矩阵理论内积空间

第二章 内积空间
本章将在抽象的线性空间中引进内积运 算，导出内积空间，并讨论正交变换与 正交矩阵及对称变换与对称矩阵，最后 将实二次型推广为复二次型，介绍 Hermite二次型.
2.1 内积空间的概念
三维立体空间 R3 中向量的数量积具有以下的代数性质：
(1) 对称性 ( , ) ( , ) ; (2) 可加性 ( , ) ( , ) ( , ) ; (3) 齐次性 (k , ) k ( , ) ,k R ; (4) 非负性 ( , ) 0当, 且仅当 0 时, ( , ) 0
证明 设i Wi (i 1 , 2 , s 且, ) 1 2 s O 分别用 i 在上式两边作内积，得 (i ,i ) 0 从而有 i O ( i 1 , 2 , s, ) 即 W1 W2 Ws 是直和.
定义 2.5 设W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间， 若W1 W2 ，且W1 W2 V ， 则称W1 与W2 互为正交补，记作W1 W2 或W1 W2 V .
1
(1 2
,
1 2
,1, 0)T;
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2 , 2 )
2
(
1 3
,
1 3
,
1 3
, 1)T ;
4
4
(4 , 1 ) (1, 1)
1
(4 , 2 ) (2 , 2 )
2
(4 , 3 ) (3 , 3 )
3
Fra Baidu bibliotek
(1, 1, 1,1)T
再单位化，令
1
1
1
1 (
依此进行下去，一般有
i
i
( i (1
,1 , 1
))1
( (
i , 2 ,
2
2))2
这样得到 V 的一个正交基。 再将其单位化，令
(i ,i 1 i( 1 i,
1
) i) 1
(i 2 , 3 ,
n,
)
i
1
i
i
(i 1, 2,
, n)
则可得 V 的一组标准正交基 1 , 2 , , n .
(1,1) 1
2
1
1
0
故向量 x 与 y 在 ( R2 )1 中正交,在 (R2 )2 中不正交.
由此例说明，两元素正交与否，由所在空间的内积确定.
此外，在欧氏空间 V 中也有勾股定理， 即当 x y 时,有 x y 2 x 2 y 2 ， 将其推广至多个元素的情形， 即当1,2 , ,m 两两正交时，有
例 2.1 在 R4 中,将基1 (1,1, 0, 0)T ,2 (1, 0,1, 0)T ,3 (1, 0, 0,1)T , 4 (1, 1, 1,1)T 用 Schmidt 正交化方法化为标准正交基.
解 先正交化
令 1 1 (1,1, 0, 0)T;
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
(2)
当
O 时,
1
1, 即
1
是一个单位向量.
得单位向量的过程叫做把非零向量 单位化.
定理 1.1 ( Cauchy Schwarz 不等式) 设 V 是欧氏空间，则对 , V ,不等式
( , )
均成立，当且仅当 与 线性相关时，等号成立.
证明 当 与 至少有一个是零元素时，结论显然成立.
arccos ( x, y)
xy
为 x 与 y 的夹角，记作 x, y ,即 x, y arccos ( x, y) , ( x, y [0, ] ) .
xy
例 1.3 试证明欧氏空间 V 中成立三角不等式
x y x y ,x, y V . 证明 因为 x y2 ( x y, x )y
现在设, 均为非零元素，则
( ( , ) ,
(
,
)) ( ,
( ,
)
)2
0
( , )
( , )
( , )
因此有 ( , )2 ( , ) ( , )
即
( , )
而且当且仅当 ( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
为欧几里得 (Euclid ) 空间，简称为欧氏空间.
例 1.1 在 n 维向量空间 Rn 中,任意两个向量
(1 ,2 , ,n )T , (1, 2 , , n )T ，
n
若规定 ( , ) 11 22 nn k k ， k 1
则容易验证,这样确定的实数符合内积的定义，是 Rn 中向量 和 的内积.
有了数量积,向量的长度与夹角可表示为：
(,) cos , ( , )
以数量积的性质为依据，将该概念推广至抽象的线性空间.
定义 1.1 设 V 是实线性空间，若对于 V 中任意两个元素 和 ， 总能对应唯一的实数，记作 ( , ) ，且对应满足以下的性质： (1) 对称性 ( , ) ( , ) ; (2) 可加性 ( , ) ( , ) ( , ) ; (3) 齐次性 (k , ) k ( , ) ,k R ; (4) 非负性 ( , ) 0当, 且仅当 O 时, ( , ) 0 则称该实数是 V 中元素 和 的内积，并称这样的实线性空间 V
例 2.3 设 W1 ( x, y, T0 ) x ,y R, W2 (0,0, z)T z R ,
则容易得 W1,W2 均为 R3 的子空间,，且 W1 W2 .
定理 2.3 设W1,W2 , ,Ws 是欧氏空间 V 的子空间， 且两两正交，则 W1 W2 Ws 是直和.
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
定义 2.2 欧氏空间 V 中一组非零元素若两两正交，则称其为一 个正交元素组.
定理 2.1 若1,2, ,m 是欧氏空间 V 中一个正交元素组，则 1,2, ,m 线性无关.
证明 设有一组数 k1 , k2 , , km R ,使 k1 1 k22 kmm O 在上式两边分别用i (i 1, 2 , m) 作内积，可得
设 W (x,0,0) x R ,
则易得 W 是 R3 的一个子空间，且它的正交补为
W (0, y, z) y, z R
对任意的 ( x, y, z) R3 , 在 W 上的正投影为 ( x,0,0) , 在W 上的正投影为 (0, y, z) .
