矩阵理论-第二章内积空间
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工程矩阵理论(第2章-内积空间与等距变换)
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1
n, 1 …
1 , 2 2 , 2
n, 2 …
… 1, n … 2 , n … n, n …
注④ 若 0, 则 的长度为1. |||| 由非零向量 得到 的过程称为把 ||||
单位化.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.2 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 |, |2 , , , 且 等号成立 , 线性相关.
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.2 设1, …, n为内积空间V的一组基. 令 gij = i, j (i, j = 1, …, n), 则称n阶矩阵G = (gij)为基1, …, n 的度量矩阵.
1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2 … … 1 , n … 2 , n
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1 n, 1
…
1 , 2 2 , 2 n, 2
…
… 1, n … 2 , n … n, n …
y1 y2 yn
…
第二章 内积空间与等距变换
F中存在唯一的数与之对应, 该数记为, , 且, , V, kF, 有 (1) , = , ; ——共轭对称性 (2) +, = , + , ; (3) k, = k, ; (4) , 0, 且等号成立 = 0, 则称, 为与的内积, 称V为内积空间.
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1
n, 1 …
1 , 2 2 , 2
n, 2 …
… 1, n … 2 , n … n, n …
注④ 若 0, 则 的长度为1. |||| 由非零向量 得到 的过程称为把 ||||
单位化.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
定理2.1.2 设, 为内积空间V中的任意向量, 则有 |, |2 , , , 且 等号成立 , 线性相关.
§2.1 内积空间的基本概念
定义2.1.2 设1, …, n为内积空间V的一组基. 令 gij = i, j (i, j = 1, …, n), 则称n阶矩阵G = (gij)为基1, …, n 的度量矩阵.
1 , 1 2 , 1 1 , 2 2 , 2 … … 1 , n … 2 , n
= (x1, x2, …, xn)
1 , 1 2 , 1 n, 1
…
1 , 2 2 , 2 n, 2
…
… 1, n … 2 , n … n, n …
y1 y2 yn
…
第二章 内积空间与等距变换
F中存在唯一的数与之对应, 该数记为, , 且, , V, kF, 有 (1) , = , ; ——共轭对称性 (2) +, = , + , ; (3) k, = k, ; (4) , 0, 且等号成立 = 0, 则称, 为与的内积, 称V为内积空间.
第二章 内积空间 矩阵理论课件
(4) 定性：( x, x)=0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R上的线性空间。如果对 V 中任意
两个向量 、 V 都存在所谓 与 的内积 (, ) R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1) (, ) ( , ) ; 、、 V
4 （3）特别地，当 α 与 β 正交时，有
||α β|| 2 ||α|| 2 ||β|| 2 .
最后我们给出欧氏空间 V 的内积的坐标表示形式。
设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x1, x2 , , xn )T , y ( y1, y2, , yn )T .
1
t t dt
1
2 3
,
g23 (2,3 ) (t, t 2 )
1 t t 2 dt 0,
1
g33 (3,3 ) (t 2, t 2 )
1 t 2 t 2 dt
1
2 5
.
度量矩阵 G 是对称矩阵，所以所求为
2 G 0
0
2 3
2 3Leabharlann 0 .2 30
2 5
（2）f (t) 和 g(t) 在自然基下的坐标分别是
( , ) T T
a1b1 a2b2 anbn .
将向量推广到无限维，可得到：
例3 定义了标准内积的集合 H 称为希尔伯特空 间，这里 H 是所有平方和收敛的实数列的集合，即
H { | (a1, a2, , an, )T }, a2i
i 1
( , ) T T
在 R3 中，选取自然基 i, j, k，则度量矩阵
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
矩阵论第2章 内积空间
，
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
2 2 2 ( )2
由此得到式 (1) .
对此式由 ，得到
.
由此得到式 (2) .
把定理 2-1 应用到欧氏空间 Rn 和例 2-3 中 R[a, b]得到两个著名
的不等式为
n
n
n
xi yi
xi2
（1） ( , k ) k( , ) ；
（2） , , , ；
（3） (, 0) (0, ) 0 ．
有了内积概念，就可以在内积空间引入向量的长度及向量之间的 夹角等概念．下面先证明关于内积的一个重要不等式.
