB⊥x轴，∴AB∥OC，∵BC∥AO，∴四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO．∵tan∠BCO=，∴tan∠OAB==，又AB=4，∴OB=6，∴A（-6，4）．∵点A在反比例函数y=（k＜0，＜0）的图象上，∴k=-6×4=-24．故选：C．先证明四边形OABC是平行四边形，得出∠OAB=∠BCO，那么tan∠OAB==tan∠BCO=，由AB=4，求出OB=6，得到A（-6，4），代入y=，即可求出k的值．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数定义，难度适中．求出A点坐标是解题的关键．9.【答案】3【解析】解：∵25＜27＜36，∴5＜3＜6，故答案为：3．由于25＜27＜36，则5＜3＜6，即可得到满足条件的无理数．本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．10.【答案】，【解析】解：根据题意得：，故答案为：，根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．11.【答案】69【解析】解：∵∠ACD=82°，∠CED=29°，∴∠CDE=180°-82°-29°=69°，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDE=69°，故答案为：69根据三角形内角和得出∠CDE，进而利用平行线的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据三角形内角和得出∠CDE．12.【答案】33.5【解析】解：由题意得，AC=36海里，∠ACB=43°．在Rt△ABC中，∵∠A=90°，∴AB=AC•tan∠ACB=36×0.93≈33.5海里．故A、B两岛之间的距离约为33.5海里．故答案为：33.5．在Rt△ABC中，利用正切函数的定义可得AB=AC•tan∠ACB，将数值代入计算即可求解．本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正切函数的定义，路程、速度与时间自己的关系，难度一般．理解方向角的定义，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．13.【答案】3【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，函数和方程的关系，等腰直角三角形的性质，根据根与系数的关系列出关于m的方程是解题的关键．作AD⊥BC于D，易证得BC=2AD=2（m+1），设B（x1，m），C（x2，m），解方程-1=m，根据根与系数的关系得出x1+x2=6，x1•x2=5-4m，即可得出（x2-x1）2+4x1x2=36，即（2+2m）2+4（5-4m）=36，解关于m的方程求得即可．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AD=CD=BD，∴BC=2AD，∵抛物线y=-1的顶点为A，∴A（3，-1），∵点P（0，m），∴AD=1+m，∴BC=2+2m，设B（x1，m），C（x2，m），∴x2-x1=2+2m，解-1=m整理得：x2-6x+5-4m=0，∴x1+x2=6，x1•x2=5-4m，∴（x2-x1）2+4x1x2=36，∴（2+2m）2+4（5-4m）=36，解得m=3和m=-1（舍去），故答案为3．14.【答案】等腰三角形的顶角角平分线也是底边上的高【解析】解：小华第二步作图的依据是：等腰三角形的顶角角平分线也是底边上的高，故答案为：等腰三角形的顶角角平分线也是底边上的高，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15.【答案】解：原式=x2+2x+1+x2-2x=2x2+1，当x=-时，原式=4+1=5．【解析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】解：（1）；（2）画树形图得：由树形图可知：两次摸出的小球所标数字都是奇数的概率为．【解析】【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意球是放回还是不放回．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）直接利用概率公式计算可得；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上的数字都是奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）从口袋中随机摸出一个小球，小球上的数字是偶数的概率是，故答案为；（2）见答案．17.【答案】证明：连接OA，∵AE是⊙O的切线，∴OA⊥AE，∵点C为OB的中点，点D为弦AB的中点，∴CE∥OA，∴AE⊥CE．【解析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥AE，根据三角形中位线定理得到CE∥OA，根据平行线的性质证明即可．本题考查的是切线的性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．18.【答案】解：设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等，得=，解得：x=12，经检验：x=12是原方程的根，答：甲每小时做12个．【解析】设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲乙的工作时间，可列方程．本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AE∥CD，∵AE=AB，∴AE=CD，∴四边形ACDE为平行四边形．（2）解：由（1）得：四边形ACDE为平行四边形，∴AD、CE互相平分，∵AB=AC，CD=AB，∴AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∴AD⊥CE，∴四边形ACDE的面积=AD×CE=×4×6=12．【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，即AE∥CD，证出AE=CD，由平行四边形的判定定理即可得出四边形ACDE为平行四边形．（2）由平行四边形的性质得出AD、CE互相平分，证出AC=CD，证出四边形ACDE 是菱形，得出AD⊥CE，由菱形面积公式即可求出结果．本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形ACDE为菱形是解题的关键．20.【答案】（1）由图可得，4月5日的步行数为7689，步行距离为5.0公里，卡路里消耗为142千卡，燃烧脂肪18克；4月6日的步行数为15638，步行距离为10.0公里，卡路里消耗为234千卡，燃烧脂肪30克；填表如下：日期4月1日4月2日4月3日4月4日4月5日4月6日步行数（步）10672492755436648768915638步行距离（公里） 6.8 3.1 3.4 4.35.010.0卡路里消耗（千卡）1577991127142234燃烧脂肪（克）201012161830（2）条形图补充如下：（3）5.4 3.9.【解析】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）张老师这6天平均每天步行约：（6.8+3.1+3.4+4.3+5.0+10.0）÷6=32.6÷6≈5.4（公里）．张老师这6天一共消耗卡路里157+79+91+127+142+234=830（千卡），则步行时每公里约消耗卡路里830÷32.6≈25.5（千卡），故张老师打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡，那么每天步行距离大约至少为≈3.9（公里）．故答案为：5.4，3.9．（1）依据手环记录中的数据，即可补全表格；（2）依据统计图中的数据，即可补全统计图；（3）用这6天步行数的和除以6可得平均每天步行数，根据每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系，即可预估张老师每天步行距离．本题考查的是条形统计图，用样本去估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．21.【答案】（1)5 ;（2）a=300÷100=3，b=100+（800-300）×（3×）=200，即a的值是3，b的值是200；(3) 30或160【解析】解：（1）由图可得，乙同学起跑的速度为：300÷6=5米/秒，故答案为：5；（2）见答案；（3）当0＜t≤60时，（5-3）t=60，得t=30，当60＜t≤140时，乙的速度为：（620-300）÷（140-60）=4米/秒，∵在前100秒，甲的速度小于乙的速度，则30秒到100秒中他们的距离会越来越大，当t=100时，甲跑的路程为300米，乙跑的路程为：300+（100-60）×4=460米，当t=140时，甲跑的路程为300+（140-100）×5=500米，乙跑的路程为：300+（140-60）×4=620，∵620-500＞60，∴在100≤t≤140中，甲乙之间的距离大于60米，当140＜t＜230时，乙的速度为：（800-620）÷（230-140）=2米/秒，620+2（t-140）-[300+（t-100）×5]=60，解得，t=160，故答案为：30或160．（1）根据函数图象中的数据可以求得乙起跑的速度；（2）根据题意和函数图象中的数据可以求得a、b的值；（3）根据题意可以求得乙同学领先甲同学60米时对应的t的值．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】【探究】y=-x+1，令y=0，则x=3，令x=0，则y=1，故点A、B的坐标为（3，0）、（0，1），点C坐标（，），直线CD的表达式为：y=3x+b，将点C坐标代入上式得：=3×+b，解得：b=-4，直线CD的表达式为：y=3x-4，令y=0，则x=，则BD=DA=3-=；【应用】（1）AB′的位置，如下图所示；（2）【解析】解：【探究】见答案；【应用】（1）见答案；（2）点B′（4，3），过AB′的中点作AB′的垂直平分线，点P是该平分线上一点，由【探究】同理可得AB′垂直平分线的表达式为：y=-x+，设点P（m，-m+），点A（3，0），AP==，∵10＞0，故AP有最小值，当m=-=3.5时，AP有最小值，当m=4或3时，-m+不是整数，当m=5时，-m+=1，是整数，当m=2时，-m+=2，是整数，故点P（5，2）或（2，2）时，AP有最小值，当点P坐标为（5，2）时，AP=2，当点P坐标为（2，2）时，AP=，∵，故当点P（2，2）时，AP的最小值为，故答案为．【分析】【探究】求出直线CD的表达式为：y=3x-4，令y=0，则x=，则BD=DA=3-=，即可求解；【应用】（1）AB′的位置，如下图所示；（2）由【探究】同理可得AB′垂直平分线的表达式为：y=-x+，AP==，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到中垂线的性质、二次函数一般性质等，其中【应用】（2）中，利用二次函数对称性，确定点P的横、纵坐标均为整数时，AP的最小值是本题的新颖点．23.【答案】（1）t；（2）根据题意，AP=，PC=2-，BQ=2t，AQ=4-2t，当PQ∥BC时，，即，解得t=1（3）由（1）可知，E，F运动过程可分为两个阶段当0＜t＜1，如图，连接BE，作PH⊥AB交AB于点H，作GE⊥AB交AB于点G，∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°，∵，∴△PHQ≌△QGE（AAS），∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4-4t，S==，当1≤t≤2，连接BE，作PH⊥AB交AB于点H，作GE⊥AB交AB于点G，同理可证∴△PHQ≌△QGE（AAS），∴AH=BQ=2t，HQ=GE=4t-4，S===4t2-4t，∵S＞0，∴t≠0，∴S=；（4）①当点E在AC上时，过点P作PM⊥AB于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图，QB=2t，易得：△NEQ≌△MQP，此时NE=MQ=4-4t，QN=PM=t，∴NB=QN=t，AN=4-t，∵△ANE∽△ABC，∴，即，解得t=；当点F在AC上时，PQ⊥AC，点E在△ABC内部，QB=2t，AP=，AQ=4-2t，△APQ～△ABC，，解得t=∴当点E、F两点中只有点E在△ABC内部时，；②由（2）可知，当PQ∥BC时，E在AB上，此时t=1；当点F在边AB上时，过点P作PO⊥AB于点O，如下图：由（1）可知PO=t，则由正方形的性质可知PO=QO=FO=t，由（3）可知OQ=4t-4，∴4t-4=t，解得t=，∴当点E、F两点中只有点F在△ABC内部时，；综上所述，当E、F两点中只有一个点在△ABC的内部时，或．【解析】解：（1）如图，作PH⊥AB交AB于点H，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，AC=．根据题意，AP=，∵∠A=∠A，∠B=∠AHP，∴△AHP～△ABC，∴，即，解得PH=t，即点P到边AB的距离为t．故答案为：t（2）见答案；（3）见答案；（4）见答案.【分析】（1）作PH⊥AB交AB于点H，根据相似三角形，求出PH即可；（2）根据平行线成比例性质，当PQ∥BC时，，即可求出t；（3）分为0＜t＜1和1≤t≤2两种情况，进行讨论；（4）分为2种情况进行讨论，当点E在△ABC内部和当点F在△ABC内部时，分别进行讨论．本题考查了正方形和直角三角形的性质，熟练掌握四边形和三角形性质是解答此题的关键．24.【答案】解：（1）①x=1；②当y=4时，x2-2x-3=4，解得：x1=1-2，x2=1+2，∴点P的坐标为（1-2，4）或（1+2，4）；当y=-4时，x2-2x-3=-4，解得：x1=x2=1，∴点P的坐标为（1，-4）．综上所述：点P的坐标为（1-2，4），（1+2，4）或（1，-4）．③∵当n≤x≤时，y值随x值的增大而减小，且函数值y的取值范围是-≤y≤2-n，∴n2-2n-3=2-n，解得：n1=，n2=（舍去），∴n的值为．（2）∵抛物线的对称轴为直线x=-=m，∴分三种情况考虑：①当m＜2m-1，即m＞1时，如图1，在2m-1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而增大，∴y0=（2m-1）2-2m（2m-1）-3m=-5m+1；②当2m-1≤m≤2m+1，即-1≤m≤1时，如图2，y0=m2-2m•m-3m=-m2-3m；③当m＞2m+1，即m＜-1时，如图3，在2m-1≤x≤2m+1上，y值随x值的增大而减小，∴y0=（2m+1）2-2m（2m+1）-3m=-m+1．综上所述：y0=.【解析】解：（1）当m=1时，抛物线的解析式为y=x2-2x-3．①抛物线的对称轴为直线x=-=1．故答案为：x=1．②见答案；③见答案；（2）见答案．【分析】（1）代入m=1，求出二次函数解析式；①利用二次函数的性质，求出抛物线的对称轴；②由点P到x轴的距离可得出点P的纵坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；③利用二次函数的性质找出关于n的一元二次方程，解之取其负值即可得出结论；（2）分m＜2m-1，2m-1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况考虑，利用二次函数的性质结合函数图象，即可找出y0与m之间的函数关系式．本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）①利用二次函数的性质，找出抛物线的对称轴；②利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点P的坐标；③利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元二次方程；（2）分m＜2m-1，2m-1≤m≤2m+1及m＞2m+1三种情况，找出y0与m之间的函数关系式．。

2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学4月模拟试题(解析版)