2.3 正交变换与对称变换
i1
j1
j1i1
xi,yj V， ki,ljR （ i1,...,n;j1,...,m )
定义 1.2 设 V 是欧氏空间，则 V , O ， 非负实数 (,) 称为 的长度或模，记作 . 特别地，长度为 1 的元素称为单位元素， 零元素的长度为 0. 元素的长度具有下列性质： (1) k k ,k R, V ;
x 11 22 n n , y 11 2 2 n n
n
n
n
则有 ( x, y) ( i i , j j ) ii
i 1
j1
i 1
在标准正交基下，
V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
二. 正交补与正交投影 定义 2.4 设W1,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间， 若对任意的 x W1, y W2 ,总有 ( x ,y ) 0 成立， 则称W1 与W2 正交，记作W1 W2 . 若对某个确定的 x 及任意的 y W1 ，总有 ( x ,y ) 0 成立， 则称 x 与W1 正交，记作 x W1 .
令任意的 x W2 , x O ,则 x W ,且 ( x , y ) 0, y W 所以 x W1 ,即W2 W1 . 同理有 W1 W2 . 因此得 W1 W2 .
定义 2.6 设 x 是欧氏空间 V 中任意的一个元素， W 是 V 的一个子空间，且 x 可被唯一地分解为
x y z, y W , z W ， 则 y 称为元素 x 在子空间 W 上的正投影(又称内投影). 显然 (W ) W 故 z 为元素 x 在W 上的正投影.
所以 1 ,2 , ,m 线性无关.
由定理可知， 在 n 维欧氏空间中，正交元素组所含元素的个数不会超过 n 个.
定义 2.3 在 n 维欧氏空间 V 中，由 n 个元素构成的正交元素组 称为 V 的正交基； 由单位元素组成的正交基叫作标准正交基.
定理 2.2 ( Schmidt 正交化方法) 设1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间 V 的任意一个基，则总可将其 进行适当运算后化为 V 的一个正交基，进而将其化为一个 标准正交基.
一. 正交变换与正交矩阵 定义 3.1 设 V 是一个欧氏空间, 是 V 上的线性变换， 如果对任意的元素, V 均有
( ( ), ( )) (, )
成立,则称 是 V 上的一个正交变换.
定理 3.1 设 是欧氏空间 V 上的一个线性变换， 则以下几个命题是等价的： (1) 是一个正交变换； (2) 保持向量的长度不变,即对任意的 V ,有 ( ) ； (3)V 中的任意一个标准正交基在 下的象仍是一个标准正交基； (4) 在任一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵，即 AAT AT A E
证明 因为1,2 , ,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
首先, 取 1 1;
其次,
令 2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
则可得两个正交元素 1, 2 .
再次,
令 3
3
( (
3 1
, ,
1 1
) )
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2;
则得到三个正交元素 1 , 2 , 3 .
1 ,
2
1 , 0, 0)T 2
2
1
2
2 (
1 , 6
1, 6
2 , 0)T 6
3
1
3
3
(
1, 12
1, 12
1, 12
3 )T 12
4
1
4
4
(1 , 1 , 1 , 1)T 2 2 22
则 1 , 2 , 3 , 4 就是所要求的标准正交基.
设 1 , 2, ,n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
(2)
( x,
y)2
xT Ay,其中A
1 1
1 2
由此所得的两个欧氏空间分别记为 (R2 )1 与 (R2 )2 ，试判断
向量 x0 (1,1)T 与 y0 (1,1)T 在 ( R2 )1 与 ( R2 )2 中是否正交？
解
由于
1
( x0 ,y 0 )1
(
1,
11)
0
1 1 1
( x0 , y0 )2
(x, y) 0，
则称元素 x 与 y 正交，记作 x y.
由定义易知，零元素 O 与任何元素均正交. 若 x O, 由于 ( x, x) 0,所以非零元素不会与自身正交， 即只有零元素才与自己正交.
例 2.1 在 R2 中,对于任意两个向量 x 与 y ，定义两种内积
(1) ( x, y)1 xT y
则可以证明这是 C a,b上 f ( x) 与 g(x) 的一种内积.
欧氏空间 V 中的内积具有如下的性质：
(1) (O, ) (,O) 0, V;
(2) (, k ) k(, ),, V ,k R;
(3) (, ) (, ) (, ),, , V;
n
m
mn
(4) ( kixi, ljyj) kilj(xi,yj)
k1(1,i ) k2(2 ,i ) km (m ,i ) 0 ,(i 1, 2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得 ki (i ,i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i ,i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2 , m)
定理 2.4 欧氏空间 V 的任一个子空间W ， 都存在唯一的正交补W .
证明 先证存在性.
设 1 , 2, , m 是子空间 W 的一个标准正交基， 则可以扩充为 V 的一个标准正交基： 1 , 2, , m , m1 , , n 显然 W L( m1 , , n .)
再证唯一性.设W1 与W2 都是 W 的正交补，则 V W W1,V W W2
( x , x ) 2 (x ,y ) y( y, )
由 Cauchy Schwarz 不等式，有 x y 2 x 2 2( x, y) y 2 x 2 2 x y y 2 ( x y )2
即有 x y x y .
2.2 正交基及正交补与正交投影
一 正交基 在欧氏空间可借助内积来定义正交. 定义 2.1 设 x, y 是欧氏空间 V 中的任意两个元素，如果
另外，若规定
n
( , ) kk k ， k 1
同样可验证这样确定的实数是 Rn 中向量 和 的内积.
内积不是唯一的
同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间
例 1.2 在a,b 上连续函数空间 C a,b中，对任意函数 f (x), g(x)C a,b ，
定义
b
( f , g) f ( x)g( x)dx a