ch1最优化问题的数学模型 (1)
最优化问题的建模与解法
最优化问题的建模与解法最优化问题（optimization problem）是指在一组可能的解中寻找最优解的问题。
最优化问题在实际生活中有广泛的应用，例如在工程、经济学、物流等领域中，我们经常需要通过数学模型来描述问题，并利用优化算法来求解最优解。
本文将介绍最优化问题的建模和解法，并通过几个实例来说明具体的应用。
一、最优化问题的数学建模最优化问题的数学建模包括目标函数的定义、约束条件的确定以及变量范围的设定。
1. 目标函数的定义目标函数是一个表达式，用来衡量问题的解的优劣。
例如，对于一个最大化问题，我们可以定义目标函数为：max f(x)其中，f(x)是一个关于变量x的函数，表示问题的解与x的关系。
类似地，对于最小化问题，我们可以定义目标函数为：min f(x)2. 约束条件的确定约束条件是对变量x的一组限制条件，用来定义问题的可行解集合。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为：g(x) ≤ 0h(x) = 0其中，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束。
最优化问题的解必须满足所有的约束条件，即：g(x) ≤ 0, h(x) = 03. 变量范围的设定对于某些变量，可能需要限定其取值的范围。
例如，对于一个实数变量x，可能需要设定其上下界限。
变量范围的设定可以通过添加额外的不等式约束来实现。
二、最优化问题的解法最优化问题的解法包括数学方法和计算方法两种，常见的数学方法有最优性条件、拉格朗日乘子法等，而计算方法主要是通过计算机来求解。
1. 数学方法数学方法是通过数学分析来求解最优化问题。
其中，常见的数学方法包括：（1）最优性条件：例如，对于一些特殊的最优化问题，可以通过最优性条件来判断最优解的存在性和性质。
最优性条件包括可导条件、凸性条件等。
（2）拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的最优化问题，可以通过拉格朗日乘子法将原问题转化为无约束最优化问题，从而求解最优解。
2. 计算方法计算方法是通过计算机来求解最优化问题。
优化问题的数学模型
一. 管理科学的定义管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科.(1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤.（1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。
管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。
（2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。
建模过程是一项创造性的工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。
建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。
（3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。
要在计算机上运行数学程序对模型进行求解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。
例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。
有时要自己编写程序。
（4） 测试模型并在必要时修正。
在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。
（5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。
对模型求解并分析后，将相应的最优方案提交给管理者，由管理者做出决策。
管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。
管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。
（6） 帮助实施管理决策。
建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督决策方案的实施。
新问题, 新模型, 新算法, 新应用.三.优化问题的数学模型1212max(min)(,,,)(,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m=≤⎧⎨=⎩由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。
我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划（1）max 0 0Z CX hYAX GY b X Y =++≤≥≥取整数其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ⨯⨯⨯⨯⨯，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。
数学建模《最优化问题》
2c1 rc2
c2 c2 c3
2c1r Q rT c2
c2 c3 记 c3
不 允 许 缺 货
T T ,
Q
Q
1
T ' T , Q' Q
c3
c3 1
T T , Q Q
允许 缺货 模型
2c1 c2 c3 T rc2 c3
利润 Q=R-C=pw -C 求 t 使Q(t)最大 Q(10)=660 > 640
Q(t ) (8 gt)(80 rt ) 4t
4r 40g 2 t =10 rg
10天后出售，可多得利润20元
敏感性分析
4r 40g 2 t rg
研究 r, g变化时对模型结果的影响 • 设g=0.1不变
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解
dC 0 dx
求 x使 C(x)最小
b 0
c1t12 2c2t1 x 2c32
dB dt
x
t1
t2 t
结果解释
• / 是火势不继续蔓延的最少队员数
结果 解释
c1t1 2c2t1 x 2c32
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失.
