计算机算法设计与分析第1章算法概述
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算法设计与分析：第1章 算法分析基础
算法测试
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1.3.3 算法复杂度
时间复杂度（ time complexity ）
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课程介绍
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— 8
主要内容
1. 算法的基本概念和常见符号 2. 算法设计的常用技术
• 递归法、蛮力法、分治法、减治法 • 贪心法、动态规划、回溯法、分支限界法 • 概率算法、近似算法、计算复杂性理论 3. 算法的评价：复杂度分析
引言
1.1 算法概述
计算机算法设计与分析第1章算法概述
课程安排
理论课：1～10周，40学时 周二(5-6)、周五(1-2)
上机： 18学时
期末考试： 闭卷笔试，第 11周
上课点名三次不到者取消考试资格； 迟到或作业缺交，一次扣10分（平时成绩）。
1
教学目的和要求
本课程是计算机类专业的专业基础课程； 通过课程学习和上机实践，对计算机常用算 法有一个较全面的了解，掌握通用算法的一 般设计方法； 学会对算法的时间、空间复杂度分析，掌握 提高算法效率的方法和途径。
24
三、算法复杂性分析
本课程主要对算法的时间复杂性进行分析。
关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚：
（1）用怎样的一个量（指标）来表达一个算法的
复杂性；
（2）对于一个算法，怎样具体计算它的复杂性。
25
1、算法的三种时间复杂性
算法的最坏、最好和平均时间复杂性 （1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } （2）最好情况下的时间复杂性
8
图1.1 算法的概念图
（一）算法的性质
1、算法具有某些特性，如下几条：
(1)输入：有零个或多个外部提供的量作为算
法的输入。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。这 些输出是和输入有某种特定关系的量。
9
（一）算法的性质
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无
歧义的。
(4)有限性（有穷性）：算法中每条指令的执
29
2、算法的时间复杂性计算
int search(int A[ ], int m, int c) { int i=1; while( A[i]<c && i<m ) i=i+1; if (A[i]==c) return i; else return 0; }
理论课：1～10周，40学时 周二(5-6)、周五(1-2)
上机： 18学时
期末考试： 闭卷笔试，第 11周
上课点名三次不到者取消考试资格； 迟到或作业缺交，一次扣10分（平时成绩）。
1
教学目的和要求
本课程是计算机类专业的专业基础课程； 通过课程学习和上机实践，对计算机常用算 法有一个较全面的了解，掌握通用算法的一 般设计方法； 学会对算法的时间、空间复杂度分析，掌握 提高算法效率的方法和途径。
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三、算法复杂性分析
本课程主要对算法的时间复杂性进行分析。
关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚：
（1）用怎样的一个量（指标）来表达一个算法的
复杂性；
（2）对于一个算法，怎样具体计算它的复杂性。
25
1、算法的三种时间复杂性
算法的最坏、最好和平均时间复杂性 （1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } （2）最好情况下的时间复杂性
8
图1.1 算法的概念图
（一）算法的性质
1、算法具有某些特性，如下几条：
(1)输入：有零个或多个外部提供的量作为算
法的输入。
(2)输出：算法产生至少一个量作为输出。这 些输出是和输入有某种特定关系的量。
9
（一）算法的性质
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无
歧义的。
(4)有限性（有穷性）：算法中每条指令的执
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2、算法的时间复杂性计算
int search(int A[ ], int m, int c) { int i=1; while( A[i]<c && i<m ) i=i+1; if (A[i]==c) return i; else return 0; }
算法设计与分析(第2版) 郑宗汉 第1章-1
8
Байду номын сангаас
学习要求
深刻理解每一类算法的思想及其实现
能熟练运用所学知识解决实际问题
培养提高计算思维能力
9
考核方式
Homework and Reading: 20%
Final Exam (Written Test): 80%
10
第1章 算法的基本概念
1.1 引言
1.1.1 算法的定义和特性
c %3 0
（1.1.3）
16
1.1.2 算法的设计和复杂性分析
百鸡问题的穷举法