定理 2-1 设V 是数域 R 上的内积空间，对 , V ，则有不
(, ) ( , ) 2 2
一般地，如果1 ,2 , ,k 是 k 个两两正交的向量组，则有 1 2 k 2 1 2 2 2 k 2
这利用内积性质及正交条件可以证明．
事实上，由正交性有
(i
, j
)
(
i
,i
)
i
2
,
ji ,
(i, j 1, 2,
,k)
0,
ji
得到
k
设12n????及12n????是n维欧氏空间v的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为的两个标准正交基从前一个基到后一个基的过渡矩阵为a即12n?????12na????21上式转置得12??????????????12ta????????????22n?????n?????利用形式矩阵乘法将式22两边分别左乘式21得111212122212nnnnnn?????????????????????????????????????111212122212nntnnnnaa???????????????
由此可得，若1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V 的一组非零向 量，且满足条件：
第二章矩阵论
例 设 H I n 2uu H , u C n ,且 变换 H 2uu H , 则
uH u 1
,定义
H , H 2uu H , 2uu H
H 2 H uu H 2uu H H ,
例 设欧氏空间P3 x 中的内积定义为
f x , g x
1 1
f x g x dx ,
f x , g x P3 x
取 f1 x x ，构造子空间 W Span x ， W 的一组正交基； （1）求 （2）将 W 分解为两个正交的非零子空 间的和。
, 也是 R 2 的内积。 可验证这样定义的
例3 对 f x , g x C a, b ，定义内积为
f x , g x
b a
f x g x dx
用定积分的性质可证明这样定义的 f x , g x 是 C a, b 的内积。
2 , 1 2 2 1 ,, 1 , 1 i , 1 i , 2 i , i 1 i i 1 2 i 1 1 , 1 2 , 2 i 1 , i 1
例 设P3 x 是全体次数小于3的实系数多项 式构成一个实线性空间，定义内积为 f x , g x 11 f x g x dx , f x , g x P3 x 不难验证这样定义的 f x , g x 是 P3 x 的内 积，求 P3 x 的一组标准正交基。
所以H是 C n 上的酉变换，称为Householder 镜象变换.
定理2.5 设T是内积空间V上的一个线性 变换，则下列命题等价： （1） T , T , , , V , （2） T , V ， 当V是有限维时，以上命题进一步与以下 命题等价。 （3） 1 , 2 ,, n 是V的一组标准正交基，则 T 1 , T 2 ,, T n 是V的一组标准正交基; （4）T在任一组标准正交基 1 , 2 ,, n下的 矩阵是酉矩阵。
矩阵论第2章内积空间综述
(2) , V , x11 x2 2 xnn ; y11 y2 2 yn n ;
y1
则
n
,
i 1
n
xi y j i , j
j 1
x1,
x2
,,
xn
A
y2
xT
Ay
yn
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2：设 1,2,与,n 1为,2n,维,欧n 氏空间V的基，它们 的度量矩阵为A和B，，C是1,2,到,n 1,的2 ,过,渡n 矩阵，则 B CT AC （证明详见P26-27） 即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
A
0
2 3
0
2
3
0
2
5
（2）求 f (x) 1与x x2 g(x的) 内1积4。x 5x2
方法一：利用定义，直接计算
f
( x),
g(x)
1
1
f
(x)g(x)dx
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两 个向量的内积。
f (x), g(x) 在基1，x,x2的坐标分别为 (1,1,1)T , (1,4,5)T ,
例5 设欧氏空间 P[x]3中的内积为 f (x), g(x)
1
f (x)g(x)dx
1
（1）求基1，x,x2的度量矩阵；
（2）求 f (x) 1与x x2 g(x的) 内1积4。x 5x2
解：设基1，x,x2的度量矩阵为 A (aij )33 ,
a11 (1,1)
1
11dx
2
矩阵，则 B CH AC
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
工程矩阵理论第2章内积空间与等距变换.ppt
, = x11 + x22 +…+ xnn, y11 + y22 +…+ ynn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
n, 1 n, 2 … n, n yn
… …
… …
= XTGY = (XTGY)T = YHGTX.
