您的位置：360文档中心› 高中数学易错题整理

高中数学易错题整理

合集下载

高一数学必修一易错题汇总

高一数学必修一易错题汇总

集合部分错题库1．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个2.已知集合M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3}，N ＝{(x ，y)|x －y ＝5}，那么集合M ∩N 为 A.x ＝4，y ＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}3.已知集合A ＝{x|x 2－5x+6<0}，B ＝{x|x< a2}，若A B ，则实数a 的范围为A.［6，+∞)B.(6，+∞)C.(－∞，－1)D.(－1，+∞) 4.满足{x|x 2－3x ＋2＝0}M {x ∈N|0<x<6}的集合M 的个数为 A.2 B.4 C.6 D.85．图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．)]([C A C B U ⋃⋂ B.)()(C B B A ⋃⋃⋃ C.)()(B C C A U ⋂⋃ D. )]([C A C B U ⋂⋃6.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.7.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为8. 已知集合{}2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数（1）若A 是空集，求a 的取值范围（2）若A 是单元素集，求a 的值（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围9.判断如下集合A 与B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k ∈Z},B={x|x=2m+1,m ∈Z}; (2)A={x|x=2m,m ∈Z},B={x|x=4n,n ∈Z}.10.集合A={x|-2≤x ≤5},B={x|m+1≤x ≤2m-1}, (1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.函数概念部分错题库1、与函数32y x =-有相同图象的一个函数是（ ） A. 32y x =- B. 2y x x =-C.y =- D. y x =2、为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位C ．沿x 轴向左平移1个单位D ．沿x 轴向左平移12个单位3、若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是A ．[0,1]B ．[0,1)C ． [0,1)(1,4]D ．(0,1)4、若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]35、已知函数f （x ）=221x x +，那么f （1）+f （2）+f （21）+f （3）+f （31）+f （4）+f （41）=_____.6、已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。

高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)

高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)

高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。

部编版高中数学必修二第八章立体几何初步易错题集锦

部编版高中数学必修二第八章立体几何初步易错题集锦

(名师选题)部编版高中数学必修二第八章立体几何初步易错题集锦单选题1、设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等D．α、β垂直于同一平面答案：B分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确应用立方体，如下图所示：选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；故选：B小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题2、下列命题错误的是（）A．直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直D．棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形答案：B分析：利用直棱柱的几何特征可判断A选项的正误；利用棱台的定义可判断B选项的正误；由线面垂直、面面垂直的判定定理可判断C选项的正误；利用棱台的几何特征可判断D选项的正误.直棱柱的侧棱都相等，侧面都是矩形，A正确；若截面与底面不平行，则棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，B错误；在三棱锥P−ABC中，PA、PB、PC两两垂直，∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，故PA⊥平面PBC，∵PA⊂平面PAC，则平面PAC⊥平面PBC，同理可得平面PAB⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PAC，C正确；用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，所以，棱台的侧棱延长后交于一点，且棱台侧面均为梯形，D正确.故选：B.3、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶3答案：A分析：按圆柱侧面积和球的表面积公式计算即可.设球的半径的r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积=2πr·2r=4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1:1，故选：A.4、如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，棱与直线BC1异面有（）A．1条B．2条C．3条D．4条答案：C分析：根据异面直线的定义即可判断.在直三棱柱ABC−A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有A1B1,AC,AA1，共3条.故选: C.5、在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，则直线A1D与直线B1M所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A分析：如图，连接B1C，MC，MB，利用余弦定理可求∠CB1M的值，从而可得直线A1D与直线B1M所成角大小. 设正方体的棱长为2a，连接B1C，MC，MB，因为B1C//A1D，故∠CB1M或其补角为直线A1D与直线B1M所成角.而B1C=2√2a，MC=√2a，B1M=√B1B2+BM2=√4a2+2a2=√6a，故B1C2=B1M2+CM2，所以MB1⊥CM，所以cos∠CB1M=√6a2√2a =√32，因为∠CB1M为锐角，故∠CB1M=30°，故选：A.6、直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AA 1=1，AC =2，E 是棱A 1C 1上的中点，则点A 到平面BCE 的距离是（ ）A ．1B ．√23C ．√63D ．√33答案：C分析：作出草图，根据题意易证A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，可得A 1C 1⊥BA 1，再根据勾股定理分别求出A 1B ，BE ，CE ，BC 的值，再根据V A−BCE =V E−ABC ，即可求出点A 到平面BCE 的距离.如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，连接BA 1,CE,AE,BE ，由题知，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，AA 1⊥A 1C 1,AA 1⊥A 1B 1，又∠CAB =∠C 1A 1B 1=90°，∴B 1A 1⊥A 1C 1又AA 1∩B 1A 1=A 1，所以A 1C 1⊥平面AA 1BB 1，所以A1C1⊥BA1，由于AB=AA1=CC1=1,A1C1=AC=2，E点是棱AC上的中点，根据勾股定理，A1B=√AB2+AA12=√12+12=√2，BE=√A1B2+A1E2=√(√2)2+12=√3 CE=√(C1C)2+(C1E)2=√12+12=√2，BC=√AB2+AC2=√12+22=√5，所以BE2+CE2=BC2，即BE⊥CE.设E到平面ABC的距离为d，则d=1，设点A到平面BCE的距离为ℎ，在四面体A−BCE中，V A−BCE=V E−ABC，V E−ABC=13×S△ABC×d=13×(12×1×2)×1=13V A−BCE=13×S△BCE×ℎ=13×(12×√3×√2)×ℎ=√66ℎ则√66ℎ=13，解得ℎ=√63.故选：C.7、如图1，已知PABC是直角梯形，AB∥PC，AB⊥BC，D在线段PC上，AD⊥PC．将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB，PC，设PB的中点为N，如图2．对于图2，下列选项错误的是（）A．平面PAB⊥平面PBC B．BC⊥平面PDCC．PD⊥AC D．PB＝2AN答案：A分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD⊥平面ABCD，判定C正确；进一步得到平面PCD⊥平面ABCD，结合BC⊥CD判定B正确；再证明AB⊥平面PAD，得到△PAB为直角三角形，判定D正确；可证明平面PBC⊥平面PDC，若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC，矛盾，可判断A图1中AD⊥PC，则图2中PD⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AC，故选项C正确；由PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDC，得平面PDC⊥平面ABCD，而平面PDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PDC，故选项B正确；∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥平面PAD，则AB⊥PA，即△PAB是以PB为斜边的直角三角形，而N为PB的中点，则PB＝2AN，故选项D正确．由于BC⊥平面PDC，又BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PDC若平面PAB⊥平面PBC，则平面PAB与平面PDC的交线⊥平面PBC由于AB//平面PDC，则平面PAB与平面PDC的交线//AB显然AB不与平面PBC垂直，故A错误故选：A8、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）A．8(6+6√2+√3)B．6(8+8√2+√3)C．8(6+6√3+√2)D．6(8+8√3+√2)答案：A解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2√2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为√2，则该几何体的表面积为S=6×[(2+2√2)2−4×12×√2×√2]+8×12×2×√3=8(6+6√2+√3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.多选题9、如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A,B的一点，则下列结论中正确的是（）A．AE⊥CE B．BE⊥DE C．DE⊥平面CEB D．平面ADE⊥平面BCE答案：ABD分析：根据垂直关系可证明AE⊥平面BCE或BE⊥平面ADE，利用线面垂直来证明线线垂直，或是面面垂直，再判断选项.由AB是底面圆的直径，得∠AEB=90°，即AE⊥EB，∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，BC⊥底面AEB，∴BC⊥AE，又EB∩BC=B，BC，BE⊂平面BCE，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥CE，故A正确；同理可得，BE⊥DE，故B正确；若DE⊥平面CEB，则DE⊥BC,∵BC//AD，∴DE⊥AD,在△ADE中AD⊥AE，∴DE⊥AD不成立，∴DE⊥平面CEB不正确，故C不成立，由A的证明可知AE⊥平面BCE，∵AE⊂平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE.可得A,B,D正确.故选：ABD.小提示：本题考查线线，线面，面面垂直关系的判断，重点考查逻辑推理，属于基础题型. 10、（多选题）已知平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，下列结论中正确的是（）A．m//βB．n//αC．m//n D．m与n不相交答案：ABD分析：由面面平行的性质可判断各选项的正误.因为平面α//平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，则m//β，n//α，m与n无公共点，即m与n不相交. 故ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.11、下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AE//CD B．CH//BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE答案：BCD分析：由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE⊥CD，故A错误；由HE//BC,HE=BC，四边形BCHE为平行四边形，所以CH//BE，故B正确；因为DG⊥HC,DG⊥BC,HC∩BC=C,所以DG⊥平面BHC,所以DG⊥BH，故C正确；因为BG//AH，而DE⊥AH,所以BG⊥DE，故D正确.故选：BCD填空题12、三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．答案：1或3分析：讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数.当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面；当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面.所以答案是：1或3。

