第二章内积空间
矩阵理论-第二章内积空间
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵论第2章 内积空间
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
第二章内积空间
定理4：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维酉空间V的基，它们 定理4 维酉空间V的基， 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 的度量矩阵为A ，，C
(α ,α )
.
∀α ≠ 0 ∈ V ,
称
α α
为α 的规范化单位向量
定义 α , β 的距离为 d (α , β ) = α − β 2、向量长度的性质
(1) α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时等式成立； 时等式成立； (2) kα = k α ;
引理（Chauchy不等式） 引理（Chauchy不等式）设V是酉（欧氏）空间， ∀α , β ∈ V , 不等式 是酉（欧氏）空间， 向量的长度满足 证明: 证明:
y1 n n y2 (α , β ) = ∑∑ xi y j (α i ,α j ) = (x1 , x2 ,L, xn )A = xT Ay M i =1 j =1 y n
则
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。 的双线性函数来计算。 定理2：设 ε1 , ε 2 ,L, ε n 与 η1 ,η 2 ,L,η n 为n维欧氏空间V的基，它们 定理2 维欧氏空间V的基， 的度量矩阵为A ，，C 的度量矩阵为A和B，，C是 ε1 , ε 2 ,L, ε n 到 η1 ,η 2 ,L,η n 的过渡 证明详见P26-27） （证明详见 ） 矩阵，则 B = C AC 矩阵， 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。 欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
第二章-内积空间
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空
间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H {|(a 1,a2, ,an, )T}, a2 i
i1
(,)TT
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
这个一元二次不等式对任意 恒成立，因此
4 ( ,)2 4 ( , )(,) 0
当 0 时，取 即两向量线性相关
时等式 成立。
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
a rcco s (,), [0 ,], 、 0
(4 )定 性 ： (x ,x )= 0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V是实数域 R 上的线性空间。如果对 V中任意
两个向量 、V 都存在所谓 与 的内积 (,)R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1)(,)(,); 、 、 V
注意到 R n 中的内积显然具有如下性质：
(1 )对 称 性 ： (x ,y ) (y ,x );
(2)双 线 性 性 ： (xy,z)(x,z)(y,z); (x， y+z)(x,y)(x,z); (kx,y)k(x,y), kR; (x,ky)k(x,y), kR;
(3)正 性 ： (x,x)0;
( , )( , )(,) ( , ) ( , ) ( ,) 2 ( , )( ,)
(,) (,)(,)
定理8 （柯西--施瓦茨不等式）如果 V 是数域 R 上
的欧氏空间，则对 V 中的任意向量 α、β V ，有
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
n, 1 n, 2 … n, n yn
… …
… …
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
例2 在 n中定义X, Y = YHX, 则 n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 n 中的内积均指标准内积.
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
则 n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
… …
… …
…
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
…
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
第2章 内积空间
(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
第2章 内积空间-2
1 2
1 2
cos sin
sin cos
1 2
G
1 2
就是一个正交变换。因为此变换的矩阵表示 G 是正
交矩阵。
矩阵分析简明教程
例2 HouseHolder变换
如图，
e2
x
x ( x, e1 )e1 ( x, e2 )e2 ,
2β
y
e1
因此向量 x 关于“与 e2 轴正交的直线”对称的镜
一、正交补与投影定理
定义 2.4.1 设 V1,V2 是数域 R上欧氏空间 V 的
两个子空间。向量 V 。如果对任意 V1 ，都 有 ( , ) 0 ，则称 与子空间 V1 正交，记
为 V1 。如果对任意 V2 ，都有 V1 ， 则称子空间 V1 与 V2 正交，记为 V1 V2
就称 x 为方程组的最小二乘解，这种方法就称为
最小二乘法。
矩阵分析简明教程
令 y A x ，显然 y R( A) ，因此求不相容方 程组的最小二乘解的问题即为在 R( A) 中找出向 量 Ax，使得向量b 到 Ax 的距离比到子空间 R( A) 中其它向量的距离都短，即Ax 是向量 b 在 R( A)
1. 正交投影的概念
定义 设 V1 是数域 R上欧氏空间V 的子空间。
向量 V 。如果有 1 V1 , 2 V1 使得
1 2
则称 1 是 在 V1 上的正交投影。
定理 （投影定理）设 V1 是数域 R 上欧氏空间V 的
子空间，则对任意 V ， 在 V1 上存在唯一 的正交投影。
矩阵分析简明教程
设 Rn 为单位向量，对任意 Rn ，定义
H ( E 2 H )
称H 为Householder 变换（初等反射变换），则 H 是 Rn 的正交变换。
第二章-数值分析(04)内积空间
证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得x T Ax 11 22 0 0 x 1 , 得x T Ax a a 取 , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵； （由i 0证明） (3) A R nn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
成 立, 则 , 必 线 性 相 关因 为 若 , 线 性 无 关 则k R, . , 非 零, 都 有 k 0.从 而( k , k ) 0 所 以 等 号 不 成 立矛 盾. ,
数值分析
数值分析
在不同的空间中Cauchy Schwarz不等式有 ,
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积得 ,
(1 , 11 r r ) 1 (1 , 1 ) 0
由 1 0 ( 1 , 1 ) 1
2
0, 从而有1 0 .