第二章 内积空间与等距变换
例2 在 n中定义X, Y = YHX, 则 n为酉空间.
注: 上述两个例子中的内积称为标准内积. 一般情况下, 如果不特别声明, 则 n和 n 中的内积均指标准内积.
例3 设A为n阶正定矩阵, 在 n中定义 X, Y = YTAX,
则 n为欧氏空间.
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
… …
… …
…
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
1, 1 1, 2 … 1, n y1 = (x1, x2, …, xn) 2, 1 2, 2 … 2, n y2
1, 1y1 + 1, 2y2 +…+ 1, nyn
= (x1, x2, …, xn) 2, 1y1 + 2, 2y2 +…+ 2, nyn
n, 1y1 + n, 2y2 +…+ n, nyn
…
第二章 内积空间与等距变换
§2.1 内积空间的基本概念
矩阵理论课件 第二章 内积空间
则 T是正交变换。 ②设 T是内积空间 的V 一个线性变换，则
是T正交变换 Tx T。y x y
即：保持距离不变的线性变换是正交变换。
③设 T是内积空间 的V 一个变换，证明：如果 保T持
向量的内积不变，即对 x, y V ,(Tx,Ty，) 则( x, y)
T一定是线性变换，故是正交变换。
注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基 为标准（或规范）正交基，通常记为
0 i j e1, e2 , , en; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
( x ty, x ty) 0 t R ( y, y)t 2 2( x, y)t ( x, x) 0
4( x, y)2 4( x, x)( y, y) 0 ( x, y)2 ( x, x)( y, y)
Rn 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
1
1
n
xi yi
T 是正交变换 x, y V ,(Tx,Ty) ( x, y)
1 i j (Tei ,Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1)
x, y V , x x1e1 x2e2 xnen y y1e1 y2e2 ynen
Tx x1Te1 x2Te2 xnTen Ty y1Te1 y2Te2 ynTen
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个内积空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, R 满足
⒈ (x y) (x) ( y)
⒉ ( x) (x) ⒊ ( ( x), ( y)) ( x, y)
是T正交变换 Tx T。y x y
即：保持距离不变的线性变换是正交变换。
③设 T是内积空间 的V 一个变换，证明：如果 保T持
向量的内积不变，即对 x, y V ,(Tx,Ty，) 则( x, y)
T一定是线性变换，故是正交变换。
注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。 如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基 为标准（或规范）正交基，通常记为
0 i j e1, e2 , , en; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
( x ty, x ty) 0 t R ( y, y)t 2 2( x, y)t ( x, x) 0
4( x, y)2 4( x, x)( y, y) 0 ( x, y)2 ( x, x)( y, y)
Rn 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
1
1
n
xi yi
T 是正交变换 x, y V ,(Tx,Ty) ( x, y)
1 i j (Tei ,Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1)
x, y V , x x1e1 x2e2 xnen y y1e1 y2e2 ynen
Tx x1Te1 x2Te2 xnTen Ty y1Te1 y2Te2 ynTen
设V1 L(P ),V2 L(P ) 是两个内积空间，如果
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 ，使得对任意的 x, y V1, R 满足
⒈ (x y) (x) ( y)
⒉ ( x) (x) ⒊ ( ( x), ( y)) ( x, y)
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
定理2-2：任一n维欧氏空间V 都存在正交基.
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
V的一个基： 1,2 ,,n
1 1,
2 2 k11
(2 , 1 ) (2 k11, 1 ) (2 , 1 ) k1(1, 1 ) 0
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
第二节 正交基及子空间的正交关系
正交组：内积空间中两两正交的非零向量组. （必线性无关！）
定义2-3：在 n 维欧氏空间中,由正交组构成的基 称为正交基.