输入：所购买的3种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[]
1. void chicken_question(int n, int &k, int g[], int m[], int s[]) 2. { 3. int a,b,c; 分析发现：只能买到n/5 4. k = 0; 只公鸡，n/3只母鸡，将 5. for (a = 0; a <= n; a++) { 算法进行改进。 6. for ( b = 0; b <= n; b++) { 7. for (c = 0; c <= n; c++) { 8. if ((a + b + c == n) && (5 * a + 3 * b + c / 3 == n) && (c%3 == 0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. } 14. } 15. } 16. } 17. }
《算法设计与分析》课件
常见的贪心算法包括最小生成树算法 、Prim算法、Dijkstra算法和拓扑排 序等。
贪心算法的时间复杂度和空间复杂度 通常都比较优秀，但在某些情况下可 能需要额外的空间来保存状态。
动态规划
常见的动态规划算法包括斐波那契数列、背包 问题、最长公共子序列和矩阵链乘法等。
动态规划的时间复杂度和空间复杂度通常较高，但通 过优化状态转移方程和状态空间可以显著提高效率。
动态规划算法的时间和空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。
04 经典问题与算法实现
排序问题
冒泡排序
通过重复地遍历待排序序列，比较相邻元素的大小，交换 位置，使得较大的元素逐渐往后移动，最终达到排序的目 的。
快速排序
采用分治策略，选取一个基准元素，将比基准元素小的元 素移到其左边，比基准元素大的元素移到其右边，然后对 左右两边的子序列递归进行此操作。
动态规划是一种通过将原问题分解为若干个子 问题，并从子问题的最优解推导出原问题的最 优解的算法设计方法。
动态规划的关键在于状态转移方程的建立和状态 空间的优化，以减少不必要的重复计算。
回溯算法
01
回溯算法是一种通过穷举所有可能情况来求解问题的算法设计方法。
02
常见的回溯算法包括排列组合、八皇后问题和图的着色问题等。
空间换时间 分治策略 贪心算法 动态规划
通过增加存储空间来减少计算时间，例如使用哈希表解决查找 问题。
将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，最终合并子 问题的解以得到原问题的解。
在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的 选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，避 免重复计算，提高算法效率。
算法设计与分析基础
2023/12/21
20
LingJie/GDUT
1.2.6 详细表述该算法的方法
• 可以用到的工具有自然语言（nature
language）、伪代码（pseudocode）以及程序 流程图（flow chart）等。
• 当对一个问题有了概要的理解后，下面的工作
就是把这个问题的想法进行细化。所谓的细化 就是把它们表示成算法的步骤。
令执行顺序以及同步等问题。并行算法的设计 有相应的理论，这里仅考虑串行算法。
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LingJie/GDUT
1.2.3 选择精确或者近似的算法
• 解决问题下一步要考虑的是使用精确的还是近
似的算法。并不是每一个可解的问题都有精确 的算法，例如求一个数的平方根，求非线性方 程的解等。有时候一个问题有精确的解法但是 算法的执行效率很差，例如旅行家问题。因此 如果待处理的问题涉及到上述那些方面，则要 考虑是选择精确的还是近似的算法。
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LingJie/GDUT
-- 2* 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
-- 2 3*
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第一步：找出m的所有质因数。 第二步：找出n的所有质因数。 第三步：从第一步求得的m的质因数分解式和第二步求得的n
的质因数分解式中，找出所有公因数。 第四步：将第三步找到的公因数相乘，结果为所求的
大学_计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答案下载
计算机算法设计与分析第4版(王晓东著)课后答
案下载
计算机算法设计与分析第4版内容简介
第1章算法概述
1.1 算法与程序
1.2 算法复杂性分析
1.3 NP完全性理论
算法分析题1
算法实现题1
第2章递归与分治策略
2.1 递归的概念
2.2 分治法的基本思想
2.3 二分搜索技术
2.4 大整数的乘法
2.5 Strassen矩阵乘法
2.6 棋盘覆盖
2.7 合并排序
2.8 快速排序
2.9 线性时间选择
2.10 最接近点对问题
第3章动态规划
第4章贪心算法
第5章回溯法
第6章分支限界法
第7章随机化算法
第8章线性规划与网络流
附录A C++概要
参考文献
计算机算法设计与分析第4版目录
本书是普通高等教育“十一五”__规划教材和国家精品课程教材。
全书以算法设计策略为知识单元，系统介绍计算机算法的设计方法与分析技巧。
主要内容包括：算法概述、递归与分治策略、动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法、__化算法、线性规划与网络流等。
书中既涉及经典与实用算法及实例分析，又包括算法热点领域追踪。
为突出教材的`可读性和可用性，章首增加了学习要点提示，章末配有难易适度的算法分析题和算法实现题;配套出版了《计算机算法设计与分析习题解答(第2版)》;并免费提供电子课件和教学服务。
大学计算机科学教案：算法设计与分析
大学计算机科学教案：算法设计与分析1. 算法概述1.1 算法的定义和作用在计算机科学中，算法是解决问题或执行任务的有序步骤。
它们是计算机程序的基本构建模块，能够完成各种操作，从简单的排序和搜索到复杂的图像处理和人工智能。
1.2 算法设计过程•定义问题：明确需要解决的问题。
•分析问题：理解问题背后的规则和约束。
•设计解决方案：找到一个有效且高效的方法来解决问题。
•实现算法：将设计好的算法转化为可执行的计算机代码。
•测试和评估：验证算法是否正确并确定其性能。
2. 常见算法设计技巧2.1 分治策略将一个大问题划分为多个小问题，分别求解，然后将结果组合得到最终答案。
经典应用包括归并排序和快速排序。
2.2 动态规划通过将一个大问题分解成一系列重叠子问题，并通过保存子问题的结果来节省重复计算。
经典应用包括背包问题和最短路径问题。
2.3 贪心算法每一步都选择当前看起来最优的解决方案，而不考虑之后可能产生的影响。
经典应用包括霍夫曼编码和最小生成树问题。
2.4 回溯算法通过在解空间中搜索所有可能的解，并逐步构建可行解。
当发现不能满足约束条件时，回溯并尝试其他选择。
经典应用包括八皇后问题和旅行推销员问题。
2.5 图算法用于解决与图相关的问题，如最短路径问题、最小生成树和网络流问题等。
3. 算法分析和性能评估3.1 时间复杂度描述随着问题规模增长，算法所需时间的增长率。
常见的表示方法有大O记号。
3.2 空间复杂度描述算法所需的额外空间随着问题规模增长的情况。
常见表示方法有大O记号。
3.3 最坏情况与平均情况分析针对不同输入数据情况下，对算法性能进行评估。
结论本教案提供了关于算法设计与分析的基本概念、常见技巧以及性能评估方法。
通过深入学习和理解这些内容，学生将能够设计和分析各种算法，并在实际问题中应用它们。
计算机算法设计与分析(第5版)第1章
• 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。
算法渐近复杂性
• T(n) , as n ; • (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; • t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 • 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶
问题求解(Problem Solving)
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略
设计算法 证明正确性
分析算法 设计程序
算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
算法的时间复杂性
项留下的主项。它比T(n) 简单。
渐近分析的记号
• 在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。 • （1）渐近上界记号O • O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
0 f(n) cg(n) } • （2）渐近下界记号 • (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
• Tavg(n) = p(I )T (I ) size(I )n
•
for x > -1,
x ln(1 x) x 1 x
•
for any a > 0,
Hale Waihona Puke log b nlim
算法渐近复杂性
• T(n) , as n ; • (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; • t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 • 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶
问题求解(Problem Solving)
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略
设计算法 证明正确性
分析算法 设计程序
算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
算法的时间复杂性
项留下的主项。它比T(n) 简单。
渐近分析的记号
• 在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。 • （1）渐近上界记号O • O(g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
0 f(n) cg(n) } • （2）渐近下界记号 • (g(n)) = { f(n) | 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