数值分析
数值分析
二、 内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
数值分析
定义 设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义 在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
第2章 内积空间
5
向量长度
定义. 设V 为实内积空间，称 (a , a ) 为向量a 的长度， 记作 ||a ||。
定理. 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则 正定性 齐次性
(1) || a || 0, 且 || a || 0 当且仅当a 0； ( 2) || ka || | k | || a || ； Cauchy-Schwarz 不等式 ( 3) | (a , b ) | || a || || b ||, 等号成立当且仅当a , b 线性相关； (4) || a + b || || a || + || b || 。 三角不等实数组 x1 , x 2 , , x n 使（2）最小 0 0 0 这样的 x1 , x 2 , , x n 为方程组（1）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题.
2.问题的解决 设
Y a1 j x j , a2 j x j , j 1 j 1
13 13
下面用归纳法说明 b1 , b 2 ,
k 1
, b r 是正交向量组
(b i , ak ) ( b k , b j ) (a k b i , b j ) (1 j k ) i 1 ( b i , b i ) k 1 (b i , ak ) (a k , b j ) (b i , b j ) i 1 ( b i , b i )
其中R是主对角元为正数的上三角矩阵
15
几个定理和推论
定理3 设g 1 , g 2 ,...,g n是n维欧氏空间V中的一组标准正交基， 对任意a V , a x1g 1 + x2g 2 + xng n , 则 xi (a , g i ), i 1,2,...,n.
第二章 内积空间
第二章 内积空间在线性空间中，元素之间仅限于加法及数乘两种线性运算，但在三维欧氏空间中，也就是在向量代数中，向量的数量积(内积)是一个重要的概念，它是引入向量正交、长度和两向量夹角等概念的基础，为了使这些应用较广的概念能在抽象的线性空间中得到反映，有必要将这些概念加以拓广，建立线性空间的内积的概念，由此形成内积空间．§2.1 内积空间的概念一、内积空间的定义与基本性质定义1 设V 是数域F 上的线性空间，如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意向量,αβ都有F中唯一的数x 与之对应，记为(,)x αβ=．并且这种内积运算还具有如下性质：对于任意的,,Vαβγ∈及任意的k F ∈，有1)(,)(,)αββα= ； 2)(,)(,)k k αβαβ=； 3)(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； 4)当0α≠时，(,)0αα>． 此时称V 为一个内积空间．例1 对于复数域上的线性空间n C ，若规定向量12(,,,)α= T n a a a ，12(,,,)β= Tn b b b 的内积为1122(,)αββα=+++= Hn n a b a b a b ，则n C 是一个复数域上的内积空间．例2 V 是[,]a b 区间上全体实连续函数对于函数加法与数乘所成的实数域上的线性空间．对于V 中元素(),()f x g x ，定义内积((),())()()b af xg x f x g x dx =⎰，则V 构成一个内积空间．例3 设A 是n 阶正定H -矩阵(()==H T A A A ，详见本章第三节)．对于复线性空间n C 中的任意向量,αβ，若规定内积为(,)HA αββα=，则n C 构成一个内积空间．内积的四条规定可推出如下性质1º (,)(,)k k αβαβ=． 2º (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+． 3º (,)(,)k l kl αβαβ=． 4º11,(,)m mi i iii i k k αβαβ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．5º 11,(,)n nj j jj j j l lαβαβ==⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑．6º 1111,(,)αβαβ====⎛⎫=⎪⎝⎭∑∑∑∑m nm ni i j j i ji j i j i j k l k l．7º (,0)(0,)0αα==．定义2 对于内积空间V 中的向量α，定义它的长度为(,)ααα=． (1) 关于向量的长度，有下面性质8ºk k αα= ． (k 为数k 的模)长度为1的向量称为单位向量，任何非零向量α都可以单位化， 即令 0ααα=， (2)则0α是α经单位化得到的单位向量．定理1 [Ｃauchy-Ｓchwarz 不等式]对于内积空间中任意向量,αβ有 (,)αβαβ≤⋅． (3)并且，等号成立的充要条件是,αβ线性相关．证明略．9º (三角不等式)对任意向量,αβ，有αβαβ+≤+． (4)证 2(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαβαααββαββ+=++=+++222Re(,)ααββ=++222(,)ααββ≤++222ααββ≤+⋅+2()αβ=+． 由此即知(4)成立．定义3 设A 为n 阶H -矩阵，()T n x x x x ,,,21⋯=为n 维复变元向量，则称()Ax x x f H=为一个厄米特(Hermite)二次型，称为H -二次型．无论x 为任何n 维复向量，二次型()x f 的值总是实数，这是因为()()()x f Ax x x A x x A x x A x Ax x x f H TT TT T H ======．任一厄米特[Hermite]二次型Ax x H 必可经复数域上适当的可逆线性变换()],[1Tn y y y n P Py x ⋯==阶可逆复矩阵为化为唯一的规范形r r p p p p y y y y y y y y -⋯--+⋯+++1111． (5)上式中的r 称为该H —二次型的秩数，p 是正惯性指数，p r -称为负惯性指数．与规范形(5)相应的厄米特二次型的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=001111B 称为H —矩阵A 的规范形，显然有AP P B H =．与实二次型类似，可以根据正负惯性指数的不同情况把Hermite 二次型及Hermite 矩阵分别定义为正定、负定、半正定、半负定和不定的．定义4 在内积空间中，如果两向量,αβ的内积为零，则称,αβ正交或垂直，记作αβ⊥(规定零向量与任何向量都是正交的)．10 º (勾股定理)对于内积空间中的向量,αβ，若αβ⊥，则有222αβαβ+=+． (6)定义5 内积空间中两向量,αβ的距离定义为{,}d αβαβ=-． (7)二、标准正交基定义6 在内积空间中，由两两正交的一些非零向量组成的向量组称为一个正交向量组，简称正交组．易证正交向量组是线性无关的．定义7每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组．定义8 在内积空间中，由正交向量组组成的基称为正交基；由标准正交组组成的基称为标准正交基．n 维内积空间的n 个向量12,,...,εεεn 构成标准正交基的充要条件是0,(,)1,εεδ≠⎧==⎨=⎩i j ij i j i j 当时,当时. 利用施密特[Ｓchmidt]标准正交化过程可以从一个已知线性无关向量组12,,...,αααm 出发，得到一个与之等价的标准正交组．实施过程又分为两大步．一是逐步正交化过程，一是单位化过程． 逐步正交化：令11βα=，2121211(,)(,)αβββαββ=-+，[设212k ββα=+，为保证21(,)0ββ=，只需2111(,).](,)αβββ=-k ，313231231122(,)(,)(,)(,)αβαββββαββββ=--+，．．．，1111(,)(,)αβββαββ+++==-+∑ii j i j i j j j ，1,2,,1i m =- ，易知121,,,βββ+ i 与121,,,i ααα+ 等价，12,,,m ααα 与12,,m βββ 等价． 单位化：令,1,2,,βεβ== i i ii m ，则12,,,m εεε 为与12,,,m ααα 等价的标准正交向量组． 定理2n 维内积空间必有标准正交基．(0)n >§2.2 欧氏空间定义9 实数域上的内积空间称为欧几里得[Euclid]空间，简称欧氏空间．由于欧氏空间是实数域上的内积空间，因而内积的共轭对称性就成了对称性．设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基．对于V 中两个向量1122αεεε=+++ n n x x x ，1122βεεε=+++ n n y y y ，由内积的性质，知11(,)(,)nniji j i j x yαβεε===∑∑．令 (,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ． 显然=ij ji a a ．于是111212122212⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n nn n nn a a a a a a A a a a 为一个实对称矩阵．向量,αβ内积可表示为(,)Tx Ay αβ=．这里,x y 分别是,αβ的坐标．我们称A 为V 在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵． 定理3 欧氏空间在任一组基下的度量矩阵都是正定矩阵．证 设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，A 是该基下的度量矩阵．为证明实对称矩阵A 正定，只须证明实二次型T x Ax 正定，设12(,,...,)=Tn x x x x为任一非零实n 元数组．令1122αεεε=+++ n n x x x ，则α是V 中非零向量，于是(,)0Tx Ax αα=>，可见T x Ax 为正定二次型，从而知A 为正定矩阵．定理4 n 维欧氏空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理5 欧氏空间两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是正交矩阵．证 设12,,...,εεεn 及12,,...,ηηηn 都是标准正交基，且有1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P．若P 按列分块为12(,,...,)=n P p p p ，则i p 恰是i η在基12,,...,εεεn 之下的坐标，于是(,),,1,2,...,ηηδ===Ti j i j ij p p i j n ．这说明P 是正交矩阵．定理6 在欧氏空间中，若12,,...,εεεn 为标准正交基，P 为正交矩阵， 且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P ．则12,,...,ηηηn 也是标准正交基．证 沿用定理5证明中的记法，则有(,)ηηδ==Ti j i j ij p p ，,1,2,...,=i j n ．这说明12,,...,ηηηn 为一组标准正交基．定义10 如果欧氏空间V 的非空子集1V 对于V 的已有运算也构成一个欧氏空间，则称1V 为V 的欧氏子空间．定义11 设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个子空间．如果对于1V 中任意向量α及2V 中任意向量β，都有(,)0αβ=，则称1V 与2V 是正交的子空间，记为12V V ⊥．定义12 对于欧氏空间V 的子空间1V ，如果有V 的子空间2V ，使得12V V ⊥，并且12V V V +=，则称2V 是1V 的正交补空间，简称正交补，并记21V V ⊥=．由于12{0}V V = ，故知1212V V V V V =+=⊕，即说互为正交补的两个子空间的和必是直和．例1设12,,,n ααα 是n 维欧氏空间的正交基，1m n ≤<．若令112(,,...,)ααα=m V L ，212(,,...,)ααα++=m m n V L ，则1V 与2V 互为正交补．例2 对于n 维欧氏空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使11⊥=⊕V V V ．证 如果1V 是平凡子空间，结论显然成立．令1V 为非平凡子空间，12,,...,αααm 为1V 的一组基(此时1m n ≤<)．现将它扩充为V 的基12,,...,αααm ，1,...,αα+m n ，再用施密特正交化过程求出V 的一组正交基12,,...,βββm ，1,...,ββ+m n ．显然11212(,,...,)(,,...,)αααβββ==m m V L L ．由例1即知112(,,...,)βββ⊥++=m m n V L ，并且11⊥=⊕V V V ．定义13 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，如果对于V 中任意向量,αβ都有((),())(,)σασβαβ=， (1)则称σ为一个正交变换．正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换．定理7 设σ是欧氏空间V 上的线性变换，则如下几个条件等价： 1)σ是正交变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基，即若12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则12(),(),...,()σεσεσεn 也必是V 的一组标准正交基；3)σ在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；4)σ保持向量长度，即对V 中任意一个向量α，总有()σαα=．