第2章 内积空间

向量的长度满足 证明:
(a , b ) a b
(在欧氏空间中证明)
由于对任意数t，成立 (a tb , a tb ) 0, 即 (b , b )t 2 2(a , b )t + (a , a ) 0. 利用一元二次不等式的性质得
(a , b ) (a ,a )(b , b ),
第2章 内积空间
武汉理工大学理学院
同济大学数学系
2009-3-22
2.1 实内积空间
定义.设V 是一个实线性空间，R为实数域， 若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应， 记作(a, b ) = r, 并且满足
(1) (a, b ) = (b, a ) (2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ) (3) (ka, b ) = k(a, b ) (4) (a, a )≥0, (a, a ) = 0 a = 0 实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。
冯· 诺依曼（John von Neumann，1903~1957）
冯· 诺依曼从小聪颖过人，兴趣广泛，读书过目不忘。 据说他6岁时就能用古希腊语同父亲闲谈，一生掌握了七种语言，最擅德语，可在 他用德语思考种种设想时，又能以阅读的速度译成英语。他对读过的书籍和论文 ，能很快一句不差地将内容复述出来，而且若干年之后，仍可如此。 1911年一1921年，冯· 诺依曼在布达佩斯的卢瑟伦中学读书期间，就崭露头角而深 受老师的器重。与费克特老师合作发表了第一篇数学论文，此时冯· 诺依曼还不到 18岁。1921年一1923年在苏黎世联邦工业大学学习．很快又在1926年以优异的成 绩获得了布达佩斯大学数学博士学位，此时冯· 诺依曼年仅22岁。 1927年一1929年冯· 诺依曼相继在柏林大学和汉堡大学担任数学讲师。1930年接受 了普林斯顿大学客座教授的职位，西渡美国。1931年他成为美国普林斯顿大学的 第一批终身教授，那时，他还不到30岁。1933年转到该校的高级研究所，成为最 初六位教授之一，并在那里工作了一生。冯· 诺依曼是普林斯顿大学、宾夕法尼亚 大学、哈佛大学、伊斯坦堡大学、马里兰大学、哥伦比亚大学和慕尼黑高等技术 学院等校的荣誉博士。 他是美国国家科学院、秘鲁国立自然科学院和意大利国立林且学院等院的院士。 1954年他任美国原子能委员会委员；1951年至1953年任美国数学会主席。 1954年夏，冯· 诺依曼被发现患有癌症，1957年2月8日，在华盛顿去世，终年54岁
则
y1 n n y2 T (a , b ) xi y j (a i ,a j ) (x1 , x2 ,, xn )A x Ay i 1 j 1 y n
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵 的双线性函数来计算。
定理2 设 1 , 2 , 与, n
(a , b ) a T A b
Remark: 对于同一个线性空间，可以定义不同的内 积成为不同的欧氏空间
7
例4. 线性空间C[a, b]，f , g∈C[a, b]
定义内积
( f , g)

a
a
f ( x ) g ( x )dx
从而C[a, b]为此内积下的欧氏空间. 注：C[a, b]无限维的欧氏空间.
由 || a + b || 2 (a + b , a + b ) || a || 2 + 2 (a , b ) + || b || 2 知
a 与b 正交 || a + b || 2 || a || 2 + || b || 2
这就是实内积空间中的勾股定理。
Remark. 正交（orthogonal）与垂直（perpendicular）的区别
i 1 j 1 n n
x T Ay
18
度量矩阵
矩阵 A 称为基的度量矩阵。
(a 1 , a 1 ) (a 1 , a 2 ) (a 1 , a n ) (a 2 , a 1 ) (a 2 , a 2 ) (a 2 , a n ) A (a , a ) (a , a ) (a , a ) n 2 n n n 1
Remark. 欧氏空间内积的ຫໍສະໝຸດ Baidu质和复内积空间 不大一致！
9
向量长度（范数）
定义. 设V 为实内积空间， 称||a ||
(a , a ) 为向量a 的长度，模或范数（norm）
定理. 设V 是实内积空间，a , b V , k R ，则 正定性 齐次性
( 1 ) || a || 0 , 且 || a || 0 当 且 仅 当 a 0；
( 2 ) || k a || | k | || a || ；
(3) || a + b || || a || + || b || 。
三角不等式
Remark. (1)~(3)为范数的本性特征
例 6 在欧氏空间 R 中，对任意的向量 a (a1 , a2 ,, an ) R ，
n n
例 7 在 R 中，向量组
n
0 , , 0 , 1 , 0 , , 0 , i 1 , 2 , , n i i ( i ) 中任意两个向量 i , j (i j ) 正交．
例8 零向量与任意向量正交 .
度量矩阵的来历
有 在 欧 氏 空 间 C[ a , b ] 中 ， 对 任 意 的 向 量 f ( x ) C[ a , b ] ， 有
2 2 a a12 + a 2 + + an ．
f ( x)