若1,,n是正交基，且i 1(i 1,,n) 则称1 ,, n是 标准正交基(或单位正交基).
k1
(2 , (1,
1) 1)
,
2
2
( 2 (1
, ,
1 1
) )
1;
3 3 k21 k32,
(3,1) 0 (3,2) 0
k2
(3 , 1 ) (1, 1 )
,
k3
(3 , (2,
2) 2)
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第二章第一二节 内积空间的概念、正交基及子空间的正交关系
Schmidt正交化过程（向量的正交化过程）
当( , ) 0时称 , 是正交 的，记为 . 由(0, ) 0，规定零向量0与任意向量正交. 例3: 若 , 则 | |2 | |2 | |2 . 一般，若1 ,2 ,,k是k个两两正交的向量，则：
| 1 2 k |2 | 1 |2 | 2 |2 k .2
推论：对内积空间V的任两向量 , 都有 （1） | || | | | （2） | || | | |
第2章 内积空间
5
向量长度
定义. 设V 为实内积空间，称 (a , a ) 为向量a 的长度， 记作 ||a ||。
定理. 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则 正定性 齐次性
(1) || a || 0, 且 || a || 0 当且仅当a 0； ( 2) || ka || | k | || a || ； Cauchy-Schwarz 不等式 ( 3) | (a , b ) | || a || || b ||, 等号成立当且仅当a , b 线性相关； (4) || a + b || || a || + || b || 。 三角不等实数组 x1 , x 2 , , x n 使（2）最小 0 0 0 这样的 x1 , x 2 , , x n 为方程组（1）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题.
2.问题的解决 设
Y a1 j x j , a2 j x j , j 1 j 1
13 13
下面用归纳法说明 b1 , b 2 ,
k 1
, b r 是正交向量组
(b i , ak ) ( b k , b j ) (a k b i , b j ) (1 j k ) i 1 ( b i , b i ) k 1 (b i , ak ) (a k , b j ) (b i , b j ) i 1 ( b i , b i )
其中R是主对角元为正数的上三角矩阵
15
几个定理和推论
定理3 设g 1 , g 2 ,...,g n是n维欧氏空间V中的一组标准正交基， 对任意a V , a x1g 1 + x2g 2 + xng n , 则 xi (a , g i ), i 1,2,...,n.
第2章-内积空间
若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。 定理：正交向量组必是线性无关的。
若 a1，a2，,an是n维内积空间V 的一个正交向量组，
则称其为V 的一个正交基。
10
定义：设a1，a2，,an是实内积空间V 的一正交基，
且其中每个向量的长度都是 1， 则称其为V 的一个标准正交基。
注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的 基向Байду номын сангаас上的正投影，即
定理5
设g1,g 2,...,g n;1,2,...,n都是n维欧氏空间V中的标准正交基， 并且 (1,2 ,...,n ) (g1,g 2,...,g n )A
则A是正交矩阵.
16
题型
已知R22的子空间W
X
x11 x 21
x12 x22
x21
x22
0
在W上定义( X ,Y )
2 i 1
2.1 实内积空间
定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，
若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，
记作(a, b ) = r, 并且满足 (1) (a, b ) = (b, a )
对称性
(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )
线性性
(3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 a = 0
由|| a + b ||2 (a + b , a + b ) || a ||2 +2(a, b )+ || b ||2 知
a 与b 正交 || a + b ||2 || a ||2 + || b ||2
若 a1，a2，,an是n维内积空间V 的一个正交向量组，
则称其为V 的一个正交基。
10
定义：设a1，a2，,an是实内积空间V 的一正交基，
且其中每个向量的长度都是 1， 则称其为V 的一个标准正交基。
注意：向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的 基向Байду номын сангаас上的正投影，即
定理5
设g1,g 2,...,g n;1,2,...,n都是n维欧氏空间V中的标准正交基， 并且 (1,2 ,...,n ) (g1,g 2,...,g n )A
则A是正交矩阵.