证 采用循环证法．1)⇒2) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则 (,)i j ij εεδ=， ,1,2,...,=i j n ． 因σ为正交变换，便知((),())(,)i j i j ij σεσεεεδ==， ,1,2,...,=i j n ． 故12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．2)⇒3) 设12,,...,εεεn 是V 的标准正交基．并设1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ，即 1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ．由2)已知12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．按定理5，A 必是正交矩阵．3)⇒4) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，α是V 中向量，它在基12,,...,εεεn 下的坐标为x ，再设σ在基12,,...,εεεn 下的矩阵为A ．于是()σα在基12,,...,εεεn 下的坐标为A x ．又因A 为正交矩阵，便有((),())()()(,)σασααα====TTTTAx Ax x A Ax x x ，即知()σαα=．4)⇒1) 对任意向量,V αβ∈，由于σ保持长度不变，便有((),())(,)σασααα=， (2) ((),())(,)σβσβββ=， (3) ((),())(,)σαβσαβαβαβ++=++， (4)(4)式即((),())2((),())((),())σασασασβσβσβ++ (,)2(,)(,)αααβββ=++． 利用(2)，(3)可得((),())(,)σασβαβ=． 可见σ为正交变换．定义 14 设σ是欧氏空间V 的一个线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ是一个对称变换．定理8n 维欧氏空间V的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ在标准正交基下的矩阵是对称矩阵．证 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，σ在该基下的矩阵为()ij n n A a ⨯=． 必要性 据设有11()σεεεε=++++ i i ji j ni n a a a ， 11()j j ij i nj n a a a σεεεε=++++ ，于是 ((),)σεε=ji i j a ，(,())εσε=ij i j a ．由σ为对称变换知((),)(,())σεεεσε=i j i j ， ,1,2,=i j n ，便有 ji ija a =， ,1,2,...,=i j n ．所以A 为对称矩阵．充分性 若A 为对称矩阵，即TA A=，对于V 中任意向量,αβ，设它们在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,x y ，则(),()σασβ在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,Ax Ay．于是((),)()()(,())TTTTAx y x A y x Ay σαβασβ====，因此σ为对称变换．定理9 若σ是n 维欧氏空间V 上的对称变换，则必有V 的标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．证 任取V 的一组标准正交基12,,...,εεεn ，设σ在该基下的矩阵为A ，由定理8知A 为实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使112(,,...,)λλλ-=Λ=n Q AQ diag ．令 1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q ，由定理6知12,,...,ηηηn 是标准正交基．再由第一章的定理16可知σ在基12,,...,ηηηn 下的矩阵是对角矩阵Λ．§2.3 酉空间一、Hermite 矩阵，酉矩阵定义15 对于复矩阵[]ij m n A a ⨯=，定义其共轭矩阵为[]ij m nA a ⨯=，其中ij a 是ij a 的共轭复数．当A 为实矩阵时，AA=．共轭矩阵具有如下性质： 1°()=A A； 2°=kA kA()∈k C ；3°A B A B+=+；4°AB A B=； 5°()TTA A =；6°当A 为方阵时A A=；7°当A 可逆时，A 亦可逆，并且11()()A A --=．记矩阵A 的共轭转置矩阵为H A ，即()HT TAA A==．易知，对于数k 及矩阵A 、B (只要运算可进行)，总有()HHA A=， ()HHkA kA=，()HHHA B A B+=+ ， ()HHHAB B A=．定义16 如果方阵A 满足HA A=，则称A 为一个厄密特[Hermite]矩阵，简称H —矩阵．H—矩阵具有如下性质：1°若A 为H -矩阵，则A为实数；2°若A 为H -矩阵，k 为任意实数，则kA 仍为H -矩阵；3°若A 为H -矩阵，则*,,,T H A A A A (A 的伴随矩阵)都是H -矩阵，当A 可逆时，1A -也是H -矩阵；4°若,A B 均为n 阶H -矩阵，则A B +也是H -矩阵．证明如下：1°由()TA A A A===，即得证．2°因k 为实数，则有k k=，于是()()TTTkA kA kA kA===，得kA 为H -矩阵．3°当A 为H -矩阵时，由定义易证,,T H A A A 仍为H —矩阵．为证*A 为H -矩阵，只须证明ij jiA A =[ij A 表示A的(,)i j 元素的代数余子式]．注意到T A A=，则有()()Tij ji ji jiA A A A ===，上式中()T ji A 、()ji A 分别表示T A 与A 的(,)j i 元的代数余子式．定义17 如果n 阶复矩阵A 满足H H A A AA =，则称A 为一个正规矩阵． 定义18n 阶复矩阵[]n nij A a C⨯=∈．若==H HA A AAE，则称A 是一个酉矩阵或写为U -矩阵．U-矩阵都是可逆矩阵，实数域上的U -矩阵就是正交矩阵．对于n 阶复矩阵A ，下述四个条件等价： 1)A 为U -矩阵； 2)T A A E=； 3)1HA A-=； 4)HAA E=．易证U -矩阵具有如下性质：1°若A ，B 均为n 阶U -矩阵，则AB 亦然． 2°若A 为U -矩阵，则1,,,T H A A A A -亦然．二、矩阵的相似对角化对于n 阶矩阵A ，B ，如果存在一个n 阶可逆矩阵P ，使得B AP P =-1，则称A 相似于B ，记作A ∽B ．定义19 对于方阵A ，以可逆矩阵P 对A 进行运算AP P 1-，称为对A 进行相似变换，P 称为相似因子．