q Q r
Q rT1
t
原模型假设3：贮存量降到零 T1 B T 时Q件立即生产出来(或立即到 0 货). 现假设3：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足. 一周期 c2 贮存费 一周期 c 3 缺货费
A
T1
0
7.1
存贮模型
ch1第一节LP模型-2016
第一章
线 性 规 划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
引言
运筹学的重要分支之一，应用最广泛的方法 之一 运筹学的最基本的方法之一，网络规划，整 数规划，目标规划和多目标规划都是以线性 规划为基础的 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出 的费用最小或获得的收益最大
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
一、问题提出及一般模型
例1.1 某厂生产两种产品， 解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 下表给出了单位产品所需资 分别为 x1、x2 源及单位产品利润
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x 1+ x 2 ≤ 5 x1， x2≥0
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
一、问题提出及一般模型
例1.3 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
xj 0
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型优化问题是现代数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，寻找一个最优解。
优化问题可以应用于各种领域，例如经济学、管理学、工程学、计算机科学等。
在这些领域中，优化问题的解法可以帮助我们做出更明智的决策，提高效率和效益。
优化问题的数学模型是描述优化问题的基础。
在建立数学模型时，我们需要确定优化问题的目标函数和约束条件。
目标函数是我们要优化的量，它通常是一个数学表达式，可以是最大化或最小化。
约束条件是限制问题的解必须满足的条件，例如资源的限制、技术的要求等。
在数学模型中，我们需要将目标函数和约束条件用数学符号表示出来，以便进行计算和分析。
最常见的优化问题是线性规划问题。
线性规划问题是指目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
它的数学模型可以表示为：Maximize C^T xSubject to: Ax ≤ bx ≥ 0其中，C是一个n维列向量，x是一个n维列向量，A是一个m×n的矩阵，b是一个m维列向量。
这个模型中的目标函数是C^T x，它表示我们要最大化的量。
约束条件分为两部分：Ax ≤ b表示我们的决策变量必须满足的条件，x ≥ 0表示决策变量必须非负。
这个模型可以用线性规划算法求解，得到最优解。
除了线性规划问题，还有非线性规划问题、整数规划问题、混合整数规划问题等。
这些问题的数学模型都有不同的形式，但都可以用优化算法求解。
优化算法可以分为两类：确定性算法和随机算法。
确定性算法是指算法的运行结果是确定的，例如单纯形法、内点法等。
随机算法是指算法的运行结果是随机的，例如遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法都有各自的优缺点，在实际应用中需要根据问题的特点选择合适的算法。
优化问题的数学模型和算法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以用线性规划模型来确定最优的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
在交通规划中，我们可以用非线性规划模型来确定最优的交通流量分配方案，以减少拥堵和污染。
最优化问题数学模型
• 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内 飞机的距离应在60km以上；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证 新进入的飞机与区域内的飞机的距离超过 60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
cij xij 表示该队员的成 目标函数：当队员i入选泳姿j时， 绩，否则 cij xij 0 。于是接力队的成绩可表示为
f cij xij .
j 1 i 1
4
5
约束条件：根据接力队要求， xij 满足约束条件
a. 每人最多只能入选4种泳姿之一，即
x
j 1
4
ij
1.
b. 每种泳姿必须有1人而且只能有一人入选，即
分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用
线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线 性规划.