16
题型
已知R22的子空间W
X
x11 x 21
x12 x22
x21
x22
0
在W上定义( X ,Y )
2 i 1
2.1 实内积空间
定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域，
若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应，
记作(a, b ) = r, 并且满足 (1) (a, b ) = (b, a )
对称性
(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g )
线性性
(3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 a = 0
由|| a + b ||2 (a + b , a + b ) || a ||2 +2(a, b )+ || b ||2 知
a 与b 正交 || a + b ||2 || a ||2 + || b ||2
矩阵分析引论第(2)章
第二章内积空间§1 内积空间的概念§2 正交基及子空间的正交关系§3 内积空间的同构§4 正交变换§5 点到子空间的距离与最小二乘法§6 复内积空间（酉空间）§7 正规矩阵§8 厄米特二次型§9 力学系统的小振动()()()()()()()())( ,,,),( )3( )( ,,, 2 ;,, )1( , , V z z y z x z y x R y x y x x y y x y x R V ∈+=+∈==→λλλ满足：向量的内积内积的定义时，等号成立当且仅当,0),( (4)θ=≥x x x 此时的V 就成为（实）内积空间1. 内积空间的概念()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例1 n 维线性空间R n ()()∑====ni ii n n y x y x 12121),( ,ηξηηηξξξ 此称为欧几里德空间（欧氏空间）()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例2 n 2维线性空间R n ×n ∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nj i ijij nn n n n n nn n n n n ba B Ab b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 1,212222111211212222111211),( ,()()()为一个内积空间。
第二章 内积空间
② ( x, y z) ( x, y) ( x, z) x, y, z V
③ ( x, ) ( , x) 0
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）
设 V 是内积空间，x, y 是 V 中任意两个向量，则有：
( x, y)2 ( x, x)( y, y)
当且仅当 x, 线y 性相关时等号成立。
两种方法说明：交集为零空间； 零元素表示唯一。
定义5（正交补空间）
设 V1 ,V是2内积空间 的两V 个子空间，且满足
V1 V2 ,V ，V则1 称V2 是 的正V交2 补空V间1 ，简称正交
补，记为
。
V2Байду номын сангаас V1
性质3 n维欧氏空间V 的任一子空间V1 都有唯一的正
交补。
证明: ①如果 V1 { }，则 V 是 V1 唯一的正交补。 ②如果 V1 { } ，在 V1 中选取一组正交基 e1, e2 , , ek
i 1, 2, , n;
n
n
nn
(ei, ej ) ( akiek , amjem )
akiamj (ek , em )
k 1
m 1
k 1 m1
n
0 i j
aki akj
k 1
1
; i j
i, j 1, 2,
,n
即 AT A E
注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地 可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。
(1,1) (1,2 ) (2 ,1) (2 ,2 )
(1,n ) (2 ,n ) 0
(n ,1) (n ,2 )
(n ,n )
n
证明：设 kii
i 1
矩阵论第2章内积空间综述
（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换 与n阶矩阵之间存在一一对应关系。
（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，
下的矩阵为
是n维线性空间V的基，T1，T2在该基 则T1+T2，kT1,T1T2，T-1在该基下
矩阵分别为
（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在
基下的矩阵为
且向量 在该基下的坐标为
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维数。
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数，
f (x), g(x) 定义
f
( x),
g(x)
b
a
f
(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 是欧氏空间，但其维数无限。
f (x), g是(x)内 积， C[a,b]
例4在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，
则 在该基下的坐标为
（5）设
是纯量多项式，T
为V中的线性变换，且对V的基
有
则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：
其中f(A)称为矩阵A的多项式。
例1、试确定在多项式空间Pn [x]上的求导运算T
分别在下列两组基下的表示矩阵
说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般 是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.---P18定 理1.4.7。
线性映射（变换）
有以下性质：
（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性 相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W 中的线性无关向量组；
（4）设 则
并且
线性变换的值域与核
设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核 N (T)分别为
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的同构、正交变换、点到子空间的距离
例3: 设T是内积空间V 的一个变换. 证明：如果T 保持向量的内积不变，即
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
矩阵分析引论--第二章 内积空间-厄米特二次型
i , j1
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
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2
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
第二章
内积空间
本章将在抽象的线性空间中引进内积运 算，导出内积空间，并讨论正交变换与 正交矩阵及对称变换与对称矩阵，最后 将实二次型推广为复二次型，介绍 Hermite二次型.
