矩阵理论-第二章内积空间

2
因此有 即
( , )
2

( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当

( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
二.
正交补与正交投影 设 W1 ,W2 是欧氏空间 V 的两个子空间，
( x ,y ) 0 成立，
定义 2.4
若对任意的 x W1 , y W2 ,总有
则称 W1 与 W2 正交，记作 W1 W2 . 若对某个确定的 x 及任意的 y W1 ，总有 则称 x 与 W1 正交，记作 x W1 .
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
解
令
先正交化
1 1 (1,1,0,0)T ;
2 2
( 2 , 1 ) 1 1 1 ( , ,1,0)T ; ( 1 , 1 ) 2 2
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 1 1 1 T 3 3 1 2 ( , , ,1) ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) 3 3 3
此外，在欧氏空间 V 中也有勾股定理， 即当 x y 时,有 x y x y ， 将其推广至多个元素的情形， 即当 1 ,2 , ,m 两两正交时，有
1 2
m 1 2
2 2 2
2
2
2
m
2
定义 2.2 欧氏空间 V 中一组非零元素若两两正交，则称其为一 个正交元素组.
第二章
内积空间
本章将在抽象的线性空间中引进内积运 算，导出内积空间，并讨论正交变换与 正交矩阵及对称变换与对称矩阵，最后 将实二次型推广为复二次型，介绍 Hermite二次型.
2.1 内积空间的概念
三维立体空间 R 3 中向量的数量积具有以下的代数性质： (1) 对称性 (2) 可加性 (3) 齐次性 (4) 非负性
(4) ( ki xi , l j y j ) ki l j ( xi , y j )
i 1 j 1 j 1 i 1
n
m
m
n
x i , y j V ， k i , l j R （i 1, ..., n; j 1, ..., m )
定义 1.2 设 V 是欧氏空间，则 V , O ， 非负实数 ( , ) 称为 的长度或模，记作 . 特别地，长度为 1 的元素称为单位元素， 零元素的长度为 0.
所以 1 , 2 ,
, m)
, m 线性无关.
由定理可知， 在 n 维欧氏空间中，正交元素组所含元素的个数不会超过 n 个.
定义 2.3 在 n 维欧氏空间 V 中，由 n 个元素构成的正交元素组 称为 V 的正交基； 由单位元素组成的正交基叫作标准正交基.
定理 2.2 ( Schmidt 正交化方法) 设 1 ,2 , ,n 是 n 维欧氏空间 V 的任意一个基，则总可将其 进行适当运算后化为 V 的一个正交基，进而将其化为一个 标准正交基.
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
例 2.1 在 R 2 中,对于任意两个向量 x 与 y ，定义两种内积 (1) (2)
( x, y)1 xT y
1 ( x, y )2 x Ay, 其中A 1
T
1 2
由此所得的两个欧氏空间分别记为 ( R2 )1 与 ( R2 )2 ，试判断 向量 x0 (1,1)T 与 y0 (1,1)T 在 ( R2 )1 与 ( R2 )2 中是否正交？
( , )
均成立，当且仅当 与 线性相关时，等号成立.
证明
当 与 至少有一个是零元素时，结论显然成立. 现在设 , 均为非零元素，则
( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( f , g)
b

f ( x ) g( x )dx
a
则可以证明这是 C a, b 上 f ( x ) 与 g ( x ) 的一种内积.
欧氏空间 V 中的内积具有如下的性质： (1) (O, ) ( , O) 0, V ; (2) ( , k ) k ( , ), , V , k R; (3) ( , ) ( , ) ( , ), , , V ;
( , ) ( , ); ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
( , ) 0 , 当且仅当 0 时, ( , ) 0
有了数量积,向量的长度与夹角可表示为：
2
( x , x ) 2 ( x , y ) y ( y , )
由 Cauchy Schwarz 不等式，有
x y x 2( x , y ) y
2 2
2
2
2
x 2 x y y ( x y )2
即有
x y x y .
2.2
正交基及正交补与正交投影
元素的长度具有下列性质： (1) k k , k R, V ; (2) 当 O 时,
1

