探索勾股数
八年级数学上册《探寻勾股数》教案、教学设计
b.对于基础较好的学生，引导他们深入探索勾股定理的证明过程，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
4.精讲多练，巩固知识：在教学过程中，教师应注重讲解与练习的相结合，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展延伸，培养创新：在学生对勾股定理有了基本掌握后，引导他们探索勾股定理在其他领域中的应用，如物理、工程等，培养学生的创新思维和跨学科素养。
2.提倡学生独立思考，遇到问题可以与同学讨论，但不得直接抄袭他人答案。
3.家长要关注学生的学习情况，协助学生完成实践题和思考题，培养学生的自主学习能力。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导，帮助学生提高。
2.提高题：尝试完成课本第17页提高题6、7。这两道题目涉及勾股定理的逆向应用，有助于培养学生的逆向思维和解决问题的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算三角形土地的面积等。要求学生将问题、解题过程和答案写成一篇小论文，提高学生的应用能力和写作能力。
在本章节的教学中，要充分考虑到学生的认知水平和心理特点，注重激发学生的兴趣，引导他们通过自主探究、合作交流的方式去发现勾股定理。此外，针对学生在解决问题时可能遇到的困难，教师应适时给予指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
同时，要关注学生的个体差异，对于基础较弱的学生，教师应给予更多的关注和鼓励，帮助他们建立信心；对于基础较好的学生，则可以适当提高要求，引导他们深入挖掘勾股定理的内涵和外延，培养他们的创新思维和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生在掌握勾股定理的基础上，进一步提高数学素养，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
勾股数规律的探究
勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。
勾股数规律的探究
勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。
勾股数的相关探究
对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。
关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。
《周札》卷十《地官。
大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。
而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。
”两者何其相似。
曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。
至今河南登封县还有周代观景台遗址。
《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。
《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。
光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。
夫子之道，皆能知之。
”可见陈子也是精通天文历算的学者。
顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。
其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
勾股数的探索
勾股数的探索活动准备：计算器1只、火柴盒1只活动内容：能够构成直角三角形三条边的边长的3个正整数，称为勾股数，我国古老的数学和天文著作《周髀算经》中，记载的“勾三股四弦五”中的（3，4，5）就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如（6，8，10）（9，12，15），（12，16，20）等都是勾股数当然，勾股数远远不止这些，如（5，12，13）、（8，15，17）等也都是勾股数。
怎样探索勾股数呢？即怎样的一组正整数（a,b,c）才能满足关系式a2+b2=c2?活动1：设（a,b,c）为一组勾股数1.填表：表1 表22.在表1中,a为奇数,正整数b和c之间的数量关系是c=b+1 ,b、c与a2之间的关系式是根据以上规律,当a=13时,b=84,c=85一般地,当a为奇数时,用a分别表示b、c，则b= , c= .3.表2中,a为大于4的偶数,正整数b、c之间的数量关系是 c =b+2 ，b、c与a2之间的数量关系是a2+b2=c2根据以上规律，当a=14时，b=48，c=50一般地，当a为大于4的偶数时，用a分别表示b、c,则b=____________,c=_____________4.正整数9、12、15是一组勾股数吗？这组数据满足上述规律吗？这说明了什么问题？活动2；计算与验证a=m2-n21．已知数据b=2mn ①c=m2+n2其中m>n,，m、n为正整数.a、b、c为勾股数吗？为什么？如果a、b、c是一组勾股数，写出你的证明；如果不是勾股数，请说明理由2.公元前580年～公元前500年。