2.1 内积空间的概念
三维立体空间 R 3 中向量的数量积具有以下的代数性质： (1) 对称性 (2) 可加性 (3) 齐次性 (4) 非负性
则得到三个正交元素 1 , 2 , 3 .
依此进行下去，一般有
( i ,1 ) ( i , 2 ) i i 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
这样得到 V 的一个正交基。 再将其单位化，令
( ) i ,i 1 i 1 (i 2 , 3 , n , ) i ( 1 i , 1 )
解
令
先正交化
1 1 (1,1,0,0)T ;
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 ( , ,1,0)T ; ( 1 , 1 ) 2 2
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 T 3 3 1 2 ( , , ,1) ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) 3 3 3
( , ) ( , ); ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
( , ) 0 , 当且仅当 0 时, ( , ) 0
有了数量积,向量的长度与夹角可表示为：
( , )
均成立，当且仅当 与 线性相关时，等号成立.
证明
当 与 至少有一个是零元素时，结论显然成立. 现在设 , 均为非零元素，则
( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( f , g)
b
f ( x ) g( x )dx
a
则可以证明这是 C a, b 上 f ( x ) 与 g ( x ) 的一种内积.
欧氏空间 V 中的内积具有如下的性质： (1) (O, ) ( , O) 0, V ; (2) ( , k ) k ( , ), , V , k R; (3) ( , ) ( , ) ( , ), , , V ;
定理 2.1 若 1 ,2 , ,m 是欧氏空间 V 中一个正交元素组，则
1 ,2 , ,m 线性无关.
, km R ,使
证明 设有一组数 k1 , k2 ,
k1 1 k22
kmm O
在上式两边分别用 i (i 1,2 , m) 作内积，可得
k1 (1 ,i ) k2 (2 ,i )
2
( x , x ) 2 ( x , y ) y ( y , )
由 Cauchy Schwarz 不等式，有
x y x 2( x , y ) y
2 2
2
2
2
x 2 x y y ( x y )2
即有
x y x y .
2.2
正交基及正交补与正交投影
此外，在欧氏空间 V 中也有勾股定理， 即当 x y 时,有 x y x y ， 将其推广至多个元素的情形， 即当 1 ,2 , ,m 两两正交时，有
1 2
m 1 2
2 2 2
2
2
2
m
2
定义 2.2 欧氏空间 V 中一组非零元素若两两正交，则称其为一 个正交元素组.
二.
正交补与正交投影 设 W1 ,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间，
( x ,y ) 0 成立，
定义 2.4
若对任意的 x W1 , y W2 ,总有
则称 W1 与 W2 正交，记作 W1 W2 . 若对某个确定的 x 及任意的 y W1 ，总有 则称 x 与 W1 正交，记作 x W1 .
( , ) k k k ，
k 1 n
同样可验证这样确定的实数是 R n 中向量 和 的内积.
内积不是唯一的
同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间
例 1.2 在 a , b 上连续函数空间 C a, b 中，对任意函数 f ( x), g( x) C a, b ， 定义
2
2
1
2 (
, 1 12
1 6 ,
,
,0)T 1 12 3 12
3
3
1
3 (
1 12
,
)T
1 1 1 1 T 4 4 ( , , , ) 4 2 2 2 2
则 1 , 2 , 3 , 4 就是所要求的标准正交基.
设 1 , 2,
元素的长度具有下列性质： (1) k k , k R, V ; (2) 当 O 时,
1
1, 即
1
是一个单位向量.
得单位向量的过程叫做把非零向量 单位化.
定理 1.1 ( Cauchy Schwarz 不等式) 设 V 是欧氏空间，则对 , V ,不等式
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
O 时, ( , ) 0 ( , ) 0 , 当且仅当
则称该间 V 为欧几里得 ( Euclid ) 空间，简称为欧氏空间.
