上海交通大学 矩阵理论 课件20110922
矩阵理论课件-第二章 矩阵的分解
故xH AH Ax=xH x= 2 xH x，因为AH A=I，所以 2 =1.
(因为xH x= x 2 0)
:由条件UHAU=diag{1, , n}共轭转秩得UHAHU=
diag{1,
, n}，所以UHAAT U=diag{ 1 2 ,
,
n
2
}=I
，
n
所以AAT =In .
注1：设A Cnn ,则
Cmr r
,
C
Ir
D
Crn r
.
下设A的前r个列向量线性相关,只需先做列变换，变成
线性无关，
因此存在P
Cmmm，Q
Cnn n
,
满足
PAQ=
Ir 0
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
Q-1
=P-1
Ir 0
I
r
=BC
D Q-1
其中B=P-1
Ir 0
Cmr r
,C
Ir
D
讨论知AH x1, , AH xp为AH A属于i 0的特征向量，只要证明
AH x1, , AH xp线性无关，就证明了AAH的p重特征值也是AH A 的p重特征值.
下证AH x1, , AH xp线性无关.
设k1AH x1
k p AH xp 0.则( AH x1,
,
AH
xp
)
k1
0
kp
H
=
1 2
11，可知|I-A|无重根，
A为单纯矩阵，但AAH AH A.
推论1：A为正规矩阵,当且仅当A有n个特征向量构成Cn的一组 标基，且A的不同特征值的特征向量正交.
推论2：设A R nn ,则
上海交通大学 矩阵理论 课件20110915
1
特征值
n阶复矩阵A可相似对角化（可对角化）：存在对角矩阵D = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn )与 可逆矩阵P = (α1 , α2 , · · · , αn )使得A = P DP −1 ，则称A与D相似。 λi ：特征值或特征根（本征值） αi ：特征向量 |λI − A|：特征多项式
• 矩阵A的迹等于其所有特征值的和； • 设f (x)为任意多项式，λ是A的一个特征值，α是属于特征值λ的特征向量， 则f (λ)是f (A)的一个特征值，α 是属于f (λ)的特征向量； • 设A可逆且特征多项式为|λI − A|，则其逆矩阵的特征多项式为|λI − A−1 | = s −1 ni −1 i=1 (λ − λi ) ，且若α是A的属于特征值λ的特征向量，则α也是A 的属 −1 于特征值 λ 的特征向量； • 任何特征值的几何重数不超过其代数重数； • 相似矩阵具有相同的特征多项式（因此具有相同的特征值）。
2
• n维线性空间中任意n个线性无关向量均构成一组基，且任何一组基恰 含n个向量； • n维线性空间中任意r个线性无关向量均能扩充成一组基。
3.4
过渡矩阵
n维线性空间V 中两组基α1 , α2 , · · · , αn 和β1 , β2 , · · · , βn ，分别称为α−基和β −基。 它们满足 β1 = p11 α1 + p21 α2 + · · · + pn1 αn , β2 = p12 α1 + p22 α2 + · · · + pn2 αn , . . .βn = p1n α1 + p2n α2 + · · · + pnn αn , 或用矩阵形式表达为 (β1 , β2 , · · · , βn ) = (α1 , α2 , · · · , αn )P. 矩阵P 称为由α−基到β −基的过渡矩阵。 设γ ∈ V 在α−基和β −基下的坐标分别为x = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和y = (y1 , y2 , · · · , yn )T 。 则 x1 y1 y1 x1 x2 y2 y2 x2 . . =P. , = P −1 . . . . . . . . . xn yn yn xn 这个公式称为坐标Vλ ：矩阵A的特征值λ的特征子空间，其维数称为特征 值λ的几何重数。 设σ (A)（所有特征值的集合）= {λ1 , λ2 , · · · , λs }，且|λI − A| = s i=1 (λ − λi )ni ，则称正整数ni 为特征值λi 的代数重数。
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵理论矩阵的标准型ppt课件
–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
矩阵理论复习总结 PPT课件
1.几种常用的矩阵范数
A (aij ) Cnn ,
n
A
1
max
1 jn
i1
|
aij
|;
nn
1
n
A
max
1in
| aij
j 1
|;
1
A ( F
| aij2 |)2 (tr( AH A))2 .
i1 j1
UA A AU .
F
F
F
三、向量与矩阵的极限
2.线性空间v中有限个向量的线性相关性.
3.线性空间的基与维数.
dim(V ) n.
4. 基变换公式.
(1,2, ,n ) (1,2, ,n )P.
X PY.
