数理统计答案(研究生)

（2）n=64时，求 P{ x 40 1}
解： x
52 N (40, ) 64
P{ x 40 1} P{ 8 2( ) 1 0.8904 5
x 40 1 8 } p{ U } 5/8 5/8 5
第二章 参数估计 1.设母体X具有负指数分布，它的分布密度 为 e x , x 0 f(x)= 0, x 0 其中 0 。试用矩法求的估计量。 解：x e( ) f(x)=
7.已知 X
t (n) ，求证 X 2
U
F (1, n)
N (0,1)
2 2
证明：令 X
/n
2
t (n), 其中U
2

2
(n), 且U与 独立,U 亦与 独立
2
2 U X 2 2 ,由F 分布定义 X 2 /n
F (1, n)
8设母体 X
N (40,52 ),从中抽取容量n的样本

2 ( X ) i 的概率分布。 2 i 1
n
xi

2
N (0,1), 且Y1 ,..., Yn 之间相互独立
Y
1

2
(x
i
i
) (
i
xi

) yi
2 i
2
2 由 分布定义Y 2 分布。
(n)，Y服从自由度为n的
2
16.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 Y ( X X X ) ( X X X ) 。试决定常数C,使 2 得随机变量CY服从 分布。 解： X N (0,1), Z1 X 1 X 2 X 3 N (0,3),
12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为 92 ， 94 ， 103 ， 105 ， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。 解：作变换
1 1 yi xi 100, a 100, y yi 0 0 n i 5 x a y 100
2

12
14.设母体X的分布密度为 f(x)=
x ,0 x 1
0, 其他
1
其中
0
(1) 求 的最大似然估计量; (2)用矩法求 的估计量. 1 x ,0 x 1 解:
x
f ( x)
2 12 3
1 1 E x E ( xi ) Exi Ex 0 n i n i 1 1 1 Dx D( xi ) Dx n i n 3n
5.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一个 子样，求 Y 解：
X N ( , ), 则yi
2
1
求（1）n=36时， P(38 x 43) 解： x N (40, 5 )
2
64
38 40 x 40 43 40 P 38 x 43 P{ } 5/ 6 5/ 6 5/ 6


P{2.4 U 3.6} (3.6) (2.4) (2.4) 0.9918
2 2 1 2 3 4 5 6
Z1 Z12 2 N (0,1), 1 (1) 3 3 Z2 X 4 X 5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2 3 Z22 N (0,1), 3
2
2 (1)
2
且与 相互独立。由 分布可加性，
1 (2), c 3
2
Z12 Z 2 2 1 2 1 2 ( Z1 Z 2 ) Y 3 3 3 3

e x , x 0
0, x 0
（
x
0
1
）
Ex

xf ( x)dx xe
0
dx

x
用样本 x 估计Ex，则有 x
1

1 ＾ ,
12.设母体X具有几何分布,它的分布列为 P{X=k}=(1-p)k-1p,k=1,2,… 先用矩法求 p 的估计量 , 再求 p 的最大似然估 计. 解 :( 1)矩法估计
L (1 p) xi 1 p (1 p)
i 1
n
xi n
i
pn
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
i
d ln L n 1 i 0,＾ p dp 1 p p x
n xi
13. 设母体 X 具有在区间 [a,b] 上的均匀分布 , 其分布密度为 f(x)=
2 1 1 2 sx s y yi y [(8)2 (6)2 32 52 62 ] 0 34 n i 5 2 2
3.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求E X 和DX 。 x p( ), E x E ( 1 x ) 1 Ex 1 n i i n n n i i 解：
1 1 Dx D( xi ) 2 n i n 1 Dxi 2 Dx n i n i
4.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的 均值和方差。 2 1 1 2 1 解： x U (1,1), Ex 0, Dx
EX k (1 p)
k 1
x 1 x 1 1 (( (1 x) ) ' [ ]' ( )' 2 ) 1 (1 x) x x i
i
1 ＾ p x
k 1
1 1 p p[(1 p) ]' p 2 p p k
k
(2)极大似然估计
1 ,a x b ba 0, 其他
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其中 a,b是未知参数 ,试用矩法求 a与 b的估计 量. ab 1 2 X U [ a , b ], EX , DX ( b a ) 解:
2 12
用 X 和 aS b分别估计EX和DX 得 X ＾ a X 3S 2 2 ( b a ) ＾ b X 3S S2