复变函数与积分变换中国石油大学华东崔俭春张高民第七章答案
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习题七答案
1．试证：若()f t 满足傅氏积分定理的条件，则有
()f t =
()cos ()sin A td B td ωωωωωω+∞
+∞
+∫
∫
1
1
()=
()cos ()=
()sin A f d B f d ωτωττωτωττπ
π
+∞
+∞
−∞
−∞
∫
∫
其中，
证明：根据付氏积分公式，有
()()
1()()21 () 21 ()cos ()sin ()21 ()cos () 1
()cos i i t i t f t f e d e d f e d d f t i t d d f t d d f ωτωωτττωπτωτπτωτωτωτπ
τωτωτπ
τπ+∞+∞
−−∞−∞+∞+∞−−∞
−∞
+∞
+∞−∞−∞+∞
+∞−∞⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦==−+−=−=∫∫∫∫∫∫∫∫（交换积分次序）（利用函数的奇偶性）
()0
00
cos sin sin 1
1
()cos cos ()sin sin ()cos ()sin 1
1
()=
()cos ()=
()sin t t d d f d td f d td A td B td A f d B f d ωωτωωτωτ
τωττωωτωττωω
ππωωωωωω
ωτωττωτωττ
π
π
+∞
+∞
−∞+∞
+∞+∞+∞
−∞
−∞
+∞+∞+∞
+∞
−∞
−∞
+=
+
=+∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∫
其中，
2．求下列函数的傅氏变换：
（1）1, 10,
()1, 01,0, t f t t −−<<⎧⎪
=<<⎨⎪⎩
其他;
（2）, 0,()0, 0;t e t f t t ⎧≤=⎨>⎩
（3）0, 0,()sin 2, 0;t
t f t e t t −<⎧=⎨≥⎩
（4）2
1, ||1,
()0, || 1.t t f t t ⎧−≤=⎨>⎩ 解：（1） []()()
01
1
0110()()111
112 1cos i t i t i t i t i t i i f t f t e dt e dt e dt
e e e e i i i i
ωωωωωωωωωω
ωω
+∞
−−−−∞
−−−−−==−+=
⋅−⋅=−−+=−−∫
∫∫ F
f(t )
(2)
[]0
(1)0(1)()()1
1 11i t
t i t
i t i t
f t f t e
dt e e
dt e dt
e i i ωωωωω
ω
+∞
−−−−∞
−∞−∞
−−∞
====⋅=
−−∫∫∫ F
(3) []0
22(12)(12)000(12)(120()()sin 21 22111 21212i t
t i t i t i t t
i t i i t i i t i i t i i f t f t e
dt e t e dt
e e e e dt e dt e dt i i e e
i i i i i ωωωωωωωωω+∞
+∞
−−−−∞
−+∞
+∞
+∞−−−+−−−−+∞−+−−−−==⋅−⎡⎤
==−⎢⎥⎣
⎦=⋅−⋅−+−−−−∫∫∫∫∫ F
)02
222
242111
11(2)1(2) 21(2)1(2)21(2)1(2)11(2)1(2)2(52)
25454625t i i i i i i i i i i ωωωωωωωωωωωωωωωω+∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤−−−+=−=−⎢⎥⎢⎥+−+++−++⎣⎦⎣⎦−−−+−−⎡⎤=−=⎢⎥+−++−+⎣⎦ (4)
[]1
21
1
1
21
1
()()(1) i t i t i t
i t
f t f t e dt t e dt
e
dt t e
dt
ωωωω+∞
+−−−∞
−++−−−−==−=−∫∫∫∫ F
由于
1
111111+12221111111
112sin 11=212 12 2sin i t i t i t i t i t i t i i i t i t e dt e i t e dt t de t e e tdt i i e e tde i i i te e i i ωωωωωωωωωωω
ω
ωωωωωωωω++−−−−+++−−−−−−−−+−−−−−=
=
−⎡⎤=−⎢
⎥⎣⎦−−⎡⎤
=−+⎢⎥
−⎣⎦
=−+−−∫∫∫∫∫()
112
3122sin 2sin 4cos 4sin 2sin 2cos i t dt i i i ωωωωωωωωωωωωω+−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎛⎞=
−+−=+−⎜⎟⎢⎥−⎝⎠⎣⎦∫
所以
[]3
2
3
4sin 4cos 4(sin cos )
()=
=
f t ω
ω
ωωωω
ω
ω
−−
F
3．求下列函数的傅氏变换，并推证所列的积分等式。