定理10 在数域F 上，n 阶矩阵A 能与某对角矩阵相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量．证 必要性 若在数域F 上A 相似于某对角矩阵Λ，即有可逆矩阵P ，使 =-AP P 1Λ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n λλλ21． (1) 设P 的列向量组为n ααα ,,21，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n A λλλαααααα212121),,(),,,(， 即 ),,,(),,,(221121n n n A A A αλαλαλααα =，于是 n i A i i i ,,2,1, ==αλα． (2)由于n ααα ,,21是可逆矩阵P 的列向量组，所以必是数域F 上线性无关的向量组，并且每个i α都是非零的，结合(2)便知，i α是A 的对应于特征根i λ(n i ,,2,1 =)的特征向量．以上证明了定理10的必要性，即若n 阶矩阵A 能在数域F 上相似于一个对角矩阵，则A 必在数域F 上存在n 个线性无关的特征向量．充分性 即若n 阶矩阵A 在数域F 上存在n 个线性无关的特征向量，则A必可相似于某对角矩阵，其证明过程可以按必要性证明反推回去，故充分性也是成立的．定义20 把矩阵相似于对角矩阵的问题称为矩阵的相似对角化．如果矩阵A 能相似于对角矩阵，就说矩阵A 可对角化．定理11 设i λ是方阵A 的i n 重特征根，则A 相应于i λ的特征向量中线性无关组中的向量个数最多不超过i n ．定理12 设s λλλ,,,21 是方阵A 的互异特征根，iim i i ααα ,,21是A 相应于i λ的线性无关的特征向量，则向量组ssm s m m αααααα ,,,,,,,,122111121是线性无关的．定理13 如果n 阶矩阵A 在数域F 上存在n 个互异的特征根，则A 必可在数域F 上相似于对角矩阵．定理14 实对称矩阵的特征根都是实数．定理15 实对称矩阵相应于不同特征根的特征向量相互正交． 定理16 对于n 阶实对称矩阵A ，必有n 阶正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角矩阵，并且该对角矩阵的主对角线上元素恰是A 的全部特征根．定理17 H —矩阵的特征根都是实数．定理18 H —矩阵相应于不同特征根的特征向量相互正交．即若A 为H —矩阵，βα,分别为A 相应于不同特征根21,λλ的特征向量，则0=αβH ．定理19 对于n 阶H —矩阵A ，必有n 阶酉矩阵U ，使),,,(211n Hdiag AU UAU Uλλλ ==-，其中n λλλ,,,21 恰是A 的全部特征根． 相似因子U 的求法：1)求出H —矩阵A 的全部互异特征根t λλλ,,,21 ；2)对,,,2,1t i =求解0)(=-X A E i λ，设一个基础解系为iin i i ααα,,,21 ，经正交化、单位化得A 相应于特征根i λ的标准正交特征向量组iin i i γγγ,,,21 ；3)令),,,,,,,,,(122111121ttn t n n U γγγγγγ =，则U 即为所求的酉矩阵．在实用中，利用矩阵的相似对角化可以简化某些矩阵的乘方运算．具体说，如果有可逆矩阵P ，使),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-，则由12111),,,(---=Λ=Λ=P Pdiag P P A P P A kn kkk k λλλ 易知．例3 对于矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3122A 求100A ．解 求得A 的特征根为,4,121==λλ二根互异，A 可相似于对角矩阵，分别求出A 相应于特征根1λ及2λ的特征向量,,21αα为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α． 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1112P ，则有)4,1(1diag AP P =Λ=-，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2111311P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ=-211131400111121001100100PP A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯++-⨯+-+=100100100100421414224231．§2.4酉空间的定义及性质定义21 复数域上的内积空间称为酉空间．定义22 设V 是n 维酉空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，令(,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ，则称n 阶矩阵[]ij A a =为在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵．如果V 中向量,αβ的坐标分别为,x y ，则有(,)Hy Axαβ=．定理20 n 维酉空间在任一基下的度量矩阵都是正定的H -矩阵．定理21 n 维酉空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理22 n 维酉空间中的两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是U—矩阵．定理23 若12,,...,εεεn 为酉空间V 的标准正交基，Q 为U -矩阵，且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q则12,,...,ηηηn 也是V 的标准正交基．定理24 对于n 维酉空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使11⊥=⊕V V V ．定义23 设σ是酉空间V 上的线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，都有((),())(,)σασβαβ=，则称σ为一个酉变换．定理25 设σ是n 维酉空间的线性变换，则如下n 个条件等价： 1)σ是酉变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基； 3)σ在标准正交基下的矩阵是U -矩阵；4)对任意α∈V ，有()σαα=． 证明略．定义24 设σ是酉空间V 的线性变换，且对V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ为V 的一个Hermite 变换，简称H -变换或称酉对称变换．定理26 n 维酉空间V 的线性变换σ为H -变换的充要条件是σ在标准正交基下的矩阵为H -矩阵．