5.子空间:对加法封闭，对数乘封闭.
L(1,2, ,s ) span1,2, ,s;
A (aij ) Rmn,
1,2, ,n ,
(1)
A Pdiag(1,2 , ,n )P1
(1,2 ,
,n )diag(1,2,
,n )
1T
T 2
T n
111T
2
2
T 2
n
n
T n
1G 12G 2 nGn
k
(2) A i Ai i 1
3.正交补空间
V1 V2 , V1 V2 V
4.内积空间的同构.
(x y) (x) ( y); (x) (x); ( (x), ( y)) (x, y).
上海交通大学研究生(非数学专业)数学基础课程《矩阵理论》教学大纲.doc
上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南）一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系2．课程代码：3．课程名称：矩阵理论4．学时/学分：51学时/3学分5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章矩阵代数（复习，2）1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
沪教版(上海)高二上学期数学 9.1-9.2矩阵的概念 矩阵的运算 课件(共38张ppt)
１ 矩阵的定义
由 个数 排成的 行 列的数表
称为一个 行 列矩阵或
矩阵. 记为 或
称为矩阵的第i行j列的元素.
元素为实数的称为实矩阵, 元素为复数的称为复矩阵.
2. 几种特殊矩阵
零矩阵: 元素全为零的 矩阵，记为:O或 行矩阵: 只有一行的矩阵。
列矩阵: 只有一列的矩阵。
方阵: 行数列数皆相等的矩阵。 上三角方阵:
非零元素只可能在主对角线及其上方。
下三角方阵: 非零元素只可能在主对角线及其下方. 对角方阵:
数量矩阵: 单位方阵: 主对角线上全为1的对角方阵.
3. 矩阵的运算
同型矩阵: 行数和列数均相等的矩阵.
矩阵相等: 如果两个矩阵 阵,且各对应元素也相同,即
是同型矩
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
例8
注：此题若不先化简给出的矩阵方程，而直接求
以及 及
，再求
及
就麻烦多了. 因此，在求解矩阵方程时，一定要注
意先化简方程.
例9
回章目录
第二章 自测题
一、填空题(8分/题)
1) 为3阶方阵,已知
则
.
3) 已知 则
二. 证明题 (26分)
自测题答案
一. 1) 3, 1/3, 9, 3) 0;
一个
矩阵，称为 的转置矩阵，记作
转置矩阵的运算性质
对称阵: 设 为 阶方阵，如果满足
，即.
则 称为对称阵.
反对称阵: 伴随方阵: 设 是行列式
中元素 的代数
余子式,称方阵 为方阵 的伴随方阵.
4. 方阵的行列式
由 阶方阵 的各元素按原位置排列构成的 行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或 运算性质
上海交通大学 矩阵理论 课件20110922
子空间：直和与空间分解1子空间子空间U：线性空间V的子集且本身也是线性空间（关于V的加法和数乘）。
任何非零线性空间都至少有两个子空间，即零子空间{0}与它自身，称为平凡自空间。
其余的子空间称为真子空间。
判别准则：一个非空子集是子空间当且仅当它关于加法和数乘封闭。
子空间性质：•传递性；•任意多个子空间的交集仍是子空间；•但子空间的并集并不是自空间，代替的概念是：子空间的和（包含U和W的最小的子空间，记为U+W）。
设V是线性空间，S⊂V，称V的包含S的最小子空间为由S生成（或张成）的子空间，记为spanS，S称为spanS的生成元素。
2维数定理设V是线性空间，U与W是V的两个子空间，则dim(U+W)=(dimU+dimW)−dim(UW).3直和直和UW：当UW=0时，U+W是直和，记为UW。
13.1直和的判定设U 与W 是线性空间V 的两个子空间，则下列命题等价：•U +W 是直和；•对任意α∈U +W ，分解式α=u +w ，其中u ∈U,w ∈W 是唯一的；•零向量的分解式唯一，即若0=u +w,u ∈U,w ∈W ，则u =w =0；•dim (U +W )=dimU +dimW 。
3.2补子空间U 的补子空间：V 是线性空间，U 是V 的一个子空间，存在另一个子空间W ，使得V =U W 。
W 称为U 的补子空间。
补子空间不唯一。
4矩阵的四个子空间对于m ×n 阶矩阵A :•A 的零空间N (A )；•A 的列空间R (A )；•A 的行空间R (A T )；•A 的左零空间N (A T )。
dimN (A )+dimR (A T )=n ;dimN (A T )+dimR (A )=m.2。
矩阵理论课程介绍.ppt
、数乘.
