第三章运动的守恒定律

第3章运动的守恒定律●上一章，研究的是质点机械运动的瞬时关系和过程关系，即牛顿运动定律的微分形式和积分形式。

本章，将研究质点系统机械运动的瞬时关系和过程关系，重点研究质点系统的过程问题，从而确立和认识运动的守恒定律。

●一般地说，对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，该物理量就叫做守恒量。

●本章将着重讨论能量守恒、动量守恒和角动量守恒。

由宏观总结出的这几个守恒定律适合自然界的任何物理和化学等过程，它是自然规律最深刻、最简洁的陈述，它比物理学中其它定律，如牛顿运动定律，更重要、更基本。

●从质点的动能定理发展为机械能守恒定律，中间必须用到功能原理。

功能原理反映了功和能的关系。

过程关系代替瞬时关系的研究，使们可以不去考虑系统中相互作用具体变化的细节，而把整个过程的某些重要结果确定下来。

功能原理指出，机械能有两种形式，即动能和势能。

机械能守恒定律则进一步指出，在一定条件下，质点系统的动能和势能可相互转化，但它们的总和保持不变。

机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例。

作为自然界的一个普遍规律，能量守恒定律指出了物体运动形式可以相互或转移，在运动转化中，能量始终是守恒的。

● 动量和角动量守恒定律同样是自然界的普遍规律，它揭示了通过物体的相互作用，机械运动发生转移的规律。

● 能量、动量和角动量为什么守恒？这涉及时空对称性问题，即与物质和物质运动的时空属性有关。

3-1 保守力 成对力作功 势能1. 保守力1） 重力所作的功与路径无关设质量为m 的物体在重力作用下，从高度分别为h a 和h b 的a点沿任一曲线运动到达b 点，重力所作的功为，在元位移中，重力G 所作的元功是（如图3-1所示）()∑∑∑-=∆=∆=∆=b a h h mg h mg h mg A A ● 由上式可知，重力所作的功只与运动物体的始末位置有关，而与运动物体所经过的路径无关。

2） 任意闭合路径重力所作的功都为零● 物体沿任一闭合路径运动一周时，重力所作的功，如图3-1所示，因为()b a ab h h mg A -=()a b ba h h mg A -=所以()()0=-+-=a b b a aba h h mg h h mg A● 这就是说，在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时，重力所作的功为零，即0=⋅=⎰ds G A3） 弹性力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零设有一劲度系数为k 的轻弹簧，放在水平光滑桌面上，令它一端固定，另一端连结一物体，如图3-2所示。

物体从a 点运动到b 点时，弹力对物体所作的功是222121b a x x x x kx kx kxdx Fdx A b a b a -=-==⎰⎰ 由上式可见，弹性力所作的功只与运动物体始末位置有关，同样，如果物体由某一位置出发经过任来回过程回到原处，则在整个过程中，弹性力所作的功为零。

4） 万有引力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零设一质量为m 的物体，在另一质量为M 的静止物体的引力场中，沿某路径由a 运动到b ，如图3-3所示，引力所作的功为，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-==⋅==⎰⎰⎰⎰b a b a b a ba b a r r mM G dr r mM G r d r mM G r d F dA A 11cos 02020 α ● 因此，引力的功也只和始末位置有关。

5） 静电力所作的功与路径无关，任意闭合路径所作的功都为零6） 保守力● 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关的力叫做保守力，其他的力叫做非保守力。

重力、弹性力、万有引力和静电力等都是保守力，它们所作的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关。

摩擦力是非保守力，它作的功与路径有关，当我们把放在地面上的物体从一处拉到另一处时，如果所经过的路径不同，摩擦力所作的功是不相同的。

2. 成对力的功根据牛顿第三定律，不管是保守力还是非保守力，力总是成对的，现在，在讨论质点系统就要讨论这对力所作的总功。

设有两个质点1和2，质量分别为m1和m2，F1为质点1受到质点2的作用力，F2为质点2受到质点1的作用力，它们是一对作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知，F1=- F2。

如果在某参考系内，质点1 在dt 时间内完成了位移dr 1，质点2在这段时间内完成的位移是dr 2。

根据矢量合成的法则，不难看出，dr 2=dr 1+dr ’,此处dr ’表示质点2相对于质点1的相对位移，如图3-4所示。

● 我们分别用dA1与dA2表示F1与F2所所作的元功，则有111r d F dA ⋅=，222r d F dA ⋅=● 这一对作用与反作用所作的元功之和dA 为()()r d F r d F r d F F r d r d F r d F r d F r d F dA '⋅='⋅+⋅+-='+⋅+⋅=⋅+⋅= 1112212112211 ● 由此可见，成对作用力与反作用所作的总功只与作用力及相对位移有关，与每个质点各自的运动无关。

虽然每个质点的位移以及作用力所作的功都是和参考系有关的，但是质点间的相对位移却是不随参考系而变化的，所以上面结果表明：任何一对作用力和反作用力所作的总功具有与参考系选择无关的不变性质，只要牛顿第三定律成立，无论从什么参考系去计算，成对力所作的功的结果都一样，这是很重要的性质，利用这一特点我们方便地由相对位移来分析系统中成对内力的功。

