ch1最优化问题的数学模型 (1)

12
例2 资金使用问题 设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得到效 益 x万元(效益不能再使用), 当年不用的 资金可存入银行, 年利率为10%。试制订 出资金的使用计划, 以使4年效益之总和
为最大。
13
解：第一步 确定决策变量
设变量 xi (i 1, 2,3, 4) 分别表示第 i年所使用的 资金数。 第二步 明确约束条件
( xi , yi )
而近似的解析表达式。
i 1, 2,, m
根据这一组数据导出函数 y f ( x) 的一个简单
17
解：取一个简单的函数序列 0 ( x), 1 ( x),, n ( x) ，
比如取幂函数列 1, x, x
2
,, x ，作为基本函数系。
n j 0
n
求 0 , 1 ,, n的一个线性组合 j j ( x) ，作为函 数 f ( x) 的近似表达式。而系数 0 , 1 ,, n 的选 取要使得平方和


第三步
明确目标函数
4年的效益总和： max z
max z
x1 x2 x3 x4
资金使用问题的最优化模型为：

x1 x2 x3 x4

x1 400 1.1 x x 440 1 2 s.t. 1.21x1 1.1x2 x3 484 1.331x 1.21x 1.1x x 532.4 1 2 3 4 x1 , x2 , x3 , x4 0
i 1
s.t.
x
i 0
4
M
xi 0
i 0,1, 2,3, 4
x j My j , y j 0或1, j 1, 2,3, 4
23
19
购买 Si 要付交易费，费率为 pi ，并且当购买不超过给定值ui 时，交易费按购买 ui 计算（不买当然无须付费）。另外，假
定同期存款利率是 r0 (r0 5%) ，且既无交易费又无风险。
已知时的相关数据如表 ri %） q Si i %） （ （ S1 28 2.5 S2 21 1.5 S3 23 5.5 S4 25 2.6
第三步——明确目标 总利润为：
z 2x1 3x2 x3
11
生产计划问题的最优化模型为：
max z 2 x1 3 x2 x3 1 1 1 3 x1 3 x2 3 x3 1 4 7 1 s.t . x1 x2 x3 3 3 3 3 x1 , x2 , x3 0
9
模型举例
例1 生产计划问题： 试列出下述产品规划问题的最优化模型：某工厂 生产A、B、C三种产品, 每吨利润分别为2000元、 3000元、1000元；生产单位产品所需的工时及原材 料如表所示。若供应的原材料每天不超过3吨, 所能 利用的劳动力日总工时是固定的, 问如何制定日生 产计划, 使三种产品总利润最大？
的结果和计算机的数值计算的方法去寻找一个最佳
的选择，而不必列举和计算所有可能的选择。所谓
的最佳表现为一个目标函数在满足一定约束条件下 的极小或极大。
4
2. 最优化方法的发展
(1) 17世纪在欧洲就有人提出各种求最大、最小的 问题, 但发展缓慢。 (2) 二战中, 军事上的需要产生了运筹学, 最优化理 论和方法逐渐得到丰富和发展。 (3) 20世纪50年代以来, 发展迅速, 已成为一门新兴 的学科, 应用广泛。
0 yi 1
4
不买S 买S i
i
i 1, 2, 3, 4
第二步 明确约束条件 约束是总资金为 M , xi M 和 xi 0 ，以及 xi 和 yi i 0 之间的联系。
21
第三步 明确目标函数
第一个目标 max z1
r x p y max x , u
① 近代科技和生产发展的需要。
② 计算机技术的飞速发展。
5
3. 最优化方法应用于工程实际的效果
⑴ 优化技术的发展，首先来自于工程实际的需要；
(2)优化技术的应用，为企业带来了巨大的经济效 益； (3) 优化软件有很高的自身价值；
6
最优化方法应用的必要条件：
问题的建模是关键。 建模的几个要素： (1) 首先是选择一个性能指标（最优化总是指选择 的系统有最大或最小的性能指标）； (2) 第二个关键因素是选择独立变量； (3) 约束条件，设计变量的取值范围有限制或 必须满足一定条件； (4) 系统模型, 最后体现。
p u i %） （ （元） i
1 2 4.5 6.5 103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选 择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总
体风险尽可能小。
20
解：第一步 确定决策变量 设变量 xi i 0,1, 2,3, 4 分别表示存入银行和购 买 Si 的金额
i 0 i i i 1 i i i i
4
4
第二个目标 min z2 max qi xi
1i 4
22
投资的收益和风险的数学模型为：
max z1 ri xi pi yi max xi , ui
4
4
min z2 max qi xi
1i 4
i
i 0
供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大资金
可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对 nFra Baidu bibliotek资
产进行了评估，估算出在这一时期内购买 S 的平均收
i
益率为 r ，并预测出购买 Si的风险损失率为 qi 。考虑
i
到投资越分散，总的风险越小，公司决定，当用这笔 资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si中 最大的一个风险来度量。
运筹学
－最优化方法 Optimization Method
主讲：李声杰
1
参考文献： 1. 王开荣（主编）最优化方法， 科学出版社，2012年8月 2.俞玉森（主编）数学规划的原理 和方法，华中工学院出版社， 1985年3月
第1章
最优化问题的数学模型
3
1. 最优化方法的定义
寻找最优方案的方法称为最优化方法，是用数学
m n
Q yi j j ( xi ) i 1 j 0 最小。此问题的变量为 , ,, 。对这些变
0 1 n
2
量没有限制。这种问题又叫最小二乘问题。
18
例4 投资的收益和风险问题
市场上有n种资产（如股票、债券、…） Si (i 1, 2,, n)
15
求解该最优化，可得最优方案：
第一年 现有资金 使用金额 400 86.2 第二年 345.2 104.2 第三年 265.1 126.2 第四年 152.8 152.8
效益总和为 86.2 104.2 126.2 152.8 43.1 (万元)。
16
例3
数据拟合问题
在实验数据处理或统计资料分析中，常遇到如下 问题。设两个变量 x 和 y，已知存在函数关系，但 其解析表达式或者是未知的或者虽然为已知的但过 于复杂。设已取得一组数据：
7
借助数学模型来研究系统的优化问题是一种最 经济、最迅速的研究变量变化对系统影响的有效途 径。 最优化方法在工程中的应用：（主要在下述四 个基本工程领域的各个分支） ⑴ 部分或整个系统的设计； ⑵ 生产规划； ⑶ 工程分析和数据拟合； ⑷ 动态系统的最优控制。
8
模型举例
例1 生产计划问题
例2 资金使用问题 例3 数据拟合问题 例4 投资的收益和风险问题
第一年 0 x1 400 第二年 0 x (400 x ) 1.1 (第一年未使用资金 2 1 存入银行一年后的本利和) 第三年 第四年 0 x4 400 x1 1.1 x2 1.1 x3 1.1
14
0 x3 400 x1 1.1 x2 1.1
生产每吨产品所需 资源
所需工时占总工时比例
所需原材料(吨)
产 A
B
品 C
1/3
1/3 10
1/3
4/3
1/3
7/3
解：第一步——确定决策变量； x1为产品A的日产量, x2为产品B的日产量, x3为 产品C的日产量 第二步——明确约束条件
1 1 1 劳动力的约束条件为： x1 x2 x3 1 3 3 3 1 4 7 原材料的约束条件为： x1 x2 x3 3 3 3 3