例题讲解
例1 1995年全国数学建模A题：飞行管理问题 在约1万米的高空的某边长为160km的正方 形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行，区 域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记 录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入 该区域的飞机到达区域边缘时，计算机记录其 数据后，要立即计算并判断是否会发生碰撞。 若会发生碰撞，则应计算如何调整各架飞机 （包括新进入的飞机）飞行的方向角，以避免 碰撞，且使飞机的调整的幅度尽量小，
目标：求函数极值或最值，求取得极值时变量的取值。
x
1.线性规划
问题：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已 知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消 耗，如下表所示
I 设备 1 II 2 8台时
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
最优化问题概述
2
4 2 r h 3
分别对r.h.λ求偏导数,并令其等于零.有:
L 2 h 4 r 2rh 0 r L 2 2 r r 0 h L 4 2 r h 0 3 h 2r
min Z 0.0164 x1 0.0463 x2 0.1250 x3 s.t. x1 x2 x3 100 0.380 x1 0.001x2 0.002 x3 0.012 100 0.380 x1 0.001x2 0.002 x3 0.008 100 0.09 x 0.50 x 0.22 100 2 3 0.02 x2 0.08 x3 0.05 100 x2 0 x3 0 x1 0
解 设由Ai到Bj的运输量为xij（台）（i=1,2,…, m；j=1,2,…, n），则要求总运费 n m
cij xij
i 1 j 1
m i 1
达到最小，其中要满足的约束条件为：
xij=ai，
j 1
n
i=1,2,…, m；
x =bj，
ij
j=1,2,…, n
综上， 可把所 得到的 线性规 划问题 记为
r 3
2 3
.
h 23
2 3
2
此时圆柱体的表面积为 6 2 3
3
例2.多参数曲线拟合问题 已知两个物理量x和y之间的依赖关系为:
y a1 a2 x a4 1 a3 ln 1 exp a5 a3 a4 和a5待定参数,为确定这些参数,
即
r h
2
4 3
第2章 优化问题的数学模型及几何解释
x k 1 x k 1
(x
i 1
n
k 1 i
x ) 2
k i 2
f ( x k 1 ) f ( x k ) 4 k (2)函数值下降量准则(落差) max f ( x ) ,1
f ( x k 1 ) f ( x k ) 3
f ( x k 1 ) f ( x k ) 4 k f (x )
hv x 0(v n )
五、建模步骤
1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等， 对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式
进行改进，并尽可以反映该专业范围内的现代技术进步的
成果。对结构诸参数进行分析， 2）确定设计变量。确定原始参数、设计常数等。
3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，
第2章 优化问题的数学模型 及几何解释
2.1 优化问题的数学模型 2.1.1 一般形式 2.1.2 设计变量的选取原则 2.1.3 优化问题的分类 2.2 优化问题的几何解释 2.3 优化问题的基本解法
§2.1 优化设计问题的数学模型
优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设 计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学 表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联 系，是进行优化设计的基础。
一、设计变量
一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表 示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也 可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表 示工作性能的导出量。 在设计过程中可以调整并最终必须确定 的独立参数，称作设计变量，又叫做优化参数。
如何选定设计变量
（1）抓主要，舍次要。
最优化问题的数学模型构造
是方程 xn = 1 的 n 个
根, 则 z k = co s 2knΠ+
图2
i s in
2k Π
n
(k =
1,
2, …,
n ).
不 妨 设 值 班 室 P 0 建 在 P nP 1 上, 记
∠P nO P 0 =
Η
(
0
≤
Η≤
2Π)
n
,
则
z P0
=
co sΗ+
isinΗ, 于是:
P 0P k = (co s 2knΠ- co sΗ) 2+ (sin 2knΠ- sinΗ) 2
2Η-
2Πn ≤2Πn.
又 n ≥3, 故当 Η=
0 或 Η=
2Π时
n
f
(Η) 取
得最小值 2ctg 2Πn.
∴值班室应该建在某一车间处, 无论建
在哪个车间, 它到各车间的距离之和都最小.
六、构造圆锥曲线模型
例 6 某工程要挖一个横断面为半圆的
柱形的坑, 挖出的土只
能沿道路A P , B P 运到
P 处 ( 如 图 3) , PA =
100 米, PB = 150 米,
∠A PB = 60°. 试说明怎
样运土才能最省工?