例如，两块叠放在一起的物体，由于它们上下表面之间存在静摩擦力，所以在外力作用下一起沿水平面加速运动，从两者没有相对位移就可断定这对摩擦力所作的总功为零。

通过上述讨论，现在回顾一下前面的保守力作功的问题。

不难看出，在相互作用中，我们讨论的是质点中的一个质点不动的情形，我们知道，不动的质点力对它所作的功为0，因此，实际上前面讨论的就是成对保守力所作的总功，运动质点的始末位置也就是两个质点的始末对相对位置，所以，保守力的普遍定义应该是这样的：在任意的参考系中，成对保守力的功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关。

3. 势能1） 定义● 在机械运动范围内的能量，除了动能外，还有势能。

物体相对位置变化，相互作用的保守力将作功，并且保守力作的功与路径无关，所以对保守力的相互作用引入势能的概念。

非保守力作功与路径有关，这时不能引入势能的概念。

势能定义为，质点系统各个质点的相对位置从目前位置状态移动变化到指定的参考位置状态时，保守力所作的功叫做质点系统当前的势能，即∑⎰⋅=i p p p i i r d F E 02） 重力势能()p o p P p mgh r d j mg r d F E =⋅-=⋅=⎰⎰ 03） 弹性势能()221p o p P p kx dx kx r d F E =⋅-=⋅=⎰⎰ 4） 引力势能r mM G r d r r mM G r d F E p P p 0030-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⎰⎰∞ 5） 保守力的功与势能的关系● 保守力的功与路径无关的性质，大大简化了保守力作功的计算，引入势能概念以后，保守力的功可简单地写成p pb pa ab E E E A ∆-=-=上式的意思说，系统在由位置a 改变到位置b 的过程中，成对保守内力的功等于系统势能的减少(或势能增量的负值)。

6） 势能是物体系统的概念应当强调，势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有，通常有人讲“物体的势能”这句话，只是为了叙述的简便，但是不严格的。

此外，还要注意，式(3-7)表明，物体系统在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来量度，鉴于成对保守力作用的功与参考系的选择无关，所以这个势能差是有其绝对意义的，而这正是我们在处理问题时所感兴趣的内容。

至于系统的势能的量值，即只有相对意义，如果 我们选定在某个位置，系统的势能为零，则它在其他位置的势能才有具体的量值，此值等于从该位置移动到势能零点时保守力所做的功。

势能零点可根据问题的需要来选择，而作为两个位置的势能差，其值是一定的，与势能零点的选择无关。

4. 势能曲线● 质点系统的势能与质点系统相对位置的关系曲线叫做势能曲线。

● 用势能曲线来讨论物体在保守力作用下的运动是很方便的，前面提到的三种势能的势能曲线如图3-5所示。

1） 根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动系统的总能量p k E E E +=保持不变的条件，可以在势能曲线图上用一平行于横坐标轴的直线来表示。

系统在每一位置时动能的大小就可方便地在图上显示出来，因为动能不可能负值，只有符合0≥k E 的运动才可能发生，所以，根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。

例如，在图3-5(b)中，表示总能量的直线与势能曲线相交于A 、B 两点，这表明质点只能在AB 的范围内运动，而且在A 、B 两点，质点的动能为零，速度也为零。

● 在图3-5(a)中，当质点的h=H 时，其动能为零；而当h=H ’时，其动能为图中所示的Ek 。

2） 势能曲线可判断保守力的大小和方向● 保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值，因为保守力的功等于势能增量的负值，即：p x dE dx F dx F dA -===ϕcosdx dE Fx p-=所以利用势能曲线，可判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向，即保守力是指向势能下降的方向，下降得越快，保守力约大。

3-2 功能原理1. 质点系统的动能定理● 设由两个质点1和2组成的质点系统它们的质量分别为m 1,m 2；它们所受的外力分别为F 1和F 2；它们所受的内力分别为f 12和f 21，它们是成对出现的；它们运动的路径分别为s 1和s 2；则，外力对质点系统所做的功为()⎰⎰⋅+⋅=2211r d F r d F A e 内力对质点系统所做的功为()⎰⎰⋅+⋅=221112r d f r d f A i 内外力对质点系统所做的总功为()()()()kk k i e E E E r d f r d F r d f r d F r d fr d f r d F r d F A A ∆=∆+∆=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2122122112112211122211根据质点的动能定理对于由多个质点组成的质点系统同样有上述关系成立● 质点系统的动能定理：系统的外力和内力所作功的总和等于系统动能的增量。

2. 系统的功能原理1） 系统的功能原理● 系统的保守力内力的功：p ic E A ∆-=；系统的非保守内力的功：Aid系统内力的总功：id p id ic i A E A A A +∆-=+=由系统的动能定理：k p id e i e E E A A A A ∆=∆-+=+得系统的功能原理：E E E A A k p id e ∆=∆+∆=+● 系统的功能原理：当系统从状态1变化到状态2时，它的机械能的增量等于外力的功与非保守内力的功的总和。