高中数学易错题大汇总及其解析

高中数学易错题大汇总及其解析

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。

解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。

解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。

解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。

（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。

解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。

解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。

解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。

高中数学易错题100道

高中数学易错题100道

高中数学易错题100道数学是一门需要逻辑思维和严密推理的学科，对于很多学生来说，高中数学是一门难以逾越的学科。

在学习过程中，我们常常会遇到一些易错题，这些题目看似简单，但却容易让我们犯错。

下面是100道高中数学易错题，希望能帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

1. 2的平方根是多少？2. 一个等边三角形的内角是多少？3. 一个圆的直径是5cm，那么它的半径是多少？4. 一个矩形的长是3cm，宽是4cm，那么它的面积是多少？5. 一个正方形的边长是2cm，那么它的面积是多少？6. 一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，那么它的体积是多少？7. 一个圆的半径是3cm，那么它的周长是多少？8. 一个圆的半径是3cm，那么它的面积是多少？9. 一个圆的直径是6cm，那么它的周长是多少？10. 一个圆的直径是6cm，那么它的面积是多少？11. 一个等边三角形的外角是多少？12. 一个正方形的对角线长是多少？13. 一个长方形的对角线长是多少？14. 一个长方体的表面积是多少？15. 一个圆的周长是多少？16. 一个圆的面积是多少？17. 一个圆的直径是4cm，那么它的半径是多少？18. 一个圆的半径是4cm，那么它的直径是多少？19. 一个圆的周长是12cm，那么它的半径是多少？20. 一个圆的面积是12cm²，那么它的半径是多少？21. 一个圆的面积是12cm²，那么它的直径是多少？22. 一个圆的周长是12cm，那么它的直径是多少？23. 一个圆的周长是12cm，那么它的面积是多少？24. 一个圆的半径是12cm，那么它的周长是多少？25. 一个圆的半径是12cm，那么它的面积是多少？26. 一个圆的直径是12cm，那么它的周长是多少？27. 一个圆的直径是12cm，那么它的面积是多少？28. 一个正方形的面积是16cm²，那么它的边长是多少？29. 一个长方形的面积是16cm²，长是4cm，那么它的宽是多少？30. 一个长方形的面积是16cm²，宽是4cm，那么它的长是多少？31. 一个长方体的体积是16cm³，长是2cm，宽是4cm，那么它的高是多少？32. 一个长方体的体积是16cm³，长是2cm，高是4cm，那么它的宽是多少？33. 一个长方体的体积是16cm³，宽是2cm，高是4cm，那么它的长是多少？34. 一个等边三角形的面积是多少？35. 一个等腰三角形的面积是多少？36. 一个直角三角形的斜边长是多少？37. 一个直角三角形的直角边长是多少？38. 一个直角三角形的斜边长是5cm，直角边长是3cm，那么另一直角边长是多少？39. 一个直角三角形的斜边长是5cm，另一直角边长是4cm，那么直角边长是多少？40. 一个直角三角形的直角边长是3cm，另一直角边长是4cm，那么斜边长是多少？41. 一个等边三角形的边长是4cm，那么它的高是多少？42. 一个等边三角形的边长是4cm，那么它的面积是多少？43. 一个等腰三角形的底边长是4cm，高是3cm，那么它的面积是多少？44. 一个等腰三角形的底边长是4cm，面积是6cm²，那么它的高是多少？45. 一个等腰三角形的高是3cm，面积是6cm²，那么它的底边长是多少？46. 一个等腰三角形的高是3cm，底边长是4cm，那么它的面积是多少？47. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的面积是多少？48. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的高是多少？49. 一个直角三角形的斜边长是5cm，那么它的底边长是多少？50. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的面积是多少？51. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的斜边长是多少？52. 一个直角三角形的高是3cm，那么它的底边长是多少？53. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的面积是多少？54. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的斜边长是多少？55. 一个直角三角形的底边长是4cm，那么它的高是多少？56. 一个等边三角形的高是多少？57. 一个等边三角形的面积是多少？58. 一个等腰三角形的面积是多少？59. 一个直角三角形的面积是多少？60. 一个长方形的周长是16cm，长是4cm，那么它的宽是多少？61. 一个长方形的周长是16cm，宽是4cm，那么它的长是多少？62. 一个长方体的表面积是24cm²，长是2cm，宽是3cm，那么它的高是多少？63. 一个长方体的表面积是24cm²，长是2cm，高是3cm，那么它的宽是多少？64. 一个长方体的表面积是24cm²，宽是2cm，高是3cm，那么它的长是多少？65. 一个长方体的体积是24cm³，长是2cm，宽是3cm，那么它的高是多少？66. 一个长方体的体积是24cm³，长是2cm，高是3cm，那么它的宽是多少？67. 一个长方体的体积是24cm³，宽是2cm，高是3cm，那么它的长是多少？68. 一个等边三角形的边长是6cm，那么它的高是多少？69. 一个等边三角形的边长是6cm，那么它的面积是多少？70. 一个等腰三角形的底边长是6cm，高是4cm，那么它的面积是多少？71. 一个等腰三角形的底边长是6cm，面积是12cm²，那么它的高是多少？72. 一个等腰三角形的高是4cm，面积是12cm²，那么它的底边长是多少？73. 一个等腰三角形的高是4cm，底边长是6cm，那么它的面积是多少？74. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的面积是多少？75. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的高是多少？76. 一个直角三角形的斜边长是10cm，那么它的底边长是多少？77. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的面积是多少？78. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的斜边长是多少？79. 一个直角三角形的高是4cm，那么它的底边长是多少？80. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的面积是多少？81. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的斜边长是多少？82. 一个直角三角形的底边长是6cm，那么它的高是多少？83. 一个等边三角形的高是多少？84. 一个等边三角形的面积是多少？85. 一个等腰三角形的面积是多少？86. 一个直角三角形的面积是多少？87. 一个长方形的周长是20cm，长是5cm，那么它的宽是多少？88. 一个长方形的周长是20cm，宽是5cm，那么它的长是多少？89. 一个长方体的表面积是30cm²，长是3cm，宽是5cm，那么它的高是多少？90. 一个长方体的表面积是30cm²，长是3cm，高是5cm，那么它的宽是多少？91. 一个长方体的表面积是30cm²，宽是3cm，高是5cm，那么它的长是多少？92. 一个长方体的体积是30cm³，长是3cm，宽是5cm，那么它的高是多少？93. 一个长方体的体积是30cm³，长是3cm，高是5cm，那么它的宽是多少？94. 一个长方体的体积是30cm³，宽是3cm，高是5cm，那么它的长是多少？95. 一个等边三角形的边长是8cm，那么它的高是多少？96. 一个等边三角形的边长是8cm，那么它的面积是多少？97. 一个等腰三角形的底边长是8cm，高是6cm，那么它的面积是多少？98. 一个等腰三角形的底边长是8cm，面积是24cm²，那么它的高是多少？99. 一个等腰三角形的高是6cm，面积是24cm²，那么它的底边长是多少？100. 一个等腰三角形的高是6cm，底边长是8cm，那么它的面积是多少？以上是100道高中数学易错题，希望能帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

