ch1最优化问题的数学模型 (1)
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
优化问题的数学模型
一. 管理科学的定义管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科.(1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤.（1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。
管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。
（2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。
建模过程是一项创造性的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。
建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。
（3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。
要在计算机上运行数学程序对模型进行求解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。
例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。
有时要自己编写程序。
（4） 测试模型并在必要时修正。
在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。
（5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。
对模型求解并分析后，将相应的最优方案提交给管理者，由管理者做出决策。
管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。
管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。
（6） 帮助实施管理决策。
建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督决策方案的实施。
新问题, 新模型, 新算法, 新应用.三.优化问题的数学模型1212max(min)(,,,)(,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m=≤⎧⎨=⎩由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。
我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划（1）max 0 0Z CX hYAX GY b X Y =++≤≥≥取整数其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ⨯⨯⨯⨯⨯，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。
数学建模《最优化问题》
2c1 rc2
c2 c2 c3
2c1r Q rT c2
c2 c3 记 c3
不 允 许 缺 货
T T ,
Q
Q
1
T ' T , Q' Q
c3
c3 1
T T , Q Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 c3 T rc2 c3
利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 Q(10)=660 > 640
Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t
4r 40g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
b 0
c1t12 2c2t1 x 2c32
dB dt
x
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2t1 x 2c32
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.
q Q r
Q rT1
t
原模型假设3：贮存量降到零 T1 B T 时Q件立即生产出来(或立即到 0 货). 现假设3：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足. 一周期 c2 贮存费 一周期 c 3 缺货费
A
T1
0
7.1
存贮模型
ch1第一节LP模型-2016
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型优化问题是现代数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，寻找一个最优解。
优化问题可以应用于各种领域，例如经济学、管理学、工程学、计算机科学等。
在这些领域中，优化问题的解法可以帮助我们做出更明智的决策，提高效率和效益。
优化问题的数学模型是描述优化问题的基础。
在建立数学模型时，我们需要确定优化问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们要优化的量，它通常是一个数学表达式，可以是最大化或最小化。
约束条件是限制问题的解必须满足的条件，例如资源的限制、技术的要求等。
在数学模型中，我们需要将目标函数和约束条件用数学符号表示出来，以便进行计算和分析。
最常见的优化问题是线性规划问题。
线性规划问题是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
它的数学模型可以表示为：Maximize C^T xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中，C是一个n维列向量，x是一个n维列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维列向量。
这个模型中的目标函数是C^T x，它表示我们要最大化的量。
约束条件分为两部分：Ax ≤ b表示我们的决策变量必须满足的条件，x ≥ 0表示决策变量必须非负。
这个模型可以用线性规划算法求解，得到最优解。
除了线性规划问题，还有非线性规划问题、整数规划问题、混合整数规划问题等。
这些问题的数学模型都有不同的形式，但都可以用优化算法求解。
优化算法可以分为两类：确定性算法和随机算法。
确定性算法是指算法的运行结果是确定的，例如单纯形法、内点法等。
随机算法是指算法的运行结果是随机的，例如遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法都有各自的优缺点，在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法。
优化问题的数学模型和算法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以用线性规划模型来确定最优的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
在交通规划中，我们可以用非线性规划模型来确定最优的交通流量分配方案，以减少拥堵和污染。
最优化问题数学模型
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