2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学模拟试卷（4月份）一．选择题（共8小题）1. ﹣3的绝对值是（）A. ﹣3B. 3C. -13D.13【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案.【详解】根据绝对值的性质得：|-3|=3．故选B．【点睛】本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.2. 为应对疫情，许多企业跨界抗疫，生产口罩．截至2月29日，全国口罩日产量达到116000000只．将116000000用科学记数法表示应为（）A. 611610⨯ B. 711.610⨯ C. 71.1610⨯ D. 81.1610⨯【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将116000000用科学记数法表示应为1.16×108．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】左视图有1列，含有2个正方形．【详解】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．故选B．【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．4. 不等式组251312xx x-<⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】解不等式2x－5＜1得：x＜3，解不等式3x＋1≥2x得：x≥－1，∴不等式组的解集为：－1≤x＜3，在数轴上的表示如选项C所示．故选：C．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式组解集的方法，熟知实心点与空心圆点的区别是解答此题的关键．5. 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为( )A.56156x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩B.65156x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩C.56145x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩D.65145x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【详解】根据题目条件找出等量关系并列出方程：（1）五只雀和六只燕共重一斤，列出方程:5x+6y＝1 (2) 互换其中一只，恰好一样重,即四只雀和一只燕的重量等于五只燕一只雀的重量，列出方程：4x+y＝5y+x, 故选C.【点睛】此题考查二元一次方程组应用，解题关键在于列出方程组6. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且∠D＝40°，则∠PCA等于（）A. 50°B. 60°C. 65°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以1252A COD∠=∠=︒，然后根据三角形外角性质计算∠PCA的度数．【详解】解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠D＝40°，∴∠DOC ＝90°﹣40°＝50°， ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∵∠COD ＝∠A +∠ACO ， ∴1252A COD ∠=∠=︒， ∴∠PCA ＝∠A +∠D ＝25°+40°＝65°．故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．7. 如图，在矩形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交CD 于点E ，若3DE =，5CE =，则该矩形的周长（）．A. 12B. 24C. 32D. 22【答案】B【解析】【分析】连接EA ，如图，利用基本作图得到MN 垂直平分AC ，根据线段垂直平分线的性质得到EA ＝EC ＝5，然后利用勾股定理计算出AD ，从而得到矩形的周长．【详解】解：连接EA ，如图，由作法得MN垂直平分AC，∴EA＝EC＝5，在Rt△ADE中，AD＝222253AE DE-=-＝4，所以该矩形的周长＝4×2＋(5＋3)×2＝24．故选：B．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，也考查了矩形的性质、垂直平分线的性质及勾股定理的应用，熟练运用垂直平分线的性质及勾股定理是解决本题的关键．8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），将△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，若函数y=kx（x＞0）的图象经过点O'，则k的值为（）A. 3B. 4C. 3D. 8 【答案】C【解析】【分析】根据题意可以求得点O'的坐标，从而可以求得k的值．【详解】∵点B的坐标为（0，4），∴OB=4，作O′C⊥OB于点C，∵△ABO绕点B逆时针旋转60°后得到△A'BO'，∴O′B=OB=4，∴BC=4×cos60°=2，∴OC=2，∴点O ′的坐标为：（，2），∵函数y=k x（x ＞0）的图象经过点O'，∴，得故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化，解题的关键是利用数形结合的思想和反比例函数的性质解答．二．填空题（共6小题）9. =__________．【答案】2【解析】【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算即可．【详解】解：原式==2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．10. 把多项式因式分解22a b ab b-+结果是__________．【答案】2(1)b a -【解析】【分析】先提取公因式,再利用公式法因式分解即可．【详解】()()2222211a b ab b b a a b a -+=-+=-．故答案为: ()21b a -．【点睛】本题考查因式分解的计算,关键在于熟练掌握基本的因式分解方法．11. 如果关于x 的一元二次方程230x x k -+=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是________．【答案】94 【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b 2-4ac=0，求出k 的值即可．【详解】解：∵一元二次方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=b 2-4ac=32-4×1×k=0， ∴9-4k=0，∴k=94，故答案为：94．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12. 把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置(直角顶点在直尺的一条长边上)．若123∠=︒，则2∠=_______︒．【答案】68【解析】【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠C=45°，由三角形的外角性质得出∠AGB=68°，再由平行线的性质即可得出∠2的度数．【详解】如图，∵ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，∴45A C ∠=∠=︒，∵123∠=︒，∴168AGB C ∠=∠+∠=︒，∵EF BD ，∴268AGB ∠=∠=︒；故答案为68．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．13. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，且AB ＝10，则AD 的长为_____．【答案】2．【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用∠ACD=∠BCD 得到AD=BD ，于是可判断△ABD 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AD 的长度．【详解】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴AD ＝BD ，∴AD ＝BD ，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD＝2AB ＝10×2＝．故答案为【点睛】本题考查了勾股定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 14. 抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，若关于x 的一元二方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是___________【答案】2≤t<11【解析】【分析】由题意根据抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，可以求得b 的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当-1＜x ＜4时，y 的取值范围，然后令y=t ，即可转化为方程x 2+bx+3-t=0，从而可以得到t 的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1， ∴21b -⨯=1，得b=-2， ∴y=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∴当-1＜x ＜4时，y 的取值范围是2≤y ＜11，当y=t 时，t=x 2-2x+3，即x 2+bx+3-t=0，∵关于x 的一元二次方程x 2+bx+3-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有实数根，∴t 的取值范围是2≤t ＜11，故答案为：2≤t ＜11．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意并利用二次函数的性质进行解答．三．解答题 15. 先化简，再求值：2(32)(3)(3)x y x y x y +-+-，其中1x =，2y =．【答案】2125xy y +，44【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x 、y 的值代入计算即可．【详解】解：原式22229124(9)x xy y x y =++-- 222291249x xy y x y =++-+2125xy y =+当1x =，2y =时，原式2121252=⨯⨯+⨯2420=+44=．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．16. 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，2-，7的小球，它们的形状大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树状图（或列表）的方法求出两次取出小球上的数字之和为偶数的概率．【答案】59【解析】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：由题意得：共有9种等可能的结果数，其中两次取出小球上的数字之和为偶数的结果数为5，所以两次取出小球上的数字之和为偶数的概率为：59．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．17. 列方程解应用题：小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1200米，3000米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，求小明和小刚两人的速度．【答案】小明的速度是50米/分钟，小刚骑自行车的速度是150米/分钟．【解析】【分析】直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前4分钟出发，进而得出等式求出答案．【详解】设小明的速度是x 米/分钟，则小刚骑自行车的速度是3x 米/分钟，根据题意可得：1200300043x x-=，解得：50x =，经检验得：50x =是原方程的根，故3150x =，答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．18. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接AC 与BD 交于点O ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线交于E 点，连接EO ，若BC ＝5，AC ＝2，直接写出OE 的长．【答案】（1）见解析；（2）OE ＝2．【解析】【分析】（1）根据角平分线定义及平行线的性质可得∠ABD ＝∠ADB ，即可证明AB=AD ，由AD//BC 可证明四边形ABCD 是平行四边形，进而可得四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质可求出OC 的长，利用勾股定理可求出OB 的长，进而可得出BD 的长，由DE ⊥BE ，根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案．【详解】（1）∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠DBC ，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB∴AB＝AD，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CO＝12AC＝1，∵BC∴BO2，∴BD＝2OB＝4，∵DE⊥BC，∴OE＝12BD＝2．【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质及直角三角形斜边中线的性质，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直且互相平分；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．19. 由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，全世界面临着淡水资源不足的问题，我国是世界上严重缺水的国家之一．节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一，为了调查居民的用水情况，有关部门对某小区的20户居民的月用水量进行了调查，数据如下（单位t）：6.7 8.77.3 11.4 7.0 6.9 11.7 9.7 10.0 9.77.3 8.4 10.6 8.7 7.2 8.7 10.5 9.3 8.4 8.7整理数据：按如下分段整理样本数据并补充表格（表1）：分析数据：补全下列表格中的统计量（表2）：得出结论：（1）表中的a = ，b = ，c = ；（2）若用表1中的数据制作一个扇形统计图，9.010.5x ≤<所占的扇形圆心角的度数为度；（3）如果该小区有住户400户，根据样本估计用水量在6.09.0x ≤<的居民有多少户？【答案】（1）6，4，8.7；（2）72；（3）240 【解析】【分析】（1）利用表格中的数据求出a ，b ，c 的值即可．（2）根据圆心角＝360°×百分比计算即可解决问题．（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】解：（1）将这20个数据按照由小到大的顺序排列为： 6.7 6.9 7.0 7.2 7.3 7.3 8.4 8.4 8.7 8.7 8.7 8.7 9.3 9.7 9.7 10.0 10.5 10.6 11.4 11.7 由题意：a ＝6，b ＝4，c ＝8.7，故答案为6，4，8.7．（2）9.0≤x ＜10.5所占的扇形圆心角的度数＝360°×420＝72°，故答案为72．（3）400×6620+＝240（户），答：如果该小区有住户400户，估计用水量在6.0≤x ＜9.0的居民有240户．【点睛】本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20. 图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC 中BC 边上的中线AD ；（2）在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE AC ⊥；（3）在图③中画出BMN △，使得BMN △与BCA是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中线的定义，取BC 中点D ，连接AD 即可；（2）将AC 所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E ；（3）将AC 向左平移4个单位后，分别与BC 、AB 交于点M 、N 即可得出答案．【详解】解：（1）如图①所示，AD 即为所求；（2）如图②所示，点E 即为所求；（3）如图③所示，△BMN 即为所求．【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段成比例定理．21. 如图所示，图1，图2分别是某款高压电塔的实物图和示意图电塔的底座AB 与地面平齐，DF 表示电塔顶端D 到地面的距离，已知AF 的长是2米，支架AC 与地面夹角∠BAC ＝86°，顶端支架DC 长10米，DC 与水平线CE 之间夹角∠DCE ＝45°，求电塔的高度DF ．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，2≈1.4，结果保留整数）【答案】电塔的高度DF 约为79米．【解析】【分析】过点C 作CG ⊥AB 于G ，解Rt △DCE ，求出CE ＝DE ＝FG≈7，那么AG ＝GF ﹣AF≈5．再解Rt △ACG ，求出EF ＝CG ＝71.5，代入DF ＝DE+EF 即可．