古希腊人毕达哥拉斯给出勾股数的计算公式: 你能证明吗?a=2n+1b=2n2+2n （n为正整数）②c=2n2+2n+13.公元前427年～公元前347年.古希腊哲学家柏拉图又给出了勾股数计算公式:a=n2-1b=2n (n>1的正整数) ③c= n2+1请你给出证明利用以上3个勾股数的计算公式,我们可以求出无数组勾股数.但这里需要强调的是,用它们求出的勾股数不是所有的勾股数.如公式①不能求出勾股数(9,12,15),公式②不能求出勾股数(8,15,17),公式③不能求出(5,12,13).活动创新活动3:联想与拓展.1.如图1,已知四边形ABCD是长方形,AC为对角线,则有AB2+BC2=AC2,即AB、BC、AC满足勾股定理.DA1图1 图2如图2,ABCD-A1B1C1D1是长方体.图1中的线段AB、BC、AC分别对应图2中的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1.若长方体的面ABB1A1、面BCC1B1、面ACC1A1的面积分别用γβα、、表示,则是否有222γβα=+仍然成立?请说明理由.2.如图3,已知四边形ABCD为长方形,直线l分别截AB、CB于点E、F,则有BE2+BF2=EF2.DA1图3 图4如图4, ABCD-A1B1C1D1为长方体,一个平面分别截长方体的棱AB、BC、BB1于点M、N 、G .图3 中的直线l 对应图4的平面MNG ,图3中直线截长方形的两边所得线段对应图4中平面MNG 截长方体所得三个面BMN 、面BMG 、面BNG .若面MNG 、面BMG 、面BNG 的面积分别用γβαδ、、、表示，请猜一猜2222δγβα=++是否成立？（不需要说明理由）3．是否存在这样的3个整数a 、b 、c ，使它们满足a 3+b 3=c 3呢？你能进行一番探索吗？试一试。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案教学目标1.了解勾股数的概念。
2.掌握如何判断勾股数。
3.能够熟练地运用勾股数求解实际问题。
教学准备1.教师准备宣传海报和宣传材料。
2.软件准备：麻将图、IPTV3.教师要提前准备讲台板书。
教学步骤第一步：自主学习引导将引导教材寄发给学生，让学生自主地观看、理解“直角三角形”、“勾股定理”的概念. 对一些看不懂的地方，要提出问题，以便后续了解。
第二步：自主学习活动主题活动：勾股数探寻活动活动方案我们的数学学科广泛应用于生活和社会中。
活动具体内容如下： 1. 请同学们自己组队，以探寻的方式来寻找“勾股数”。
2. 同学们在组队后就应该联系，确定了一个位于校园周围的合适区域，进行勾股数的探寻活动，这个区域最好是几何实物或者建筑物。
3. 在探寻的过程中，请同学们通过测量建筑物的各个边长来寻找勾股数，勾股数要求在探寻范围内。
4. 每个组要完成勾股数的探寻并转化为勾股定理的运用，然后再去勾股问题的求解。
5. 三个班的所有小组都必须结合自己探索的文字、图片、数据等完整呈现目标的勾股问题解。
活动效果这个挑战活动主要是让同学们在感受中掌握勾股数的概念和勾股定理的应用，这里还有一些效果、价值和意义： 1. 勾股问题谜团被破解，同学们的掌握程度逐步深化，以探索的方式活动反映了数学学科以掌握、应用的思维进阶。
2. 探索过程强调了团队协作和合作的学科精神，展现了经验跨越、多学科合作的教学策略，旨在促进同学们私底下交流和思考。
第三步：课堂讲解授课1.提出数学问题，基于“探索”活动的结果进行总结：用什么条件来判断直角三角形？2.勾股数的概念与判定。
–勾股数指的是a²+b²=c²这种形式的数值，其中a、b、c分别为三条边上的数值，其中一个角为直角。
3.推导勾股数的运用–演示如何使用勾股定理求解勾股数。
–引导同学们实际操作，并公布一些练习题，检验学生的掌握情况。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案一、教材分析本教案根据苏科版八年级数学上册的教学内容编写而成，教学内容顺序为：数列基本概念 -> 数列的通项公式 -> 数列求和 -> 勾股数。
其中，勾股数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的经典问题之一。
勾股数是指一个直角三角形的两条直角边的长度都是整数，斜边的长度也是整数。
例如，3、4、5就是一组勾股数，因为32+42=52。
二、教学目标1.了解数列基本概念。
2.掌握数列的通项公式和求和公式。
3.了解勾股数的概念和特点。
4.能够寻找勾股数并进行验证。
5.通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法。
三、教学内容和方法1. 数列基本概念学生通过对数列的定义和数列的表示方法的学习，掌握数列的基本概念。
通过课堂上的讨论，帮助学生理解数列的概念。
方法：课堂讨论。
2. 数列的通项公式和求和公式学生通过重点讲解数列的通项公式和求和公式的推导和运用，深入理解数列的数字规律及其推导方法。
方法：通过讲解和分组实践。
3. 勾股数的探索学生在学习勾股数前，先探究一下最小的勾股数构成的三角形是什么样子的，以此引导学生理解勾股数的基本概念。
方法：小组讨论，展示自己构造的勾股数三角形并进行验证。
4. 勾股数的性质学生通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法，并能发现勾股数之间的一些关系。
方法：教师提出问题，学生通过小组合作解决，然后在课堂上进行讨论。
四、教学流程1. 数列基本概念•通过例题引出数列的概念。
•介绍等差数列、等比数列等常见数列。
•提出数列的表示方式。
2. 数列的通项公式和求和公式•以等差数列为例，引出通项公式、求和公式的定义和公式表达。
•通过推导过程介绍通项公式、求和公式的使用方法。
•分组实践中让学生自己尝试推导一些简单的数列通项公式和求和公式。
3. 勾股数的探索•提出勾股数的概念，并引出最小的勾股数。
•学生通过小组讨论，构造出最小勾股数组成的三角形。
勾股定理-探索勾股定理
勾股定理-探索勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．补充：平方数例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =要点二、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．例1、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10举一反三：1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长2.与勾股定理有关的面积计算例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．例3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．变式练习：1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643.如图，带阴影的长方形面积是（）A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm24．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S=64，则中间的正方形的面积S3为（）2A.36B.60C.24D.485.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）3A.25B.31C.32D.403.勾股定理在实际生活中的应用．例1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？例2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．举一反三：1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
一、教案设计概述1.1 教学目标（1）理解勾股定理的概念及含义；（2）掌握勾股定理的证明方法；（3）探索勾股数的性质及应用；（4）培养学生的逻辑思维能力、创新能力和团队协作能力。
1.2 教学内容（1）勾股定理的定义及历史背景；（2）勾股定理的证明方法；（3）勾股数的定义及性质；（4）勾股数在实际问题中的应用。
1.3 教学策略采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作探讨的方式，深入理解勾股定理及其应用。
利用数学软件和互联网资源，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。
二、教学过程2.1 导入新课（1）利用数学软件展示勾股定理的动画效果，引导学生关注勾股定理；（2）提问：什么是勾股定理？它有什么含义？2.2 自主学习（1）让学生自主探究勾股定理的证明方法，鼓励学生发挥创意，尝试不同的证明思路；（2）学生展示证明成果，教师点评并总结。
2.3 合作探讨（1）引导学生探讨勾股数的定义及性质；（2）举例说明勾股数在实际问题中的应用；（3）学生分组讨论，分享讨论成果。
2.4 练习巩固（1）设计相关练习题，让学生巩固所学知识；（2）教师批改练习题，及时反馈错误，引导学生纠正。
三、教学评价3.1 过程性评价（1）观察学生在自主学习和合作探讨过程中的表现，评价其学习态度、创新能力和团队协作能力；（2）评价学生在练习巩固中的表现，关注其知识掌握程度。
3.2 总结性评价（1）期末考试中关于勾股定理的试题；四、教学资源4.1 教材《数学与应用》、《数学分析》等教材。
4.2 网络资源（1）数学课件、动画、视频等教学素材；（2）相关学术文章、研究报告。
五、教学进度安排5.1 第一课时（1）导入新课；（2）自主学习：探究勾股定理的证明方法；（3）合作探讨：探讨勾股数的定义及性质。
5.2 第二课时（1）合作探讨：举例说明勾股数在实际问题中的应用；（2）练习巩固：设计相关练习题，让学生巩固所学知识。
5.3 第三课时（1）总结本章内容；（2）布置课后作业；（3）开展课后辅导，解答学生疑问。
苏科版八年级数学上册导学案：数学活动 探索勾股数
课题：探索“勾股数” 学习目标1. 进一步理解勾股定理及其逆定理.2. 通过探究活动，寻找勾股数的通用公式. 学习重难点理解通用公式的来源；换元思想. 预习导航1.勾股定理及其逆定理的内容.2.什么是勾股数？3.乘法公式 探究活动 活动一试构造5组勾股数构造勾股数，3个正整数应满足“两个数的平方和（差）等于第三个数的平方” 自学活动1，填表(活动二)mn22n m -mn 222n m +6 5 11 60 61… …………活动三 1.常见的勾股数①3、4、5 ②5、12、13 ③8、15、17 ④9、40、41 注意：⑴.一组勾股数中各数的相同的整数倍的一组新数也是勾股数。
如：6、8、10；9、12、15。
⑵.记住常用的勾股数可以提高作题速度。
有趣的勾股数a b c第一组：3=2 ×1+1 4=2 ×1 ×（1+1）5=2 ×1 ×（1+1）+1第二组：5=2 ×2+1 12=2 ×2 ×（2+1）13=2 ×2 ×（2+1）+1第三组：7=2 ×3+1 24=2 ×3 ×（3+1）25=2 ×3 ×（3+1）+1第四组：9=2 ×4+1 40=2 ×4 ×（4+1）41=2 ×2 ×（4+1）+1 · · ·观察以上各组勾股数的特点，你能求出第七组勾股数的a、b、c各应是多少吗？第n组呢？第n组：a=2n+1 b=2n(n+1) c=2n(n+1)+1回顾反思1.你有什么收获？2.勾股数还有其他的通用公式吗？请查阅相关资料。
初中数学苏教版八年级上册第三单元探寻“勾股数”教案模板范文
初中数学苏教版八年级上册第三单元探寻“勾股数”教
案模板范文
1教学目标
1、知识与技能:通过我们对勾股数深入的探索,由简单的勾股数发现其内在的规律,进行对勾股数计算、证明,会写一些勾股数.
2、过程与方法:让学生在操作实践中获得数学活动的经验,感受"观察、实验、猜想、验证和归纳"的学习方法,验证勾股数.
3、情感、态度、价值观:培养学生勤于实践,勇于发现,乐于创新的学习品质,激发学生感受科学思维的价值.
2学情分析
学生在之前的学习中,已经掌握了直角三角形三边的数量关系,这为本课学生自主探索勾股数内在规律打下了坚实的基础。
同时,在前面的学习中,学生的自主探究、合作交流的能力都得到一定的训练,在本课中,将进一步培养学生探究方面的能力;在之前学生的练习中发现不少学生不能用较准确地数学符号语言表述学过的知识,并用来解决问题,因此本课继续加强学生计算和证明方面的能力。
3重点难点
1、由简单的勾股数发现其内在的规律,探索一些复杂的勾股数,对勾股数进行计算、证明,能很快写出一些勾股数。
2、对勾股数进行计算、证明
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、了解勾股数
问题1:若a,b,c为直角三角形的三边,则a,b,c有怎样的数量关系?
问题2:你能写出几组勾股数吗?
2【讲授】二、感受勾股数的文化价值。
人教版八年级下册数学教案：17.1探寻“勾股数”
3.勾股定理的逆定理及其应用；
4.实际问题中的勾股数应用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理的证明过程，让学生理解数学的严谨性和逻辑性；
2.提升学生的空间想象力和几何直观，通过勾股数在实际问题中的应用，增强学全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论勾股数在实际生活中的应用时，能够提出很多有趣的观点和创意。但在引导和启发学生思考方面，我觉得自己还有待提高。在未来的教学中，我将努力提出更具启发性的问题，引导学生深入思考，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
最后，总结回顾环节，学生对勾股数的掌握程度较好，但仍有个别学生在运用方面存在困难。为了帮助学生更好地巩固知识，我计划在课后布置一些与勾股数相关的练习题，并对他们进行个别辅导。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在探究勾股数的奥秘中表现出很高的兴趣。他们对于勾股定理的证明过程感到好奇，同时也对实际应用中如何使用勾股数来解决直角三角形问题产生了浓厚的兴趣。以下是我对教学的几点反思：
首先，我觉得在新课导入环节，通过提出与生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心和求知欲。这使得他们在接下来的学习中，能够更加主动地参与到课堂讨论和实践中。
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，并从中发现规律；
探索勾股数的规律
探索勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理;如果直角三角形的三边a 、b 、ca ﹤b ﹤c,由勾股定理可知：222a b c +=,其中a 为勾,b 为股,c 为弦;若它们都为整数时,则它们称为一组数;如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题;一、当勾为奇数时,探求勾股数的规律2、归纳规律：1每组中a 都是奇数；22a b c =+,212a b -=；3c = b+1,212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a nb n n -+-===+ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1n 为正整数; 3、证明：∵22222(21)(22)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222n n +、2221n n ++;3证明过程：同前面的证明;二、当勾为偶数是,探求勾股数的规律2、 归纳规律：1、每组中a 勾是偶数第一组较特殊：勾比股大；2、2214,22a abc b -=+=⨯3、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时,则：或22c=b+2=(n 2n)+2=n 2n+2++,于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++n 为正整数;3、 证明： ∵22222[2(1)](2)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、22n n +、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;三、运用配方法探求勾股数的规律1、a 勾、b 股、c 弦用含有m 、n 两个不同的正整数且m ＞n 的代数式表示： 此时,它们也是一组勾股数;2、证明：∵222222()(2)a b m n mn +=-+∴222a b c +=∴22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数;四、运用已知勾股数探求勾股数的规律1、如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;例如一组勾股数是3、4、5,当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10;2、证明：∵222a b c +=∴222222()()na nb n a n b +=+∴如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此22222a b a c +==得c =,所以a 、b 、c不可能都为整数;即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数;综上所述得以下勾股数的四种表现形式：★ 2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; ★ 2n+1、n 2+2n 、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;★ 22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数; ★ 如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;我们从中任取一种形式来,给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数; 每种形式也可求出无数组勾股数,所以勾股数的组数也就是无数个了;。
几类特殊勾股数的探索
几类特殊勾股数的探索勾股数是指满足222c b a =+的三个正整数．．．a 、b 、c,但不一定满足222c b a =+的数a 、b 、c 都是勾股数.利用好勾股数可以迅速判别直角三角形，从而利用直角三角形的性质解题.下面例举几类特殊的勾股数可供同学们一起探索.一、勾股数为三个连续正整数的探索在我国古书《周脾算经》中记载着“勾三股四弦五”的说法，事实上，3，4，5就是一组三个连续正整数的勾股数.除此之外还有其他满足条件的数组吗？经过验证，勾股数为三个连续正整数只有3，4，5.二、勾股数为三个连续偶数的探究同学们都知道6，8，10是一组三个连续偶数的勾股数，除此之外还有其它满足条件的数组吗？经过验证，勾股数为三个连续偶数的只有6,8,10.说明：关于上述的两个结论同学们只需要了解就是了，因为验证过程涉及到同学们还没学过的知识，所以此处从略.）三、勾股数的正整数倍数仍然是勾股数的探究从一、二的探究中可以发现：一组勾股数3，4，5的2倍6，8，10仍然是一组勾股数.那么任意一组勾股数的正整数倍是否还是一组勾股数呢？下面我们可以进行一下验证： 设三个正整数a 、b 、c 满足222c b a =+，三边的正整数倍数分别为ka 、kb 、kc （k ＞0）， 所以222)()()(kc kb ka =+=222222)()(kc c k b a k ==+.所以任意一组勾股数的正整数倍还是一组勾股数. 四、勾股数的探究例 若m 为奇数（m ≥3）,则a=m, b=)1(212-m 和c=)1(212+m 是一组勾股数. （1）说明以a 、b 、c 为三边的三角形是直角三角形；（2）请按规律填写下表；(3) 能说说其中规律吗？解：（1）说明略，请同学们自己完成.（2）上表中m 为奇数,且m ≥3,而表中已将m=3，5，11填如，显然，按规律，表 中第一行应填7，9；第二行应填24，40；第三行应填25，41.（3）可以发现：“勾”均为奇数，“股、弦”是两个相邻的整数，且勾的平方=股+弦.练习：1.下面几组数是勾股数的有（ ）①0.6，0.8，1 ②34,1, 35 ③30，40，50 ④7，8，9 A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2.给出一组式子：222543=+,2221068=+,,17815222=+222261024=+,…. 根据上述式子中的规律，第五个式子是 .答案提示：1.D2. 222371235=+.。