高中数学易错题整理

高中数学易错题整理

高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。

（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是 。

9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、 已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。

(完整版)高中数学易错题

(完整版)高中数学易错题

高中数学易错题数学概念的理解不透必修一（1）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ） A.a ≤-21或a ≥21 B.a ＜21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意，方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21，所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a 0≠；要不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点，所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一（2）判断函数f(x)=(x －1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===，所以()()f x f x -===，所以f （x ）为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二（4）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） (A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ （B ）12l l ⊥，3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A 正确； 错解二：选C.平行就共面；【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.必修五（5）x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时，a 、x 、b 成等比数列成立；当a 、x 、b 成等比数列时，x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0，x=ab 成立，但a 、x 、b 不成等比数列， 所以充分性不成立；反之，若a 、x 、b成等比数列，则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立，必要性不成立.所以选D.排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率. 分析:（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准（7）若1,0,0=+>>y x y x ，则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ，错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x（8）函数y=sin 4x+cos 4x －43的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x －43=1cos 44x ，所以相位为4x ，初相为0，周期为2π，增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x －43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+，初相为2π，周期为2π，单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 （1）读题不清必修五（9）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12x f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减，且1()()12x f x =+过点（0，2），所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B 、C ；又根据原函数在0x >时递减，所以选A. 排列组合（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-，一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-，一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.（2）忽视隐含条件必修一（11）设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、，∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是8；当2-≤k 时，22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328， ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+328 由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283 ].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）必修一（13） 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清（14）若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为（ ）A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=，选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=，与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误（1）数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ，且（b a ρρλ+）b ρ⊥，则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ，则（b a ρρλ+）()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r，（ba ρρλ+）19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l：x+y－3=0的交点，则直线l的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到12k=⇔=-，所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l：3x－y－1=0和2l：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线l为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线l的斜率必然存在），11,62k k=⇔==-，所以直线l的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x－3)2+y2=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则OQOP⋅的值为.【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)2+y2=4消y，得关于x的方程22(1)650m x x+-+=，令1122(,),(,)P x y Q x y，则12122265,11x x x xm m+=⋅=++，则221212251my y m x xm==+，由于向量OPuuu r与向量OQuuu r共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以212122255511mOP OQ OP OQ x x y ym m⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r.【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则222325OP OQ OT⋅==-=.（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错曲线x2－122=y的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4=AB，则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB （即通径）为222241b a ⨯==，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A 、B 时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点，满足条件的有上、下各一条（关于x 轴对称），所以共3条. 5.数学思维不严谨（1）数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=，所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-，令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x －1)≥0的解集为____________解析：（1）【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立，所以原不等式转化为2x-1≥0，所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0，所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩（3）解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时，113a S ==，n 2≥时，1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立，消去y ， 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a ， 解之得.817=a【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之，得.11<<-a因此，当817=a 或11<<-a 时，圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131， .012(363）＝整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ，则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ，即得,2963S S S ≠+与题设矛盾，故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363）＝--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ，所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面α、β内各有一条射线AB ，AC 与l 成450，AB βα⊂⊂AC ,，则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理，12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时，由最小角定理，时，12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=；当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

高中数学易错题精选

高中数学易错题精选

高中数学错题精选一：三角部分1．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-2．为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n nn，sin cos θθ+的取值为（） A. 1B. 区间（0，1）C.121n - D. 不能确定4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值X 围为（ ）A 、),2(+∞B 、),1(+∞C 、)2,1(D 、)1,1(- 6．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12543--或7．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π8．函数的图象的一条对称轴的方程是（）9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+π3) B ． y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）A 、]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B 、)](43,4[z k k k ∈++ππππ C 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ D 、)](2,4[z k k k ∈++ππππ11．已知奇函数()[]上为，在01-x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β)C 、f(sin α)＜f(cos β)D 、f(sin α)＞ f(cos β)高中数学错题精选二：不等式部分1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值X 围（ ）A a ≤-21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥21 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

高中数学易错题库

高中数学易错题库

第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________． 易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（ ） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（ ） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（ ） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（ ） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________． 易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（ ） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（ ）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22． 易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（ ）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项 易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（ ） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（ ） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________． 易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（ ）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章 一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（ ）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（ ） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例 设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章 随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例 设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。

高中数学必修一易错题、好题、难题梳理

高中数学必修一易错题、好题、难题梳理

数学必修一易错题、好题、难题前言：本人为衡水中学毕业生，高中三年记了很多错题本、积累本，高考之后不会再看了，但扔了可惜，所以现将当年积累的错题一点点整理出来，希望对各位学弟学妹有帮助。

如有错误，望告知。

⒈ 已知a ∈Z ，A={(x ,y ) | ax -y ≤3}且(2,1)∈A ，(1,-4)∉A ，则满足条件的a 的值为0或1或2. 解：∵(2,1)∈A ，∴2a -1≤3，∴a ≤2；∵(1,-4)∉A ，∴a +4>3，a ＞-1。