【详解】如图，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则四边形CEFG 是矩形， ∴CE ＝FG ，CG ＝EF ．在Rt △DCE 中，∵∠DCE ＝45°，CD ＝10， ∴DE ＝CD•sin ∠DCE ＝10×22＝2≈7， ∴CE ＝DE ＝FG≈7，∴AG ＝GF ﹣AF≈7﹣2＝5．在Rt △ACG 中，∵∠CAG ＝86°，AG ＝5， ∴CG ＝AG•tan ∠CAG ＝5×14.3＝71.5， ∴EF ＝CG ＝71.5，∴DF ＝DE+EF ＝7+71.5≈79（米）．答：电塔的高度DF 约为79米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.22. 端午节期间，甲、乙两人沿同一路线行驶，各自开车同时去离家560千米的景区游玩，甲先以每小时60千米的速度匀速行驶1小时，再以每小时m 千米的速度匀速行驶，途中体息了一段时间后，仍按照每小时m 千米的速度匀速行驶，两人同时到达目的地，图中折线、线段分别表示甲、乙两人所走的路程()y km 甲，()y km 乙与时间()x h 之间的函数关系的图象.请根据图象提供的信息，解决下列问题：()1图中E 点的坐标是______，题中m =______km/h ，甲在途中休息______h ； ()2求线段CD 的解析式，并写出自变量x 的取值范围； ()3两人第二次相遇后，又经过多长时间两人相距20km ？【答案】()()12,160，100，1；()2直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km. 【解析】【分析】(1)根据速度和时间列方程：60×1+m=160，可得m=100，根据D 的坐标可计算直线OD 的解析式，从图中知E 的横坐标为2，可得E 的坐标，根据点E 到D 的时间差及速度可得休息的时间；(2)利用待定系数法求直线CD 的解析式；(3)先计算第二次相遇的时间：y=360时代入y=80x 可得x 的值，再计算x=5时直线OD 的路程，可得路程差为40km ，所以存在两种情况：两人相距20km ，列方程可得结论．【详解】()1由图形得()D 7,560，设OD 的解析式为：y kx =，把()D 7,560代入得：7k 560=，k 80=，OD ∴：y 80x =，当x 2=时，y 280160=⨯=，()E 2,160∴，由题意得：601m 160⨯+=，m 100=，()725601601001---÷=，故答案为()2,160，100，1；()()2A 1,60，()E 2,160，∴直线AE ：y 100x 40=-，当x 4=时，y 40040360=-=，()B 4,360∴， ()C 5,360∴， ()D 7,560，∴设CD 的解析式为：y kx b =+，把()C 5,360，()D 7,560代入得：{5k b 3607k b 560+=+=，解得：{k 100b 140==-，∴直线CD 的解析式为：()y 100x 1405x 7=-≤≤；()3OD 的解析式为：()y 80x 0x 7=≤≤，当x 5=时，y 580400=⨯=，40036040-=，∴出发5h 时两个相距40km ，把y 360=代入y 80x =得：x 4.5=，∴出发4.5h 时两人第二次相遇，①当4.5x 5<<时，80x 36020-=，x 4.75=，()4.75 4.50.25h -=，②当x 5>时，()80x 100x 14020--=，x 6=，()6 4.5 1.5h -=，答：两人第二次相遇后，又经过0.25时或1.5时两人相距20km.【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，理解横、纵坐标表示的含义，熟练掌握一次函数的相关知识、利用数形结合思想是解题的关键．23. 如图1，在正方形ABCD 中，AD ＝9，点P 是对角线BD 上任意一点（不与B 、D 重合），点O 是BD 的中点，连接PC ，过点P 作PE ⊥PC 交直线AB 于点E ．初步感知：当点P 与点O 重合时，比较：PC PE （选填“＞”、“＜”或“＝”）．再次感知：如图1，当点P 在线段OD 上时，如何判断PC 和PE 数量关系呢？甲同学通过过点P 分别向AB 和BC 作垂线，构造全等三角形，证明出PC ＝PE ；乙同学通过连接P A ，证明出P A ＝PC ，∠P AE ＝∠PEA ，从而证明出PC ＝PE ．理想感悟：如图2，当点P 落在线段OB 上时，判断PC 和PE 的数量关系，并说明理由．拓展应用：连接AP ，并延长AP 交直线CD 于点F ．（1）当12=DF CF ＝时，如图3，直接写出APE 的面积为；（2）直接写出APE 面积S 的取值范围．【答案】初步感知：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由见解析；拓展应用：（1）24316；（2）0＜S ＜814．【解析】【分析】初步感知：当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合，直接利用正方形的性质解题即可；理想感悟：PC=PE ，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，证明EGP PHC ≌（AAS ），可得结论；拓展应用：（1）过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟可知EGP PHC ≌，证明DFP BAP ∽，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，列式计算，得出PH 和PG 的长，然后求出AE 的长，根据三角形的面积公式可得答案；（2）设PH=x ，则PG=9-x ，由题意可知：AG=EG=DH=PH=x ，根据（1）中的结论列出S 的表达式，利用二次函数的性质求得答案即可．【详解】解：初步感知：如图，当点P 与点O 重合时，则点E 与B 重合， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD ＝90°， ∵点O 是BD 的中点， ∴OC ＝OB ＝12BD ， ∴PC ＝PE ，故答案为：＝；理想感悟：PC ＝PE ，理由如下：如图2，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∠ABD ＝45°，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∵GH ⊥AB ， ∴GH ⊥CD ，∴∠EGP ＝∠PHC ＝90°， ∴∠GEP +∠GPE ＝90°，∵PE ⊥PC ， ∴∠EPC ＝90°， ∴∠GPE +∠CPH ＝90°， ∴∠GEP ＝∠CPH ，∵∠ABD ＝45°，∠EGP ＝90°， ∴BGP 是等腰直角三角形， ∴BG ＝GP ．∵∠EGP ＝∠PHC ＝∠ABC ＝90°， ∴四边形BGHC 为矩形， ∴BG ＝CH ， ∴CH ＝GP ，在△EGP 和△PHC 中，GEP CPH EGP PHC GP CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴EGP PHC ≌（AAS ）． ∴PE PC =；拓展应用：（1）如图3，过点P 作GH ⊥AB 于G ，交CD 于H ，由理想感悟知：EGP PHC ≌， ∴EG ＝PH ，∵∠AGP ＝∠PHD ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形AGHD 为矩形， ∴AG ＝DH ，∵∠BDC ＝45°，∠PHD ＝90°， ∴PHD △是等腰直角三角形， ∴DH ＝PH ．∵12=DFCF，∴1,3 DFDC=∵DC＝AB，∴1,3 DFAB=∵AB∥CD，∴DFP BAP∽，∴1,3 PH DFPG AB==又∵GH＝AD＝9，∴PH＝94，PG＝274，∴EG＝DH＝PH＝94，∴AG＝DH＝94，∴AE＝AG+GE＝92，∴APE的面积为：12AE•PG＝12×92×274＝24316．故答案为：243 16．（2）设PH＝x，则PG＝9﹣x，由题意可知：AG＝EG＝DH＝PH＝x，则S＝12 AE•PG＝12×2x×（9﹣x）＝2981,24x⎛⎫--+⎪⎝⎭∵0＜x＜9，∴0＜S＜81 4．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及三角形的面积计算等知识点，作辅助线构建全等三角形或相似三角形是解题的关键．24. 定义：在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x ，y ），当x ＞m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y ）；当x ≤m 时，Q 点坐标为（﹣x ，﹣y +2），则称点Q 为点P 的m 分变换点（其中m 为常数）．例如：（﹣2，3）的0分变换点坐标为（2，﹣1）．（1）点（5，7）的1分变换点坐标为；点（1，6）的1分变换点在反比例函数y ＝k x图象上，则k ＝；若点（a ﹣1，5）的1分变换点在直线y ＝x +2上，则a ＝．（2）若点P 在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象上，点Q 为点P 的3分变换点．①直接写出点Q 所在函数的解析式；②求点Q 所在函数的图象与直线y ＝﹣5交点坐标；③当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，直接写出t 的取值范围．（3）点A （﹣3，﹣1），B （2，﹣1），若点P 在二次函数y ＝x 2﹣mx +22m ﹣2（x ＞m ）的图象上，点Q 为点P 的m 分变换点．当点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）(5,7)--；4；8或6；（2）①2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）②(15)--或(15)---；③1-≤t ≤-（3）-<m ≤22或-≤m <【解析】【分析】（1）本题根据分变换点定义即可直接求解(5,7)的1分变换点坐标；根据定义求解出(1,6)的1分变换点后，待定系数法求解k 值；分别讨论1a -与1的关系，继而求解出对应1分变换点坐标，代入直线解析式求解a 值．（2）①本题首先假设点P 坐标，继而根据3分变换点定义比较P 点横坐标与3的大小，分别求解不同范围下点Q 坐标，即可解答；②分别令不同范围下的点Q 所在解析式函数值等于5-，求解一元二次方程即可解答；③本题首先分别求得2y x 2x 3=-++（x >3）以及225x x y +-+=（x ≤3）的最大值，继而分别令其函数值大于等于5-求解对应x 范围，最后根据题干要求确定t 的范围．（3）本题首先假设点P 坐标，继而根据m 分变换点求解点Q 所在函数解析式，最后分别令该函数最大值大于1-，当x 取2或3-时，其函数值小于等于1-，列不等式组求解公共解集即可．【详解】（1）由已知得：∵5>1，∴点(5,7)的1分变换点坐标为(5,7)--；∵1＝1，∴点(1,6)的1分变换点为(1,4)--，∵点(1,4)--在反比例函数k y x=图象上， ∴(4)(1)4k =-⨯-=；当a ﹣1>1，即a >2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,5)a --，∵点(1,5)a --在直线2y x =+上，∴512a -=-+，∴8a =，当a ﹣1≤1，即a ≤2时，点(1,5)a -的1分变换点为(1,3)a --，∵点(1,3)a --在直线2y x =+上，∴312a -=-+，∴6a =，故答案为：(5,7)--；4；8或6；（2）①设2(,23)P x x x ，∵点Q 为点P 的3分变换点，∴当x >3时，2(,23)Q x x x --++， ∴点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）；当x ≤3时，2(,25)Q x x x --++，∴点Q 所在函数的解析式为225x x y +-+=（x ≤3）；故点Q 所在函数的解析式为2y x 2x 3=-++（x >3）或225x x y +-+=（x ≤3）； ②把5y =-代入223y x x =--+（x >3），得2235x x --+=-，解得，4x =-（舍去），或2x =（舍去）；把5y =-代入225y x x =--+（x ≤3），得2255x x --+=-，解得，1x =-1x =-+综上，点Q 所在函数的图象与直线5y =-交点坐标为(15)-+-或(15)--；③∵2223(1)4y x x x （x >3）， ∴y 的最大值为4<6，且当x >3时，y 随x 的增大而减小，令y=-5，223=5y x x =--+-（x>3），解得：x=2（舍去），x=-4（舍去）∵2225(1)6y x x x =--+=-++（x ≤3），∴y 的最大值为6，当1<x ≤3时，y 随x 的增大而减小，当x <-1时，y 随x 的增大而增大，令22+5=5y x x =---，解得：x=1-x=-∴当-1≤t≤-Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6；综上，当﹣4≤x ≤t 时，点Q 所在函数的函数值﹣5≤y ≤6，其t 的取值范围是1-≤t≤- （3）设22(,2)2m P x x mx -+-，当x >m 时，则22(,2)2m Q x x mx --+-+， ∴点Q 所在的函数的解析式为：22222()2224m m m y x mx x =---+=-+-+， ∴顶点坐标为2(,2)24m m --+， ∵点(3,1)A --，(2,1)B -，点Q 所在的函数图象与线段AB 有两个公共点， ∴2222149321242212m m m m m ⎧-+>-⎪⎪⎪-+-+≤-⎨⎪⎪---+≤-⎪⎩，解上述不等式组得，-<m≤22或-≤m<【点睛】本题考查二次函数综合及其知识延伸，解题关键在于理解“新定义”，题干含参数时求解需注意分类讨论，待定系数法常作为参数求解工具．。

2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)

2020年吉林省长春市南关区东北师大附中中考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. −2的绝对值是( )A. 2B. 12C. −12D. −2 2. 截至今年4月10日，舟山全市需水量为84 327000m 3，数据84 327 000用科学记数法表示为( )A. 0.84327×108B. 8.4327×107C. 8.4327×108D.84327×1033. 如图是由6个大小相同的小正方体搭成的几何体，该几何体的左视图是( )A.B.C.D.4. 不等式组{x +1≥02x +3<5的解集在数轴上表示为( )A.B.C.D.5. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，在其方程章中有一道题：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其钱的一半给甲，则甲的钱数为50；若甲把其钱的23给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x ，乙持钱为y ，则可列方程组( ) A. {x +23y =50y +12x =50 B. {x +12y =50y +23x =50 C. {x −12y =50y −23x =50D. {x −23y =50y −12x =506.如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是()A. 40°B. 50°C. 25°D. 115°7.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E为AD中点，分别以B、E为圆心，以AB、AE为半径画弧，两弧交于点F，连接AF、BE，则AF的长为()A. 125B. 135C. 245D. 58.如图，点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′.若反比例函数y=kx的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是()A. 9B. 12C. 15D. 18二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√1×√18=______．310.因式分解：mn2−4m=______．11.已知关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0，当m取______时，方程有两个相等的实数根．12.直线l1//l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1=40°，则∠2=______ ．13.如图，AB为⊙O直径，∠BAC的平分线交⊙O于D点，∠BAC=40°，∠ABD=______．14.方程ax2+bx+c=0的两根为−3，1，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线______ ．三、解答题（本大题共10小题，共80.0分）15.先化简，再求值：[(x−2y)2+(x−2y)(x+2y)−2x(2x−y)]÷2x，其中x=−1，y=−2018．16.