定理27 设σ是n 维酉空间V 的H -变换，则必有V 的某组标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．习 题 二1、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，12,,,n εεε 是V 的一组基，对于V 中向量n n x x x εεεα+++= 2211， n n y y y εεεβ+++= 2211，定义内积为n n y nx y x y x +++= 22112),(βα，证明V 在此内积下构成一个内积空间．2、设V 是实数域R 上的n 维线性空间，n εεε,,21 是V 的一组基，A 是一个n 阶正定实对称矩阵．定义V 的内积如下：对于V 中向量βα,，如果它们在基12,,,n εεε 下的坐标分别为y x ,，则Ay x T=),(βα，证明V 是一个内积空间．3、在实内积空间4R (内积为实向量的普通内积)中，已知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,1111,0011321βββ，试求出与321,,βββ都正交的单位向量．4、设内积空间3C 中向量βα,的内积为αββαH=),(判断下述向量βα,是否正交：1)TTi i i i )2,1,1(,),,1(-+=--=βα；2)T T i i i i i )3,1,,1(,)2,,1(-=+-=βα．5、设12,,,n ααα 是n 维内积空间V 的一组基，如果V 中向量β使.,2,1,0),(n i i ==αβ证明 0=β．6、设V 是实数域R 上的内积空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基．证明 )22(31),22(31),22(31321332123211εεεηεεεηεεεη--=+-=-+=也是V 的一组标准正交基．7、设54321,,,,εεεεε是5维内积空间V 的一组标准正交基．32132125112,,εεεαεεαεεα++=-=+=．求子空间),,(321αααL 的一组标准正交基．8、已知线性空间4][x R 对于内积⎰-=11)()())(),((dx x g x f x g x f构成一个内积空间．从基32,,,1x x x 出发，经正交单位化求一组标准正交基．9、对于实数域R 上的线性空间n m R ⨯，规定内积如下：对于n m R ⨯中任意元素][],[ij ij b B a A ==，则=),(B A 迹∑∑===ni mj ji jiTb aA B 11)(．证明n m R ⨯对此内积构成欧氏空间．10、设欧氏空间4R (内积为普通实数组向量的点积)的一组基为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111,0111,0011,00014321αααα，求在这组基下的度量矩阵A ．11、在线性空间4R 上定义一种内积成为欧氏空间．已知在基TTTTe e e e )1,0,0,0(,)0,1,0,0(,)0,0,1,0(,)0,0,0,1(4321====下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=311121001211012A ． 1)求在基TT T T )1,1,0,1(,)1,2,1,0(,)0,0,2,1(,)0,0,1,1(4321==-=-=αααα下的度量矩阵B ．2)求实数a ，使向量T a )1,2,,1(-=α与向量T )0,2,1,1(-=β正交． 12、设321,,εεε是欧氏空间V 的一组基，内积在这组基下的度量矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=612121211A 已知V 的子空间1V 的一组基为112αεε=+，2123αεεε=+-．1)证明21,αα是1V 的一组正交基； 2)求1V 的正交补⊥1V 的一组基．13、设4维欧氏空间V 在基4321,,,εεεε下的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=11162102100101A ， 已知V 中向量323312211,,εεαεεαεεα-=+=+=，V 的子空间1123(,,)V L ααα=．1)试求1V 的一组标准正交基； 2)设有1V 的线性变换σ，使11266()(1)33σααα=+-，21266()(1)(2)63σααα=-++-，3136()22σααα=+，请判明σ是不是1V 的正交变换或对称变换？14、设A 、B 都是H -矩阵，证明AB 也是H -矩阵的充要条件是BA AB =． 15、若矩阵A 满足A A H -=，则称A 为一个反厄密特矩阵．试证：任一n 阶矩阵可表示为一个厄密特矩阵与一个反厄密特矩阵之和．16、判断下列各矩阵在所指明的数域上能否相似对角化？若能，求出一个相似因子P ，并给出相应的对角矩阵Λ．1),163053064⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 实数域 2),201335212⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=A 复数域 3),013211233⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=A 实数域 4),1211⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 复数域 5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426B ，实数域 17、对实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=324262423A ，求正交矩阵Q ，使'Q AQ 为对角矩阵．18、求一个酉矩阵U ，把H -矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22ii A 化为对角形． 19、设V 是3维欧氏空间，321,,εεε是V 的一组标准正交基，线性变换σ使321332123211542)(,452)(,222)(εεεεσεεεεσεεεεσ+--=-+=-+= 求V 的一组标准正交基321,,ηηη，使σ在基321,,ηηη下的矩阵为对角矩阵．。
第2章-内积空间
若 a1，a2，,an是n维内积空间V 的一个正交向量组，
则称其为V 的一个正交基。
10
定义：设a1，a2，,an是实内积空间V 的一正交基，
且其中每个向量的长度都是 1， 则称其为V 的一个标准正交基。
注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的 基向Байду номын сангаас上的正投影，即
定理5
设g1,g 2,...,g n;1,2,...,n都是n维欧氏空间V中的标准正交基， 并且 (1,2 ,...,n ) (g1,g 2,...,g n )A
则A是正交矩阵.