2022年 《探索勾股数》优秀教案
探索勾股数对于正整数a、b、c，如果它们满足，那么a、b、c就叫做勾股数，记作〔a，b，c〕象〔3，4，5〕就是最常见的一组勾股数，而且是唯一的一组连续整数；其次，以3、4、5为基数的勾股数有无数多组，即〔3，4，5〕〔为正整数〕是勾股数；5，12，13也是常见的勾股数之一，它们是后两数为连续整数，3，4，5既可以看作是前两数为连续整数，也可以看作是后两数为连续整数，下面我们来探索一下象这种前两数或后两数为连续整数的勾股数．一、三数为连续整数的勾股数如果a、b、c是连续整数的勾股数，那么b=a1，c=a2，由，得，整理，得，解得a=3或a=-1〔舍去〕，故三数为连续整数的勾股数只有〔3，4，5〕一组；二、前两数为连续整数的勾股数如果a、b、c是前两数a、b为连续整数的勾股数，即b=a1，那么由，得，整理，得，由于左边是奇数，所以c必为奇数，设c=2n1〔n为正整数〕，那么，整理，得，即a〔a1〕=2n〔n1〕，由于a与〔a1〕是连续整数，所以2n与n1或n与2〔n1〕也是连续整数，假设2n与n1是连续整数，那么2n1=n1或2n-1=n1，分别解得n=0〔舍去〕，或n=2；假设n与2〔n1〕是连续整数，那么n1=2〔n1〕，解得n=-1〔舍去〕，综上，n=2，从而c=5，a=3，b=4．因此，前两数为连续整数的勾股数只有〔3，4，5〕一组；三、后两数为连续整的勾股数如果a、b、c是后两数b、c为连续整数的勾股数，即c=b1，那么由，得，整理，并解得b=，从而c=，此时满足条件的勾股数为〔a，，〕，其中a为大于1的奇数．显然，取a=3，那么得对应的勾股数为〔3，4，5〕；取a=5，那么对应的勾股数为〔5，12，13〕；取a=7，那么对应的勾股数为〔7，24，25〕；同样地，以〔a，，〕为基数，可得〔a，，〕勾股数．。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶一、教学目标知识与技能：1. 理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法。
2. 学会运用勾股定理解决实际问题，如直角三角形的边长计算。
3. 了解勾股数的概念，能找出常见的勾股数。
过程与方法：1. 通过观察、操作、思考、探究等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。
2. 学会用列表、画图等方法寻找勾股数，提高学生的问题解决能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生学习数学的积极性。
2. 培养学生勇于探究、合作交流的精神，提高学生的团队协作能力。
二、教学内容1. 勾股定理的定义与证明2. 勾股定理的应用3. 勾股数的定义及寻找方法4. 勾股数在实际问题中的应用5. 拓展练习与思考三、教学重点与难点重点：1. 勾股定理的理解和应用。
2. 勾股数的寻找和判断。
难点：1. 勾股定理的证明方法。
2. 勾股数的规律及其应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究、发现和解决问题。
2. 利用多媒体课件、实物模型等教学资源，帮助学生直观地理解勾股定理。
3. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点和想法，培养学生的团队协作能力。
4. 采用循序渐进的教学原则，由浅入深地引导学生掌握勾股定理及其应用。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个有趣的数学故事引入勾股定理，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解勾股定理：讲解勾股定理的定义、证明方法及其应用，让学生理解和掌握勾股定理。
3. 探索勾股数：引导学生通过列表、画图等方法寻找勾股数，并讲解勾股数的判断方法。
4. 实践应用：让学生尝试解决一些与勾股定理和勾股数有关的实际问题，巩固所学知识。
5. 拓展练习与思考：布置一些有关勾股定理和勾股数的练习题，引导学生深入思考，提高问题解决能力。
6. 总结与反思：对本节课所学内容进行总结，强调勾股定理和勾股数的重要性，激发学生继续学习数学的兴趣。
7. 作业布置：布置一些有关勾股定理和勾股数的作业，巩固所学知识。
探索勾股数规律
勾股定理也是数学史上的一个里程碑，标志着人类对于数与形之间关系的 深入理解。
勾股数与人类文明的关系
勾股定理在建筑、工程、天文等领域中都有着广泛的应用，是人类文明发展的重要 支撑。
勾股定理也是数学教育中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重 要意义。
勾股数在物理学中的应用
力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、力臂、杠杆平衡等 相关的力学问题。
光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于计算光的折射角、反射角等，以及解 决与光学仪器相关的几何问题。
电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电场强度、磁场强度等物理量 ，以及解决与电磁波传播相关的几何问题。