为 x 与 y 的夹角，记作 x , y , 即
( x, y ) x, y arccos , ( x, y [0, ] ) . x y
例 1.3 试证明欧氏空间 V 中成立三角不等式
x y x y , x, y V .
证明 因为 x y ( x y , x )y
例 2.1 在 R 2 中,对于任意两个向量 x 与 y ，定义两种内积 (1) (2)
( x, y)1 xT y
1 ( x, y )2 x Ay, 其中A 1
T
1 2
由此所得的两个欧氏空间分别记为 ( R2 )1 与 ( R2 )2 ，试判断 向量 x0 (1,1)T 与 y0 (1,1)T 在 ( R2 )1 与 ( R2 )2 中是否正交？
例 1.1
在 n 维向量空间 R n 中,任意两个向量
(1 ,2 , ,n )T , (1 , 2 , , n )T ，
若规定
( , ) 1 1 2 2 n n k k ，
k 1 n
则容易验证,这样确定的实数符合内积的定义，是 R n 中向量 和 的内积. 另外，若规定
4 4
( , ) ( 4 , 1 ) ( , ) 1 4 2 2 4 3 3 (1, 1, 1,1)T ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
再单位化，令
1
1
1
1
1 (
1 2 1 6
,
1 2
,0,0)T 2 6 ,
(4) ( ki xi , l j y j ) ki l j ( xi , y j )
i 1 j 1 j 1 i 1
n
m
m
n
x i , y j V ， k i , l j R （i 1, ..., n; j 1, ..., m )
定义 1.2 设 V 是欧氏空间，则 V , O ， 非负实数 ( , ) 称为 的长度或模，记作 . 特别地，长度为 1 的元素称为单位元素， 零元素的长度为 0.
i
1
i
i (i 1, 2,
, n)
则可得 V 的一组标准正交基
1, 2 ,
, n .
例 2.1 在 R 4 中,将基 1 (1,1,0,0)T , 2 (1,0,1,0)T , 3 (1,0,0,1)T ,
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
第二章
内积空间
本章将在抽象的线性空间中引进内积运 算，导出内积空间，并讨论正交变换与 正交矩阵及对称变换与对称矩阵，最后 将实二次型推广为复二次型，介绍 Hermite二次型.
2.1 内积空间的概念
三维立体空间 R 3 中向量的数量积具有以下的代数性质： (1) 对称性 (2) 可加性 (3) 齐次性 (4) 非负性
则得到三个正交元素 1 , 2 , 3 .
依此进行下去，一般有
( i ,1 ) ( i , 2 ) i i 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
这样得到 V 的一个正交基。 再将其单位化，令
( ) i ,i 1 i 1 (i 2 , 3 , n , ) i ( 1 i , 1 )
解
令
先正交化
1 1 (1,1,0,0)T ;
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 ( , ,1,0)T ; ( 1 , 1 ) 2 2
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 T 3 3 1 2 ( , , ,1) ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) 3 3 3
( , ) ( , ); ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
( , ) 0 , 当且仅当 0 时, ( , ) 0
有了数量积,向量的长度与夹角可表示为：
( , )
均成立，当且仅当 与 线性相关时，等号成立.
证明
当 与 至少有一个是零元素时，结论显然成立. 现在设 , 均为非零元素，则
( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( f , g)
b
f ( x ) g( x )dx
a
则可以证明这是 C a, b 上 f ( x ) 与 g ( x ) 的一种内积.
欧氏空间 V 中的内积具有如下的性质： (1) (O, ) ( , O) 0, V ; (2) ( , k ) k ( , ), , V , k R; (3) ( , ) ( , ) ( , ), , , V ;
定理 2.1 若 1 ,2 , ,m 是欧氏空间 V 中一个正交元素组，则
1 ,2 , ,m 线性无关.
, km R ,使
证明 设有一组数 k1 , k2 ,
k1 1 k22
kmm O
在上式两边分别用 i (i 1,2 , m) 作内积，可得
k1 (1 ,i ) k2 (2 ,i )
2
( x , x ) 2 ( x , y ) y ( y , )
由 Cauchy Schwarz 不等式，有
x y x 2( x , y ) y
2 2
2
2
2
x 2 x y y ( x y )2
即有
x y x y .
