第二章 内积空间

⑵ T 保持向量长度不变，即对 x V，均有 Tx
x
。
⑶如果
e1 , e2 , , en 是 V 的一组标准正交基，则 Te1 , Te2 , , Ten 也是 V 的一组标准正交基。
⑷ T 在 V 中任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 证明思路：
பைடு நூலகம்
(1) ( 2);(1) (3);(3) ( 4)
(1) (2) T 是正交变换 x, y V ,(Tx , Ty ) ( x, y ) 2 2 取 y x (Tx , Tx ) ( x, x ) Tx x (2) (1) x V , Tx x (Tx, Tx ) ( x, x )
(T ( x y ), T ( x y )) ( x y, x y )
与
n
§4、正交变换 定义1 （正交变换）
设 T 是内积空间 V L( P ) 的线性变换，如果 对任意的 x , y V ，满足 (Tx, Ty ) ( x, y ) 则称线性变换 T 为
V 的一个正交变换。
V 的一个线性变换，则下列
定理1 （正交变换的等价定义） 设 T 是n维欧氏空间 命题等价： ⑴ T 是正交变换。
x, 设 V 是内积空间，
当且仅当
y
是 V 中任意两个向量，则有：
( x, y)2 ( x, x)( y, y)
x, y
线性相关时等号成立。
( x ty, x ty ) 0 t R
( y, y)t 2( x, y)t ( x, x) 0
2
4( x, y) 4( x, x)( y, y) 0
解：y R( A) , y (k
1 1

，称 R n 的子空间
n

k22 knn ) y i i 1, 2, , n T ( y,i ) i y 0 i 1, 2, , n
A y
T
R( A) y A y N ( A )
(1 , 2 ) ( 2 , 2 )
(1 , n ) ( 2 , n ) ( n , n ) 0
( n , 1 ) ( n , 2 )
证明：设
k
i 1 i
n
i

n n
k , 0 ( , k ) ( ki i , k ) ki ( i , k )
V1 ,V2
是内积空间 V 的两个子空间，如果对
，均有
x V1 , y V2
两种方法说明：交集为零空间； 零元素表示唯一。 定义5（正交补空间） 设
V1 V2 ,V V1 V2
间，简称正交补，记为
V1 ,V2 是内积空间 V
的两个子空间，且满足
。 1
，则称
V2 V
V2 是 V1
性质1 （内积的性质） ① ③
i 0
n
Rn [t ] ：
i
i 0
n
i 0
( x, y ) ( x, y ), R ② ( x, y z ) ( x, y ) ( x , z ) x, y, z V ( x, ) ( , x) 0
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）
e1 , e2 ,
0 i j , en ; (ei , e j ) 1 i j
定理1 （正交基的构造）
任一n维欧氏空间 V 都存在正交基。 证明（略）。 证明过程给出了正交基的一种构造方法： 著名的Schmidt正交化方法（线性代数学过）。 定义3（正交矩阵） 设 A
n n ，如果
, en ) A
a1n a2 n ann an1en an 2 en ann en
a11e1 a21e2 e1 e a e a e 2 12 1 22 2 a1n e1 a2 n e2 en
n
,n
即
A A E
T
注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地 可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。 正交矩阵
A A AA E
T T
性质（略）
定义4（正交子空间）
设
( x, y ) 0 ，则称 V1 与 V2 是正交的子空间，并记为 V V 。 1 2 性质2 设内积空间 V 的两个子空间 V1 与 V2 是正交 的，则 V V 是直和。 1 2
, A2 , A3 , A4 A1
, A2 , A3 ) V1 L( A1
) V L( A4
1
例4 设
A (1 ,2 ,
, n ) R
nn
R( A) L(1 , 2 , , n ) y y Ax , x R 为矩阵 A 的值域，求 R( A) 。
( x y) ( x) ( y) ( x ) ( x ) ( ( x ), ( y )) ( x , y )
V2 是同构的。
注：首先作为线性空间是同构的，在此同构之下保持内 积不变。
定理1 所有n维欧氏空间都同构。 ①设 V 是n维欧氏空间，e1 , e2 ,
则称实数( x ,
y )为向量 x , y 的内积，定义了内积的
实线性空间称为实内积空间，简称为内积空间。
例1 常见几个线性空间上内积的定义：
① 欧氏空间（有限维实内积空间） R n ：
x ( x1 , x2 ,
, xn ), y ( y1 , y2 ,
n i 1
, yn ) R
2
的正交补空
性质3 n维欧氏空间V 的任一子空间V1 都有唯一的正
交补。
{ }，则 V 是 V1 唯一的正交补。 ②如果 V1 { } ，在 V1 中选取一组正交基 e1 , e2 , , ek ，并将其扩充为 V 的一组正交基 e1 , e2 , , ek , ek 1 , , en 则 V2 L(ek 1 , , en ) 就是 V 的正交补。 1 V2 V3 ③唯一性： V V V V V 1 2 1 3 x V2 x V x x1 x3 , x1 V1 , x3 V3 x1 x 0 ( x, x1 ) ( x1 x3 , x1 ) ( x1 , x1 ) ( x3 , x1 )