解 首先抽象为数
图3
学问题. 半圆中的点可分为三类:
(1) 沿 A P 到 P 较近;
(2) 沿 B P 到 P 较近;
(3) 沿 A P , B P 到 P 同样远近. 由题意可知, 第三类点是第一、二类点的
分界. 设Q 是界线上的任意一点, 则有:
= 2sin (knΠ- 2Η) ,
∴f (Η) = P 0P 1 + P 0P 2 + …+ P 0P n
优化问题的数学模型
优化问题的数学模型在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。
优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。
本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。
一、优化问题的定义优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。
这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
二、优化问题的数学模型优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。
1. 目标函数目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。
在数学模型中，目标函数通常表示为：$$max f(x)$$或$$min f(x)$$其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。
2. 约束条件约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。
在数学模型中，约束条件通常表示为：$$g_i(x) leq b_i$$或$$g_i(x) geq b_i$$其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。
3. 决策变量决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。
在数学模型中，决策变量通常表示为：$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。
三、优化问题的应用优化问题的应用非常广泛，包括工业、经济、管理、军事等领域。
下面我们将以几个具体的例子来说明优化问题的应用。
1. 最小化成本在生产过程中，我们希望以最小的成本来生产产品。
这时，我们可以将生产成本作为目标函数，约束条件可以是生产量的限制、材料的限制等。
通过数学模型，我们可以求出最小化成本的生产方案，从而实现成本控制的目的。
优化问题的数学模型及基本要素
第1章 优化设计Chapter 1 Optimization Design1-1 优化设计1-1-1 最优化 (optimize, optimization )所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。
换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。
(Optimization deals with how to do things in the best possible manner)结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。
(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。
(P1)1-1-2 最优化方法 (Arithmetic )要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。
二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。
数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。
线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。
(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic )数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。
因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。
(Optimization theory plus computer program)1-1-3 优化设计下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。
最优化问题的数学模型
第一章最优化问题的数学模型数学模型是对实际问题的数学描述和概括，是进行最优化设计的基础。
根据设计问题的具体要求和条件建立完备的数学模型是最优化设计成败的关键。
这是因为最优化问题的计算求解完全是针对数学模型进行的。
也就是说，最优化计算所得最优解实际上只是数学模型的解，至于是否是实际问题的解，则完全取决于数学模型与实际问题符合的程度。
工程设计问题通常是相当复杂的，欲建立便于求解的数学模型，必须对实际问题加以适当的抽象和简化。
不同的简化方法得到不同的数学模型和计算结果，而且一个完善的数学模型，往往需要在计算求解过程中进行反复地修改和补充才能最后得到。
由此可见，建立数学模型是一项重要而复杂的工作：一方面希望建立—个尽可能完善的数学模型，以求精确地表达实际问题，得到满意的设计结果；另一方面又要力求建立的数学模型尽可能简单，以方便计算求解。
要想正确地协调这两方面的要求，就必须对实际问题及其相关设计理论和设计知识有深人的理解，并且善于将一个复杂的设计问题分解为多个子问题，抓住主要矛盾逐个加以解决。
本章通过几个简单的最优化设计简例，说明数学模型的一般形式、结构及其有关的基本概念。
1．1 设计简例下面是3个最优化设计简例，可以看作几个复杂工程设计问题的子问题，虽然比较简单，但却具有一定的代表性。
例1—1 用一块边长3m的正方形薄板，在四角各裁去一个大小相同的方块，做成一第3页个无盖的箱子，试确定如何裁剪可以使做成的箱子具有最大的容积。
解：设裁去的4个小方块的边长为x，则做成的箱子的容积为 f(x)＝x(3—2x)^2于是，上述问题可描述为求变量 x使函数 f(x)＝x(3—2x)^2 极大化这样就把该设计问题转化成为一个求函数f(x)最大值的数学问题。
其中，I是待定的求解参数，称为设计变量；函数f(x)代表设计目标，称为目标函数。
由于目标函数是设计变量的三次函数，并且不存在任何限制条件，故称此类问题为非线性无约束最优化问题。
最优化问题的数学模型
最优化问题的数学模型《最优化问题的数学模型》嘿，同学们！你们知道什么是最优化问题的数学模型吗？这可真是个超级有趣又有点复杂的东西呢！就好像我们玩游戏，想要用最少的时间通过最多的关卡，这就是在找一种最优的方法，对吧？那最优化问题的数学模型就像是我们玩游戏时的攻略秘籍！有一次，我们数学老师在课堂上给我们出了一道题。
她说：“假如你要去商店买东西，手里只有20 块钱，商店里有铅笔1 块钱一支，笔记本3 块钱一本，橡皮5 毛钱一块，那怎么买才能让这20 块钱花得最值？” 这就是一个小小的最优化问题呀！我当时就想，哎呀，这可咋办？要是都买铅笔，能买20 支，可要是都买笔记本，只能买6 本还多2 块钱。
这就好像是在选择走不同的路，哪条路能让我们到达更好的地方呢？同桌小明凑过来跟我说：“我觉得多买点笔记本好，能记好多笔记呢！” 我摇摇头说：“可是铅笔也很有用呀，能写好多字。
” 这时候，学习委员小红发言了：“咱们得算算，怎么搭配才能让买的东西又多又有用。
” 我们大家都纷纷点头，觉得她说得有道理。
然后我们就开始算呀算，就像一群小数学家。
最后发现，如果买5 本笔记本，5 支铅笔，20 块橡皮，这样就能把20 块钱花得刚刚好，而且东西也都很实用。
这只是一个小小的例子，其实在生活中，最优化问题的数学模型无处不在呢！比如说，工厂生产东西，怎么安排生产计划能让成本最低、产量最高？物流公司送货，怎么规划路线能最快最省钱地把货物送到目的地？这难道不像我们在玩拼图游戏，要找到最合适的那块拼图，才能拼出最完美的图案吗？再想想，如果没有最优化问题的数学模型，那得多乱呀！就像做饭没有菜谱，不知道放多少盐多少油，做出来的饭能好吃吗？所以呀，最优化问题的数学模型真的超级重要！它能帮助我们在各种各样的情况中找到最好的解决办法，让我们的生活变得更有条理，更有效率。
我觉得，我们一定要好好学数学，掌握这个神奇的工具，这样才能在生活这个大舞台上，跳出最精彩的舞步！。
清华大学 凸优化 讲义ch1(part1)
1947年
George B. Dantzig提出线性规划(linear programming), (U.S. Department of the Air Force)及单纯形算法
1970s
计算复杂性理论的出现，S. A. Cook(1971)的主要工作。 M.R. Garey and D. S. Johnson(1979)总结工作。 Computers and intractability: a guide to the theory of NPcompleteness.
五道口最有人气的论坛
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五道口最好的生活网
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近期情况
文章总数上升趋势，势头减慢 应用文章上升，理论文章下降 寻求更高效的算法
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1970s，计算机开始广泛应用，维数爆炸现 象，快速反应要求，计算复杂性理论产生。
将问题进行分类
简单问题：多项式可解 复杂问题：非多项式可解,NP-complete, NP-hard
实际问题求解要求
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发展历史
第二次世界大战期间（1940s），game theory, linear programming。
英国海岸雷达系统，负责人：A.P. Rowe, 防空雷达系统与战斗机 配合