2.2
正交基及正交补与正交投影
此外，在欧氏空间 V 中也有勾股定理， 即当 x y 时,有 x y x y ， 将其推广至多个元素的情形， 即当 1 ,2 , ,m 两两正交时，有
1 2
m 1 2
2 2 2
2
2
2
m
2
定义 2.2 欧氏空间 V 中一组非零元素若两两正交，则称其为一 个正交元素组.
二.
正交补与正交投影 设 W1 ,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间，
( x ,y ) 0 成立，
定义 2.4
若对任意的 x W1 , y W2 ,总有
则称 W1 与 W2 正交，记作 W1 W2 . 若对某个确定的 x 及任意的 y W1 ，总有 则称 x 与 W1 正交，记作 x W1 .
( , ) k k k ，
k 1 n
同样可验证这样确定的实数是 R n 中向量 和 的内积.
内积不是唯一的
同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间
例 1.2 在 a , b 上连续函数空间 C a, b 中，对任意函数 f ( x), g( x) C a, b ， 定义
2
2
1
2 (
, 1 12
1 6 ,
,
,0)T 1 12 3 12
3
3
1
3 (
1 12
,
)T
1 1 1 1 T 4 4 ( , , , ) 4 2 2 2 2
则 1 , 2 , 3 , 4 就是所要求的标准正交基.
设 1 , 2,
元素的长度具有下列性质： (1) k k , k R, V ; (2) 当 O 时,
1
1, 即
1
是一个单位向量.
得单位向量的过程叫做把非零向量 单位化.
定理 1.1 ( Cauchy Schwarz 不等式) 设 V 是欧氏空间，则对 , V ,不等式
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
O 时, ( , ) 0 ( , ) 0 , 当且仅当
则称该间 V 为欧几里得 ( Euclid ) 空间，简称为欧氏空间.
为 x 与 y 的夹角，记作 x , y , 即
( x, y ) x, y arccos , ( x, y [0, ] ) . x y
例 1.3 试证明欧氏空间 V 中成立三角不等式
x y x y , x, y V .
证明 因为 x y ( x y , x )y
例 2.1 在 R 2 中,对于任意两个向量 x 与 y ，定义两种内积 (1) (2)
( x, y)1 xT y
1 ( x, y )2 x Ay, 其中A 1
T
1 2
由此所得的两个欧氏空间分别记为 ( R2 )1 与 ( R2 )2 ，试判断 向量 x0 (1,1)T 与 y0 (1,1)T 在 ( R2 )1 与 ( R2 )2 中是否正交？
例 1.1
在 n 维向量空间 R n 中,任意两个向量
(1 ,2 , ,n )T , (1 , 2 , , n )T ，
若规定
( , ) 1 1 2 2 n n k k ，
k 1 n
则容易验证,这样确定的实数符合内积的定义，是 R n 中向量 和 的内积. 另外，若规定
4 4
( , ) ( 4 , 1 ) ( , ) 1 4 2 2 4 3 3 (1, 1, 1,1)T ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
再单位化，令
1
1
1
1
1 (
1 2 1 6
,
1 2
,0,0)T 2 6 ,
(4) ( ki xi , l j y j ) ki l j ( xi , y j )
i 1 j 1 j 1 i 1
n
m
m
n
x i , y j V ， k i , l j R （i 1, ..., n; j 1, ..., m )
定义 1.2 设 V 是欧氏空间，则 V , O ， 非负实数 ( , ) 称为 的长度或模，记作 . 特别地，长度为 1 的元素称为单位元素， 零元素的长度为 0.
i
1
i
i (i 1, 2,
, n)
则可得 V 的一组标准正交基
1, 2 ,
, n .
例 2.1 在 R 4 中,将基 1 (1,1,0,0)T , 2 (1,0,1,0)T , 3 (1,0,0,1)T ,