1, 即
1

是一个单位向量.
得单位向量的过程叫做把非零向量 单位化.
定理 1.1 ( Cauchy Schwarz 不等式) 设 V 是欧氏空间，则对 , V ,不等式
4 4
( , ) ( 4 , 1 ) ( , ) 1 4 2 2 4 3 3 (1, 1, 1,1)T ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 )
再单位化，令
1
1
1
1
1 (
1 2 1 6
,
1 2
,0,0)T 2 6 ,
( , ) k k k ，
k 1 n
同样可验证这样确定的实数是 R n 中向量 和 的内积.
内积不是唯一的
同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间
例 1.2 在 a , b 上连续函数空间 C a, b 中，对任意函数 f ( x), g( x) C a, b ， 定义
2
2
1
2 (
, 1 12
1 6 ,
,
,0)T 1 12 3 12
3
3
1
3 (
1 12
,
)T
1 1 1 1 T 4 4 ( , , , ) 4 2 2 2 2
则 1 , 2 , 3 , 4 就是所要求的标准正交基.
设 1 , 2,
定理 2.1 若 1 ,2 , ,m 是欧氏空间 V 中一个正交元素组，则
1 ,2 , ,m 线性无关.
, km R ,使
证明 设有一组数 k1 , k2 ,
k1 1 k22
kmm O
在上式两边分别用 i (i 1,2 , m) 作内积，可得
k1 (1 ,i ) k2 (2 ,i )
则得到三个正交元素 1 , 2 , 3 .
依此进行下去，一般有
( i ,1 ) ( i , 2 ) i i 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
这样得到 V 的一个正交基。 再将其单位化，令
( ) i ,i 1 i 1 (i 2 , 3 , n , ) i ( 1 i , 1 )
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.Biblioteka Baidu
为 x 与 y 的夹角，记作 x , y , 即
( x, y ) x, y arccos , ( x, y [0, ] ) . x y
例 1.3 试证明欧氏空间 V 中成立三角不等式
x y x y , x, y V .
证明 因为 x y ( x y , x )y
一 正交基 在欧氏空间可借助内积来定义正交. 定义 2.1 设 x , y 是欧氏空间 V 中的任意两个元素，如果
( x, y ) 0 ，
则称元素 x 与 y 正交，记作 x y .
由定义易知，零元素 O 与任何元素均正交. 若 x O , 由于 ( x , x ) 0, 所以非零元素不会与自身正交， 即只有零元素才与自己正交.
( , )
( , ) cos ,
以数量积的性质为依据，将该概念推广至抽象的线性空间.
定义 1.1 设 V 是实线性空间，若对于 V 中任意两个元素 和 ， 总能对应唯一的实数，记作 ( , ) ，且对应满足以下的性质： (1) 对称性 (2) 可加性 (3) 齐次性 (4) 非负性
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
例 1.1
在 n 维向量空间 R n 中,任意两个向量
(1 ,2 , ,n )T , (1 , 2 , , n )T ，
若规定
( , ) 1 1 2 2 n n k k ，
k 1 n
则容易验证,这样确定的实数符合内积的定义，是 R n 中向量 和 的内积. 另外，若规定
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , ) ( , ) ;
(k , ) k ( , ) ,k R ;
O 时, ( , ) 0 ( , ) 0 , 当且仅当
则称该实数是 V 中元素 和 的内积，并称这样的实线性空间 V 为欧几里得 ( Euclid ) 空间，简称为欧氏空间.
i
1
i
i (i 1, 2,
, n)
则可得 V 的一组标准正交基
1, 2 ,
, n .
例 2.1 在 R 4 中,将基 1 (1,1,0,0)T , 2 (1,0,1,0)T , 3 (1,0,0,1)T ,
4 (1, 1, 1,1)T 用 Schmidt 正交化方法化为标准正交基.
解
由于
( x0 ,y 0 )1
1 ( 1, 1 ) 1
0
1 ( x0 , y0 )2 (1,1) 1
1 1 1 0 2 1
故向量 x 与 y 在 ( R2 )1 中正交,在 ( R2 )2 中不正交. 由此例说明，两元素正交与否，由所在空间的内积确定.