• Tavg(n) = p(I )T (I ) size(I )n
•
for x > -1,
x ln(1 x) x 1 x
•
for any a > 0,
Hale Waihona Puke log b nlim
计算机算法设计与分析--第1章 算法概述
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③确认算法。算法确认的目的是使人们确信这一算 法能够正确无误地工作，即该算法具有可计算性。 正确的算法用计算机算法语言描述，构成计算机程 序，计算机程序在计算机上运行，得到算法运算的 结果； ④ 分析算法。算法分析是对一个算法需要多少计算 时间和存储空间作定量的分析。分析算法可以预测 这一算法适合在什么样的环境中有效地运行，对解 决同一问题的不同算法的有效性作出比较； ⑤ 验证算法。用计算机语言描述的算法是否可计算、 有效合理，须对程序进行测试，测试程序的工作由 调试和作时空分布图组成。
16
算法描述
1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已 经被排序 2. 取出下一个元素，在已经排序的元 素序列中从后向前扫描 3. 如果该元素（已排序）大于新元素， 将该元素移到下一位置 4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素 小于或者等于新元素的位置 5. 将新元素插入到该位置中 6. 重复步骤2
15
1.3 算法示例—插入排序算法
算法的思想：扑克牌游戏
a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1
= = = = = = =
5,2,4,6,1,3 5,2,4,6,1,3 2,5,4,6,1,3 2,4,5,6,1,3 2,4,5,6,1,3 1,2,4,5,6,3 1,2,3,4,5,6
8
算法≠程序
算法描述：自然语言，流程图，程序设计
语言，伪代码 用各种算法描述方法所描述的同一算法， 该算法的功用是一样的，允许在算法的描述 和实现方法上有所不同。
本书中采用类C++伪代码语言描述算法
9
人们的生产活动和日常生活离不开算法， 都在自觉不自觉地使用算法，例如人们到 商店购买物品，会首先确定购买哪些物品， 准备好所需的钱，然后确定到哪些商场选 购、怎样去商场、行走的路线，若物品的 质量好如何处理，对物品不满意又怎样处 理，购买物品后做什么等。以上购物的算 法是用自然语言描述的，也可以用其他描 述方法描述该算法。
③确认算法。算法确认的目的是使人们确信这一算 法能够正确无误地工作，即该算法具有可计算性。 正确的算法用计算机算法语言描述，构成计算机程 序，计算机程序在计算机上运行，得到算法运算的 结果； ④ 分析算法。算法分析是对一个算法需要多少计算 时间和存储空间作定量的分析。分析算法可以预测 这一算法适合在什么样的环境中有效地运行，对解 决同一问题的不同算法的有效性作出比较； ⑤ 验证算法。用计算机语言描述的算法是否可计算、 有效合理，须对程序进行测试，测试程序的工作由 调试和作时空分布图组成。
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算法描述
1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已 经被排序 2. 取出下一个元素，在已经排序的元 素序列中从后向前扫描 3. 如果该元素（已排序）大于新元素， 将该元素移到下一位置 4. 重复步骤3，直到找到已排序的元素 小于或者等于新元素的位置 5. 将新元素插入到该位置中 6. 重复步骤2
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1.3 算法示例—插入排序算法
算法的思想：扑克牌游戏
a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1 a0,...,n-1
= = = = = = =
5,2,4,6,1,3 5,2,4,6,1,3 2,5,4,6,1,3 2,4,5,6,1,3 2,4,5,6,1,3 1,2,4,5,6,3 1,2,3,4,5,6
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算法≠程序
算法描述：自然语言，流程图，程序设计
语言，伪代码 用各种算法描述方法所描述的同一算法， 该算法的功用是一样的，允许在算法的描述 和实现方法上有所不同。
本书中采用类C++伪代码语言描述算法
9
人们的生产活动和日常生活离不开算法， 都在自觉不自觉地使用算法，例如人们到 商店购买物品，会首先确定购买哪些物品， 准备好所需的钱，然后确定到哪些商场选 购、怎样去商场、行走的路线，若物品的 质量好如何处理，对物品不满意又怎样处 理，购买物品后做什么等。以上购物的算 法是用自然语言描述的，也可以用其他描 述方法描述该算法。
算法设计与分析(第2版)-郑宗汉-第1章-1
参考书：算法导论(原书第3版) ，Thomas H. Cormen， Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, lifford Stein, 殷建平 等译, 机械工业出版社, 第1版，2013年7月
2021/3/10
5
第1章 算法的基本概念
References
1973. 5. A. V. Aho, J. D. Ullman等. The Design and Analysis of Computer Algorithms.