轾犏犏犏犏犏犏犏臌xxxMn21
每个分量是实 数
处理器：m xn矩阵 骣 çççççççç桫aamM111
L M L
a1n M
am 3
÷÷÷÷÷÷÷÷÷
每个分量是实 数
本科线性代数
研究：由n维实矢量组成的欧式空间和其上的变换/映 射。
矩阵理论
处理对象：线性空间（欧式空间、多项式、函数、实 数、复数、矩阵等）
主要内容
矩阵理论和本科线性代数有什么区别？ 为什么电气工程（EE）需要矩阵理论？ 课程安排 本科线性代数的回顾
本科线性代数
处理系统(DSP/控制器/电路)
轾犏x 1 犏犏x 2 犏犏M 犏犏臌x n
骣 çççççççç桫aamM111
L M L
a1n M
am 3
÷÷÷÷÷÷÷÷÷
轾犏犏犏犏犏犏犏臌yyyMn21
输入
输出
将向量理解为被处理的对象
例如：信号、控制量/被控制量、参数向量等
将矩阵理解为处理装置
例如：数字信号处理器、线性控制器、图像降噪算法、线 性电路等
矩阵有多少列，输入就有多少分量，矩阵有多少行， 输出就有多少分量。
本科线性代数
处理对象：n维向量（欧式空间中），代数运算：加
参考书籍
教材：刘西奎，矩阵分 析讲义，2006.
参考书：
刘丁酉. 矩阵分析. 武汉大 学出版社, 武汉, 2003.
董增福. 矩阵分析教程. 哈 尔滨工业大学出版社. 哈 尔滨, 2005.
张明淳. 工程矩阵理论. 东 南大学出版社. 1999。
参考书籍
David, C. Lay. Linear Algebra and Its Applications (3rd). 电子工业出版社. 2004 (中文版、英文版)
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
线性代数 第2章 矩阵理论基础 第2节PPT课件
a a3 23 3a13 a a3 21 1
a22 a32
-6-
a 11
计算下三角行列式 a 21 a 22
a1a 12 2ann
a n1 a n 2 a nn
注意思考！
d1 d1
n(n1)
(1) 2 d1d2 dn
dn dn
-7-
行列式的性质
性质1 行列式按任意一行展开，其值相等。
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA i n , ( n i 1 , 2 , , n )
推论1 如果行列式有一行为零，则行列式等于零。 例如
000 0
-8-
性质2 互换行列式的两行,行列式变号。
例如
175 175 6 6 2 3 5 8, 358 662
1 2 32
2
2
r2 r1 1 1 1 3
1 1 1 3
r 3 2 r 1 1 0 0 1 4 r2 r4 1 0 1 4 1
r4 r1 2 0 3 4 2
2 0 3 4 2
0 1 4 1
00 1 4
-16-
1 1 1 3
1 1 1 3
0 2
4
1 1 0 2 r42r1 0 1 1 2
2 1 10
0 5 3 8
1 2 1 4
r2 r3 0 0
1 1 2 1 1 2
0 5 3 8
-14-
1 2 1 4
1 2 1 4
0 1 1 2 r3 r2 0 1 1
2
0 1 1 2 r45r2 0 0 2 4
0 5 3 8
0 0 8 18
推论3 AnA, 是一个数。
推论4 行列式中如果有两行元素成比例，则此行
第四章 矩阵的标准型 矩阵理论课件
最后，根据 J j ( i ) 的结构，设
p ij (p i(1 j),p i(2 j), ,p i(n jij))
由 A pij pijJj( i)，可知
(
A
i
I
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p
( i
2 j
)
p
( i
1 j
)
(
A
iI
)
p ( ni ij
j
)
p ( ni j 1) ij
解这个方程组，可得到Jordan链
求下列状态方程的约当标准型：
0 1 0 0 xAxBu0 0 1x0u.
2 3 0 1
|IA | 3 0 2 3 2 .