勾股数迭代法
总结词
计算机编程，适用于大量数值
详细描述
通过计算机编程实现迭代计算，不断寻找满足勾股定理的勾和股的数值。这种方法适用 于大量数值的计算，能够快速得到大量的勾股数。但需要一定的编程基础和算法设计能
力。
03
CATALOGUE
勾股数的规律探索
勾股数与奇偶性的关系
总结词
勾股数与奇偶性之间存在一定的规律， 即勾股数中的勾和股都是奇数，而弦是 偶数。
勾股数在计算机科学中的应用
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，勾股定理可以用于计算 二维或三维图形中的角度、距离等几何量， 以及进行图形变换和动画制作。
计算机算法中的应用
在计算机算法中，勾股定理可以用于优化计 算过程和提高算法效率，例如在计算两点之 间的距离时可以使用勾股定理进行简化计算
。
05
探索勾股数规律
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿一. 教材分析《数序活动探寻“勾股数”》这一节的内容是苏科版数学八年级上册的第十章第二节。
这部分内容主要是让学生通过实践活动，探寻并证明勾股数的性质。
教材中通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣，然后引导学生通过小组合作，发现并证明勾股数的性质。
教材内容丰富，既有理论知识的讲解，又有实践活动的安排，使学生在活动中感受数学的魅力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了实数的基本概念，有了一定的数学基础。
但部分学生可能对勾股定理的理解还比较肤浅，对证明过程的把握可能不够准确。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过引导和帮助，提高他们的理解能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解勾股数的定义，掌握勾股数的性质，并能够运用勾股数解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生主动探究、合作交流的能力。
3.情感态度价值观：让学生在探究过程中，体验数学的乐趣，培养对数学的热爱。
四. 说教学重难点1.教学重点：勾股数的定义和性质。
2.教学难点：勾股数的证明过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示相关案例和证明过程。
六. 说教学过程1.导入：通过展示毕达哥拉斯的故事，引导学生进入学习情境，激发学习兴趣。
2.新课导入：介绍勾股数的定义，引导学生理解并掌握。
3.案例分析：通过展示一些勾股数的例子，引导学生发现勾股数的性质。
4.小组合作：让学生分组讨论，自主探索勾股数的证明过程。
5.讲解与演示：利用多媒体课件，展示勾股数的证明过程，帮助学生理解和掌握。
6.练习与巩固：布置一些相关的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
7.总结与反思：让学生总结本节课的学习内容，反思自己的学习过程。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出教学重点。
可以设计如下板书：定义：…性质：…证明：…八. 说教学评价教学评价可以从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶教案章节：一、引言【教学目标】1. 了解勾股定理的背景和意义。
2. 掌握勾股定理的表述和证明。
【教学内容】1. 介绍勾股定理的历史背景。
2. 讲解勾股定理的表述和证明方法。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股定理的背景和证明方法。
2. 引导学生通过小组讨论，探索勾股定理的应用。
教案章节：二、勾股定理的证明【教学目标】1. 掌握勾股定理的证明方法。
2. 能够运用勾股定理解决实际问题。
【教学内容】1. 讲解勾股定理的几种证明方法。
2. 运用勾股定理解决实际问题。
【教学方法】1. 采用演示法和实验法讲解勾股定理的证明方法。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
教案章节：三、勾股数的定义和性质【教学目标】1. 了解勾股数的定义和性质。
2. 能够判断一个数是否为勾股数。
【教学内容】1. 介绍勾股数的定义和性质。
2. 讲解如何判断一个数是否为勾股数。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股数的定义和性质。
2. 运用小组讨论法，引导学生探究勾股数的判断方法。
教案章节：四、探索勾股数【教学目标】1. 能够发现勾股数的规律。
2. 能够运用勾股数解决实际问题。
【教学内容】1. 引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用勾股数解决实际问题。
【教学方法】1. 采用探究法和案例教学法引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股数解决实际问题。