b
a
f ( x ) g( x )dx
f ( x)dx g ( x)dx
b 2 1 2 b 2 a a
1 2
例2 设
1 , 2 ,
, n 是 R n 中的一组向量，证明这组
向量线性无关的充要条件是下列行列式（Gram）
(1 , 1 ) ( 2 , 1 )
, en 是其一组标准 正交基，则有 x V , x x e x e xnen 1 1 2 2 定义 : V Rn : ( x) ( x , x , , x ) Rn 1 2 n
容易验证该映射为同构映射，且保持内积不变，从而V
R 同构。 , e2 , , en 是其一组 ②设 V 是另一n维欧氏空间， e1 标准正交基，则有 x V , x x e x e x e 1 1 2 2 n n x2e2 xnen V 定义 : V V : ( x ) x1e1 从而 V 与 V 同构。
i 1 i 1
§2、正交基与子空间的正交关系 定义1 （正交组）
内积空间中两两正交的一组非零向量，称之为正交组。 注： 任何一个正交组都是线性无关的。 定义2 （正交基） 在n维欧氏空间中，由正交组构成的基，称之为正交基。
如果正交基中每个基向量的长度均为1，则称该组正交基
为标准（或规范）正交基，通常记为
第二章
内积空间
§1、实内积空间的概念 一、实内积空间的定义
定义1 设 V L( R) ,如果对 （记为 ( x ,
① ( x,
x , y V，存在实数
y )）与之对应，且满足下列条件
y ) ( y , x )② ( x, y ) ( x, y ), R ③ ( x y, z ) ( x , z ) ( y, z ) z V ④ ( x , x ) 0 ，当且仅当 x 时等号成立。
1 1 0 1 0 0 A1 , A2 , A3 0 0 1 0 1 1
求 V1 。
将
A1 , A2 , A3
扩充为
R
2 2 的一组基：
A1 , A2 , A3 , A4
1 0 A4 1 0
利用Schmidt正交化方法将其化为正交基：
2
( x, y) ( x, x)( y, y)
2
R 上Cauchy-Schwarz不等式的分量形式：
n
2 2 xi yi xi yi i 0 i 0 i 0
n n n
1 2
1 2
C [a , b]上Cauchy-Schwarz不等式的积分形式：
ei aki ek
k 1
n
i 1, 2,
, n;
(ei , ej ) ( aki ek , amj em ) aki amj (ek , em )
k 1 m 1 k 1 m 1
n
n
n
n
0 i j aki akj ; i , j 1, 2, k 1 1 i j
(1) (3) T 是正交变换 x, y V ,(Tx , Ty ) ( x, y ) 1 i j (Tei , Te j ) (ei , e j ) 0 i j (3) (1) x, y V , x x1e1 x2e2 xnen
y y1e1 y2e2 Tx x1Te1 x2Te2 Ty y1Te1 y2Te2
R
A A E
T
，则称 A 为正交矩阵。
性质1 不同标准正交基之间的过渡矩阵为正交矩阵。 设n维欧氏空间的两组标准正交基为
( I )e1 , e2 ,
, e , en ; ( II )e1 2,
, en
, e2 , (e1
) (e1 , e2 , , en
a11 a12 a a 21 22 A an1 an 2
证明: ①如果 V1
x1 x x3 V3 V2 V3
同理 V3
V2
例3 已知
R
2 2
中：
x1 V1 A A x 3
x2 , x1 x2 x3 x4 0 x4
V1 L( A1 , A2 , A3 ) ，其中
T T


注：一般来说，称
N( A
T
) 为矩阵
A
T
的零空间。
§3、内积空间的同构 定义1 （内积空间的同构）
设V
V1 和 V2 之间存在一个一一对应关系 x, y V1 , R 满足
⒈ ⒉ ⒊ 则称 V1 和
1
L( P ),V2 L( P ) 是两个内积空间，如果
，使得对任意的
a
③实数域上所有n阶方阵构成的线性空间 R n n ：
A (aij ), B (bij )
n i
( A, B ) aij bij
i 1 j 1
n
n
④实数域上所有n次多项式构成的线性空间
f ( t ) ai t , g( t ) bi t
( f ( t ), g( t )) ai bi
n
( x , y ) x i yi
注：向量的长度
x ( x, x) 或 x ( x , x )
正交向量 x , y ： ( x , y ) 0
②
[a , b]上连续函数的全体构成的空间 C [a , b] ： f ( x ), g( x ) C[a, b] b ( f ( x ), g( x )) f ( x ) g( x )dx