三个数的均值定理(课堂PPT)

推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
7
探究二 三个正数的均值不等式的应用
设 x, y , z 都是正数，则有
“＝”号)． 2．若 a，b 都为 正 数，那么a＋b ≥ ab(当且仅当 a ＝ b 时，
2
等号成立)，称上述不等式为 基本
a＋b
不等式，其中 2
称
Baidu Nhomakorabea
为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数．
2 3．当 a>0，b>0 时，1＋1≤
ab≤a＋b≤ 2
ab
a2＋b2 2
调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大____值___27____.
注 ： 一 正 、 二 定 、 三 等 。
8
理论迁移
例 1：已 a、 知 b、 c都是正数 (a， bc求 )32证 a 7b： c
问 题 2： 三 个 正数 的数算与术几平何均平 均关数 系 如 何？ 怎 样号证成明立？的等条 件 是什 么 问题 3：由两个正数数、推三广个到正多个何正？
6
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a,b.cR,那么abc3abc, 3
当且仅当abc时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三相等”． 3
热身训练
1.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；
32 2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
18
2 .已 x 1 ,知 y 2 ,且 x y 1,求 5 D (x 1 )y ( 2 ) 的 .最 大 值
36
4
自主学习教8材 --9页的内容 解决下列问题
2
4．设 x，y 为正实数
s2
(1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 有最 大 值为 4 . (2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 有最 小 值 为2 p. 5．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是正数； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为定值；求和 x＋y 的最小值时，应看积 xy 是否为 定值． (3)等号成立的条件是否满足．利用基本不等式求最值时，一 定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、
9
例2 求函数 yx2(13x)在[0,1]上的最大值. 3
10
例3.将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a2xx
11
变式 (1)当 0x1时 ,求函 yx2 数 (1x)的最 . (2)当 0x1时 ,求函 yx(数 1x2)的最 .
12
思考：下列解法正确吗？
求 函 数 y2x23,(x0)的 最 小 值 . x
解: y 2 x 2 3 2 x 2 1 2 3 32 x 212 3 34
x xx
xx
ymin33 4
13
达标检测
1.函数
y3x12(x0) 的最小值是 x2
(
C
)
A.6
B. 6 6 C.9
D.12
2.函数
y4x2
15
课后作业
1．教材 10 页 10、11、12、13 提示：11 题条件两边平方解决
2．预习绝对值不等式
16
16 (x2 1)2
的最小值是____8________
3.函数 yx4(2x2)0 (x2)的最大值是（D ）
16
32
A.0
B.1
C. 27
D. 27
14
归纳延伸
通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定 理的适用条件。
三个正数的均值不等式
【学习目标】 1．了解三个正数的算术平均值与几何平均值的大小． 2．会用三个正数的均值不等式解决一些简单的问题． 【学法指导】 1．要善于通过由两个正数的均值不等式推广到三个及多个
正数的均值不等式． 2．利用均值不等式解决问题是特别注意等号成立的等价条
件．
1
复习回顾
1．如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当 a＝b 时取
5
探究一 三个正数的均值不等式 问 题 1： 由 a2b2 2a b推 广 到 三 个 数 怎又 样如 证 等 号 成 立 的 条 ？件 是 什 么
和的立方公式：(x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3 x 2 y 3
立方和公式：x 3 y 3 (x y )x 2 ( x y y 2 )