∵a ∈Z ，∴a 为0,1,2. ⒉ 已知集合A={x ∈R | ax 2-3x +2=0}.⑴若A=∅，求实数a 的取值范围；⑵若A 是单元素集，求a 得值及集合A ；⑶求集合P={a ∈R | a 使得A≠∅ }.解：⑴∵A=∅ ∴{a ≠0∆=9−8a <0，解得a >98. ⑵ ①当a =0时，-3x +2=0，解得x =23，∴A={23}.②{a ≠0∆=9−8a =0，解得a =89，∴A={43}. 综上所述，当a =0时，A={23}；当a =98时，A={43}.⑶由⑴可知，a ≤98.⒊ 已知集合A={x ∈R|mx 2−2x +3=0,m ∈R }，若A 重元素至多有一个，求m 的取值范围.解：①当m =0时，-2x +3=0，∴x =32. ②{m ≠0∆=4−12m ≤0，解得m ≥13. 综上所述，m 的取值范围为m ≥13或m =0. ⒋ 用列举法表示集合B={a 9−x ∈N|x ∈N}.解：B={1,3,9}.⒌ 设B={1,2}，A={x|x ⊆B }，则A 与B 的关系是 B ∈A .解析：∵x ⊆B ，∴x ={{1},{2},{1,2},∅}，∴B ∈A.⒍ 已知集合A={x|x 2−2x −3=0}，B={x|ax −1=0}，若B ⊆A ，则实数a 的值构成的集合是{-1,0,13}.解析：此题容易落掉B=∅的情况，当B=∅时，a =0.7 若{x|2x −a =0,a ∈N }⊆{x|−1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为{0,1,2,3,4,5}. 解析：x =a 2，∴-1<a 2<3，即-2<a <6，又∵a ∈N ，∴a =0，1,2,3,4,5.⒏ 设集合A={1,a,b }，B={a,a 2,ab }，且A=B ，实数a 的值为 -1 .解析：①{a 2=1ab =b，解得a =±1，∵a ≠1，∴a =-1，此时b =0. ②{a 2=b ab =1，此种情况不成立. ⒐ 已知集合A={x|0<x <3}，B={x|m <x <4−m }，且B ⊆A ，则实数m 满足的条件是 m ≥1.解析：当B=∅时，m ≥4-m ，m ≥2；当B ≠∅时{m ≥04−m ≤3m <4−m ，解得{m ≥0m ≥1m <2，综上所述，m ≥1.⒑ 设集合A={−1,1}，试用列举法写出下列集合.⑴ B={(x,y )|x,y ∈A } ⑵ C={x|x ⊆A }解：B={(−1,−1),(1,1),(−1,1),(1,−1)}. C={∅,{−1},{1},{(−1,1)}}.⒒ 已知三元素集合A={x,xy,x −y }，B={0,|x |,y }，且A=B ，求x 与y 的值.解：∵x ≠0，y ≠0，∴xy ≠0，∴x -y =0，∴{x =yx −y =0xy =|x|，解得x =y =±1. 当x =1时，A={1,1,0}（舍去）；当x =-1时，A={-1,1,0}，B={0,1,-1}.综上所述，x 与y 的值均为-1.⒓ A={x|x 2+4x =0}，B={x|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}.⑴ 若A ⊆B ，求a 的值； ⑵ 若B ⊆A ，求a 的值.解：A={0,-4}.⑴ ∵A ⊆B ，∴B={0,-4}，∴{−4=−2(a +1)0=a 2−1，解得a =1. ⑵ ∵B ⊆A ，∴①若B=∅，∆=8a +8<0，∴a <-1.②若B 为单元素集，即B={0}或{-4}，∴∆=8a +8=0，a =-1，∴x 2=0，x =0，B={0}.③若A=B ，则a =1.综上所述，a ≤-1或a =1.⒔ 已知集合A={x|−2≤x ≤5}，非空集合B={x|m +1≤x ≤2m −1}，且B ⊆A ，求m 的取值集合.解：∵B ⊆A 且B 为非空集合，∴{m +1≥−22m −1≤5m +1≤2m −1，解得2≤m ≤3，即m 的取值集合为{m|2≤m ≤3}.⒕ 已知集合A={x|ax 2−3x −4=0,x ∈R }.⑴若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；⑵若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.解：⑴∵A 中有两个元素，∴{a ≠0∆=9+16a >0，∴a >-916且a ≠0. ⑵当a =0时，-3x -4=0，∴x =-43；当a ≠0时，∆=9+16a ≤0，∴a ≤-916.综上所述，a 的取值范围为a ≤-916或a =0.⒖ 设集合A={2, a }，B={a 2-2, 2}，若A=B ，则实数a 的取值范围为{-1}.解析：∵A=B ，∴a 2-2=a ，∴a 1=-1，a 2=2. ∵a ≠2，∴a =-1.⒗ 已知A ⊆B ，其中A={x|ax −1=0,a ∈R }，若A=B ，则实数a 的取值集合为{-1,0,1}. 解析：因为A ⊆B ，∴①当A=∅时，a =0；②当A ≠∅时，a =±1. ∴a 为{-1,0,1}.⒘ 已知全集U=R ，A={x|−2≤x ≤3}，B={x|x −a >0}，A ⊆B ，求a 的取值范围. 解：a <-2.⒙ 设全集I={(x,y )|x,y ∈R }，集合M={(x,y )|y−3x−2=1}，N={(x,y )|y ≠x +1}，那么(∁I M )∩(∁I N)等于{(2,3)}.解析：M={(x,y )|y =x +1,x ≠2,y ≠3}，∴M ∪ N={(x,y )|x ≠2,y ≠3}，∴∁I (M ∪N )={(2,3)}.⒚ 设数集M={x|m ≤x ≤m +34}，N={x|n −13≤x ≤n}，且M ，N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集，如果把b -a 叫做集合{x|a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是（112）. 解析：∵M ⊆{x|0≤x ≤1}，∴0≤m ≤34，∵N ⊆{x|0≤x ≤1}，∴23≤n ≤1，∴M ∩N={x|23≤x ≤34}，∴长度为112.⒛ 若{x ∈R|x 2+2(a +1)x +a 2−1=0}⊆{x|x 2=0}，则实数a 的取值范围是a ≤−1. 解析：① ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)<0，∴a <-1；② ∆=4(a 2+2a +1)-4(a 2-1)=0，∴a =-1.综上所述，a ≤-1.。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、不等式|5x−x2|<6的解集为（）A．{x|x<2,或x>3}B．{x|−1<x<2,或3<x<6}C．{x|−1<x<6}D．{x|2<x<3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.解：∵|5x −x 2|<6，∴−6<5x −x 2<6∴{x 2−5x −6<0x 2−5x +6>0⇒{−1<x <6x 〈2或x 〉3⇒−1<x <2或3<x <6则不等式的解集为：{x|−1<x <2或3<x <6} 故选：B.4、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ， 所以1a +1b =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2ba≥3+2√ab ⋅2b a=3+2√2， 当且仅当a b =2b a，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选：C.6、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ） A ．√2B ．2C ．4D ．2√5 答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、已知集合M ={x |−4<x <2}，N ={x |x 2−x −6<0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x <3}B ．{x |−4<x <−2}C ．{x |−2<x <2}D ．{x |2<x <3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2},N ={x |−2<x <3}，则 M ∩N ={x |−2<x <2}．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 多选题9、已知实数a >0，b >0，且满足(a −1)(b −1)=4，则下列说法正确的是（ ）A．ab有最小值B．ab有最大值C．a+b有最小值D．a+b有最大值答案：AC分析：已知等式化简为ab=a+b+3,利用基本不等式转化a+b,得到关于ab的不等式，研究可得ab的最值情况，转化ab,得到关于a+b的不等式，研究可得a+b的最值情况，进而作出判定.ab=a+b+3≥2√ab+3，解不等式得√ab≤−1或√ab≥3，故ab≥9，等号当且仅当a=b=3时取得，故ab有最小值9，则A对，B错；ab=a+b+3≤(a+b2)2，解不等式得a+b≤−2或a+b≥6，又a>0，b>0，故a+b≥6，当且仅当a=b=3时取等号，故a+b有最小值6，则C对，D错，故选：AC．10、（多选题）下列命题为真命题的是（）A．若a>b>0，则ac2≥bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c>0，则ca2>cb2D．若a>b且1a>1b，则ab<0答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A，若a>b>0，则ac2−bc2=c2(a−b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a<b<0，则a2−ab=a(a−b)>0，ab−b2=b(a−b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则ca2−cb2=c(b2−a2)a2b2=c(b−a)(b+a)a2b2<0，所以ca2<cb2，故C错误；对于D，若a>b且1a >1b，则b−a<0，1a−1b=b−aab>0，所以ab<0，故D正确.故选：ABD.11、若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．√a +√b 有最大值√2C ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2有最小值√22 答案：ABC分析：由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．解：因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时取等号，所以ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 正确；(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2，当且仅当a =b =12时取等号，故√a +√b ≤√2，即√a +√b 有最大值√2，故B 正确； 1a+1b =a+b ab=1ab ≥4，当且仅当a =b =12时取等号，故1a +1b 有最小值4，故C 正确；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =1−2ab ≥12，当且仅当a =b =12时取等号，所以a 2+b 2有最小值12，故D 错误． 故选：ABC ．12、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤3或x ≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是（ ） A ．a >0B ．不等式bx +c >0的解集为{x |x <−4}C ．不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x |x <−14或x >13}D ．a +b +c >0答案：AD分析：由一元二次不等式的解集可确定a >0，并知ax 2+bx +c =0两根为3和4，利用韦达定理可用a 表示b,c ，由此将不等式中b,c 用a 替换后依次判断各个选项即可得到结果.对于A ，由不等式的解集可知：a >0且{−ba =3+4=7ca =3×4=12，∴b =−7a ，c =12a ，A 正确；对于B ，bx +c =−7ax +12a >0，又a >0，∴x <127，B 错误；对于C ，cx 2−bx +a =12ax 2+7ax +a <0，即12x 2+7x +1<0，解得：−13<x <−14，C 错误； 对于D ，a +b +c =a −7a +12a =6a >0，D 正确. 故选：AD.13、下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x >0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最小值是2−4√3 答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D 当x >0时，x +1x≥2√x ⋅1x=2（当且仅当x =1x，即x =1时取等号），A 正确；2√x 2+2=√x 2+2，因为x 2≥0，所以2√x 2+2=√x 2+2≥√2，B 正确；2√x 2+4=2√x 2+4=√x 2+4√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=√x 2+4，即x 2=−3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x =1时，2−3x −4x =2−3−4=−5<2−4√3，D 错误. 故选:AB. 填空题14、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7， 当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立， 所以答案是：7.法二：∵x >54，令yʹ=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32， 当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.15、已知x,y ∈(0,+∞),a ∈R ，若(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2，则3x +y 的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2，∴4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α)即4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α) ≤(2x−2y+2sin 2α+2+x+3y−2sin 2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x +y +2)2≥16，解得3x +y ≥2，当且仅当2x −2y +2sin 2α+2=x +3y −2sin 2α时，取等号， 所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a . 其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论. 由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋b a ＋a b ≥2√ab ⋅1ab ＋2√b a ⋅ab ＝4， 当且仅当{ab =1abb a =a b 即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立；由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2√b a ×a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ，那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题. 解答题17、某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本） （2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？ 答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y （元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y =6000−15v −24000v(0<v ⩽50)，代入v =30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y （元)， 因为游船的燃料费用为每小时k ·v 2元，依题意k ·202=60，则k =320．所以y =6000−(320v 2·100v+240·100v)=6000−15v −24000v(0<v ⩽50)．v =30km/ℎ时，y =4750元； （2）y =6000−15v −24000v⩽6000−2√15v ×24000v=4800，当且仅当15v =24000v，即v =40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元． 18、设y =f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=2x −x 2. （1）求当x <0时，f (x )的解析式；（2）请问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a,b ]时，g (x )=f (x )，且g (x )的值域为[1b ,1a ]？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）当x <0时，f (x )=x 2+2x （2）a =1，b =1+√52分析：（1）根据函数的奇偶性f (x )=−f (−x )，求解解析式即可；（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为a ，b (0<a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.（1）当x <0时，−x >0，于是f (−x )=2(−x )−(−x )2=−2x −x 2. 因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )=−f (−x )=−(−2x −x 2)=2x +x 2，即f (x )=2x +x 2(x <0). （2）假设存在正实数a 、b ，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]，根据题意，g (x )=−x 2+2x (x >0)， 因为g (x )=−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1 ， 则0<1a≤1，得a ≥1.又函数g (x )在[1,+∞)上是减函数，所以{g(a)=1ag(b)=1b ，由此得到：a,b (1≤a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根，解方程求得a =1,b =1+√52所以，存在正实数a =1,b =1+√52，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]。