一个不透明的袋子中装有3个球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他均相同，小刚从袋中随机取出1个小球，记下标号后放回；再从袋中随机取出1个小球记下标号．请用画树状图(或列表)的方法，求小刚两次摸出的小球标号之和等于4的概率．17.“爱护环境、从我做起”，星期天甲、乙两同学约定去公园捡垃圾，从家到公园的距离均为2800米，甲同学先步行400米后乘公交车去公园，乙同学骑自行车去公园．已知乙骑自行车的速度是甲步行速度的3倍，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去公园，结果甲同学比乙同学早到2分钟．(1)求公交车的速度．(2)当甲同学到达公园时，乙同学已经走了多远？18.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD的垂直平分线分别交AC、DC、BC于点E、F、G，连接DE、DG．(1)求证：四边形DGCE是菱形；(2)若∠ACB=30°，∠B=45°，ED=6，求BG的长．19.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103(1)a=______，b=______．(2)该调查统计数据的中位数是______，众数是______．(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；(4)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．20.如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)(2)若点C坐标为(2,4)，则点A′的坐标为(______，______)，点C′的坐标为(______，______)，周长比C△A′B′C′：C△ABC=______．21.如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离(结果保留三角函数形式)．22.甲、乙两地相距120千米，小张骑自行车从甲地出发匀速驶往乙地，出发a小时开始休息，1小时后仍按原速继续行驶，小李比小张晚出发一段时间，骑摩托车从乙地匀速驶往甲地，图中折线CD−DE−EF，线段AB分别表示小张、小李与乙地的距离y(千米)与小张出发时间x(小时)之间的函数关系图象．(1)小李到达甲地后，再经过______小时小张到达乙地；(2)求小张骑自行车的速度；(3)当a=4时，求小张与乙地的距离y乙与小张出发的时间x(小时)之间的函数关系式；(4)若小张恰好在休息期间与小李相遇，请直接写出a的取值范围．23.在正方形ABCD中，AB=6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交AB(或AB的延长线)于点N，连接CN．感知：如图①，当M为BD的中点时，易证CM=MN.(不用证明)探究：如图②，点M为对角线BD上任一点(不与B、D重合).请探究MN与CM的数量关系，并证明你的结论．应用：(1)直接写出△MNC的面积S的取值范围______；(2)若DM：DB=3：5，则AN与BN的数量关系是______．24.在平面直角坐标系中，我们定义点P(a,b)的“变换点”为Q.且规定：当a≥b时，Q为(b,−a)；当a<b时，Q为(a,−b)．(1)点(2,1)的变换点坐标为______ ；(2)若点A(a,−2)的变换点在函数y=1的图象上，求a的值；x(3)已知直线l与坐标轴交于(6,0)，(0,3)两点．将直线l上所有点的变换点组成一个新的图形记作M.判断抛物线y=x2+c与图形M的交点个数，以及相应的c的取值范围，请直接写出结论．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了一个数的绝对值，熟记绝对值的定义是解题关键．根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义解答即可．【解答】因为|−2|=2，所以选A ．2.答案：B解析：【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．根据科学记数法的表示方法判断即可．【解答】解：将84 327000用科学记数法表示为：8.4327×107．故选：B ．3.答案：A解析：解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A ．找到从几何体的左边看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．4.答案：B解析：解：{x +1≥0⋯ ①2x +3<5⋯ ②解不等式①得：x ≥−1；解不等式②得：x <1．则不等式组的解集是：故选：B ．首先解不等式组中的每个不等式，然后再数轴上表示即可．把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．5.答案：B解析：解：由题意可得， {x +12y =50y +23x =50，故选：B ．根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．6.答案：C解析：【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.利用切线的性质得∠OAD =90°，则利用互余计算出∠AOD =50°，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可求出∠B 的度数．【解答】解：连接OA ，如图，∵AD 为切线， ∴OA ⊥AD ， ∴∠OAD =90°， ∵∠D =40°， ∴∠AOD =50°， ∵OA =OB ， ∴∠B =∠OAB ，∴∠B=12∠AOD=25°．故选C．7.答案：C解析：解：由作图知BE是线段AF的中垂线，∵AD=6，E为AD中点，∴AE=3，又∵AB=4，∠BAE=90°，∴BE=5，则AF=2×AB×AEBE =2×125=245，故选：C．由作图知BE是线段AF的中垂线，根据AB=4，AE=3，∠BAE=90°知BE=5，再由AF=2×AB×AEBE 可得答案．本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和性质及直角三角形的性质．8.答案：C解析：解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠A′BH，∵BA=BA′，∴△AOB≌△BHA′(AAS)，∴OA=BH，OB=A′H，∵点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(0,6)，∴OA=2，OB=6，∴BH=OA=2，A′H=OB=6，∴OH=4，∴A′(6,4)，∵BD=A′D，∴D(3,5)，∵反比例函数y=k的图象经过点D，x∴k=15．故选：C．作A′H⊥y轴于H.证明△AOB≌△BHA′(AAS)，推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化−旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．9.答案：√6×18=√6．解析：解：原式=√13故答案为：√6．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握运算法则是解题关键．10.答案：m(n+2)(n−2)解析：【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．首先提公因式m，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式=m(n2−4)=m(n+2)(n−2)．故答案为m(n+2)(n−2)．11.答案：−2解析：解：∵关于x的方程x2−2(m+1)x+m2−3=0有两个相等的实数根，∴△=[−2(m+1)]2−4×1×(m2−3)=8m+16=0，解得：m=−2．故答案为：−2．根据方程的系数结合根的判别式△=0，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．12.答案：85°解析：解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=45°，∵∠3=∠1=40°，∴∠4=∠3+∠A=45°+40°=85°，∵l1//l2，∴∠2=∠4=85°．故答案为：85°．由等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，由对顶角相等得出∠3=∠1=40°，由三角形的外角性质得出∠4=85°，再由平行线的性质即可得出结果．本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的外角性质；熟练掌握等腰直角三角形和三角形的外角性质，由平行线的性质得出同位角相等是解决问题的关键．13.答案：70°解析：解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC=12×40°=20°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°−∠BAD=70°．故答案为：70°．根据角平分线定义得到∠BAD=12∠BAC=20°，再根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ADB=90°，然后利用互余计算∠ABD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．14.答案：x=−1解析：解：∵方程ax2+bx+c=0的两根为−3，1，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为(−3,0)和(1,0)，∴抛物线对称轴x=−3+12=−1，故答案为：x=−1．由条件可求得抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再利用对称性可求得抛物线线的对称轴．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的图象与x轴的交点的横坐标即为相应一元二次方程的根是解题的关键．15.答案：解：原式=(x2−4xy+4y2+x2−4y2−4x2+2xy)÷2x=(−2x2−2xy)÷2x=−x−y，当x=−1，y=−2018时，原式=1+2018=2019．解析：本题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．16.答案：解：用下表列举所有可能：∴P(小刚两次所记的数字之和等于4)=9=3．解析：列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.答案：解：(1)设公交车的速度为x米/分钟，则乙骑自行车的速度为x2米/分钟，甲步行的速度为x6米/分钟，根据题意列方程，得：400x6+2400x+2=2800x2，解得：x=400，检验：x=400是原方程的解，答：公交车的速度为400米/分钟；(2)由(1)知，甲步行的速度为：4006米/分钟，乙骑自行车的速度为：200米/分钟，所以甲步行用时：4004006=6分钟，公交车用时：2400400=6分钟，所以，甲全程用时：12分钟，所以，当甲同学到达公园时，乙骑自行车已经也走了12分钟，所以，乙已经走的路程为：200×12=2400(米)．解析：此题主要考查分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．(1)设公交车的速度为x米/分钟，则乙骑自行车的速度为x2米/分钟，甲步行的速度为x6米/分钟，根据甲同学比乙同学早到2分钟列方程即可得到结论；(2)根据甲步行速度，可求得乙骑自行车的速度，然后根据200×12=2400米即可得到结果．18.答案：解：(1)∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCG，∵EG垂直平分CD∴DG=CG，DE=EC，∴∠DCG=∠GDC，∠ACD=∠EDC∴∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC∴CE//DG，DE//GC∴四边形DECG是平行四边形，且DE=EC∴四边形DGCE是菱形；(2)如图，过点D作DH⊥BC，∵四边形DGCE是菱形，∴DE=DG=6，DG//EC∴∠ACB=∠DGB=30°，且DH⊥BC∴DH=3，HG=√3DH=3√3∵∠B=45°，DH⊥BC∴∠B=∠BDH=45°∴BH=DH=3∴BG=BH+HG=3+3√3解析：(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC，可得CE//DG，DE//GC，由菱形的判定可证结论；(2)过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE=DG=6，DG//EC，由直角三角形的性质可得BH= DH=3，HG=√3DH=3√3，即可求BG的长．本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键．19.答案：17 20 2次2次解析：解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，×100%=20%，即b=20，∴a=50−(7+13+10+3)=17，b%=1050故答案为：17、20；(2)由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；(3)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；=120人．(4)估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×350(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；(2)根据中位数和众数的定义求解；(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20.答案：解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；(2)−10 ；1 2 ；1：2解析：解：(1)如图所示：△A′B′C′即为所求；(2)若点C坐标为(2,4)，则点A′的坐标为(−1,0)，点C′的坐标为(1,2)，周长比C△A′B′C′：C△ABC=1：2．故答案为：(−1,0)，(1,2)，1：2．(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用(1)中所画图形得出对应点坐标．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．21.答案：解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC，∴AB=BC⋅tan75°=0.6×tan75=35tan75°，∴GM=AB=35tan75°，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=60°，sin∠FAG=FGAF，∴sin60°=FG2.5=√32，∴FG=2.5sin60°=54√3，∴DM=FG+GM−DF=(54√3+35tan75°−1.4)米．答：篮框D到地面的距离是(54√3+35tan75°−1.4)米．解析：本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．22.答案：1解析：解：(1)9−8=1(小时)，小李到达甲地后，再经过1小时小张到达乙地；故答案为：1；(2)1209−1=15(千米/小时)，小张骑自行车的速度是15千米/小时；(3)根据题意得：D(4,60)，E(5,60)，F(9,0)，A(6,0)，B(8,120)．设线段EF 的函数关系是为y =k 1x +b 1，把E(5,60)和F(9,0)代入得{5k 1+b 1=609k 1+b 1=0，解得{k 1=−15b 1=135，∴y =−15x +135，设线段AB 的函数关系是为y =k 2x +b 2，把A(6,0)和B(8,120)代入得{6k 2+b 2=08k 2+b 2=120，解得{k 2=60b 2=−360，∴y =60x −360，当小张在小李前方15千米时：−15x +135−15=60x −360，解得x325，当小李在小张前方15千米时：−15x +135+15=60x −360，解得x =345，∴小张出发325或345小时与小李相距15千米；(4)设x 小时，小张与小李两人相遇，根据题意得，15a +60(x −6)=120，整理得，x =8−14a ，∵小张恰好在休息期间与小李相遇， ∴{8−14a −a ≥08−14a −a ≤1，解不等式①得，a ≤325，解不等式②得，a ≥285，所以，285≤a ≤325．(1)根据函数图象的横轴计算即可得解； (2)根据速度=路程÷时间，计算即可得解；(3)利用待定系数法求一次函数解析式求出EF 、AB 的解析式，然后分小张在小李的前方和小李在小张的前方分别列式计算即可得解；(4)设x小时小张与小李两人相遇，然后列出方程计算并用a表示出x，再根据x与a的差在0到1之间列出不等式组求解即可．本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，速度、时间、路程三者之间的关系，(4)根据相遇时的时间差在0到1之间列出不等组是解题的关键，也是本题的难点．