【教学目标】2. 能够运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学内容】2. 讲解如何运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学方法】2. 采用案例教学法，引导学生运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
教案章节：六、应用勾股定理解决实际问题【教学目标】1. 能够将勾股定理应用于解决实际问题。
2. 提高运用数学知识解决实际问题的能力。
【教学内容】1. 介绍勾股定理在实际问题中的应用。
2. 分析并解决具体的实际问题。
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探索勾股数
发表时间：2012-05-03T10:39:15.457Z 来源：《中小学教育》2012年5月总第99期供稿作者：董常宝[导读] 我们可以将类似的内容作为学生的课题性学习，开阔学生的思路，达到帮助教学的目的。
董常宝河北省邯郸市第十一中学056002 摘要：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。
如果a、b、c 三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。
勾股数中含有许多规律，我们对其进行了探索。
关键词：勾股数素勾股数奇数偶数质数如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，并且a、b、c都是正整数，那么a、b、c称为勾股数。
如果正整数a、b、 c是勾股数，那么易证它们的正整数倍数也是勾股数：∵a2+b2=c2，∴（na）2 +（nb）2 =n2a2+n2b2=n2（a2+b2）= n2c2=（nc）2,即正整数na、nb、nc也是勾股数。
如果a,b, c三者互质（它们的最大公因数是1），它们就称为素勾股数。
其实这是生活在2500年前的古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯在摆放小石子时发现的：当小石子的数目是l、3、6、10等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是l、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫做正方形数……如图，在一些正方形数里（0当作石子），左上角第一个框内的数是正方形n2，；第二框内的正方形数是（n+1）2。
显然，（n+1）2-n2=2n+1。
若2n+1是完全平方数，可设2n+1=w2，而它又是奇数，所以w必是奇数。
再设w=2p+1,则： 2n+1=（2p+1）2=4p2+4p+1,则n=2p2+2p=2p（p+1）, （n+1）2=［2p（p+1）+1］2，n2=［2p（p+1）］2。
所以［2p（p+1）+1］2-［2p（p+1）］2=（2p+1）2，这组勾股数也叫毕达哥拉斯数。
几百年后，希腊数学家丢番图（Diophontus，约250）发现了2mn、m2-n2、m2+n2这组勾股数，他在《算术》一书中论述了求解x2+y2=z2的一般解的问题。
若令n=1，m=2q（q为正整数）；则第二组数可转化为“2×2q，（2q）2-12，（2q）2+12”，化简得到：4q，4q2-1，4q2+1所以当n=1，m为偶数时，第三组数是第一组数的特例。
这组数常用数据可以用下表表示：
显然，最短边为偶数时，勾股数有此规律，而且这些勾股数都是素勾股数。
所以不小于3的自然数为勾股，必存在一组勾股数。
素勾股数（不是所有的素勾股数）很多都可用上述列式找出，这亦可推论到，数学上存在无穷多的素勾股数。
有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。
第一个例子是20，它在以下两组勾股数之中出现了：20、21、29与20、99、101。
在这里，我们发现了一些事实或规律：
1.勾股数不可能是三个奇数，因为两个奇数的平方和不可能是第三个奇数的完全平方。
比如（2m+1）2+（2n+1）2=4m2+4n2+4m+4n+2是偶数，所以直角三角形较短两边（边为整数）一定是一奇一偶。
2.最短边为奇数2p+1时，最短边的平方等于另外两条边的和。
设最短边为2p+1，则（2p+1）2=4p2+4p+1=2p（p+1）+[2p（p+1）+1]；
即a2=b+c（a<b且a<c）。
3.勾股数a、b、c，若a为质数，则2（a+b+1）与2c-1均为完全平方数。
理由：勾股数a为质数，a必为奇数，可令a=2p+1，则b=2p2+2p，c=2p2+2p+1；
∴2（a+b+1）=2（2p+1+2p2+2p+1）=4（p+1）2； 2c-1=2（2p2+2p+1）-1=4p2+4p+1=（2p+1）2。
4.注意第一组数“2mn，m2-n2，m2+n2”中若m和n互质，而且m和n至少有一个是偶数，计算出来的a、b、c就是素勾股数（若m和n都是奇数，a、b、c就会全是偶数，不符合互质）。
通过这次的讨论发现，日常的一些定理和公理，经过对其深入钻研，会发现里面蕴涵的东西很丰富，对我们解题很有帮助。
我们可以将类似的内容作为学生的课题性学习，开阔学生的思路，达到帮助教学的目的。
参考文献
1.于锋趣谈勾股数。
2.彭云龙勾股数的联想。
3.数学发展史概述。