高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题单选题1、若√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[12,+∞)B ．(−∞,12]C ．[−12,12]D ．R 答案：B分析：根据根式与指数幂的运算性质，化简得到√(2a −1)2=√(1−2a)33，即可求解. 根据根式和指数幂的运算性质，因为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33， 可化为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，即√(2a −1)2=√(1−2a)33， 可得|2a −1|=1−2a ，所以1−2a ≥0，即a ≤12．故选：B.2、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43，所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞). 故选：D.3、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A．a∈(0,1)B．a∈[13,1)C．a∈(0,13]D．a∈[13,2)答案：C分析：根据条件可知f(x)在R上单调递减，从而得出{0<a<1a−2<03a⩽1，解出a的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，因为f(x)={a x,(x<0)(a−2)x+3a,(x≥0)∴{0<a<1a−2<0(a−2)×0+3a⩽a0，解得0<a⩽13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B5、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.6、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A7、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、若实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．0<a <b <1B ．b <a <0C ．1<a <b D ．a =b 答案：ABD解析：根据题目实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,设f (x )=2x +3x ,g (x )=3x +2x ,画出函数图象,逐段分析比较解：因为实数a,b满足2a+3a=3b+2b.设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x由图象可知①当x<0时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即b<a<0,故B正确和②当x=0时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=0,故D正确③当0<x<1时,f(x)>g(x),所以2a+3a=3b+2b,即0<a<b<1,故A正确④当x=1时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=1,故D正确⑤当x>1时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即1<b<a,故C错误.故选：ABD小提示：本题考查指数函数的图象和根据函数值大小比较指数,属于中档题.10、已知a>b>1>c>0，则（）A．1a−c >1b−cB．log c(a−c)>log c(b−c)C．(a−c)c−1<(b−c)c−1D．(1−c)a−c<(1−c)b−c分析：由条件可知a −c >b −c >0，再利用函数的单调性，判断选项. 因为a −c >b −c >0，A ：故1a−c <1b−c ，A 错误；B ：y =log c x 为减函数，故B 错误；C ：幂函数y =x c−1在(0,+∞)上为减函数，故C正确；D ：函数y =(1−c )x 为减函数，故D 正确. 故选：CD11、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0． 故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.12、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD13、下列运算（化简）中正确的有（ ）． A ．(a 16)−1⋅(a−2)−13=a 12B ．(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x C ．[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=3−2√2D ．2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=−52a 73b −23 答案：ABD分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可 对于A ：(a 16)−1⋅(a −2)−13=a −16+23=a12，故A 正确；对于B ：(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x 1a ×a y a−a =4xy 0=4x ，故B 正确； 对于C ：[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=[(√2−1)2]12−1+√2+1=√2−1−(√2−1)+1=1，故C 错误；对于D ：2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=[2×(−5)÷4]a3+23−43b23+13−53=−52a 73b −23，故D 正确；故选：ABD 填空题14、已知5a =2，5b =3，则log 2594=___________（用a ､b 表示）. 答案：b −a ##−a +b分析：根据对数的运算性质可得log 2594=log 53−log 52，再由指对数关系有a =log 52，b =log 53，即可得答案.由log 2594=log 532=log 53−log 52，又5a =2，5b =3，∴a=log52，b=log53，故log2594=b−a.所以答案是：b−a.15、已知函数f(x)是指数函数，且f(2)=9，则f(12)=______．答案：√3分析：依题意设f(x)=a x（a>0且a≠1），根据f(2)=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设f(x)=a x（a>0且a≠1），因为f(2)=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(12)=√3．所以答案是：√316、当x∈[k−12,k+12),k∈Z时，f(x)=k.若函数g(x)=xf(x)−mx−1没有零点，则正实数m的取值范围是___________.答案：[1,43)∪[85,2)分析：将问题转化为函数f(x)与ℎ(x)=1x+m图象的交点问题，结合图象得出正实数m的取值范围. 当x=0时，g(0)=−1≠0当x≠0时，xf(x)−mx−1=0可化为f(x)=1x+m作出函数f(x)与ℎ(x)=1x+m的图象由图可知当x <0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点 必须满足−1≤ℎ(−12)<0，解得1≤m <2当x >0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足1≤ℎ(32)<2或者2≤ℎ(52)<3，解得13≤m <43或85≤m <135综上，m ∈[1,43)∪[85,2) 所以答案是：[1,43)∪[85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题. 解答题17、给出下面两个条件：①函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点；②函数f (x )的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f (x )的解析式确定. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，且______. (1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围. 答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x (2)(−∞,−16] (3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式； 选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围. （1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1， 所以{2a =2a +b =−1，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c .选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x . （2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]，所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16]. （3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意；当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，{�=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞).18、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.（1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．答案：（1）V =12log 3Q 100；（2）2700个单位．分析：（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100， ∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q 100=3⇒Q 100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦(带答案)