b
a
f
2
(x)dx ．
a , b V , 引理（Cauchy-Schwarz不等式）设V是欧氏空间，
对比 Rn 中的结论， 可用
(a , b ) cos a , b [0, ] || a || || b ||
定义 a 与 b 在内积空间 中的 夹角 a , b .
向量的正交orthogonal
定义. 设V 是实内积空间，a , b V ,
若 (a , b ) 0 , 则称 a 与b 正交，记作 a b 。
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
（2） f ( x), g ( x) C[a, b]

b
a
f ( x) g ( x)dx

b
a
f ( x)dx
2

b
a
g 2 ( x)dx ,
这就是著名的Schwarz不等式。
向量的夹角 a , b
由Cauchy-Schwaz不等式可知
(a , b ) 1 1, || a || || b ||
(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
b y1a1 + y2a 2 + + yna n
17
( a , b ) ( x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n , y 1a 1 + y 2 a 2 + + y n a n )
x i y i (a i , a j )
(a 1 , a 1 ) (a 1 , a 2 ) (a 1 , a n ) y1 (a 2 , a 1 ) (a 2 , a 2 ) (a 2 , a n ) y 2 ( x1 , x 2 , , x n ) (a , a ) (a , a ) (a , a ) y n 2 n n n n 1
,n 为 n 维欧氏空间 V的基，它们 1 , 2,
1, 2 ,到 ,n 的度量矩阵为A和B，C是
的过渡 1 , 2 ,,n
2
b , 因 此 Cauchy-Schwarz 不 等 式 成立. 说明：等号仅当 a tb 0 即两个向量线性相关时成立.
2 2 2
即 (a , b ) a
结合不同的欧氏空间，可得Cauchy不等式的具体实例，如 （1） xi , yi R
x1 y1 + x2 y 2 + + xn y n x12 + x22 + + xn2 y12 + y 22 + + y n2 ,
a ( x 1 , x 2 , , x n ) T , b ( y1 , y 2 , , y n ) T
定义内积
(a , b ) x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n a T b
称为欧氏空间R n 的标准内积。
例 2 考虑线性空间 R ，对任意的 a , b R n ，不妨设
2
对称性 线性性 正定性
则称 (a, b ) 为a 与b 的内积，V 为实内积空间。
冯· 诺依曼（John von Neumann，1903~1957）
冯· 诺依曼, 20世纪最重要的数学家之一，在现代计算机、博弈论和核武 器等诸多领域内有杰出建树的最伟大的科学全才之一，被称为“计算机之 父”和“博弈论之父”。 原籍匈牙利。布达佩斯大学数学博士。先后执教于柏林大学和汉堡大学。 1930年前往美国，后入美国籍。历任普林斯顿大学、普林斯顿高级研究所 教授，美国原子能委员会会员。美国全国科学院院士。早期以算子理论、 量子理论、集合论等方面的研究闻名，开创了冯· 诺依曼代数。第二次世 界大战期间为第一颗原子弹的研制作出了贡献。为研制电子数学计算机提 供了基础性的方案。1944年与摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）合著《 博弈论与经济行为》，是博弈论学科的奠基性著作。晚年，研究自动机理 论，著有对人脑和计算机系统进行精确分析的著作《计算机与人脑》。 主要著作有《量子力学的数学基础》（1926）、《计算机与人脑》（1958 ）、《经典力学的算子方法》、《博弈论与经济行为》（1944）、《连续 几何》（1960）等。
n
a (a1 , a2 ,, an ) ， b (b1 , b2 ,, bn ) ，
规定
(a , b ) a1b1 + 2a2b2 + + nan bn ，
n
不难验证线性空间 R 对于如上规定的运算也构成一个内积空间．
6
例3. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R } A为 n 阶实正定矩阵， a ( x1 , x 2 , , x n ) T , b ( x1 , x 2 , , x n ) T 定义内积
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }