ch3二维图形生成技术(二次曲线)
二次曲线数控加工的数学分析
二次曲线数控加工的数学分析二次曲线是二次方程的图像，表达式为y = ax^2 + bx + c。
在数控加工中，二次曲线常用于制作弧形或曲线的零件。
本文将对二次曲线数控加工的数学分析进行详细讨论。
让我们来学习二次方程的标准形式。
标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a，b和c 是常数。
a决定了二次曲线的开口方向和弯曲程度。
当a大于0时，曲线开口向上；当a 小于0时，曲线开口向下。
接下来，我们来看看如何通过数控加工生成二次曲线。
在数控机床上，我们可以通过控制刀具在x和y轴上的运动来形成曲线。
为了生成二次曲线，我们需要考虑以下几个关键点：1. 轨迹规划：确定加工曲线的起始点和结束点，以及曲线的路径和方向。
这有助于确定初始条件和运动方程。
2. 运动方程：根据起点和终点以及曲线的路径，确定刀具在x和y轴上的运动方程。
由于二次曲线是二次方程的图像，因此我们可以使用二次方程的运动方程来控制刀具的移动。
3. 参数选择：根据具体的加工要求，选择合适的参数来控制曲线的形状和大小。
可以通过调整a、b和c来控制开口方向、弯曲程度和位置。
4. 运动控制：利用数控系统的控制功能，将运动方程转化为机床坐标系下的运动指令。
通过控制刀具在x和y轴上的移动，以及刀具与工件表面之间的距离，实现对加工曲线的控制。
除了以上几点，还有一些附加的数学分析可以用于优化加工效果：1. 刀具半径补偿：由于刀具具有一定的半径，实际加工曲线会比设计曲线略大。
为了保持加工精度，可以通过在运动方程中引入刀具半径来进行补偿。
2. 运动速度控制：根据曲线的形状和大小，合理控制刀具的运动速度，以避免加工过程中的快慢不一和抖动现象。
3. 弧段插补：在多轴数控机床上，可以通过插补多个直线段来逼近二次曲线。
通过合理设置插补点和插补速度，可以实现更精细的曲线加工效果。
二次曲线数控加工的数学分析涉及到曲线轨迹规划、运动方程的确定、参数选择、运动控制以及一些附加的数学分析。
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P1
d1 = F(xp + 2, yp - 0.5) 2 2 = (xp + 2) + (yp - 0.5) = d + 2xp +3 即d 的增量为 2xp +3.
-R
2
M P2
中点画圆法
若d>=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象 素的判别式为： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) 2 2 2 = (xp + 2) + (yp - 1.5) - R = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2） 即d 的增量为 2 (xp - yp) +5. P1 d的初值: d0 = F(1, R-0.5) M 2 2 = 1 + (R-0.5) - R P2 = 1.25 - R
圆的等面积正多边形逼近法
当用内接正多边形逼近圆时，其面积要 小于圆的面积；而当用圆的外切正多边 形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积。 为了使近似代替圆的正多边形和圆之间 在面积上相等，只有使该正多边形和圆 弧相交，称之为圆的等面积正多边形。
圆的等面积正多边形逼近法
步骤： 求多边形径 长，从而求 所有顶点坐 标值 由逼近误差 值，确定边 所对应的圆 心角α
程序如下（完全用整数实现）： MidpointCircle(r,color) Int r, color; { int x,y,d; x = 0; y = r; d = 1-r; putpixcel(x,y,color); while( x < y) { if (d <0) { d += 2*x+3; x++; } else { d += 2*(x-y)+5; x++ ; y--; } putpixcel(x,y,color); } }
3D设计软件中的二次曲线功能如何使用？
3D设计软件中的二次曲线功能如何使用？3D设计中【二次曲线】的应用，在日常生活中无处不在。
无论是汽车前照灯的镜面，还是冷却塔的单叶双曲面，甚至于人造天体的运行轨道都应用到了二次曲线。
在3D创意设计过程中，设计工程师常常需要使用更精确、灵活的曲线工具来描绘曲线和曲面，创建更为理想的产品结构。
对此，由浩辰CAD公司研发的浩辰3D设计软件中提供了丰富的曲线、曲面工具来助力设计工程师高效设计。
在即将推出的浩辰3D 2022中，更是进一步优化了【二次曲线】命令，可精确绘制双曲线、抛物线和椭圆曲线，用于驱动复杂曲面并创建旋转、拉伸和扫掠特征。
1、二次曲线命令的启用打开浩辰3D设计软件，在所有草图环境中创建二次曲线。
点击【草图】选项卡中【曲线】的下拉栏，选择【二次曲线】命令。
2、二次曲线类型的选择从几何角度理解，二次曲线是由一平面截取二次锥面得到的曲线，包括椭圆、抛物线、双曲线等。
在浩辰3D设计软件中，可以直接从【二次曲线】命令的下拉栏中，选取想要的曲线类型并精准控制曲率。
除了几何外观，还可以通过代数或者离心率来定义判断二次曲线及其类型。
浩辰3D设计软件可通过使用控制点、曲线顶点或输入Rho 值来编辑曲线类型。
尤其是通过浩辰3D设计软件改变Rho值的大小来控制曲线类型。
当Rho值为0.5时，曲线为抛物线；当Rho值小于0.5时，曲线为椭圆；当Rho值为大于0.5时，曲线为双曲线。
3、二次曲线的约束定义浩辰3D设计软件不仅可以对二次曲线进行尺寸标注以及关系约束，还可以定位约束抛物线的焦点。
通过浩辰3D设计软件的【二次曲线】功能，可精确绘制双曲线、抛物线和椭圆曲线，用于驱动复杂曲面并创建旋转、拉伸和扫掠特征。
通过【二次曲线】，可以助力设计工程师更加精确高效地完成复杂创意设计，加速推进产品研发进程。
二次曲线的基本概念与性质
二次曲线的基本概念与性质二次曲线是数学中重要的曲线类型之一，具有独特的性质和应用。
本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和应用二次曲线。
一、二次曲线的定义与分类二次曲线是由二次方程表示的曲线，其一般形式为 ax^2 + bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0，其中a、b、c、d、e、f为实数且a和c不同时为0。
二次曲线的形状和性质与a、b、c的值相关。
根据二次曲线的系数等特征，我们可以将其分为以下三种类型：1. 椭圆：当b^2 - 4ac < 0时，二次曲线为椭圆。
椭圆是一种闭合的曲线，具有两个焦点和长短轴，常用于描述行星轨道、电子轨道等。
2. 抛物线：当b^2 - 4ac = 0时，二次曲线为抛物线。
抛物线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有顶点和对称轴，常用于物体抛体运动、天文学中的折射等问题。
3. 双曲线：当b^2 - 4ac > 0时，二次曲线为双曲线。
双曲线是一种开口朝上或朝下的曲线，具有两个分支和渐进线，常用于电磁波传播、双曲线函数等领域。
二、二次曲线的性质1. 零点与轴：二次曲线与x轴和y轴的交点称为零点。
根据二次方程的特性，二次曲线最多有两个零点。
而对于抛物线、椭圆和双曲线，还存在零点在无穷远处的情况，分别称为开口朝上、朝下和双曲线的渐进线。
2. 对称性：二次曲线通常具有对称性质。
椭圆和双曲线具有轴对称性，抛物线具有顶点对称性。
这种对称性便于在计算和应用中进行分析和求解。
3. 焦点和准线：对于椭圆和双曲线，存在两个焦点和两条准线。
焦点与准线是二次曲线的重要特性，与曲线的形状和离心率相关。
焦点和准线的性质在物理光学、电磁学等领域有广泛的应用。
4. 椭圆离心率：椭圆的离心率是一个重要的参数，表示椭圆形状的圆形程度。
离心率越接近于0，椭圆越接近于圆形；离心率越接近于1，椭圆越扁平。
离心率的大小对椭圆的性质和应用有重要影响。
三、应用与拓展二次曲线作为数学中的经典对象，广泛应用于各个领域。
2020年整理二维基础图形生成2汇编PPT课件
else length=fabs(y2-y1);
deltx=(x2-x1)/length; delty=(y2-y1)/length;
02.11.2020
x=x1; y=y1; k=1;
while(k<=length) {
SetPixel(hdc,x,y, RGB(0,0,0)); x=x+deltx; y=y+delty; k=k+1; Sleep(50); } }
16
画线中点算法
n 目标：消除DDA算法中的浮点运算（浮点数取整
运算，不利于硬件实现； DDA算法，效率低）
n 条件：
w同DDA算法
w斜 率： m[0,1]
n 直线段的隐式方程（(x0,y0)(x1,y1)两端点） F(x,y)=ax+by+c=0 式中 a=y0-y1,b=x1-x0,c=X0Y1-X1Y0
02.11.2020
1
扫描转换直线段
• DDA算法 • 中点画线法 • Bresenham算法
圆弧、椭圆弧扫描转换
• 中点算法 • Bresenham算法 • 内接多边形迫近法* • 等面积多边形逼近法*
02.11.2020
2
1 简单的二维图形显示流程
02.11.2020
3
图形显示前需要：扫描转换+裁剪 ● 裁剪 ---〉扫描转换：最常用，节约计算时间。 ● 扫描转换 ---〉裁剪：算法简单； ● 扫描转换到画布 --〉位块拷贝：算法简单，但耗时耗
w斜率：my/x
x x 1 x 0 , y y 1 y 0
三讲二维图形生成算法ppt课件.ppt
基本增量算法
直线方程：y=mx+b ，0<m<1， m= △y/ △x= △y ； x=1，xi+1=xi+ 1，yi+1=yi+m
2021/3/6
基本增量算法
• 增量算法的定义：每一步都是根据前一步进行 增量计算。这种算法通常被称作数值微分 (DDA)算法。DDA(Digital Differential Analyzer algorithm)是用数值方法解决微分方 程的一种手段 。
2021/3/6
中点线算法
• 中点线算法的目的在于改进DDA算法，使得只采用整 形变量参加运算。
假设当前为old点，下一点为new点，则有： dold=a·(xp＋1)+b·(yp＋1/2)＋c 如果选择的是E，M在x方向增加一个步长，那么： dnew=F(xp＋2，yp＋1/2)=a(xp＋2)＋b(yp＋1/2)＋c dnew=dold＋a 用ΔE表示选择E后加入到d的增量，则ΔE=a=dy。 如果选择的是NE，那么M’在x方向和y方向上均需增加
2021/3/6
基本增量算法的实现
#include<graphics.h>/*加入c图形库*/ #include<math.h>/*数学库*/ #include<conio.h>/*键盘控制*/ void Line(int x0,int y0,int x1,int y1,int value) /*从坐标(x0,y0)到(x1,y1)画颜色为value的直线*/ { int x; float dx,dy,m,y; dx=x1-x0; dy=y1-y0; m=dy/dx;/*取得斜率*/ y=y0; for(x=x0;x<=x1;x++) {
二次曲线数控加工的数学分析
二次曲线数控加工的数学分析二次曲线数控加工是一种常见的数控加工方法，它可以用来加工出各种复杂形状的零件，广泛应用于航空航天、汽车制造、船舶制造等领域。
在进行二次曲线数控加工时，需要对二次曲线进行数学分析，以便确定加工轨迹，控制加工过程，保证加工质量。
本文将对二次曲线数控加工的数学分析进行探讨，力求从理论角度全面介绍二次曲线数控加工的数学原理及其应用。
一、二次曲线的基本性质二次曲线是指方程为二次多项式的曲线，通常可以表示为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0。
其中A、B、C、D、E、F为常数，且A、B、C不全为零。
根据A、B、C的正负数和零的不同，可以得到不同类型的二次曲线，如椭圆、双曲线、抛物线等。
在数控加工中，常用的二次曲线包括圆弧、椭圆弧、双曲线等。
二次曲线的一些基本性质如下：1. 对称性：二次曲线通常具有对称性，可以关于x轴、y轴或原点对称。
2. 切线方向：二次曲线上的切线方向可以通过对曲线方程进行微分得到。
3. 曲率：二次曲线的曲率可通过对曲线进行微分得到。
1. 加工轨迹的确定在进行二次曲线数控加工时，需要确定加工轨迹，即加工刀具在加工过程中的运动路径。
通过对二次曲线的方程进行分析，可以得到曲线上任意点的坐标和切线方向，从而确定刀具的加工路径。
对于圆弧，可以通过圆弧的方程和参数方程来确定刀具的加工轨迹；对于椭圆弧，可以通过椭圆弧的参数方程来确定刀具的加工轨迹。
2. 加工过程的控制在数控加工过程中，需要对机床进行控制，以确保加工精度和表面质量。
二次曲线的数学分析可以帮助确定加工参数，如进给速度、切削速度、加工深度等，从而实现对加工过程的精确控制。
3. 刀具路径的优化通过对二次曲线进行数学分析，可以得到曲线的曲率和切线方向，从而优化刀具路径，减小加工误差，提高加工效率。
在进行数控车削时，可以根据曲线的曲率确定刀具的进给速度和切削速度，以保证加工表面的质量。
4. 其他应用二次曲线的数学分析还可以在数控加工中用于曲面加工、轮廓加工、孔加工等方面。
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
第二章 二维图形生成
第二章二维图形生成一、复习要求1、直线生成的常用算法2、二次曲线生成的常用算法3、字符4、区域填充的实现方法二、内容提要1．直线的生成算法（1）生成直线的常用算法在数学上，理想的直线是没有宽度的，由无数个点构成的集合。
当我们对直线进行光栅化时，只能在显示器所给定的有限个象素组成的矩阵中，确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作，这就是通常所说的用显示器绘制直线或直线的扫描转换。
由于一个图中可以包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应尽可能的快。
本节我们介绍一个象素宽直线的三个常用算法：逐点比较法、数值微分法（DDA）和Bresenham算法。
①逐点比较法画直线段的过程中，当前象素点为(x p, y p)，一个象素点有两种可选择点p1(x p+1, y p)或p2(x p+1, y p+1)。
若M=(x p+1, y p+0.5)，为p1与p2之中点，Q为理想直线与x=x p+1垂线的交点。
当M在Q的下方，则P2 应为下一个象素点；M在Q的上方，应取P1 为下一点。
就是逐点比较法的基本原理。
图2-1 逐点比较法每步迭代涉及的象素和中点示意图下面讨论逐点比较法的实现。
令直线段L(p0(x0,y0), p1(x1, y1)), 其方程式 F(x, y)=ax+by+c=0。
其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0; 点与L的关系：on: F(x,y)=0; up: F(x, y)>0; down: F(x, y)<0; 因此，欲判断中M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号。
构造判别式:d=F(M)=F(x p+1, y p+0.5)=a(x p+1)+b(y p+0.5)+c当d<0，M在L(Q点)下方，取P2为下一个象素；当d>0，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象素；当d=0，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；注意到d是x p, y p的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。
二维图形生成技术
else { y＝y＋1； e＝e＋k－1 } }
10
讨论： 斜率不同时：
以上讨论的是 0≤ k ≤ 1 的情况，即 0＜△y＜△x 的情况； 若是 0＜△x＜△y 的情况，则需将 x 和 y 的位置交换。 方向不同时：
xi
Xi+18
设 e (xi+1)＝yi+1－yi′－0.5
(2)
若b在a的下面，则有 e (xi+1)<0
若b在a的上面，则有 e (xi+1)>0
由图中可知：当e (xi+1)≥0时 y′i+1＝yi′＋1
e (xi+1) < 0时 y′i+1＝yi＇
递推：
由(2)、(3)式可得：
e (xi+2)＝yi+2－y′i+1－0.5＝yi+1＋k－y′i+1－0.5
这个方法称之为数字微分分析法，简称DDA。
3
算法描述如下：
int x1，y1，x2，y2； int x； float dx，dy，k，y； dx＝x2 － x1 ； dy＝y2 － y1 ； k＝dy／dx ； x＝x1 ； y＝y1 ； for (x＝x1；x＜＝x2；x＋＋)
{ putpixel (x，(int)y，pixelcolor ) ； y＝y＋k ；
Cx =
a
b
c
d
T x
则： x(t) = T • Cx
且： x'(t) = 3t2 2t 1 0 • Cx
26
Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标P0 、 P1以及两端 点处的切线矢量R0 、 R1来描述曲线的。即：
二次曲线数控加工的数学分析
二次曲线数控加工的数学分析1. 引言1.1 概述【二次曲线数控加工的数学分析】二次曲线数控加工是指利用数学理论和数值计算方法来精确控制加工设备对二次曲线进行加工的工艺。
二次曲线是指具有形如y=ax^2+bx+c的数学表达式的曲线。
在制造业中，许多零件的表面形状或轮廓都可以用二次曲线来描述，因此掌握二次曲线数控加工的数学分析方法对于提高生产效率和产品质量具有重要意义。
通过对二次曲线数控加工过程的研究，可以更好地理解加工过程中的数学原理和误差来源，帮助工程师设计更精确的加工工艺，并优化加工参数，提高加工精度和效率。
二次曲线数控加工的数学分析也为数控加工技术的发展提供了新的思路和方法。
在本文中，我们将深入探讨二次曲线数控加工的数学理论，探讨数控加工中二次曲线的应用，建立数学模型，进行数值计算与仿真，分析误差并进行优化。
通过这些内容的研究，可以为二次曲线数控加工提供更深入的理论基础和实践指导，推动该领域的发展。
1.2 研究意义【二次曲线数控加工的数学分析】研究二次曲线数控加工的数学分析具有重要的理论和应用意义。
通过对二次曲线的数学理论进行深入研究，可以优化数控加工中的加工路径规划，提高加工效率和加工质量。
数控加工中广泛应用的二次曲线如圆弧、椭圆等形状，在实际生产中具有重要的应用价值，因此对其数学特性进行分析有助于更好地理解和应用这些曲线。
建立完善的数学模型和进行准确的数值计算与仿真，可以帮助工程师更好地设计和优化数控加工工艺，提高生产效率和产品质量。
通过误差分析和优化，可以及时发现和解决数控加工中可能出现的问题，降低加工误差，提高加工精度。
研究二次曲线数控加工的数学分析对于推动数控加工技术的发展，提高工业生产水平具有重要的现实意义和价值。
1.3 研究方法【二次曲线数控加工的数学分析】研究方法是指对研究对象进行系统、科学地观察、实验和分析的方法论。
在进行二次曲线数控加工的数学分析研究时，我们需要深入研究并运用适当的研究方法才能取得有效的结果。
二维图形生成技术
计算机图形学实验二课程名称：计算机图形学实验名称：二维图形生成技术实验日期：2011-12-07班级：数媒0902班姓名：沈玉婷学号：0305090206一、实验目的和要求1、掌握二维基本图元直线段生成的DDA算法，中点算法、Bresenham算法；2、掌握二维基本图元圆的扫描算法；3、掌握二维图元填充的种子填充算法；4、掌握二维图元填充的多边形扫描线算法。
二、实验内容1、编程实现利用交互形式确定直线的两端点，并实现DDA、中点算法和Bresenham算法生成直线2、推导1/4圆的中点画圆算法，并编程实现。
3、构造任意一个边界表示的多边形，假定该多边形内部是四连通的。
要求：用递归算法实现对多边形内部的填充，要求内部颜色和边界不一致。
三、实验步骤假设已知P（xi，yi），则可能的下一个像素只能是P1（xi+1，yi）或者P2（xi+1，yi+1），构造圆函数为F（x，y）=x²+y²-R²圆上的点（x，y），有F（x，y）=0；圆外的点（x，y），有F（x，y）>0；圆内的点（x，y），有F（x，y）<0。
构造原函数：F（x,y）= x2+y2-R2..构造判别式：di=F(Mi)=F(xi+1,yi-0.5)=(xi+1)2+(yi-0.5)2-R21.di<0，则应取P1（xi+1,yi）为下一像素：di+1=F(xi+2,yi-0.5)=(xi+2)2+(yi-0.5)2-R2=di+2xi+32.di>=0，则应取P2（xi+1,yi-1）为下一像素：di+1=F(xi+2,yi-1.5)=(xi+2)2+(yi-1.5)2-R2= di+2(xi-yi)+5若按顺时针方向生成1/4圆，则第一个像素是（0，R），则判别式的初值：d0=1.25-R,进一步整理可令：d0=1-R;程序中令：xx=0,yy=r;dtx=3,dty=2-2*r;d=1-r;画四分之一圆，令yy>=0即可;其中按照di的正负确定下一像素的位置，逐渐画出四分之一的圆。
第3章 二维图元生成技术 计算机图形学
两个距离的差
d 1 d 2 2k ( xi 1) 2 yi 2b 1
若此差值为正，则d1＞d2，下一个像素点应取 P2 (xi ＋1, yi＋1)；若此差值为负，d1<d2,下一个像素点应 取P1 (xi＋1, yi)；若此差值为零，则d l＝d2，下一 个像素点可取两个像素点中的任意一个.
dy=abs(y2-y1);
if(dx<dy){iTag=1;Swap(x1, y1);Swap(x2, y2);Swap(dx, dy);} tx=(x2-x1)>0?1:-1;ty=(y2-y1)>0?1:-1; curx=x1;cury=y1; inc1=2*dy;inc2=2*(dy-dx);d=inc1-dx;
k
y1 y 0 y x1 x0 x
d i 1 d i 2y xi 1 2x yi 1 2y xi 2x yi
d 当di≥0时，yi+1=yi+1， i 1 di (2y 2x) 当di≤0时，yi+1=yi d i 1 d i 2y 初始判别量d0
5 4
29
3.1.3 Bresenham算法
已经确定的像素为P(xi yi)，下一个可选 择的像素点为P1(xi＋1, yi)和P2(xi＋1, yi ＋1) )两者中的一个
3.1.3 Bresenham算法
在x=xi＋1处直线上点y=k(xi＋1)+b，该点到P1 (xi＋ 1, yi)和P2 (xi＋1, yi＋1)的距离分别令为d1和d2：
第二章 二维图形生成技术
x 0 1 2 3 4
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1 0 1 2 3 4 5
中点画线法（5/6）
d的初始值 Nhomakorabead0=F(X0+1,Y0+0.5) =F(X0,Y0)+a+0.5 =a+0.5b 用2d代替d后，d0=2a+b d的增量都是整数 只有整数运算，不含乘除法 可用硬件实现
float dx,dy,x,y,steps; int x1=0,y1=0,x2=200,y2=100,i; if(abs(x2-x1)>abs(y2-y1)) steps=(float)abs(x2-x1); else steps=(float)abs(y2-y1); dx=(x2-x1)/steps; dy=(y2-y1)/steps; x=(float)x1; y=(float)y1; for(i=1;i<=steps;i++) { pDC->SetPixel((int)(x+0.5),(int)(y+0.5),RGB(0,0,255)); x=x+dx; y=y+dy; }
因(X0,Y0)在直线上， 所以F(X0,Y0)=0
优点：
/* 算法2.2*/
中点画线法（6/6）
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int a, b, d1, d2, d, x, y; a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (x<x1) { if (d<0) {x++; y++; d+=d2; } else {x++; d+=d1;} drawpixel (x, y, color); } /* while */ } /* mid PointLine */
CAXA制造工程师项目训练教程-项目二 二维曲线绘制-文档资料-PPT文档资料
将图形平面镜象，
2.3.1 任务一 连杆轮廓图绘制
Ø过程图解：
作出曲线1、曲线2间 过度圆弧R15
进行删除修剪
完成轮廓图形绘制
2.3.2 任务二 手柄轮廓图绘制
Ø 实例任务： ü 绘制如图2-8所示手柄轮廓图。
Ø 训练目的： ü 学会应用直线、圆弧、圆、平面镜像、曲线过渡、等距 线等命令来实现图形的制作及相关技巧。
图2-32 文字示例
2.4.2 尺寸标注
Ø 尺寸标注：
ü 功能：在草图状态下，可以对所绘制图形标注尺寸。 ü 操作： • （1）单击直线命令，绘制图2-33所示四边形图形， 画图时不必考虑尺寸。 • （2）选择“造型”/“尺寸”/“尺寸标注”，或单 击尺寸标注命令 按钮 。 • （3）系统提示“拾取尺寸标注元素”，分别拾取各 直线，用鼠标拖动尺寸线，选择合适位置，标注出其尺 寸，标注角度尺寸时，需要行取相邻两直线，按右键结 束操作，如图2-34所示。
图2-8 手柄轮廓图
2.3.2 任务二 手柄轮廓图绘制
Ø 思路分析： • 图中直线和圆可用直线、圆命令直接画出，
• • • •