23.答案：9≤S<18AN=6BN解析：解：探究：如图①中，过M分别作ME//AB交BC于E，MF//BC交AB于F，则四边形BEMF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=∠BME=45°，∴ME=BE，∴平行四边形BEMF是正方形，∴ME=MF，∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∵∠FME=90°，∴∠CME=∠FMN，∴△MFN≌△MEC(ASA)，∴MN=MC；应用：(1)当点M与D重合时，△CNM的面积最大，最大值为18，当DM=BM时，△CNM的面积最小，最小值为9，综上所述，9≤S<18．(2)如图②中，由(1)得FM//AD，EM//CD，∴AFAB =CEBC=DMBD=35，∵AN=BC=6，∴AF=3.6，CE=3.6，∵△MFN≌△MEC，∴FN=EC=3.6，∴AN=7.2，BN=7.2−6=1.2，∴AN=6BN，故答案为AN=6BN．探究：如图①中，过M分别作ME//AB交BC于E，MF//BC交AB于F，证明△MFN≌△MEC(ASA)即可解决问题．应用：(1)求出△MNC面积的最大值以及最小值即可解决问题．(2)利用平行线分线段成比例定理求出AN，BN即可解决问题．本题是四边形的综合问题，考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．24.答案：(1)(1,−2)(2)当a≥−2时，则A(a,−2)的变换点坐标为(−2,−a)，代入y=1x 可得−a=1−2，解得a=12；当a<−2时，则A(a,−2)的变换点坐标为(a,2)，代入y=1x 可得2=1a，解得a=12，不符合题意；综上可知a的值为12；(3)设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0)，将点(6,0)、(0,3)代入y=mx+m得：{6m+n=0n=3，解得{m=−12n=3，∴直线l的解析式为y=−12x+3．当x =y 时，x =−12x +3，解得x =2．∴点C 的坐标为(2,2)，点C 的变换点的坐标为C′( 2,−2 )，点(6,0)的变换点的坐标为(0,−6)，点(0,3)的变换点的坐标为(0,−3)，当x ≥2时，所有变换点组成的图形是以C′( 2,−2)为端点，过(0,−6 )的一条射线；即：y =2x −6，其中x ≤2，当x <2时，所有变换点组成的图形是以C′(2,−2)为端点，过(0,−3)的一条射线，即y =12x −3，其中，x <2．所以新的图形M 是以C′(2,−2)为端点的两条射线组成的图形．如图所示：由{y =x 2+c y=12x−3和{y =2x −6y =x 2+c得：x 2−12x +c +3=0①和x 2−2x +c +6=0② 讨论一元二次方程根的判别式及抛物线与点C′的位置关系可得： ①当方程①无实数根时，即：当c >−4716时，抛物线y =x 2+c 与图形M 没有交点；②当方程①有两个相等实数根时，即：当c =−4716时，抛物线y =x 2+c 与图形M 有一个交点；③当方程②无实数根，且方程①有两个不相等的实数根时，即：当−5<c <−4716时，抛物线y =x 2+c 与图形M 有两个交点；④当方程②有两个相等实数根或y =x 2+c 恰好经过经过点C′时，即：当c =−5或c =−6时，抛物线y =x 2+c 与图形M 有三个交点；⑤当方程②方程①均有两个不相等的实数根时，且两根均小于2，即：当−6<c <−5时，抛物线y =x 2+c 与图形M 有四个交点；⑥当c <−6时，抛物线y =x 2+c 与图形M 有两个交点．解析：解：(1)∵2≥−1，∴点(2,1)的变换点坐标为(1,−2)，故答案为：(1,−2)；(2)见答案(3)见答案(1)由变换点的定义可求得答案；(2)由变换点的定义可求得A的变换点，代入函数解析式可求得a的值；(3)先求得直线y=x与直线l的交点坐标，然后分为当x≥2和x<2两种情况，求得M的关系式，然后在画出M的大致图象，然后将抛物线y=x2+c与M的函数关系式组成方程组，依据一元二次方程根的判别式进行判断即可．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了变换点的定义，一元二次方程根的判别式，求得M的函数关系式是解题的关键．。

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2019-2020学年中考数学模拟试卷

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2019-2020学年中考数学模拟试卷一、选择题1．在1x ,12,212x +,3xy π,3x y +,1a m +中分式的个数有（） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0），过（1，y 1）、（2，y 2）．下列结论：①若y 1＞0时，则a+b+c ＞0； ②若a ＝2b 时，则y 1＜y 2；③若y 1＜0，y 2＞0，且a+b ＜0，则a ＞0．其中正确的结论个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c ，且a ＜0，a-b+c ＞0，则一定有（） A.2b 4ac 0-> B.2b 4ac 0-=C.2b 4ac 0-<D.2b 4ac 0-≤ 4．已知△ABC ∽△DEF ，其中AB ＝6，BC ＝8，AC ＝12，DE ＝3，那么△DEF 的周长为（） A.394 B.263 C.13 D.265．如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 为边BC 上的点，以DE 为边向外作矩形DEFG ，使FG 过点A ，若DG ＝165，那么DE ＝( )A ．5B ．C ．325D ．2856．下列命题中，①Rt △ABC 中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5；②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形；③三角形的三边分别为a ，b ，c 若a 2+c 2=b 2，则∠B=90°④在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形；其中正确命题的个数为( )个A ．1B ．2C ．3D ．4 7．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针方向旋转60°到OD ，则PD 的长为（）A B C D ．8．如图，以正方形ABCD 的AB 边为直径作半圆O ，过点C 作直线切半圆于点E ，交AD 边于点F ，则sin ∠FCD ＝（）A ．34 B ．35 C ．45 D ．9．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图所示，给出下列结论：①k 0<；②0a >；③当3x <时，12y y <.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个10．△OAB 在第一象限中，OA ＝AB ，OA ⊥AB ，O 是坐标原点，且函数y ＝1x正好过A ，B 两点，BE ⊥x 轴于E 点，则OE 2﹣BE 2的值为（）A ．3B ．2C ．3D ．4 11．方程x 2＝4x 的解是（） A ．x ＝0B ．x 1＝4，x 2＝0C ．x ＝4D ．x ＝2 12．下列计算正确的是（）A ．a 3+a 2＝a 5B ．a 8÷a 4＝a 2C ．（2a 3）2﹣a•a 5＝3a 6D ．（a ﹣2）（a+3）＝a 2﹣6 二、填空题13．如图,在平面直角坐标系中,将ABO 绕点B 顺时针旋转到112A B O 的位置,使点1O 的对应点2O 落在直线y x =上……,依次进行下去,若点A 的坐标是（0,1）,点B 的坐标是,则点8A 的横坐标是__________．14．分解因式：258x x -= ______.15．如图，⊙O 上B 、D 两点位于弦AC 的两侧，AB BC =，若∠D ＝56°，则∠AOB ＝_____．16．若点（a ，b ）在一次函数y ＝2x ﹣3的图象上，则代数式4a ﹣2b ﹣5的值是_____．17．把代数式3244a a a -+分解因式的________________________。

吉林省长春市东北师大附中2020年中考第二次模拟考试数学试题(含答案)

初三年级综合测试数学学科试卷考试时长:120分钟试卷分值:120分一、选择题(本大题共8小题，每题3分，共24分)1. 如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A ． 2.5-B ． 1.5-C ．0.5-D ．0.52. 已知某细菌直径长为0.0000152米，0.0000152这个数用科学记数法可表示为（）A ．51.5210-⨯B ．51.5210-⨯C ．515210⨯D ．41.5210-⨯3. 如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体A 放到小正方体B 的正上方，则该几何体（）A ．主视图会发生改变.B ．俯视图会发生改变.C ．左视图会发生改变.D ．三种视图都会发生改变. 4. 不等式54x +>的解集为（）A ．1x <B ．1x >C ．1x <-D ．1x >- 5. 下列计算正确的是（）A ．()325a a =B ．23a a a ⋅=C ．221a a -÷=-D ．()2211a a -=- 6. 点()4,3经过某种图形变换后得到点()4,3,B -这种图形变换可以是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．绕原点逆时针旋转90D ．绕原点顺时针旋转907.某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB 绕点O 旋转到CD 的位置.已知4AO =米，若栏杆的旋转角27AOD ∠=，则栏杆端点A 升高的高度为（）A ．4sin 27米 B ．4sin 27米 C ．4cos 27米 D ．4tan 27米8. 0.618≈的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的文学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形,ABCD 分别取AD BC 、的中点,E F 、连结,EF DF 、以点F 为圆心，FD 长为半径画圆弧，交BC 的延长线于点;G 作,GH AD ⊥交AD 的延长线于点H ，则下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)9. 分解因式:2a ab -= ．10. 若关于x 的一元二次方程210kx x -+=没有实数根，则k 的取值范围是_ ．11. 颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一，小致去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如下图所示，则1∠的大小为____ 度.12. 如图，矩形ABCD 的顶点A 落在MON ∠的边OM 上，B C 、落在边ON 上，且OA OC =.只用无刻度的直尺作MON ∠的平分线，小致的作法如下:连结AC BD 、交于点,E 作射线,OE 则射线OE 平分MON ∠.下面的几何性质:①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线互相平分；③等腰三角形的“三线合一”，其中是小致作图依据的是__ ．(只填序号)13. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点()2,3,P 且与函数()20y x x=>的图象交于点()Q m n ,.若一次函数y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_ ．14. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A B 、两点，拱桥最高点C 到AB 的距离为4,12,,m AB m D E =为拱桥底部的两点，且//,DE AB 若DE 的长为18,m 则点E 到直线AB 的距离为_ .m三、解答题(本大题共10小题，共78分)15.先化简21111x x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，再选择一个恰当的x 的值代入求值. 16.一个不透明盒子中放有三张除所标数字不同外其余均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,2,3.从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再次随机抽取一张记下数字，请用画树状图(或列表)的方法，求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.17.学校征集校园便道地砖铺设的图形设计，小致用学校提供的若干个完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③)，其中所拼正方形中间留下一个边长为3cm 小正方形的空间，求一个小长方形模具的面积.18.如图，在ABC 中，,AB AC O =是边AB 上一点.以O 为圆心，OB 长为半径作,O 交边BC 于点;E 过E 作O 的切线交边AC 于点F .求证:EF AC ⊥.19.伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业.综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013-2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业、收入比例情况统计图(数据来源:公司财报、中商产业研究院).综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答:()12018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入____ _亿元，净利润____ 亿元.()2求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入(结果精确到0.1亿元).()3在2013-2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是_____ ___ __年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长______ ___ _亿元，并说明理由.20.图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，点D 为边AC 的中点.分别在图①、图②中ABC 的边AB 上确定点,P 并作出直线DP ，使ADP 与ABC 相似.要求:()1图①、图②中的点P 位置不同.()2只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹.21.根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放.在换水时需要经“排水一清冼一灌水”的过程.某游泳馆从早上7:00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量()3y m 与换水时间上()x h 之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题:()1该游泳池清洗需要__ ____小时.()2求排水过程中的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.()3若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12:30进入该游泳馆游泳，并说明理由.22.数学兴趣活动课上，小致将等腰ABC 的底边BC 与直线l 重合.()1如图①，在ABC 中，4120AB AC BAC ==∠=︒,，点P 在边BC 所在的直线l 上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP 的最小值是____________.()2为进一步运用该结论，在()1的条件下，小致发现，当AP 最短时，如图②，在ABP 中，作AD 平分,BAP ∠交BP 于点,D 点E F 、分别是边AD AP 、上的动点，连结,PE EF 、小致尝试探索PE EF +的最小值，小致在AB 上截取,AN 使得,AN AF =连结,NE 易证AEF AEN ≌，从而将PE EF +转化为,PE EN +转化到()1的情况，则PE EF +的最小值为_ ；()3解决问题:如图③，在ABC 中，90,30,6ACB B AC ∠=︒∠==，点D 是边CB 上的动点，连结,AD 将线段AD 绕点A 顺时针旋转60，得到线段,AP 连结CP ，求线段CP 的最小值.23.如图，在ABC 中，9068ABC BC AB D ∠=︒==,,,为边AC 的中点.