高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦单选题1、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B2、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（ ）A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．3答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6.故选；B3、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果. 由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C4、已知f(x)是一次函数，且f(x −1)=3x −5，则f(x)=（ ）A ．3x −2B ．2x +3C ．3x +2D ．2x −3答案：A分析：设一次函数y =ax +b(a ≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y =ax +b(a ≠0)，则f(x −1)=a(x −1)+b =ax −a +b ，由f(x −1)=3x −5得ax −a +b =3x −5，即{a =3b −a =−5 ，解得{a =3b =−2，∴f(x)=3x −2. 故选：A ．5、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可. 设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x−12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B，故选：A6、已知函数f(x)=2x2−6x+3，x∈[−1，2]，则函数的值域是（）A．[−32，11）B．[32，11）C．[ −1，11]D．[−32，11]答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x2−6x+3=2(x−32)2-32,对称轴x=32,当x∈[−1，2],f(x)min=f(32)=−32,又因为f(−1)=11,f(2)=1,∴f(x)max=f(−1)=11,所以函数的值域为[−32，11].故选:D7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、若函数y=√ax2+4x+1的值域为[0,+∞)，则a的取值范围为（）A．(0,4)B．(4,+∞)C．[0,4]D．[4,+∞)答案：C分析：当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据f(x)的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a=0时，y=√4x+1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a≠0，设f(x)=ax2+4x+1，则需f(x)的值域包含[0,+∞)，∴{a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a的取值范围为[0,4].故选：C.多选题9、幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，则以下说法正确的是（）A．m=3B．函数f(x)在(−∞,0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案：ABD分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到f(x)，从而判断可得；解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，所以{m 2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以f(x)=x3，所以f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增；故选：ABD10、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−1,0]上是增函数，则（）A．f(x)的图象关于直线x=1对称B．f(x)在[0,1]上是增函数C．f(x)在[1,2]上是减函数D．f(2)=f(0)答案：AD分析：由题可得分析可得f(x+1)=f(1−x)，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 因为f(x+1)=−f(x)，f(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(−x +1)=f(x)，即f(x +1)=f(1−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故A 正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上是减函数，故B 错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)在[1,2]上是增函数，故C 错误；由f(x +1)=f(1−x)，可得f(2)=f(0)，故D 正确.故选：AD.11、设α∈{−1,1,12,3}，则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有（ ） A ．−1B ．1C ．3D ．12 答案：BC分析：根据α的取值，结合幂函数的性质，判断选项.α=−1时，y =x −1的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，不正确；α=1时，函数y =x 的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=3是，函数y =x 3的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=12时，函数y =x 12的定义域是[0,+∞)，不正确.故选：BC填空题12、若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________． 答案：2分析：根据f (x )= f (-x )，简单计算可得结果.∵f (x )为偶函数，∴对于任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即(m －1)(－x )2＋(m －2)(－x )＋(m 2－7m ＋12)＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)， ∴2(m －2)x ＝0对任意实数x 均成立，∴m ＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞),（2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞),（3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).14、若函数f(x)=(2m−1)x m是幂函数，则实数m=______.答案：1分析：根据幂函数定义列方程求解可得.因为f(x)=(2m−1)x m是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1. 所以答案是：1解答题15、已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3,5].（1）判断函数f(x)的单调性，并证明；（2）求函数f(x)的值域.答案：（1）单调递增，证明见解析；（2）[25,4 7 ]分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f(x)在区间[3,5]上的单调性；（2）根据函数f(x)在区间[3,5]上的单调性即可求其值域.（1）f(x)=x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2在区间[3,5]上单调递增，证明如下：任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)−f(x2)=(1−3x1+2)−(1−3x2+2)=3x2+2−3x1+2=3(x1+2)−3(x2+2) (x1+2)(x2+2)=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1−x2<0，x1+2>0，x2+2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[3,5]上单调递增.（2）由（1）知：f(x)在区间[3,5]上单调递增，所以f(x)min=f(3)=3−13+2=25，f(x)max=f(5)=5−15+2=47，所以函数f(x)的值域是[25,4 7 ].。

高中数学80个易错题汇总

高中数学80个易错题汇总

高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知A = {x | x > 0}, B = {y y > 1}，求A B 。

错解：A B =Φ剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

正确结果：A B =B【问题】2: 已知A = {y | y =x + 2}, B = {(x, y) | x 2 +y 2 = 4} ，求A B 。

错解： A B = {(0, 2), (-2, 0)}正确答案：A B =Φ剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知A = {x | 2a <x <a 2}, B = {x | -2 <x < 1} ，且A ⊆B ，求a 的取值范围。

错解：[-1，0）剖析：忽视A =∅的情况。

正确答案：[-1，2]反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合A ⊆B 就有可能忽视了A =∅，导致解题结果错误。

尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。

考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{ a + 2 , (a +1)2 , a2 + 3a +3 }，求实数a 的值。

错解：a =-2, -1, 0剖析：忽视元素的互异性，其实当a =-2 时，(a +1)2 = a2 + 3a + 3 =1；当a =-1时，a + 2 = a2 + 3a + 3 =1；均不符合题意。

正确答案：a = 0反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦

高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦

(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若a>0，b>0，则下面结论正确的有（）A．2(a2+b2)≤(a+b)2B．若1a +4b=2，则a+b≥92C．若ab+b2=2，则a+b≥4D．若a+b=1，则ab有最大值12答案：B分析：对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可. 对于选项A：若a>0，b>0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a +b =2b，如b =2时，a +b =22=1<4，所以选项C 不正确；对于选项D ：ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B2、若对任意x >0,a ≥2xx 2+x+1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[−1,+∞)B ．[3,+∞)C ．[23,+∞)D ．(−∞,1]答案：C分析：依题意a ≥(2xx 2+x+1)max，利用基本不等式求出2xx 2+x+1的最大值，即可得解；解：因为x >0，所以2x x 2+x+1=2x+1x+1≤2√x⋅1x+1=23，当且仅当x =1x 即x =1时取等号，因为a ≥2xx 2+x+1恒成立，所以a ≥23，即a ∈[23,+∞)； 故选：C3、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)，故选：D4、已知集合M ={x |−4<x <2 }，N ={x |x 2−x −6 <0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x < 3}B ．{x |−4<x < −2}C ．{x |−2<x < 2}D ．{x |2<x < 3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2 },N ={x |−2<x <3 }，则 M ∩N ={x |−2<x <2 }．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 5、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95 答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1 =(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立. 故选：B .6、下列命题正确的是（ ）A ．若ac >bc ，则a >bB ．若ac =bc ，则a =bC ．若a >b ，则1a<1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误； 对于C ，当a >0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.7、设实数x 满足x >0，函数y =2+3x +4x+1的最小值为（ ）A ．4√3−1B ．4√3+2C ．4√2+1D ．6 答案：A解析：将函数变形为y =3(x +1)+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案. 解：由题意x >0，所以x +1>0，所以y =2+3x +4x+1=2+3(x +1)−3+4x+1=3(x +1)+4x+1−1≥2√3(x +1)⋅4x+1−1=4√3−1，当且仅当3(x +1)=4x+1，即x =2√33−1>0时等号成立，所以函数y =2+3x +4x+1的最小值为4√3−1.故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8、已知正实数a ，b 满足a +1b=2，则2ab +1a的最小值是（ ）A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1答案：A分析：由已知得， a =2−1b代入得2ab +1a=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案.解：因为a +1b =2，所以a =2−1b >0，所以0<b <2 ， 所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a=2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A.9、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A10、已知函数y =ax 2+2bx −c(a >0)的图象与x 轴交于A (2,0)、B (6,0)两点，则不等式cx 2+2bx −a <0 的解集为（ ）A ．(−6,−2)B ．(−∞,16)∪(12,+∞) C ．(−12,−16)D ．(−∞,−12)∪(−16,+∞)答案：D解析：利用函数图象与x 的交点，可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6，再利用根与系数的关系，转化为b =−4a ，c =−12a ，最后代入不等式cx 2+2bx −a <0，求解集. 由条件可知ax 2+2bx −c =0(a >0)的两个根分别为x 1=2或x 2=6， 则2+6=−2ba，2×6=−ca ，得b =−4a ，c =−12a ，∴cx 2+2bx −a <0⇔−12ax 2−8ax −a <0， 整理为：12x 2+8x +1>0⇔(2x +1)(6x +1)>0，解得：x >−16或x <−12，所以不等式的解集是(−∞,−12)∪(−16,+∞). 故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示b =−4a ，c =−12a ，再代入不等式cx 2+2bx −a <0化简后就容易求解. 填空题11、若不等式ax 2+ax +a +3≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是______. 答案：{a |a ≥0 }分析：分a =0和a ≠0两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 当a =0时，不等式为3>0，满足题意；当a ≠0，需满足{a >0Δ=a 2−4a (a +3)≤0 ，解得a >0， 综上可得，a 的取值范围为{a |a ≥0 }， 所以答案是：{a |a ≥0 }.12、已知a ，b ∈R ，且a >b2>0，则a 2+1(2a−b)b 的最小值是 _____． 答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论. ∵a >b2>0， ∴a 2+1(2a−b)b ≥a 2+1(2a−b+b 2)2=a 2+1a 2≥2 ，当且仅当a ＝1＝b 时取等号，其最小值是2， 所以答案是：2．13、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x−0.5×4)(32x −0.5×2)=34−x−64x≤34−2√x⋅64x=18，当且仅当x=64x即x=8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m2.所以答案是：614、已知x>0，则2x+42x+1的最小值为__________.答案：3分析：将原式变形为2x+1+42x+1−1，然后利用基本不等式求最小值.解：2x+42x+1=2x+1+42x+1−1≥2√(2x+1)⋅42x+1−1=3，当且仅当2x+1=2，即x=12时，等号成立.所以答案是：3.15、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，则不等式cx2+bx+a<0的解集为___________.答案：{x|x>12或x<14}分析：先由不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，判断出b=-6a,c=8a,把cx2+bx+a<0化为8x2−6x+1> 0，即可解得.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,4)，所以a<0且2和4是ax2+bx+c=0的两根.所以{2+4=−ba2×4=ca可得：{b=−6ac=8a，所以cx2+bx+a<0可化为：8ax2−6ax+a<0，因为a<0，所以8ax2−6ax+a<0可化为8x2−6x+1>0，即(2x−1)(4x−1)>0，解得：x>12或x<14，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为{x|x>12或x<14}.所以答案是：{x|x>12或x<14}.16、已知实数x≥y>0,z>0，则2x+3y+4z2x+y +2xy+2z的最小值为_________．答案：4√33+1分析：依题意可得2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)，利用基本不等式及x与y的关系计算可得；解：因为x≥y>0,z>0，所以2x+3y+4z2x+y +2xy+2z=2x+y+2(y+2z)2x+y+2xy+2z=1+2(y+2z2x+y+xy+2z)≥1+2×2√y+2z2x+y⋅xy+2z=1+4√x2x+y=1+4√12+yx因为x≥y>0，所以yx≤1，所以原式≥1+4√12+1=1+43√3，当且仅当x=y=(√3+1)z时取等号．所以答案是：4√33+117、二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则1a +1c的最小值为______．答案：1分析：根据题意可得ac=4，利用基本不等式即可求解. 由二次函数y=ax2+4x+c的最小值为0，则42−4ac=0，解得ac=4，所以1a +1c≥2√1a⋅1c=2√14=1，当且仅当a=c时取等号，所以答案是：118、设x1、x2、x3、y1、y2、y3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x1y1+x2y2+x3y3，x1y1+ x2y3+x3y2，x1y2+x2y3+x3y1，x1y2+x2y1+x3y3，x1y3+x2y2+x3y1，x1y3+x2y1+x3y2，能同时取到150的代数式最多有________个．答案：2分析：由作差法比较大小后判断不妨设x1<x2<x3，y1<y2<y3，记x1y1+x2y2+x3y3为①式，x1y1+x2y3+x3y2为②式，以此类推，由①−②=x2y2+x3y3−x2y3−x3y2=(x2−x3)(y2−y3)>0，故①>②，②−③=x1y1+x3y2−x1y2−x3y1=(x1−x3)(y1−y2)>0，故②>③，①−④=x1y1+x2y2−x1y2−x2y1=(x1−x2)(y1−y2)>0，故①>④，同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x1y1+x2y3+x3y2=x1y2+x2y1+x3y3=150，得其一组解为{x1=−1x2=0x3=1，{y1=2y2=152y3=302所以答案是：219、已知x,y为正实数，则yx +16x2x+y的最小值为__________．答案：6分析：将原式变形为yx +162+yx，结合基本不等式即可求得最值.由题得yx +16x2x+y=yx+162+yx，设yx =t(t>0)，则f(t)=t+162+t=t+2+162+t−2≥2√(t+2)⋅162+t−2=8−2=6.当且仅当t=2时取等.所以yx +16x2x+y的最小值为6.所以答案是：620、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤40解答题21、解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R)．答案：详见解析.分析：分类讨论a，求不等式的解集即可.原不等式变形为ax2+(a−2)x−2≥0．①当a=0时，x≤−1；②当a≠0时，不等式即为(ax−2)(x+1)≥0，当a>0时，x≥2a或x≤−1；由于2a −(−1)=a+2a，于是当−2<a<0时，2a≤x≤−1；当a=−2时，x=−1；当a<−2时，−1≤x≤2a．综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,+∞)；当−2<a<0时，不等式的解集为[2a,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为[−1,2a]．22、运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.答案：(1) y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2) 当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.分析：（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.(1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×(2+x 2360)＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100] (或y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26√10，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝18√10时等号成立.故当x ＝18√10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26√10元.小提示：本题考查函数解析式以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.。