16
题型
已知R22的子空间W
X
x11 x 21
x12 x22
x21
x22
0
在W上定义( X ,Y )
2 i 1
2.1 实内积空间
定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，
若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，
记作(a, b ) = r, 并且满足 (1) (a, b ) = (b, a )
对称性
(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )
线性性
(3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 a = 0
由|| a + b ||2 (a + b , a + b ) || a ||2 +2(a, b )+ || b ||2 知
a 与b 正交 || a + b ||2 || a ||2 + || b ||2
第二章 内积空间
设 T 是内积空间 V L(P)的线性变换，如果
对任意的 x, y V ，满足 (Tx,Ty)(x,y)
则称线性变换 T 为 的V 一个正交变换。
定理1 （正交变换的等价定义）
设 T 是n维欧氏空间 V 的一个线性变换，则下列
命题等价：
⑴ T 是正交变换。
⑵ T 保持向量长度不变，即对 x ，均V 有
为矩阵 A 的值域，求 R ( A ) 。
解： y R ( A ) ,y ( k 1 1 k 2 2 k n n )
y i i 1 ,2 , ,n
( y ,i) i T y 0i 1 ,2 , ,n
AT y
R (A )yA TyN (A T)
注：一般来说，称 N ( A T ) 为矩阵 A T 的零空间。
Tx。 x
⑶如果 e1,e2, 是,en的一V组标准正交基，则 Te1,Te2,也是,Te的n一组标V 准正交基。
⑷ T 在 中V 任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
证明思路： ( 1 ) (2 ) ;( 1 ) ( 3 ) ;( 3 ) (4 )
(1) (2) T 是正交变换 x ,y V ,( T x ,T y ) ( x ,y ) 取 y x (T x ,T x ) (x ,x ) T x2x2 (2) (1)
是n维欧氏空间是其一组标准正交基则有定义容易验证该映射为同构映射且保持内积不变从而是另一n维欧氏空间是其一组标准正交基则有定义从而4正交变换定义1正交变换是内积空间的线性变换如果对任意的满足则称线性变换txty定理1正交变换的等价定义是n维欧氏空间的一个线性变换则下列命题等价
第二章 内积空间
单击此处输入你的副标题，文字 是您思想的提炼，为了最终演示 发布的良好效果，请尽量言简意 赅的阐述观点。
矩阵分析引论第(2)章
第二章内积空间§1 内积空间的概念§2 正交基及子空间的正交关系§3 内积空间的同构§4 正交变换§5 点到子空间的距离与最小二乘法§6 复内积空间（酉空间）§7 正规矩阵§8 厄米特二次型§9 力学系统的小振动()()()()()()()())( ,,,),( )3( )( ,,, 2 ;,, )1( , , V z z y z x z y x R y x y x x y y x y x R V ∈+=+∈==→λλλ满足：向量的内积内积的定义时，等号成立当且仅当,0),( (4)θ=≥x x x 此时的V 就成为（实）内积空间1. 内积空间的概念()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例1 n 维线性空间R n ()()∑====ni ii n n y x y x 12121),( ,ηξηηηξξξ 此称为欧几里德空间（欧氏空间）()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例2 n 2维线性空间R n ×n ∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nj i ijij nn n n n n nn n n n n ba B Ab b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 1,212222111211212222111211),( ,()()()为一个内积空间。
第二章 内积空间
② ( x, y z) ( x, y) ( x, z) x, y, z V
③ ( x, ) ( , x) 0
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）
设 V 是内积空间，x, y 是 V 中任意两个向量，则有：
( x, y)2 ( x, x)( y, y)
当且仅当 x, 线y 性相关时等号成立。
两种方法说明：交集为零空间； 零元素表示唯一。
定义5（正交补空间）
设 V1 ,V是2内积空间 的两V 个子空间，且满足
V1 V2 ,V ，V则1 称V2 是 的正V交2 补空V间1 ，简称正交
补，记为
。
V2Байду номын сангаас V1
性质3 n维欧氏空间V 的任一子空间V1 都有唯一的正
交补。
证明: ①如果 V1 { }，则 V 是 V1 唯一的正交补。 ②如果 V1 { } ，在 V1 中选取一组正交基 e1, e2 , , ek
i 1, 2, , n;
n
n
nn
(ei, ej ) ( akiek , amjem )
akiamj (ek , em )
k 1
m 1
k 1 m1
n
0 i j
aki akj
k 1
1
; i j
i, j 1, 2,
,n
即 AT A E
注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地 可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。
(1,1) (1,2 ) (2 ,1) (2 ,2 )
(1,n ) (2 ,n ) 0
(n ,1) (n ,2 )
(n ,n )
n
证明：设 kii
i 1
矩阵论第2章内积空间综述
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
下的矩阵为
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基 则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
矩阵分别为
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在
基下的矩阵为
且向量 在该基下的坐标为
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f (x), g(x) 定义
f
( x),
g(x)
b
a
f
(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 是欧氏空间，但其维数无限。
f (x), g是(x)内 积， C[a,b]
例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，
则 在该基下的坐标为
（5）设
是纯量多项式，T
为V中的线性变换，且对V的基
有
则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：
其中f(A)称为矩阵A的多项式。
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T
分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.---P18定 理1.4.7。
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性 相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W 中的线性无关向量组；
（4）设 则
并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的同构、正交变换、点到子空间的距离
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
矩阵分析引论--第二章 内积空间-厄米特二次型
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
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第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
例4 设A 为n 阶正定阵且,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x Ay =，则n R 是n 维欧氏空间。
证明 ,,,n x y z λ∀∈∈R R（1）T T T T (,)[](,)x y x Ay x Ay y Ax y x ==== （2）T (,)(,)x y x Ay x y λλλ==（3）T T T (,)()(,)(,)x y z x y Az x Az y Az x z y z +=+=+=+（4）因为T x Ax 正定二次型，故T (,)0x x x Ax =≥，T 0x Ax x θ=⇔=注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。