点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 运动到点B 停止，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC CD -运动到点D 停止，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动.当点Q 不与ABC 的顶点重合时，过点Q 作//QM AB 交ABC 的边于点,M 以PM 和QM 为边作PMQN .设点Q 的运动时间为t (秒)，PMQN 的面积为S (平方单位).()1当点Q 与点D 重合时，求t 的值.()2用含t 的代数式表示QM 的长.()3求S 与t 之间的函数关系式.()4连结,BD 直接写出BD 将PMQN 分成面积相等的两部分时t 的值.24.在平面直角坐标系中，点()2,A n 在抛物线上，将抛物线222y x mx m =-+在点A 右侧的部分沿着直线y n =翻折，翻折后的图象与原抛物线剩余部分合称为图象G .()1当1m =时，①在如图的平面直角坐标系中画出图象G .②直接写出图象G 对应函数的表达式，③当0x k ≤≤时，图象G 对应函数的最小值为1,求k 的取值范围.()2当2n =-时，直接写出图象G 对应函数y 随x 增大而减小时x 的取值范围. ()3若图象G 上有且只有三个点到直线2y =的距离为3，直接写出m 的值.师大2020.5.22二模数学参考答案一、选择题1-8: CAADBABD二、填空题9.()a a b - 10.14k >11.4512.②③ 13.223m <<14.5三、解答题15. 化简得1,x x +不取01,1-,即可 16.1317.13518. 连接,OE 如图，,OB OE =,B OEB ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠,OEB C ∴∠=∠//,OE AG ∴ EF 为切线,OE EF ∴⊥EF AC ∴⊥；19.()1795.5,64.4()281.1()32017,1520.21.()15.1()28001201).5(0y x x x =-+≤≤ () 37 1.512.1+=，即12:06，所以可以22.()12(223.Q 与D 重合时()1211t =112t =()203t <<时883QM t =-+38t <<时82455QM t =-()303t <<时，216163S t t =-+38t <<时，2485281125252S t t =-+-()24484,111124.()12222,2.22,2x x x b y x x x ⎧-+≤⎪=⎨-++>⎪⎩ .c 把1y =代入222y x x =-++得1x =±1x >1x ∴=+11k ∴≤≤+()22x ≤或3x ≥11 ()531,32。

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2019-2020学年中考数学模拟调研测试题

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2019-2020学年中考数学模拟调研测试题一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．负数没有倒数B ．﹣1的倒数是﹣1C ．任何有理数都有倒数D ．正数的倒数比自身小2( )A B C D 3．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（） A.80060050x x =+ B.80060050x x =- C.80060050x x =+ D.80060050x x =- 4．关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个根，则k 的取值范围是（）A.4k <-B.4k ≤-C.4k <D.4k ≤5．如图所示，抛物线2732y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2-256与x 、y 轴分别交于A 、B 、C 三点，连结AC 和BC ，将△ABC 沿与坐标轴平行的方向平移，若边BC 的中点M 落在抛物线上时，则符合条件的平移距离的值有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6．某校开展丰富多彩的社团活动，每位同学可报名参加1～2个社团，现有25位同学报名参加了书法社或摄影社，已知参加摄影社的人数比参加书法社的人数多5人，两个社团都参加的同学有12人．设参加书法社的同学有x 人，则（）A ．x+（x ﹣5）＝25B ．x+（x+5）+12＝25C ．x+（x+5）﹣12＝25D ．x+（x+5）﹣24＝25 7．如图，已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC ＝50°，过A 作AE ∥CD 交⊙O 于E ，则∠AOE 的度数为( )A ．65°B ．70°C ．75°D ．80° 8．一个圆锥的主视图是边长为4cm 的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于 A ．4π cm 2 B ．8π cm 2 C ．12π cm 2 D ．16π cm 29．如图，正六边形的中心为原点O ，点A 的坐标为(0，4)，顶点E(-1，)，顶点B(1，)，设直线AE与y轴的夹角∠EAO为α，现将这个六边形绕中心O旋转，则当α取最大角时，它的正切值为( )A. B.1 C. D.10．如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( )A. B. C. D.11．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．12．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票为（）A．300 B．90 C．75 D．85二、填空题13．边长为4的正六边形内接于M，则M的半径是______．14．定义{a，b，c}为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝x2﹣2x+3的“特征数”是{1，﹣2，3}，函数y＝2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y＝﹣x的“特征数”是{0，﹣1，0}．在平面直角坐标系中，将“特征数”是{﹣4，0，1}的函数的图象向下平移2个单位，得到一个新函数图象，这个新函数图象的解析式是_____15．长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是________．16．我们可以用符号f(a)表示代数式．当a是正整数时，我们规定如果a为偶数，f(a)＝0.5a；如果a 为奇数，f(a)＝5a+1．例如：f(20)＝10，f(5)＝26．设a1＝6，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a1，a2，a3，a4…(n为正整数)，则2a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+…+a2013﹣a2014+a2015＝_____．17．某玩具车间每天能生产甲种零件200个或乙种零件100个．甲种零件1个与乙种零件2个能组成一个完整的玩具，问怎样安排生产才能在30天内组装出最多的玩具？若设生产甲种零件x天，乙种零件y 天，则根据题意列二元一次方程组是__．18．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．三、解答题19．（1）计算：2(1)|12cos30︒-++；（2）解方程组：52311x yx y+=⎧⎨+=⎩20．某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2800元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）21．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝13，求⊙O的半径．22．解不等式组：4261139x xx x>-⎧⎪-+⎨<⎪⎩.23．（1）计算：302017131302602()cos sinπ-︒︒⎛⎫⎛⎫-++-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）解分式方程：1233xx x+-+-＝124．为响应国家的一带一路经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部分别对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图：（1）抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为度；（2）抽查C厂家的合格率零件为件，并将图1补充完整；（3）通过计算说明A、C两厂家谁的合格率更高？25．如图是一个长为a，宽为b的长方形，在它的四角上个剪去一个边长为x的小正方形．（1）用代数式表示图中阴影部分的面积；（2）当a＝5，b＝8，x＝2时，求（1）中代数式的值．【参考答案】***一、选择题13．414．y＝﹣4x2﹣115．3616．717．18．1k＜三、解答题19．（1）2；（2）41xy=⎧⎨=⎩.【解析】【分析】（1）根据算术平方根、乘方、绝对值，特殊角的三角函数值的定义，把原式转化为实数的加减运算，计算求值即可，（2）利用加减消元法解之即可．【详解】解：（1）原式＝1+2×2＝＝2，（2）5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，②﹣①×2得：y＝1，把y＝1代入①得：x+1＝5，解得：x＝4，即方程组的解为：41 xy=⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，实数的运算，特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）正确掌握绝对值，特殊角的三角函数值的定义，（2）正确掌握加减消元法解二元一次方程组．20．（1）商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）当0≤x≤10时，y＝700x，当10＜x≤90时，y＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝300x；（3）公司应将最低销售单价调整为2875元．【解析】【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3200-5（x-10）元，根据销售单价恰好为2800元，列方程求解；（2）由利润y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于2800元，按0≤x≤10，10＜x≤50两种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．【详解】（1）设商家一次购买这种产品x件时，销售单价恰好为2800元．由题意得：3200﹣5（x﹣10）＝2800，解得：x＝90．答：商家一次购买这种产品90件时，销售单价恰好为2800元；（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，由题意得：当0≤x≤10时，y＝（3200﹣2500）x＝700x，当10＜x≤90时，y＝[3200﹣5（x﹣10）﹣2500]•x＝﹣5x2+750x，当x＞90时，y＝（2800﹣2500）•x＝300x；（3）因为要满足一次购买数量越多，所获利润越大，所以y随x增大而增大，函数y＝700x，y＝300x均是y随x增大而增大，而y＝﹣5x2+750x＝﹣5（x﹣75）2+28125，在10＜x≤75时，y随x增大而增大．由上述分析得x的取值范围为：10＜x≤75时，即一次购买75件时，恰好是最低价，最低价为3200﹣5•（75﹣10）＝2875元，答：公司应将最低销售单价调整为2875元．【点睛】本题考查了一次、二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．21．⊙O的半径为256．【解析】【分析】如图，连接OA ．交BC 于H ．首先证明OA ⊥BC ，在Rt △ACH 中，求出AH ，设⊙O 的半径为r ，在Rt △BOH 中，根据BH 2+OH 2＝OB 2，构建方程即可解决问题。

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024届中考数学模试卷含解析

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024届中考数学模试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（） A ．16 B ．17 C ．18 D ．192．已知二次函数y =ax 2+2ax +3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且−2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为A ．1或−2B ．−或C ．D ．1 3．|﹣3|的值是（）A ．3B ．13C ．﹣3D ．﹣13 4．下列运算正确的是（）A ．22a +a=33aB ．()32m =5mC ．()222x y x y +=+D ．63a a ÷=3a5．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，弦2CD =.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为( )A ．19B ．29C ．23D ．136．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A ．中位数不相等，方差不相等B ．平均数相等，方差不相等C ．中位数不相等，平均数相等D ．平均数不相等，方差相等7．计算327的值为( )A ．26-B ．-4C ．23-D ．-28．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为（）A ．a=bB ．2a+b=﹣1C ．2a ﹣b=1D ．2a+b=19．我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，用科学记数法表示这个数字是A ．6.75×103吨B ．67.5×103吨C ．6.75×104吨D ．6.75×105吨10．下列四个命题，正确的有（）个．①有理数与无理数之和是有理数②有理数与无理数之和是无理数③无理数与无理数之和是无理数④无理数与无理数之积是无理数．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．12．关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，则a 的取值范围是 __________.13．如图为两正方形ABCD 、CEFG 和矩形DFHI 的位置图，其中D ，A 两点分别在CG 、BI 上，若AB=3，CE=5，则矩形DFHI 的面积是_____．14．若反比例函数y＝1kx+的图象与一次函数y＝x+k的图象有一个交点为（m，﹣4），则这个反比例函数的表达式为_____．15．当x ________ 时，分式xx3-有意义．16．等腰梯形是__________对称图形.三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，在坐标平面内有点P，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．18．（8分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．求证：△AED≌△EBC；当AB=6时，求CD的长．19．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．20．（8分）在某校举办的2012 年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品．小王负责到某商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200 个以上可以按折扣价出售；购买200 个以下（包括200 个）只能按原价出售．小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050 元；若多买35 个，则按折扣价付款，恰好共需1050 元．设小王按原计划购买纪念品x 个．（1）求x 的范围；（2）如果按原价购买 5 个纪念品与按打折价购买6 个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？21．（8分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，CA平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD=3，求⊙O的半径．22．（10分）如图1，抛物线y1=ax1﹣12x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，34），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y1．