数理统计答案(研究生)
12研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
A .11--n S X μB .12--n S X μC .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]当2212)(11∑=--=i iX X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 =T nSX μ-A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 而不是nSX T μ-=B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
2． （1997年、数学三、填空）设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
[答案：参数为（9）的（t ）分布]解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫⎝⎛9123i i Y 相互独立，因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位：g1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位：g 〕.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 服从正态分布N(μ,σ²)，且P(X≤c) ＝ P(X>c)，则c 等于（）A 0B μC σD σ²答案：B解析：正态分布的概率密度函数关于均值μ 对称，所以P(X≤μ) ＝P(X>μ)，故 c ＝μ。
2、设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式，有 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ （）A 05B 025C 01D 005答案：B解析：切比雪夫不等式为 P(｜X E(X)｜≥ ε) ≤ Var(X) ／ε² ，将Var(X) ＝ 2，ε ＝ 2 代入可得 P(｜X E(X)｜≥ 2) ≤ 2 ／ 2²＝ 025 。
3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 为来自总体的样本，样本均值为，则λ 的矩估计值为（）ABCD答案：A解析：因为总体 X 服从泊松分布，所以 E(X) ＝λ 。
由矩估计法，用样本均值估计总体均值 E(X)，即，所以λ 的矩估计值为。
4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体N(μ,σ²)的样本，其中μ 未知，σ² 已知。
则检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量是（）ABCD答案：C解析：当总体方差σ² 已知时，检验假设 H₀: μ ＝μ₀所用的统计量为。
5、对于两个正态总体，在方差已知的情况下，检验均值是否相等，应采用（）A t 检验B u 检验C F 检验D χ² 检验答案：B解析：在两个正态总体方差已知的情况下，检验均值是否相等，采用 u 检验。
二、填空题1、设随机变量 X 的分布函数为 F(x) ＝ A ＋ Barctan(x)，则 A ＝，B ＝。
答案：A ＝ 1/2，B ＝1/π解析：因为 F(＋∞）＝ 1，F(∞）＝ 0 ，所以 A ＋B × π/2 ＝ 1，AB × π/2 ＝ 0 ，解得 A ＝ 1/2，B ＝1/π 。
研究生-数理统计课后答案参考
, i 1, 2, , n
解
由已知条件得： Yi ~ B(1, p) ，其中 p 1 FX ( ) .
因为 X i 互相独立，所以 Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
Y ~ B(n, p) ， p 1 F
i 1 i
n
X
( ) .
9 设 X1 ,, X n 是来自总体 X 的样本，试求 EX , DX , ES 2 。假设总体的分布为： 1） X ~ B( N , p); 2) X ~ P( ); 3) X ~ U [a, b]; 4) X ~ N ( ,1);
解
n 2 2 2 E Xi X E (n 1) S (n 1) ES i 1 (n 1) DX (n 1) 2
2 (n 1) S 2 n 2 4 D X i X D ( n 1) S D 2 i 1
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形. 解
图 1.2 数据直方图
它近似服从均值为 172，方差为 5.64 的正态分布，即 N (172,5.64) . 4 设总体 X 的方差为 4，均值为 ，现抽取容量为 100 的样本，试确定常数 k，使得 满足 P( X k ) 0.9 .
2）对总体 X ~ P( )
P( X 1 x1 , X 2 x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5 ) P( X i xi )
i 1 i 1 n 5
x
i
xi !
e
5xBiblioteka x !i 1 i5
e 5
其中： x
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
(完整word版)研究生应用数理统计基础庄楚强何春雄编制课后答案
研究生 习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。
2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此 当 31=c 时，)2(~2χηc 。
2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。
（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξΛ=， 所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。
（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ， 所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。
12研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）2． 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
3． A .11--n S X μB .12--n S X μ4． C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]5． 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6． =T nSX μ-7． A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 8． 而不是nSX T μ-=9． B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10． nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
11． （1997年、数学三、填空）12．设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
13．[答案：参数为（9）的（t ）分布]14．解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 15．因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立， 16． 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
研究生应用数理统计简述题及答案
研究生应用数理统计简述题及答案1.参数的点估计的类型、方法、评价方法。
（1）点估计（2）区间估计点估计法：a ，矩估计法。
基本思想：由于样品来源于总体，样品矩在一定程度上反映了总体矩，而且由于大数定律可知，样品矩依概率收敛于总体矩。
因此，只要总体x 的k 阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。
b ，极大似然估计法。
基本思想：设总体分布的函数形式已知，但有未知参数θ,θ可以取很多值，有θ的一切可能取值中选一个使样品观测值出现概率最大的值作为θ的估计量，记作θ，并称为θ的极大似然估计值，这叫极大似然估计法。
2.方差分析的目的及思想（结合单因素）。
目的：通过分析，判定某一因子是否显著，当因子显著时，我们可以绘出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
思想：检验1μ=2μ=… …γμ是通过方差的比较来确定的，即要考虑均值之间的差异，差异产生来自两个方面，一是由因数中不同水平造成的，称为系统性差异；二是由随机性产生的差异。
两方面的差异用两个方差来计量，一个称水平之间的方差（既包括系统因数，又包括随机性因数）；一个称为水平内部方差（仅包括随机因数）。
如果不同的水平对结果没有影响，两个方差的比值会接近于1；反之，则两个方差的比值会显著地大于1很多，认为HO 不真，可作出判断，说明不同水平之间存在着显著性差异。
如果方差分析只对一个因数进行单因数方差分析,单因数方差分析所讨论的是在一个总体标准差皆相等的条件下，解决一个总体平均数是否相等的问题。
5.简述正交实验设计中的数据分析方法方法：极差分析法和方差分析法。
极差分析法步骤：（1）定指标，确定因数，选水平（2）选用适当的正交表，表头设计，确定实验方案；（3）严格按要求做实验，并记录实验结果；（4）计算i 个因数的每个水平的实验结果和极差（同一因数不同水平的差异），其反映了该因数对实验结果的影响大小；（5）按级差大小排列因数主次；（6）选取较优生产条件（7）进行实验性试验，做进一步分析。
北航研究生数理统计答案完全版
) ， y ~ N ( 2 ,
2
n
)，
(m 1) S12m
2
~ (m 1) ，
2
2 (n 1) S 2 n
2
~ 2 (n 1) ，
于是有， ( x 1 ) ~ N (0,
2
m
2 ) ， ( y 2 ) ~ N (0,
2
n
2)，
则
( x 1 ) ( y 2 ) ~ N (0, (
解：
E( X )
1 1 1 xdx xdx 0 2 2(1 ) 1 1 2 1 1 (1 2 ) 2 2 2(1 ) 2 1 1 1 2 (1 ) 4 4 4
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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
做矩估计， x
1 2 ， 4 1 。 2
ˆ 2x 可得 的矩估计，
9. （ P80.7）
解： （1）由分布函数得出概率密度函数
f ( x; )
d ( F ( x; ) x 1 x 1 dx 0x 1
n
2
(1 x ) ，
令
ln L n n - 2 (1 x ) 0 ，得到 2 x 1 ， 2 2 2
i
ˆ x ˆ x min{x } 。 于是 2 的极大似然估计为 2 1 i
13. （ P81.12） x1 ， x 2 ，…， x n 为来自总体 X 的简单样本，试证明下列估计量来自m ， nm n
。
ˆz 于是有，
13研究生数理统计习题部分解答
13研究生数理统计习题部分解答12研究生数理统计习题部分解答第六章抽样分布1．设(X1,X2,?,Xn)是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X 是样本均值，记S121212122222?(Xi?X)，S2??(Xi?X)，S3?(Xi??)2，??n?1i?1ni?1n?1i?112??(Xi??)2则服从自度n?1的t分布的随机变量是T?。
S42A.X??S1n?1B.X??S2X??n?1C.X??S32nD.S4n[答案：选B]12当S?(Xi?X)2时，服从自度n?1的t分布的随机变量应为 ?n?1i?1 T?X??SnA、S1212X??X?? ?(Xi?X)2?S2，Tn?1i?1S1n?1Sn?1而不是T?X??SnB、S2212n?11nn?1222??(Xi?X)??(X?X)?S ?ini?1nn?1i?1n ?T?X??S2n?1?X??n?1nSn?1?X??Sn。
2．设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)分布且X1,?,X9与Y1,?,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U? ）分布。
2X1X9Y1Y922服从参数为的的分布]解：X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布，又X1,?,X9与Y1,?,Y9分别来自总体X,Y，可知X1,?,X9与Y1,?,Y9之间均相互独立，均服从分布N(0,32)9Yi19?Yi?2因而?Xi~N(0,9?3)，X??Xi~N(0,1)，~N(0,1)，??~?2(9)，?39i?1i?1?3?i?192919?Y?且X??Xi 与??i?相互独立，9i?1i?1?3?219?Xi?19i?19i因而19Xi?19iYi23?Yi?19?2iX1???X9Y1???Y922服从参数为9的t分布。
3．2设(X1,X2,X3,X4)是取自正态总体X~N(0,2)的简单随机样本且Y?，b?布，其自度为。
同学习指导文件综例 [答案：a?时，统计量Y服从?分2112），b?时，统计量Y服从?分布，其自度为] 20100统计量Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2?[a(X1?2X2)]2?[b(3X3?4X4)]2 设Y1?a(X1?2X2),Y2?b(3X3?4X4)即Y??Yi2i?122X~N(0,2)可知Xi~N(0,22)，i?1,2,3,4，且EY1?E[a(X1?2X2)]?a(EX1?2EX2)?a(0?2?0)?0EY2?E[b(3X3?4X4)]?b(3EX3?4EX4)?b(3?0?4?0)?0 DY1?D[a(X1?2X2)]?a(DX1?4DX2)?a(22?4?22)?20aDY2?D[b(3X3?4X4)]?b(9DX3?16DX4)?b(9?22?16?22)?100b 若统计量Y服从?分布，则Y?布，即2?Yi，可知自度为2且Yi(i?1,2)服从标准正态分2i?12EY1?EY2?0，DY1?20a?1?a?4．11，DY2?100b?1?b?。
研究生数理统计习题部分解答
12研究生数理统计习题部分解答第六章 抽样分布1． （1994年、数学三、选择）2． 设),,,(21n X X X 是来自总体),(2σμN 的简单随机样本，X 是样本均值，记22121)(11∑=--=i i X X n S ，22122)(1∑=-=i i X X n S ，22123)(11∑=--=i i X n S μ，22124)(1∑=-=i i X n S μ则服从自由度1-n 的t 分布的随机变量是=T （ ）。
3． A .11--n S X μB .12--n S X μ4． C .nS X 3μ-D .nS X 4μ-[答案：选B ]5． 当2212)(11∑=--=i i X X n S 时，服从自由度1-n 的t 分布的随机变量应为 6． =T nSX μ-7． A 、由222121)(11S X X n S i i =--=∑=，111--=--=n S X n S X T μμ 8． 而不是nSX T μ-=9． B 、由212221221)(111)(1S nn X X n n n X X n S n i ii i -=--⋅-=-=∑∑== 10． nSX n S X n S X T nn μμμ-=--=--=∴-1112。
11． （1997年、数学三、填空）12．设随机变量Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布且91,,X X 与91,,Y Y 分别是来自总体Y X ,的简单随机样本，则统计量292191Y Y X X U ++++= 服从参数为（ ）的（）分布。
13．[答案：参数为（9）的（t ）分布]14．解：由Y X ,相互独立，均服从)3,0(2N 分布，又91,,X X 与91,,Y Y 分别来自总体Y X ,，可知91,,X X 与91,,Y Y 之间均相互独立，均服从分布)3,0(2N 15．因而)39,0(~291⨯∑=N X i i ，)1,0(~9191N X X i i ∑==，)1,0(~3N Y i ，)9(~32912χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y ，且∑==9191i i X X 与∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛9123i i Y 相互独立， 16． 因而()292191912919123919191Y Y X X YXXi ii ii Y i ii ++++==∑∑∑∑==== 服从参数为9的t 分布。
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0,1)，则下列随机变量中服从标准正态分布的是（）A X ＋ YB X YC X²＋ Y²D （X ＋ Y)²答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N(0,1)，所以 X Y 也服从正态分布，且期望为 0，方差为 2，即 X Y 服从 N(0, 2)，标准化后服从标准正态分布。
2、设总体 X 服从正态分布N(μ, σ²)，其中μ 未知，σ² 已知，（X₁, X₂,， Xₙ) 为来自总体 X 的样本，则μ 的置信度为1 α 的置信区间为（）A （ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）B （ˉ X tα/2 （n 1) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n 1) S/√n ）C （ˉ X zα/2 S/√n, ˉ X ＋zα/2 S/√n ）D （ˉ X tα/2 （n) S/√n, ˉ X ＋tα/2 （n) S/√n ）答案：A解析：当总体方差σ² 已知时，使用正态分布来构造置信区间，μ 的置信度为1 α 的置信区间为（ˉ X zα/2 σ/√n, ˉ X ＋zα/2 σ/√n ）。
3、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝｛ 2x, 0 ＜ x ＜ 1; 0, 其他｝，则 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝（）A 075B 05C 025D 1答案：C解析：P{05 ＜ X ＜ 15} ＝∫₀₅¹ 2x dx ＝ x²₀₅¹＝ 1 025 ＝ 075 ，但 15 不在定义域内，所以 P{05 ＜ X ＜ 15} ＝ 075 05 ＝ 025 。
4、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，且 E(X) ＝μ，D(X)＝σ²，则样本均值ˉ X 的方差为（）A σ²B σ² ／ nC nσ²D σ² ／√n答案：B解析：样本均值ˉ X 的方差为D(ˉ X) ＝ D( （1 ／n) ∑ Xi ）＝（1／n²) ∑ D(Xi) ＝σ² ／ n 。
研究生数理统计第二章习题答案
习题二1. 设总体的分布密度为()()1, 01,;0, x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他，12,,,n X X X 为其样本，求参数α的矩估计量1α和最大似然估计量2α。
现测得样本观测值为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7，求参数α的估计值. 解 因为总体X 的数学期望为 ()()11,12EX xf x dx x x dx ααααα+∞-∞+==+=+⎰⎰ 所以12X αα+=+得到1121X X α-=-. 因为总体X 的分布密度为()()1, 01,;0, x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他，,则该总体决定的似然函数为()()()()11211, 01 ;,,,0, nn ni i i n i i x x L L x x x f x ααααα==⎧+∏<<⎪==∏=⎨⎪⎩，其他，,当()011,2,i x i n <<=时,()0L α>,两边取对数得到()()1ln ln 1ln ni i L n x ααα==++∑,两边对α求导得到()1ln ln 1nii d L nx d ααα==++∑, 令()ln 0d L d αα=得到211ln n ii nX α=⎛⎫⎪ ⎪=-+⎪ ⎪⎝⎭∑. 当测得126,,X X X 的观测值为0.1,0.2,0.9,0.8,0.7,0.7时,得到α的估计值为1120.30791x x α-==-, 261610.2112ln ii x α=⎛⎫⎪⎪=-+=⎪ ⎪⎝⎭∑.2. 设总体X 服从区间()0,θ上的均匀分布,即[]0,X U θ,12,,n X X X 为其样本,1)求参数θ的矩估计量1θ和最大似然估计量2θ;2)现测得一组样本观测值:1.3,0.6,1.7,2.2,0.3,1.1,试分别用矩法和最大死染发求总体均值、总体方差的估计值.解 1)因为总体X 的数学期望为022EX θθ+==， 所以2X θ=得到12X θ=。
数理统计答案(研究生)
1
2
2 ( X ) i 的概率分布。 i 1
n
xi
2
N (0,1), 且Y1 ,..., Yn 之间相互独立
Y
1
2
(x
i
i
) (
i
xi
) yi
2 i
2
2 2 由 分布定义Y (n)，Y服从自由度为n的 2 分布。
i 1 n
k
(k 1)!
xi k 1e xi
n xi 1 ( )n nk ( xi )k 1 e i (k 1)! i 1
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi ) k 1 xi
i 1 i
n
d ln L nk k k ＾ xi 0,＾ 或 d x x i
Dx
2
n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布 P ( ) 母体 的一个子样。试验证：子样方差 S *2 是 的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1 )S*2 也是 的无偏估计，此处 X 为子样的平均 数
*2 解： X P(), EX , DX , E X , ES
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 Y ( X X X ) ( X X X ) 。试决定常数C,使 2 得随机变量CY服从 分布。 解： X N (0,1), Z1 X1 X 2 X 3 N (0, 3),
ln L n ln ( 1) ln xi
i
i 1 i 1
(完整版)研究生数理统计问答题答案
(完整版)研究生数理统计问答题答案201311。
检验的显著性水平：在假设检验中,若小概率事件的概率不超过α，则称α为检验水平或显著性水平.检验的P 值:拒绝原假设的最小显著水平称为假设检验中的P 值。
2。
参数估计的类型：① 点估计;② 区间估计；参数的点估计的方法：① 矩估计法 基本思想：由于样本来源于总体,样本矩在一定程度上反映了总体矩，而且由大数定律可知，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此,只要总体X 的k 阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应总体矩的估计量，用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计量。
② 极大似然估计法 基本思想:设总体分布的函数形式已知，但有未知参数θ，θ可以取很多值，有θ的一切可能取值中选一个使样本观察值出现的概率为最大的值作为θ的估计值，记作 ∧θ ,并称为θ的极大似然估计值.这种求估计值的方法称为极大似然估计法。
参数的点估计的评价方法:错误!无偏性;错误!有效性；错误!一致性。
3.假设检验的思想：先假设总体具有某种特征，然后再通过对样本的加工，即构造统计量推断出假设的结论是否合理。
假设检验是带有概率性质的反证法.推理依据：第一,假设检验所采用的逻辑推理方法是反证法.第二，合理与否，所依据的是“小概率事件实际不可能发生的原理”。
参数假设检验步骤：错误!提出原假设和备择假设；错误!选择适当的统计量，并确定其分布形式；错误!选择显著性水平α ，确定临界值；错误!作出结论。
5。
正交试验数据分析方法：○，1直接对比法就是对试验结果进行简单的直接对比。
错误!直观分析法是通过对每一因素的平均极差来分析问题。
所谓极差就是平均效果中最大值和最小值的差。
有了极差,就可以找到影响指标的主要因素,并可以帮助我们找到最佳因素水平组合。
4。
方差分析的目的：方差分析的目的是通过分析,判定某一因子是否显著，当因子显著时,我们还可以给出每一水平下指标均值的估计，以便找出最好的水平。
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
硕士生《数理统计》例题及答案
《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法 由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(2222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22S Xββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ； （2）用极大似然法估计其未知参数θ。