故矩阵 A 称为特征多项式 | I A| 的友矩阵。
解： A
的特征值为 `12, `2`31，故设
JA
A1(2)
A2(1)
因为特征值 `1 2 为单根，所以 A1(2) 2
i 1
Ji(i)
i
, i 1,2, ,s 1
i mimi
为 m i 阶Jordan 块。
定理 2 设 ACnn。如果 A 的特征多项式可
分解因式为 () ( 1 ) m 1 (s ) m s
( m 1 m 2 m s n )
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J (不计Jordan块的排列次序)，即存在可逆矩阵(称为
并从 (A2I)x解得对应的特征向量为
1 (1,2,4)T
对于二重特征值 `2,3 1 ，由 (AI)x
只解得唯一的特征向量为
2 (1,1,1)T
上海交通大学 矩阵理论 课件20110920
1
内积空间
内积空间V ：线性空间+内积。 内积：对线性空间V 中的任意两个向量α, β ，定义实数域或复数域F中的一个 数(α, β )， 称为内积。需要满足以下三点： • 共轭对称性：(α, β ) = (β, α)； • 正定性：(α, α) ≥ 0，且等号成立的充要条件是α = 0； • 双线性：(aα + bβ, γ ) = a(α, γ ) + b(β, γ )。
3
3.1
内积与矩阵
酉矩阵
酉矩阵Q：Q = (α1 , α2 , · · · , αn )中列向量是V = Rn 或V = Cn 的一组 标准正交 基。实的酉矩阵称为正交矩阵。 矩阵Q是酉矩阵⇔QQ∗ = I 。 实矩阵Q是正交矩阵⇔ QQT = I ⇔ Q−1 = QT 。 利用正交矩阵就可以将实对称矩阵对角化。
3.3
内积与正定矩阵
基α1 , α2 , · · · , αn 的度量矩阵或Gram矩阵：A = (aij )，其中aij = (αi , αj )。 设V 是n维复线性空间，则其上的内积与正定矩阵意义对应。（通过正定Hermite矩 阵可以定义内积，而从已有内积中也 可以得到相应的Hermite矩阵）。 任意n阶复矩阵A = (aij )，称y ∗ Ax =
3.2
Hermite矩 阵
Hermite矩阵：复共轭对称矩阵，即满足A = A∗ 。 Hermite矩阵的特征值均为实数，且不同特征值的特征向量彼此正交。 Hermite矩阵A可以酉对角化，即存在酉矩阵U 使得U ∗ AU = D是对角矩阵。 特别地，实对称矩阵 可以正交对角化。 （复）Hermite二次型（简称二次型）：关于未定元x = (x1 , · · · , xn )T 的复系 n ¯i xj ，其中aij = a¯ 数二次多项式f (x) = ji 。存在唯一的n阶Hermite矩 i,j =1 aij x ∗ 阵A = (aij )使得f = x Ax，该矩阵A称为二次型的矩阵。 正定二次型、正定矩阵：设f (x) = x∗ Ax是复二次型，A是Hermite矩阵，若 对任意非零向量α ∈ Cn ， 均有f (α) = α∗ Aα > 0，则称f (x)是正定二次型，A是 正定矩阵。 设A是n阶Hermite矩阵，则下列条件等价： • A是正定的； • f (x) = x∗ Ax是正定二次型； • A的特征值均为正实数； • 存在m × n阶列满秩矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵P ，使得P ∗ AP = I （即A与I 合同）。 2
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子空间：直和与空间分解
1子空间
子空间U：线性空间V的子集且本身也是线性空间（关于V的加法和数乘）。
任何非零线性空间都至少有两个子空间，即零子空间{0}与它自身，称为平凡自空间。
其余的子空间称为真子空间。
判别准则：一个非空子集是子空间当且仅当它关于加法和数乘封闭。
子空间性质：
•传递性；
•任意多个子空间的交集仍是子空间；
•但子空间的并集并不是自空间，代替的概念是：子空间的和（包含U和W的最小的子空间，记为U+W）。
设V是线性空间，S⊂V，称V的包含S的最小子空间为由S生成（或张成）的子空间，记为spanS，S称为spanS的生成元素。
2维数定理
设V是线性空间，U与W是V的两个子空间，则
dim(U+W)=(dimU+dimW)−dim(U
W).
3直和
直和U
W：当U
W=0时，U+W是直和，记为U
W。
1
3.1直和的判定
设U 与W 是线性空间V 的两个子空间，则下列命题等价：
•U +W 是直和；
•对任意α∈U +W ，分解式α=u +w ，其中u ∈U,w ∈W 是唯一的；•零向量的分解式唯一，即若0=u +w,u ∈U,w ∈W ，则u =w =0；•dim (U +W )=dimU +dimW 。
3.2补子空间
U 的补子空间：V 是线性空间，U 是V 的一个子空间，存在另一个子空间W ，使得V =U W 。
W 称为U 的补子空间。
补子空间不唯一。
4矩阵的四个子空间
对于m ×n 阶矩阵A :
•A 的零空间N (A )；
•A 的列空间R (A )；
•A 的行空间R (A T )；
•A 的左零空间N (A T )。
dimN (A )+dimR (A T )=n ;dimN (A T )+dimR (A )=m.
2。