（1）求抛物线y1的解析式；（1）如图1，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y1于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．23．（12分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．求A市投资“改水工程”的年平均增长率；从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？24．解方程：（1）x2﹣7x﹣18＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.故选A.【题目点拨】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.2、D【解题分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由-2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x=1时，y=9，即可求出a．【题目详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=-=-1，∵当x≥2时，y随x的增大而增大，∴a ＞0，∵-2≤x≤1时，y 的最大值为9，∴x=1时，y=a+2a+3a 2+3=9，∴3a 2+3a-6=0，∴a=1，或a=-2（不合题意舍去）．故选D ．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标是（-，），对称轴直线x=-，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a ＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向上，x ＜-时，y 随x 的增大而减小；x ＞-时，y 随x 的增大而增大；x=-时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a ＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的开口向下，x ＜-时，y 随x 的增大而增大；x ＞-时，y 随x 的增大而减小；x=-时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．3、A【解题分析】分析：根据绝对值的定义回答即可.详解：负数的绝对值等于它的相反数， 3 3.-=故选A.点睛：考查绝对值，非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.4、D【解题分析】根据整式的混合运算计算得到结果，即可作出判断．【题目详解】A 、22a 与a 不是同类项，不能合并，不符合题意；B 、()32m =6m ，不符合题意；C 、原式=22x 2y xy ++，不符合题意；D 、63a a ÷=3a ，符合题意，故选D ．【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、D【解题分析】连接OC 、OD 、BD ，根据点C ，D 是半圆O 的三等分点，推导出OC ∥BD 且△BOD 是等边三角形，阴影部分面积转化为扇形BOD 的面积，分别计算出扇形BOD 的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案．【题目详解】解：如图，连接OC 、OD 、BD ，∵点C 、D 是半圆O 的三等分点，∴==AC CD DB ，∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°，∵OC=OD ，∴△COD 是等边三角形，∴OC=OD=CD ，∵2CD =，∴2OC OD CD ===，∵OB=OD ，∴△BOD 是等边三角形，则∠ODB =60°，∴∠ODB =∠COD =60°，∴OC ∥BD ，∴=BCD BOD S S ，∴S 阴影=S 扇形OBD 226060223603603πππ⋅⨯===OD ， S 半圆O 222222πππ⋅⨯===OD ，飞镖落在阴影区域的概率21233ππ=÷=，故选：D．【题目点拨】本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．6、D【解题分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．【题目详解】2、3、4的平均数为：13（2+3+4）=3，中位数是3，方差为：13[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=23；3、4、5的平均数为：13（3+4+5）=4，中位数是4，方差为：13[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=23；故中位数不相等，方差相等．故选：D．【题目点拨】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.7、C【解题分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【题目详解】原式故选C．【题目点拨】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．8、B【解题分析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．9、C【解题分析】试题分析：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．在确定n 的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．67500一共5位，从而67 500=6.75×2．故选C ．10、A【解题分析】解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；③例如，0是有理数，故本小题错误；）=﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．故选A ．点睛：本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、360°．【解题分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【题目详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【题目点拨】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．12、a≤1且a≠0【解题分析】∵关于x 的一元二次方程2210ax x -+=有实数根，∴()20240a a ≠⎧⎪⎨=--≥⎪⎩，解得：a 1≤， ∴a 的取值范围为：a 1≤且0a ≠ .点睛：解本题时，需注意两点：（1）这是一道关于“x”的一元二次方程，因此0a ≠ ；（2）这道一元二次方程有实数根，因此()2240a =--≥ ；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽略.13、872 【解题分析】由题意先求出DG 和FG 的长，再根据勾股定理可求得DF 的长，然后再证明△DGF ∽△DAI ，依据相似三角形的性质可得到DI 的长，最后依据矩形的面积公式求解即可．【题目详解】∵四边形ABCD 、CEFG 均为正方形，∴CD=AD=3，CG=CE=5，∴DG=2，在Rt △DGF 中， DF=22DG FG +=222529+=，∵∠FDG+∠GDI=90°，∠GDI+∠IDA=90°，∴∠FDG=∠IDA ．又∵∠DAI=∠DGF ，∴△DGF ∽△DAI ，∴23DF DG DI AD ==，即2923DI =，解得：DI=3292， ∴矩形DFHI 的面积是32987292=，故答案为：872．【题目点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质定理与判定定理是解题的关键．14、y ＝﹣4x．【解题分析】把交点坐标代入两个解析式组成方程组，解方程组求得k ，即可求得反比例函数的解析式．【题目详解】解：∵反比例函数y ＝1k x +的图象与一次函数y ＝x +k 的图象有一个交点为（m ，﹣4），∴144k m m k+=-⎧⎨+=-⎩，解得k＝﹣5，∴反比例函数的表达式为y＝﹣4x，故答案为y＝﹣4x．【题目点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据图象上点的坐标特征得出方程组是解题的关键．15、x≠3【解题分析】由题意得x-3≠0,∴x≠3.16、轴【解题分析】根据轴对称图形的概念，等腰梯形是轴对称图形，且有1条对称轴，即底边的垂直平分线．【题目详解】画图如下：结合图形，根据轴对称的定义及等腰梯形的特征可知，等腰梯形是轴对称图形.故答案为：轴【题目点拨】本题考查了关于轴对称的定义，运用定义会进行判断一个图形是不是轴对称图形．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）抛物线的解析式是y=12x2﹣3x；（2）D点的坐标为（4，﹣4）；（3）点P的坐标是（345,416--）或（453,164）．【解题分析】试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（6，0）、B（8，8）∴将A与B两点坐标代入得：64883660a ba b+=⎧⎨+=⎩，解得：123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式是y=12x2﹣3x．（2）设直线OB的解析式为y=k1x，由点B（8，8），得：8=8k1，解得：k1=1∴直线OB的解析式为y=x，∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m，∴x﹣m=12x2﹣3x，∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣2m=0，解得：m=8，此时x1=x2=4，y=x2﹣3x=﹣4，∴D点的坐标为（4，﹣4）（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（6，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，6），根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，设直线A′B的解析式为y=k2x+6，过点（8，8），∴8k2+6=8，解得：k2=14，∴直线A′B的解析式是y=164y x=+，∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上，∴设点N（n，164x+），又点N在抛物线y=12x2﹣3x上，∴164x+=12n2﹣3n，解得：n1=﹣32，n2=8（不合题意，舍去）∴N点的坐标为（﹣32，458）．如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1（﹣32，-458），B1（8，﹣8），∴O、D、B1都在直线y=﹣x上．∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，∴△P1OD∽△N1OB1，∴1111 2OP ODON OB==，∴点P1的坐标为（345,416--）．将△OP1D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P2（453,164），综上所述，点P的坐标是（345,416--）或（453,164）．【题目点拨】运用了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．18、（1）证明见解析；（2）CD =3【解题分析】分析: （1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC，根据中点的定义得出AE=BE，然后由ASA判断出△AED≌△EBC；（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=EC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案.详解:（1）证明：∵AD∥EC∴∠A=∠BEC∵E是AB中点，∴AE=BE∵∠AED=∠B∴△AED≌△EBC（2）解：∵△AED≌△EBC∴AD=EC∵AD∥EC∴四边形AECD是平行四边形∴CD=AE∵AB=6∴CD= 12AB=3点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.19、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）P（165，0）．【解题分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．【题目详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），∴A2A3所在直线的解析式为：y=﹣5x+16，令y=0，则x=165，∴P点的坐标（165，0）．考点：平移变换；旋转变换；轴对称-最短路线问题．20、（1）0＜x≤200，且x是整数（2）175【解题分析】（1）根据商场的规定确定出x的范围即可；（2）设小王原计划购买x个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程，求出解即可得到结果．【题目详解】（1）根据题意得：0＜x≤200，且x为整数；（2）设小王原计划购买x个纪念品，根据题意得：105010505635x x⨯=⨯+，整理得：5x+175=6x，解得：x=175，经检验x=175是分式方程的解，且满足题意，则小王原计划购买175个纪念品．【题目点拨】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”是解本题的关键．21、（1）详见解析；（23【解题分析】（1）因为AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，根据角平分线的定义得：∠ACD＝∠ACB＝60°，根据同弧所对的圆周角相等，得∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∠ABD＝∠ADB＝60°.根据三个角是60°的三角形是等边三角形得△ABD 是等边三角形.（2）作直径DE，连结BE，由于△ABD是等边三角形，则∠BAD＝60°，由同弧所对的圆周角相等，得∠BED＝∠BAD＝60°.根据直径所对的圆周角是直角得，∠EBD＝90°，则∠EDB＝30°，进而得到DE＝2BE.设EB ＝x，则ED＝2x，根据勾股定理列方程求解即可.【题目详解】解：（1）∵∠BCD=120°，CA平分∠BCD，∴∠ACD=∠ACB=60°，由圆周角定理得，∠ADB=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACD=60°，∴△ABD是等边三角形；（2）连接OB、OD，作OH⊥BD于H，则DH=12BD=32，∠BOD=2∠BAD=120°，∴∠DOH=60°，在Rt△ODH中，OD=sin DHDOH∠=3，∴⊙O的半径为3．【题目点拨】本题是一道圆的简单证明题，以圆的内接四边形为背景，圆的内接四边形的对角互补，在圆中往往通过连结直径构造直角三角形，再通过三角函数或勾股定理来求解线段的长度.22、（1）y1=-14x1+12x-14；（1）存在，T（1，31374+），（1，31374），（1，﹣778）；（3）y=﹣12x+34或y=﹣11 24x-．【解题分析】（1）应用待定系数法求解析式；（1）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．【题目详解】解：（1）由已知，c=34，将B（1，0）代入，得：a﹣1324=0，解得a=﹣14，抛物线解析式为y1=14x1-12x+34，∵抛物线y1平移后得到y1，且顶点为B（1，0），∴y1=﹣14（x﹣1）1，即y1=-14x1+12x-14；（1）存在，如图1：抛物线y1的对称轴l为x=1，设T（1，t），已知A（﹣3，0），C（0，34），过点T作TE⊥y轴于E，则TC1=TE1+CE1=11+（34）1=t1﹣32t+2516，TA1=TB1+AB1=（1+3）1+t1=t1+16，AC1=153 16，当TC=AC时，t1﹣32t+2516=15316，解得：t 1=31374+，t 1=31374-；当TA=AC 时，t 1+16=15316，无解；当TA=TC 时，t 1﹣32t+2516=t 1+16，解得t 3=﹣778；当点T 坐标分别为（1，31374+），（1，31374-），（1，﹣778）时，△TAC 为等腰三角形；（3）如图1：设P （m ，2113424m m --+），则Q （m ，2111424m m -+-）， ∵Q 、R 关于x=1对称 ∴R （1﹣m ，2111424m m -+-）， ①当点P 在直线l 左侧时，PQ=1﹣m ，QR=1﹣1m ，∵△PQR 与△AMG 全等，∴当PQ=GM 且QR=AM 时，m=0，∴P （0，34），即点P 、C 重合， ∴R （1，﹣14），由此求直线PR 解析式为y=﹣12x+34，当PQ=AM 且QR=GM 时，无解；②当点P 在直线l 右侧时，同理：PQ=m ﹣1，QR=1m ﹣1，则P （1，﹣54），R （0，﹣14）， PQ 解析式为：y=﹣1124x -； ∴PR 解析式为：y=﹣12x+34或y=﹣1124x -．【题目点拨】本题是代数几何综合题，考查了二次函数性质、三角形全等和等腰三角形判定，熟练掌握相关知识，应用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题是关键．23、 (1) 40%;(2) 2616.【解题分析】（1）设A 市投资“改水工程”的年平均增长率是x ．根据：2008年，A 市投入600万元用于“改水工程”，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元，列方程求解；（2）根据（1）中求得的增长率，分别求得2009年和2010年的投资，最后求和即可．【题目详解】解：（1）设A 市投资“改水工程”年平均增长率是x ，则 2600(1)1176x +=．解之，得0.4x =或 2.4x =-（不合题意，舍去）．所以，A 市投资“改水工程”年平均增长率为40%．（2）600＋600×1.4＋1176＝2616（万元）．A 市三年共投资“改水工程”2616万元．24、（1）x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣23．【解题分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【题目详解】解：（1）x 2﹣7x ﹣18＝0，（x ﹣9）（x+2）＝0，x ﹣9＝0，x+2＝0，x 1＝9，x 2＝﹣2；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0，3x+2＝0，x1＝1，x2＝﹣．【题目点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键．。