Addison-Wesley, 1974. 6. A. V. Aho, J. D. Ullman等. Data Structures and Algorithms. Addison-Wesley,
1983.4. 7. S. Baase. Computer Algorithms: Introduction to Design and Analysis.
Addison-Wesley, second edition, 1988. 8. E. Horowitz and Sartaj Sahni. Fundamentals of Computer Algorithms.
2021/3/10
12
第1章 算法的基本概念 1.1.1 算法的定义和特性
最大公约数问题：求两个正整数m和n的最大公约数
设计：
确可定行性性：：
输入： 输出： 第一步: 第二步:
2021/3/10
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第1章 算法的基本概念
学习要求
深刻理解每一类算法的思想及其实现 能熟练运用所学知识解决实际问题 培养提高计算思维能力
2021/3/10
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第1章 算法的基本概念
2021/3/10
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第1章 算法的基本概念
References
1973. 5. A. V. Aho, J. D. Ullman等. The Design and Analysis of Computer Algorithms.
Addison-Wesley, 1974. 6. A. V. Aho, J. D. Ullman等. Data Structures and Algorithms. Addison-Wesley,
1983.4. 7. S. Baase. Computer Algorithms: Introduction to Design and Analysis.
Addison-Wesley, second edition, 1988. 8. E. Horowitz and Sartaj Sahni. Fundamentals of Computer Algorithms.
2021/3/10
12
第1章 算法的基本概念 1.1.1 算法的定义和特性
最大公约数问题：求两个正整数m和n的最大公约数
设计：
确可定行性性：：
输入： 输出： 第一步: 第二步:
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第1章 算法的基本概念
学习要求
深刻理解每一类算法的思想及其实现 能熟练运用所学知识解决实际问题 培养提高计算思维能力
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第1章 算法的基本概念
计算机算法设计与分析-算法概述
2023/10/8
计算机算法设计与分析
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复杂性分析的简化
令T(N)为表示算法A的复杂性函数，若存在Ť (N)， 使得
Lim N (T(N) – Ť(N)) / T(N) = 0 那么，就可以用Ť(N)来代替T(N) ，从而简化复杂 性的分析。 例如：T(N) = 3N2+4NlogN+7，Ť(N) = 3N2，则
例如，计算一个N维矩阵A的平方的时间 复杂性可估算为2N*N2 = 2N3，即此计算 的时间复杂性为3阶。
2023/10/8
计算机算法设计与分析
9
几个记号
设f(N)、g(N)都是定义在正整数集上的函数。 上界记号O：如果存在正的常数C和自然数N0，
使 界得 函当 数Ng(≧N)N，0 记时为有ff((NN))≦= OC(gg((NN))，)。则f(N)有上 下 使 界界 得 函记 当 数Ng号(≧NΩ)N：，0如记时果为有存ff((NN在))正≧= Ω的Cg(常g(N(N数)，))C。则和f自(N然)有数下N0， 同阶记号Θ：f(N)= Θ(g(N))表示f(N)和g(N)同
ei(N, I)为经过统计后得到的执行抽象计算机的 第i种指令的次数。
2023/10/8
计算机算法设计与分析
6
最坏、最好或平均的情况
令：D为规模为N的合法输入的集合； I*表示在最坏情况下的输入； I#表示在最好情况下的输入； P(I)输入I出现的概率。