(完整版)高中数学易错题(含答案)

(完整版)高中数学易错题(含答案)

高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数学易错题1.已知全集U R =，集合{}|11A x x =-<，25|11x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则()U A B ⋂=（ ）A ．{}12x x <<B ．{}12x x <≤C ．{}12x x ≤<D ．{}14x x ≤<2.已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是（ ）A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-3.已知下列命题:①不等式()()120x x --<的解集为：{1x x <或}2x >；②不等式102x x -≤+的解集为：{}21x x -≤≤； ③不等式()()2110x x x +-<的解集为：{}11x x -<<；④若不等式()()224240m x m x -+-+>对任意x 都成立，则22m -<≤；⑤若()0,x π∈，则函数2sin sin y x x =+≥=y ∴的最小值为正确的有_____________.（将你认为正确的命题的序号填在横线上） 4.（1）解关于x 不等式2111x x-≤- （2）若函数()f x =R ，求实数k 的取值范围．5.(1)求不等式22(23)(44)032x x x x x +-+≤+-的解集； (2)解关于x 的不等式222()ax x ax a R -≥-∈.6.若不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<．（1）试求a b ，的值；（2）求不等式101ax bx +>-的解集．1.解关于x 的不等式22(2)10ax a x +--≤2.若2(1)(1)3(1)0m x m x m +-++-<对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.3.不等式2210x mx -->对一切13x ≤≤都成立，求实数m 的取值范围.1.1导数的概念1.求函数sin y x =在0到6π之间和3π到2π之间的平均变化率，并比较它们的大小．2.. )(x f 函数为R 上可导函数，1)0(=f 且 xy y f x f y x f R y x 3)()()(,,++=+∈∀求)(/x f .3.已知曲线4y x =在点()1,4处的切线与直线l 平行，且与l 的距离等于√17，求直线l 的方程.4.已知函数()y f x =在点)处的切线方程为1y kx =-，则f '=______5.已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+=_______.6.在抛物线2x y =上依次取()()1,1,3,9M N 两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.导数的运算法则1.利用导数公式及运算法则求函数的导数32x y e x =-⋅ln 21x x y x =-+2ln xy x =2.设函数()()()()23f x x x k x k x k =++-，且()06f '=，则k=（ ） A ．0 B ．-1 C ．3 D ．-63.已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋2π，则f '()2π等于( ) A ．－1＋2π B ．2π＋1 C ．1D ．－1 4.函数cos sin x xy x x -=+在点x ＝2处的导数是___________导数的应用—利用导数解决切线问题1.求曲线x x y 3⋅=在点)3,1(P 处的切线方程．2.求过点)3,2(P 且与曲线323+-=x x y 相切的直线方程.3.已知定义在正实数集上的函数b x x g x x x f +=+=ln 3)(,221)(2有公共点，且在公共点处的切线相同，求b 的值；4.若实数a b c d ,,,满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为A ．3B ．4C ．5D ．65.若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ）A ．()22x f x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+ D ．()32f x x x =-- 6.若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．7.设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．8.若直线y ax b =+与曲线ln 1y x =+相切，则ab 的最大值为________.复合函数的导数1.设函数f(x)=1/2sin2x+sinx ，则f'(x)是（ ）A ．仅有最小值的奇函数B ．仅有最大值的偶函数C ．既有最大值又有最小值的偶函数D ．非奇非偶函数 2.已知y ＝，则y ′＝________． 3.．若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则123452345a a a a a -+-+-678678a a a +-=_______.（用数字作答）.变式:1245245a a a a --+-678678a a a +-=_______.（用数字作答）.导数在研究函数中的应用1.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是 ．2.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ．3.函数()sin 2cos x f x x=+的单调递增区间是 ． 4.若函数()()b f x x b R x =+∈的导函数在区间()1,2上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是A ．()2,0-B ． ()0,1C ．()1,+∞D ．(),2-∞-5.已知函数()ln x x k f x e+=（k 为常数，e 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．6.已知函数)ln 2(2)(x a x x x f -+-= (0>a ),讨论)(x f 函数的单调性．7.已知函数()(1)x a f x e x=+，其中∈a R ，讨论函数)(x f 的单调性．8.设0>a ，讨论函数),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调性．9.已知函数()1x f x e ax =--，求f (x )的单调增区间．10.已知函数xa x x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R ． （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围．11.已知函数()()()222ln 220f x x a x x ax a a a =-++--+>，设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性.12.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．13.若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 A ．[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 14.已知函数2()2ln f x x ax x =-+若函数()y f x =在定义域上单调递增，则实数a的取值范围为 ．15.若函数3211()232f x x x ax =-++在(2/3，+∝)上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 ．16.已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在区间[],1t t +上不单调，则实数t 的范围是 ．17.若函数2()x f x e kx =-，x R ∈.若()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则k 的范围是 ． 18.若函数2()x f x x e ax =--在上R 存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是 ．19.已知函数22()lnf x x a x ax=-+()a R∈．若函数()f x在区间[)1,+∞上是减函数，则实数a的取值范围为．20.已知函数．2()lnf x x a x=+(1)当时2a=-，求函数()f x的单调递减区间；(2)若函数2()()g x f xx=+在[)1,+∞上单调，求实数a的取值范围．21.已知函数．()ln 3f x a x ax =--()a R ∈(1)求()f x 函数的单调区间；(2)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[]1,2t ∈，函数()32()2m g x x x f x ⎡⎤'=+⋅+⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围.。

相关文档
最新文档