英国：在数量上主力战舰（战巡舰 ）和航空母舰的数量占绝对优 势。在质量上英国战舰在有一定的速度优势。在造舰能力上要高于 德国。 德国：战舰是英国的1/3或1/4。航空母舰到战争结束时只有2艘，但 没有参加任何战斗。德国战舰在防护能力，火控系统，火炮威力上 占较大优势。 海上博弈（Game theory）
最优化问题的数学模型及其分类
最优化问题的数学模型及其分类例1.1.1 产品组合问题某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。
请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。
由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,18231224212121x x x x x x 故上述问题的数学模型为2153maxx x z +=..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,18231224212121x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，⋅⋅t s 是受约束于（subject to ）的简写。
例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅+=ππππ3422min22h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。
通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构：（１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题可归结为优选若干个被称为参数或变量的量n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构成了一个方案。
（２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1,0,,,,,2,1,0,,,2121l j x x x h m i x x x g nj n i ===≥（３） 目标函数（objective function ）和目标：如使利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。
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购买 Si 要付交易费，费率为 pi ，并且当购买不超过给定值ui 时，交易费按购买 ui 计算（不买当然无须付费）。另外，假
定同期存款利率是 r0 (r0 5%) ，且既无交易费又无风险。
已知时的相关数据如表 ri %） q Si i %） （ （ S1 28 2.5 S2 21 1.5 S3 23 5.5 S4 25 2.6
① 近代科技和生产发展的需要。
② 计算机技术的飞速发展。
5
3. 最优化方法应用于工程实际的效果
⑴ 优化技术的发展，首先来自于工程实际的需要；
(2)优化技术的应用，为企业带来了巨大的经济效 益； (3) 优化软件有很高的自身价值；
6
最优化方法应用的必要条件：
问题的建模是关键。 建模的几个要素： (1) 首先是选择一个性能指标（最优化总是指选择 的系统有最大或最小的性能指标）； (2) 第二个关键因素是选择独立变量； (3) 约束条件，设计变量的取值范围有限制或 必须满足一定条件； (4) 系统模型, 最后体现。
第三步
明确目标函数
4年的效益总和： max z
max z
x1 x2 x3 x4
资金使用问题的最优化模型为：
x1 x2 x3 x4
x1 400 1.1 x x 440 1 2 s.t. 1.21x1 1.1x2 x3 484 1.331x 1.21x 1.1x x 532.4 1 2 3 4 x1 , x2 , x3 , x4 0
运筹学
－最优化方法 Optimization Method
主讲：李声杰
1
参考文献： 1. 王开荣（主编）最优化方法， 科学出版社，2012年8月 2.俞玉森（主编）数学规划的原理 和方法，华中工学院出版社， 1985年3月
第1章
最优化问题的数学模型
3
1. 最优化方法的定义
寻找最优方案的方法称为最优化方法，是用数学
m n
Q yi j j ( xi ) i 1 j 0 最小。此问题的变量为 , ,, 。对这些变
0 1 n
2
量没有限制。这种问题又叫最小二乘问题。
18
例4 投资的收益和风险问题
市场上有n种资产（如股票、债券、…） Si (i 1, 2,, n)
供投资者选择，某公司有数额为 M的一笔相当大资金
可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对 n种资
产进行了评估，估算出在这一时期内购买 S 的平均收
i
益率为 r ，并预测出购买 Si的风险损失率为 qi 。考虑
i
到投资越分散，总的风险越小，公司决定，当用这笔 资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si中 最大的一个风险来度量。