由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。
矩阵共轭及共轭转置：设n n A ⨯∈C 1. ()ij m n A a ⨯= ，()ij m n A a ⨯=，称A 为A 的共轭。
2. A B A B +=+，,m n A B ⨯∈C 。
3. AB A B =，,m s s n A B ⨯⨯∈∈C C 。
4. 记TH A A =，H A 称为A 的复共轭转置矩阵，m n A ⨯∈C 。
5. TH T A A A ==，m n A ⨯∈C 。
6. H H H ()A B A B +=+，,m n A B ⨯∈C 。
7. H H ()kA kA =，k ∈C 。
8. H H H ()AB B A =，,m s s n A B ⨯⨯∈∈C C 。
9.H H ()A A =，m n A ⨯∈C 。
10. 若H A A =，则称A 为埃尔米特（Hermite ）矩阵，n n A ⨯∈C 。
11. 若H A A =-，则称A 为反埃尔米特矩阵，n n A ⨯∈C定义2 设V 是C 上的线性空间，若V y x ∈∀,有(,)x y ∈C 且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ λ∈C),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积，称定义了上述内积的有限维线性空间()V C 为复内积空间或酉空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例5 在n C 中定义H (,)x y x y =，则n C 是酉空间。
注：在n C （n R ）中定义的内积H (,)x y x y =（T x y ）称为标准内积。
以后若无特殊说明，n C （n R ）及其子空间的内积均采用标准内积。
例6在m n ⨯C 中对,m n A B ⨯∀∈C 定义H (,)tr()A B A B =,则m n ⨯C 为酉空间。
证明 与例2类似，请读者自证。
二、欧氏空间与酉空间的性质 定理1：设(,)x y 是酉空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈C （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈（3）1111(,)(,)mrm ri i jj i j i j i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑， 其中,i j λμ∈C ，,i j x y V ∈，1,2,,i m =，1,2,,j r =。
证明（1） (,)(,)(,)(,)x y y x y x x y λλλλ=== （2）),(),(),(),(),(),(z x y x x z x y x z y z y x +=+=+=+（3）由定理1的（2 ）得1111(,)(,)mrmri i jj i i jj i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑11(,)mri i j j i j x y λμ===∑∑11(,)mri j i j i j x y λμ===∑∑上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即 推论1设(,)x y 是欧氏空间V 的内积，则 （1）(,)(,)x y x y λλ=，,x y V ∈，λ∈R （2）(,)(,)(,)x y z x y x z +=+，,,x y z V ∈（3）1111(,)(,)mrm ri i jj i j i j i j i j x y x y λμλμ=====∑∑∑∑ 其中,i j x y V ∈，,i j λμ∈R ，1,2,,i m =，1,2,,j r =。
定理2 设(,)x y 是酉（欧氏）空间V 的内积，则 （1）kx k x =，k ∈C （k ∈R ）。
（2）(,)x y xy ≤，柯西—许瓦兹（Cauchy ––Schwarz ）不等式（3）x y x y +≤+ 证明 不妨设V 是酉空间。
（1）kx k x ===。
（2）y θ=时显然，不妨设y θ≠，考虑),(02y x y x y x λ-λ-=λ-≤),(),(),(),(2y y x y y x x x λ+λ-λ-=取),(),(y y x y =λ，则 2222222(,)(,)(,)0x y x y y x x yyy--+≥所以y x y x ≤),(（3） 2(,)x y x y x y +=++22(,)(,)x x y y x y =+++ 22Re(,)x x y y =++ 222(,)x x y y ≤++， 由柯西—许瓦兹不等式，即得 2x y +2222()x xy y x y ≤++=+所以 y x y x +≤+三、内积在基下的矩阵线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。
定义3：设12,,,n εεε为欧氏（酉）空间V 的基，则称n n ij a A ⨯=)(为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵，其中n j n i a j i ij 2,1,2,1),(==εε=。
定理3设12,,,n εεε为酉空间V 的基，则（1） 内积在基下的矩阵A 是埃尔米特矩阵，即H A A =。
（2）H (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈C 。
（3）n x θ∀≠∈C 均有H 0x A x >。
证明 （1） 由于ji i j j i ij a a =εε=εε=),(),(，故H A A =。
（2） 设T T 1212(,,,),(,,,)n n x x x x y y y y ==，由定理1有11(,)(,)nni i j ji j x y x y εε===∑∑11(,)nni j i j i j x y εε===∑∑H 11n ni j ij i j x y a x Ay ====∑∑（3）(x x θ≠⇒=12,,,)n x εεεθ≠，所以H (,)0x A x x x =>。
在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。
推论2 设12,,,n εεε为欧氏空间V 的基，则（1） 内积在基下的矩阵A 是实对称阵，即T A A =。
（2）T (,)x y x A y =，其中(=x x n ~),,21εεε ，(=y y n ~),,21εεε ，,n x y ∈R 。
例7 3(),()[]f x g x P x ∀∈，定义2((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，则3[]P x 为欧氏空间，求内积在基21,1,(1)x x --下的矩阵。
解 21102a dx ==⎰，2120(1)0a x dx =-=⎰， 221302(1)3a x dx =-=⎰ 222202(1)3a x dx =-=⎰，23230(1)0a x dx =-=⎰243302(1)5a x dx =-=⎰因为A 是实对称阵，所以220320322035A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
定理4 设欧氏（酉）空间的内积),(y x 在两组基12,,,n εεε和12,,,nεεε'''下的矩阵分别为B A ,，且 12(,,,)(nεεε'''=12,,,)n P εεε，则H B P AP =，即B 与A 合同。
证明：设(),(,),(),(,)ij n n ij i j ij n n ij i j A a a B b b εεεε⨯⨯''==== ，12()n P p p p =，则12(,,,)(nεεε'''=12,,,)n P εεε =12(,,,)n εεε12()n p p p所以i ε'=12(,,,)n i p εεε j ε'=12(,,,)n j p εεε故由定理3有H (,)ij i j i j b p Ap εε''==所以H ()()ij n n i j n n B b p Ap ⨯⨯==H H H 11121H H H 12n nn n n p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap p Ap ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ H 11H []n n p Ap Ap p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦H 1H 1H []n n p A p p P AP p ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦§2.2向量的正交与标准正交基一、向量的正交与标准正交基定义1 设V 为欧氏（酉）空间，,x y V ∈，如果(,)0x y =，则称向量x 与y 正交，记为x y ⊥。