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购买 Si 要付交易费，费率为 pi ，并且当购买不超过给定值ui 时，交易费按购买 ui 计算（不买当然无须付费）。另外，假
定同期存款利率是 r0 (r0 5%) ，且既无交易费又无风险。
已知时的相关数据如表 ri %） q Si i %） （ （ S1 28 2.5 S2 21 1.5 S3 23 5.5 S4 25 2.6
① 近代科技和生产发展的需要。
② 计算机技术的飞速发展。
5
3. 最优化方法应用于工程实际的效果
⑴ 优化技术的发展，首先来自于工程实际的需要；
(2)优化技术的应用，为企业带来了巨大的经济效 益； (3) 优化软件有很高的自身价值；
6
最优化方法应用的必要条件：
问题的建模是关键。 建模的几个要素： (1) 首先是选择一个性能指标（最优化总是指选择 的系统有最大或最小的性能指标）； (2) 第二个关键因素是选择独立变量； (3) 约束条件，设计变量的取值范围有限制或 必须满足一定条件； (4) 系统模型, 最后体现。
第三步
明确目标函数
4年的效益总和： max z
max z
x1 x2 x3 x4
资金使用问题的最优化模型为：
x1 x2 x3 x4
x1 400 1.1 x x 440 1 2 s.t. 1.21x1 1.1x2 x3 484 1.331x 1.21x 1.1x x 532.4 1 2 3 4 x1 , x2 , x3 , x4 0
运筹学
－最优化方法 Optimization Method
主讲：李声杰
1
参考文献： 1. 王开荣（主编）最优化方法， 科学出版社，2012年8月 2.俞玉森（主编）数学规划的原理 和方法，华中工学院出版社， 1985年3月
第1章
最优化问题的数学模型
3
1. 最优化方法的定义
寻找最优方案的方法称为最优化方法，是用数学
m n
Q yi j j ( xi ) i 1 j 0 最小。此问题的变量为 , ,, 。对这些变
0 1 n
2
量没有限制。这种问题又叫最小二乘问题。
18
例4 投资的收益和风险问题
市场上有n种资产（如股票、债券、…） Si (i 1, 2,, n)
供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大资金
可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对 n种资
产进行了评估，估算出在这一时期内购买 S 的平均收
i
益率为 r ，并预测出购买 Si的风险损失率为 qi 。考虑
i
到投资越分散，总的风险越小，公司决定，当用这笔 资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si中 最大的一个风险来度量。
i 0 i i i 1 i i i i
4
4
第二个目标 min z2 max qi xi
1i 4
22
投资的收益和风险的数学模型为：
max z1 ri xi pi yi max xi , ui
4
4
min z2 max qi xi
1i 4
i
i 0
的结果和计算机的数值计算的方法去寻找一个最佳
的选择，而不必列举和计算所有可能的选择。所谓
的最佳表现为一个目标函数在满足一定约束条件下 的极小或极大。
4
2. 最优化方法的发展
(1) 17世纪在欧洲就有人提出各种求最大、最小的 问题, 但发展缓慢。 (2) 二战中, 军事上的需要产生了运筹学, 最优化理 论和方法逐渐得到丰富和发展。 (3) 20世纪50年代以来, 发展迅速, 已成为一门新兴 的学科, 应用广泛。
9
模型举例
例1 生产计划问题： 试列出下述产品规划问题的最优化模型：某工厂 生产A、B、C三种产品, 每吨利润分别为2000元、 3000元、1000元；生产单位产品所需的工时及原材 料如表所示。若供应的原材料每天不超过3吨, 所能 利用的劳动力日总工时是固定的, 问如何制定日生 产计划, 使三种产品总利润最大？
15
求解该最优化，可得最优方案：
第一年 现有资金 使用金额 400 86.2 第二年 345.2 104.2 第三年 265.1 126.2 第四年 152.8 152.8
效益总和为 86.2 104.2 126.2 152.8 43.1 (万元)。
16
例3
数据拟合问题
在实验数据处理或统计资料分析中，常遇到如下 问题。设两个变量 x 和 y，已知存在函数关系，但 其解析表达式或者是未知的或者虽然为已知的但过 于复杂。设已取得一组数据：
生产每吨产品所需 资源
所需工时占总工时比例
所需原材料(吨)
产 A
B
品 C
1/3
1/3 10
1/3
4/3
1/3
7/3
解：第一步——确定决策变量； x1为产品A的日产量, x2为产品B的日产量, x3为 产品C的日产量 第二步——明确约束条件
1 1 1 劳动力的约束条件为： x1 x2 x3 1 3 3 3 1 4 7 原材料的约束条件为： x1 x2 x3 3 3 3 3
第一年 0 x1 400 第二年 0 x (400 x ) 1.1 (第一年未使用资金 2 1 存入银行一年后的本利和) 第三年 第四年 0 x4 400 x1 1.1 x2 1.1 x3 1.1
14Βιβλιοθήκη 0 x3 400 x1 1.1 x2 1.1
12
例2 资金使用问题 设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得到效 益 x万元(效益不能再使用), 当年不用的 资金可存入银行, 年利率为10%。试制订 出资金的使用计划, 以使4年效益之总和
为最大。
13
解：第一步 确定决策变量
设变量 xi (i 1, 2,3, 4) 分别表示第 i年所使用的 资金数。 第二步 明确约束条件
p u i %） （ （元） i
1 2 4.5 6.5 103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选 择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总
体风险尽可能小。
20
解：第一步 确定决策变量 设变量 xi i 0,1, 2,3, 4 分别表示存入银行和购 买 Si 的金额
0 yi 1
4
不买S 买S i
i
i 1, 2, 3, 4
第二步 明确约束条件 约束是总资金为 M , xi M 和 xi 0 ，以及 xi 和 yi i 0 之间的联系。
21
第三步 明确目标函数
第一个目标 max z1
r x p y max x , u
( xi , yi )
而近似的解析表达式。
i 1, 2,, m
根据这一组数据导出函数 y f ( x) 的一个简单
17
解：取一个简单的函数序列 0 ( x), 1 ( x),, n ( x) ，
比如取幂函数列 1, x, x
2
,, x ，作为基本函数系。
n j 0
n
求 0 , 1 ,, n的一个线性组合 j j ( x) ，作为函 数 f ( x) 的近似表达式。而系数 0 , 1 ,, n 的选 取要使得平方和
7
借助数学模型来研究系统的优化问题是一种最 经济、最迅速的研究变量变化对系统影响的有效途 径。 最优化方法在工程中的应用：（主要在下述四 个基本工程领域的各个分支） ⑴ 部分或整个系统的设计； ⑵ 生产规划； ⑶ 工程分析和数据拟合； ⑷ 动态系统的最优控制。
8
模型举例
例1 生产计划问题
例2 资金使用问题 例3 数据拟合问题 例4 投资的收益和风险问题
第三步——明确目标 总利润为：
z 2x1 3x2 x3
11
生产计划问题的最优化模型为：
max z 2 x1 3 x2 x3 1 1 1 3 x1 3 x2 3 x3 1 4 7 1 s.t . x1 x2 x3 3 3 3 3 x1 , x2 , x3 0
i 1
s.t.
x
i 0
4
M
xi 0
i 0,1, 2,3, 4
x j My j , y j 0或1, j 1, 2,3, 4
23