西安交通大学数理统计研究生试题

2009(上)《数理统计》考试题(A 卷)及参考解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2

(0,3)N ，而12

9(,,)X X X 和

129(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则19221

9

X U Y Y

++=

+

+服从的分布是_______ .

解：(9)t ．

2，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .

解：1212

ˆˆˆˆ()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.

解：秩和检验、游程总数检验．

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是ˆβ=_______ . 解：1ˆ-''X Y β=

()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设12(,,

,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为

样本方差，则____D___ .

（A ）(0,1)nX

N ； （B ）22()nS n χ；

（C ）

(1)()n X

t n S

-； （D ）

2

122

(1)(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑.

2，若总体2(,)X

N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量

n 增大，则μ的置信区间____B___ .

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .

（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大；

（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A

S 为效应平方和，则总有___A___ .

（A ）T e A S S S =+； （B ）22

(1)A

S r χσ

-；

（C ）

/(1)

(1,)/()

A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为2T

S R S =

回

，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)X

N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,

,)n X X X 和

212(,,

,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2

2X Y S S 、分别是

它们的样本均值和样本方差，证明

1

2

12121

1(2)n n X Y t n n S ω+-+，

其中22

2

1212(1)(1)2

X Y

n S n S S n n ω-+-=+-.

证明：易知

2

2

121

2

(,

)X Y

N n n σσμμ--+

， 1212

(0,1)11X Y U N n n σ=

+

．

由定理可知

2

2

112

(1)(1)X

n S n χσ

--，

2

2222

(1)(1)Y

n S n χσ

--．

由独立性和2

χ分布的可加性可得

2

2

212122

2

(1)(1)(2)X

Y

n S n S V n n χσσ--=

+

+-．

由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得

1

2

12121

112(2)/(2)n n X Y t n n V n n S ω=

+-+-+．

四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1, 0

(),0, x

e x

f x θ

θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其它其中未知参

数0θ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无

偏估计量．

解：（1）()10

1

()x

v E X xf x dx xe dx θ

θθ

-

∞

∞

-∞

====⎰

⎰

，用111n

i i v X X n ===∑代替，所

以

∑===

n

i i

X X

n

1

1

ˆθ．

（2）1

1ˆ()()()()n i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ

θθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,

)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．

解：

1 (1)() , 01

() 0 , n

n i i i x x L θ

θθ=⎧+∏<<⎪=⎨⎪⎩其它

当01i x <<时，1

ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑，令

1ln ()ln 01n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑，得

1

ˆ1ln n

i

i n

x

θ

==--∑．

六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;

(;)0,

0,x x f x x λλλ-⎧=⎨≤⎩ 未知参数0λ>，

12(,,

)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是

1

λ

的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得