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2020届数学中考模拟试卷

吉林省长春市东北师大附中明珠学校2020届数学中考模拟试卷一、选择题1．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A. B. C. D.2．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸3．下列等式一定成立的是（）A．a2+a3=a5B．（a+b）2=a2+b2C．（2ab2）3=6a3b6D．（x-a）（x-b）=x2-（a+b）x+ab4．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm25．一艘轮船在长江航线上往返于甲、乙两地.若轮船在静水中的速度不变，轮船先从甲地顺水航行到乙地，停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地.设轮船从甲地出发后所用时间为t（小时），航行的路程为S（千米），则S与t的函数图象大致是（）A. B.C. D.6．一组数据:5,7,10,5,7,5,6.这组数据的中位数和众数（）A ．7和10B ．7和5C ．7和6D ．6和57．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k+2）（x+k ）+m ，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是（）A ．若k≠1，m≠0，则二次函数y 的最大值小于0B ．若k ＜1，m ＞0，则二次函数y 的最大值大于0C ．若k ＝1，m≠0，则二次函数y 的最大值小于0D ．若k ＞1，m ＜0，则二次函数y 的最大值大于08．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18B ．36C ．41D ．58 9．下列计算正确的是（） A ．222()a b a b +=+B ．()22424a a -=-C ．532a a a ÷=D ．4711a a a +=10．设边长为a 的正方形面积为2，下列关于a 的四种说法：① a 是有理数；②a 是方程2x 2－4＝0的解；③a 是2的算术平方根；④1＜a ＜2．其中，所有正确说法的序号是（）A ．②③B ．③④C ．②③④D ．①②③④11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点A 为圆心作圆，如果圆A 与线段BC 没有公共点，那么圆A 的半径r 的取值范围是( )A ．5≥r≥3B ．3＜r ＜5C ．r ＝3或r ＝5D ．0＜r ＜3或r ＞5 12．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b ＝ab ﹣a+b ，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（） A ．不等式（﹣2）*（3﹣x ）＜2的解集是x ＜3B ．函数y ＝（x+2）*x 的图象与x 轴有两个交点C ．在实数范围内，无论a 取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数D ．方程（x ﹣2）*3＝5的解是x ＝5二、填空题13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，点E 在AB 的延长线上，BF 是∠CBE 的平分线，∠ADC=100°，则∠FBE=_______.14．如图所示，长方形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，将长方形向上、下、左、右各扩大1得到长方形A 1B 1C 1D 1，…，依此类推，则长方形A n B n ∁n D n 的周长可以表示为_____．15．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．16．若222221[(3.2)(5.7)(4.3)(6.8)]4s x x x x =-+-+-+-是李华同学在求一组数据的方差时，写出的计算过程，则其中的x =_____. 17．如果二次函数22my mx -=（m 为常数）的图象有最高点，那么m 的值为______． 18．将y ＝2x 2的图象沿y 轴向下平移3个单位，则得到的新图象所对应的函数表达式为_____．三、解答题19．计算：（1）22128+|-5|(1)()3-⨯⨯---（2）a （a ﹣8）﹣（a ﹣2）220．如图，以D 为顶点的抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于点A ，B （3，0），交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上有一点P ，使PO+PA 的值最小，求点P 的坐标；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．解不等式组：331213(1)8xxx x-⎧++⎪⎨⎪--≤-⎩；并在数轴上把解集表示出来，并判断﹣1、2这两个数是否为该不等式组的解．22．（1）解方程: 2（x﹣3）=3x（x﹣3）（2）解不等式组475(1)2332x xx x-<-⎧⎪-⎨-⎪⎩23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．24．如图，在▱ABCD中，E、F为边BC上两点，BF＝CE，AE＝DF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）求证：四边形ABCD是矩形．25．如图， AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线， BC与⊙O相交于点D,点E在⊙O上，且DE=DA, AE与BC相交于点F，(1)求证：∠CAD=∠B:(2)求证： FD=CD．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B C D C B D B C C C D D13．5014．8n+6．152 +116．517．-218．y＝2x2﹣3．三、解答题19．（1）0；（2）﹣4a﹣4．【解析】【分析】根据实数运算法则和整式运算法则分别计算即可,要注意负指数幂的意义.【详解】解：（1221(1)()3-⨯---＝4+5×1﹣9＝4+5﹣9＝0；（2）a （a ﹣8）﹣（a ﹣2）2＝a 2﹣8a ﹣a 2+4a ﹣4＝﹣4a ﹣4．【点睛】本题考查实数运算和整式运算，负指数幂的意义，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.20．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【解析】【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O 关于BC 的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A ，P ，O′共线时，PO+PA 取最小值，由点O′，A 的坐标可求出该最小值，由点A ，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P 的坐标；（3）由点B ，C ，D 的坐标可得出BC ，BD ，CD 的长，由CD 2+BC 2＝BD 2可得出∠BCD ＝90°，由点A ，C 的坐标可得出OA ，OC 的长度，进而可得出OA OC CD CB=，结合∠AOC ＝∠DCB ＝90°可得出△AOC ∽△DCB ，进而可得出点Q 与点O 重合时△AQC ∽△DCB ；连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ，则△ACQ ∽△AOC ∽△DCB ，由相似三角形的性质可求出AQ 的长度，进而可得出点Q 的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B （3，0），C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得：9303b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3．（2）当y ＝0时，﹣x 2+2x+3＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点A 的坐标为（﹣1，0）．∵点B 的坐标为（3，0），点C 的坐标为（0，3），∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．如图1，作O 关于BC 的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O 与O′关于直线BC 对称，∴PO ＝PO′，∴PO+PA ()()223--1+3-0⎡⎤⎣⎦＝5．设直线AO′的解析式为y ＝kx+m ，将A （﹣1，0），Q′（3，3）代入y ＝kx+m ，得：-k 033m k m +=⎧⎨+=⎩，解得：3k 434m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34．联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点P 的坐标为（97，127）．（3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0），∴CD ()()221-0+4-32，BC ()()220-3+3-02，BD ()()221-3+4-05 ∴CD 2+BC 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3），∴OA ＝1，OC ＝3，∴2OA OC CD CB ==．又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°，∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴AC AQDC DB=，即22510AQ=，∴AQ＝10，∴点Q的坐标为（9，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q的坐标．21．﹣2≤x＜1，﹣1是不等式的解，2不是不等式组的解．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【详解】解：331213(1)8xxx x-⎧++⎪⎨⎪--≤-⎩①②，解①得x＜1，解②得x≥﹣2．表示在数轴上如图：故不等式组的解集是﹣2≤x＜1．﹣12不是不等式组的解．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．22．（1）x1=3或x2=23;（2）﹣2＜x≤245【解析】【分析】（1）把等号右边的式子移至等号左边，然后分解因式后利用因式分解法求解即可；（2）分别求出两个不等式的解集，然后求出公共部分即可．【详解】（1）解：原方程可化为：2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3)(2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得：x1=3或x2=23；（2）解：475(1)2332x xx x-<-⎧⎪⎨--⎪⎩①②，解不等式①，得x＞﹣2，解不等式②，得x≤245，不等式组的解集是﹣2＜x≤245．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和解一元一次不等式组，根据方程的特点选择恰当的方法是解一元二次方程的关键，正确的求出两个不等式的解集是解一元一次不等式组的关键．23．(1)见解析；（2）15 2【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的性质可证BA＝BE＝AF，即可证四边形ABEF是菱形；（2）由菱形的性质和勾股定理可求BE＝5，由菱形的面积公式可求AH＝245，由平行四边形的面积公式可求AD的长．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE，同理：AB＝AF∴AF＝BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形（2）如图，过A作AH⊥BE，∵四边形ABEF是菱形，∴AO＝EO＝12AE＝3，BO＝FO＝12BF＝4，AE⊥BF，∴BE22BO EO+5，∵S菱形ABEF＝12AE•BF＝12×6×8＝24，∴BE•AH＝24，∴AH＝245，∴S平行四边形ABCD＝AD×AH＝36，∴AD＝152．【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．24．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝DC．根据全等三角形的判定定理即可得到结论．（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠C．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．根据矩形的判定定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC．∵BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，∴BE＝CF．在△ABE和△DCF中，∵AB DC AE DC BE CF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DCF（SSS）；（2）证明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B＝∠C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C＝180°．∴∠B＝∠C＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．25．(1) 见解析；(2) 见解析.【解析】【分析】（1）由题意AC是⊙O的切线，可知∠CAD+∠BAD=90°，因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°，即∠B+∠BAD=90°，证出∠CAD=∠B.（2）根据DA=DE，得∠EAD=∠E，再证出△ADF≌△ADC，可得FD=CD.【详解】(1)∵AC是⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠CAD+∠BAD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠CAD=∠B，(2)∵DA=DE，∴∠EAD=∠E，而∠B=∠E，∴∠B=∠EAD，∴∠EAD=∠CAD，∵∠ADB=∠ADC=90°,AD=AD∴△ADF≌△ADC，∴FD=CD.【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定，熟知切线的性质是解题关键.。