圆弧部份是由四段圆弧相切而成， 可先画出已知圆心的圆弧（R15、R10）， 然后用“两点_半径”的方式画出R50圆弧， R12圆弧可以用曲线过渡命令完成圆弧的连接。
2.3.2 任务二 手柄轮廓图绘制
2.3.2 任务二 手柄轮廓图绘制
Ø过程图解：
4.绘制直线段
5.平面镜像
6.画圆φ8，完成 轮廓图形绘制
2.3.3 任务三 机箱后盖轮廓图绘制
Ø 实例任务： ü 绘制如图2-20所示机箱后盖轮廓图。
Ø 训练目的： ü 学会应用矩形、圆、曲线过渡、陈列、等距线、角等分 线等命令来实现图形的制作及相关技巧。
第三章 二维曲线
20112011-5-12
建立草图的一般步骤如下： 建立草图的一般步骤如下： • 建立草图工作平面； 建立草图工作平面； • 建立草图对象； 建立草图对象； • 约束与定位草图； 约束与定位草图； • 约束管理； 约束管理； • 草图管理。 草图管理。
草图平面和参考方向
草图平面： 草图平面： 画草图前必须先建立一个草图平面， 画草图前必须先建立一个草图平面，定义草图平面实际上是定义一个平 面和一个坐标系，该平面可以是坐标平面，可以是实体上的一个平面。 面和一个坐标系，该平面可以是坐标平面，可以是实体上的一个平面。 如何指定草图平面（参看右图）： 如何指定草图平面（参看右图）： 1、选择草图平面； 选择草图平面； 2、定义WCS平面； 定义WCS平面 平面； 3、利用基准平面； 利用基准平面； 4、利用基准坐标系。 利用基准坐标系。 定义草图参考方向： 定义草图参考方向： • 指定草图平面后，直接指定草图参考方向（即定义草图坐标参考方向）； 指定草图平面后，直接指定草图参考方向（即定义草图坐标参考方向）； • 也可以直接双击参考坐标系的控制手柄来定义。 也可以直接双击参考坐标系的控制手柄来定义。
第二章 二维图形生成技术
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2.2 圆 的 生 成
2.2.1 圆的八点对称 我们可以利用圆的对称性把圆周上的一个点 映射为若干点，从而使计算简化。 映射为若干点，从而使计算简化。图2.6所示 所示 的是位于1/8圆周上的一个点(x，y)，我们可 的是位于1/8圆周上的一个点(x，y)， 圆周上的一个点 值进行交换及改变x、 值的符号 值的符号， 把x、y值进行交换及改变 、y值的符号，从 、 值进行交换及改变 而可在圆周上映射出另外7个点 个点。 而可在圆周上映射出另外 个点。我们称这 种性质为八点对称。于是， 种性质为八点对称。于是，为了求出表示整 个圆弧的像素集，只需要扫描转换1/8圆弧 圆弧。 个圆弧的像素集，只需要扫描转换 圆弧。
d x = x1 − x 0 d y = y1 − y 0
此两参数的绝对值哪一个大，就作为步长参数( 此两参数的绝对值哪一个大，就作为步长参数(n)， 此参数作为沿直线所画出的点的数目。 此参数作为沿直线所画出的点的数目。
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计算机图形学
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2.1.3 中点画线法
P2 Q M P1 P=(Xp,Yp)
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计算机图形学
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2.1.5 双步画线算法
Bresenham算法是每次决定一个像素的走法， 算法是每次决定一个像素的走法， 算法是每次决定一个像素的走法 而双步画线算法是每次决定两个像素的走法， 而双步画线算法是每次决定两个像素的走法， 因此效率比Bresenham算法提高了大约一倍。 算法提高了大约一倍。 因此效率比 算法提高了大约一倍 双步画线算法是对中点画线算法的改进。 双步画线算法是对中点画线算法的改进。假 设线段的起始点为 ( x0 , y0 ) ，终止点为 ( x1 , y1 ) ， 令dx=x1-x0，dy=y1-y0。首先考虑线段在第一 象限的情况，此时d >0， 象限的情况，此时dx>0，dy≥0，0≤k≤1。如 0 1 图2.5所示 所示