i 0 i i i 1 i i i i
4
4
第二个目标 min z2 max qi xi
1i 4
22
投资的收益和风险的数学模型为：
max z1 ri xi pi yi max xi , ui
4
4
min z2 max qi xi
1i 4
i
i 0
的结果和计算机的数值计算的方法去寻找一个最佳
的选择，而不必列举和计算所有可能的选择。所谓
的最佳表现为一个目标函数在满足一定约束条件下 的极小或极大。
4
2. 最优化方法的发展
(1) 17世纪在欧洲就有人提出各种求最大、最小的 问题, 但发展缓慢。 (2) 二战中, 军事上的需要产生了运筹学, 最优化理 论和方法逐渐得到丰富和发展。 (3) 20世纪50年代以来, 发展迅速, 已成为一门新兴 的学科, 应用广泛。
9
模型举例
例1 生产计划问题： 试列出下述产品规划问题的最优化模型：某工厂 生产A、B、C三种产品, 每吨利润分别为2000元、 3000元、1000元；生产单位产品所需的工时及原材 料如表所示。若供应的原材料每天不超过3吨, 所能 利用的劳动力日总工时是固定的, 问如何制定日生 产计划, 使三种产品总利润最大？
15
求解该最优化，可得最优方案：
第一年 现有资金 使用金额 400 86.2 第二年 345.2 104.2 第三年 265.1 126.2 第四年 152.8 152.8
效益总和为 86.2 104.2 126.2 152.8 43.1 (万元)。
16
例3
数据拟合问题
在实验数据处理或统计资料分析中，常遇到如下 问题。设两个变量 x 和 y，已知存在函数关系，但 其解析表达式或者是未知的或者虽然为已知的但过 于复杂。设已取得一组数据：
生产每吨产品所需 资源
所需工时占总工时比例
所需原材料(吨)
产 A
B
品 C
1/3
1/3 10
1/3
4/3
1/3
7/3
解：第一步——确定决策变量； x1为产品A的日产量, x2为产品B的日产量, x3为 产品C的日产量 第二步——明确约束条件
1 1 1 劳动力的约束条件为： x1 x2 x3 1 3 3 3 1 4 7 原材料的约束条件为： x1 x2 x3 3 3 3 3
第一年 0 x1 400 第二年 0 x (400 x ) 1.1 (第一年未使用资金 2 1 存入银行一年后的本利和) 第三年 第四年 0 x4 400 x1 1.1 x2 1.1 x3 1.1
14Βιβλιοθήκη 0 x3 400 x1 1.1 x2 1.1
12
例2 资金使用问题 设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得到效 益 x万元(效益不能再使用), 当年不用的 资金可存入银行, 年利率为10%。试制订 出资金的使用计划, 以使4年效益之总和
为最大。
13
解：第一步 确定决策变量
设变量 xi (i 1, 2,3, 4) 分别表示第 i年所使用的 资金数。 第二步 明确约束条件
p u i %） （ （元） i
1 2 4.5 6.5 103 198 52 40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 M，有选 择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总
体风险尽可能小。
20
解：第一步 确定决策变量 设变量 xi i 0,1, 2,3, 4 分别表示存入银行和购 买 Si 的金额
0 yi 1
4
不买S 买S i
i
i 1, 2, 3, 4
第二步 明确约束条件 约束是总资金为 M , xi M 和 xi 0 ，以及 xi 和 yi i 0 之间的联系。
21
第三步 明确目标函数
第一个目标 max z1
r x p y max x , u
( xi , yi )
而近似的解析表达式。
i 1, 2,, m
根据这一组数据导出函数 y f ( x) 的一个简单
17
解：取一个简单的函数序列 0 ( x), 1 ( x),, n ( x) ，
比如取幂函数列 1, x, x
2
,, x ，作为基本函数系。
n j 0
n
求 0 , 1 ,, n的一个线性组合 j j ( x) ，作为函 数 f ( x) 的近似表达式。而系数 0 , 1 ,, n 的选 取要使得平方和
7
借助数学模型来研究系统的优化问题是一种最 经济、最迅速的研究变量变化对系统影响的有效途 径。 最优化方法在工程中的应用：（主要在下述四 个基本工程领域的各个分支） ⑴ 部分或整个系统的设计； ⑵ 生产规划； ⑶ 工程分析和数据拟合； ⑷ 动态系统的最优控制。
8
模型举例
例1 生产计划问题
例2 资金使用问题 例3 数据拟合问题 例4 投资的收益和风险问题
第三步——明确目标 总利润为：
z 2x1 3x2 x3
11
生产计划问题的最优化模型为：
max z 2 x1 3 x2 x3 1 1 1 3 x1 3 x2 3 x3 1 4 7 1 s.t . x1 x2 x3 3 3 3 3 x1 , x2 , x3 0
i 1
s.t.
x
i 0
4
M
xi 0
i 0,1, 2,3, 4
x j My j , y j 0或1, j 1, 2,3, 4
23