W(N) = max IDT(N, I) = T(N, I*) B(N) = min IDT(N, I) = T(N, I#) A(N) = IDP(I)T(N, I) 三者中最常用的是W(N) 。
3、图
一个图G是一个有序三元组，G=(V，E，Ψ)，其中： （1）V是非空顶点集合；
算法设计与分析耿国华第一章
(2i 1) n
i 1
n
2
(2i 1) (2i 1) 2n 1 (n 1)
i 1 i 1
2
2n 1 n 2
故命题成立。
Chapter
1
1.5 算法复杂性分析方法
1.5.1 复杂度函数
1.5.2 最好、最坏和平均情况
1.5.3 渐进分析 1.5.4 阶的证明方法
Chapter
1
1.3 算法分析准则
分析准则
（4）高效率和低存能量 评价算法性能另一个要考虑的因素就是算法的运行效率，也 就是要估计一下按算法编制的程序在计算机上执行所耗费的时 间和所占用空间。 评价算法运行效率的主要技术指标是：算法运行的时间复杂 度和空间复杂度。
Chapter
1
1.4 算法分析基础
Chapter
1
1.1 引言----算法特性
• 算法特性
（1）有限性：
一个算法必须保证执行有限步之后结束
（2）确定性（无二义）
算法的每一步骤必须有确切的定义
（3）可行性
算法原则上能精确地运行。在现有条件情况下，是可以
实现的 。
Chapter
1
1.1 引言----算法特性• 算法特性（4）输入
一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况
Chapter
1
1.1 引言----算法描述方式
• 算法的描述方式
（1）自然语言
所谓的“自然语言”指的是日常生活中使用的语言，如汉语、 英 语。用自然语言进行描述通俗易懂，容易掌握，但是不 严谨、容易有二义性。
（2）框图（流程图）
它是用各种几何图形、流程线及文字说明来描述计算过程的 框图。直观地表示算法的整个结构，着重处理流程，便于检查 修改。但是它无法表达数据流程。
黑龙江大学计算机算法设计与分析--第一章
• 70年代后
– 算法作为计算机科学核心推动了计算机科学技 术飞速发展
5
计算机科学技术的体系
• 解决一个计算问题的过程
可计算否
能行可计算否 设计与分析算法 用计算机语言实现算法
可计算理论
计算复杂性理论 算法设计与分析 数据结构与程序设计 编译、OS、… 6
软件系统
• 可计算理论
–计算模型 –可计算问题/不可计算问题 –计算模型的等价性--图灵/Church命题
算法（Algorithm）的概念
• 通俗地讲
算法是指解决问题的一种方法或一个过程。
• 严格地讲
算法是由若干条指令组成的有穷序列,且满足下述性质： （1）输入: 有零个或多个由外部提供的量作为算法的 输入。 （2）输出: 算法产生至少一个量作为输出。 （3）确定性: 组成算法的每条指令是清晰的，无歧义的。 （4）有限性: 算法中每条指令的执行次数是有限的， 执行每条指令的时间也是有限的。
【课程基础】
• 本课程要求学生在学习之前已经熟练掌握C/C++程序 设计，学习过高等数学、线性代数、离散数学、概率 论与数理统计、数据结构等课程。
2
【主要教学内容】
设计算法及分析算法的理论、方法和技术； 可计算问题的算法设计与分析。 分为下述部分介绍： • 算法概述 • 递归与分治策略 • 动态规划 • 贪心算法 • 回溯法 • 分支限界法
常用的渐近函数
函数
1
名称
常数
函数
n2
名称
平方
logn
n
对数
线性
n倍logn
n3
2n
立方
指数
nlogn
n！
阶乘
算法设计与分析第1章 算法概述
T avg ( n )
p ( I )T ( I )
size ( I ) n
p p p p 1 2 3 n n 1 p n n n n
2013-5-24
p n
i1
n
i n 1 p
算法设计与分析
p( n 1) 2
2013-5-24
算法设计与分析
16
与机器无关的时间效率
（1）Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n }=O(n) （2）Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n }=O(1) （3）在平均情况下，假设： (a) 搜索成功的概率为p ( 0 p 1 )； (b) 在数组的每个位置i ( 0 i < n )搜索成功的概率相同，均为 p/n。
2013-5-24 算法设计与分析 18
2. 复杂性的渐近分析
• 比较两种不同的复杂性
– 3×n + 2和3×n 论当n→∞时，算法的时间复杂性，即复杂性 的渐近性态
2013-5-24
算法设计与分析
19
1) 渐近性态
• 设T(n)为算法A的时间复杂性函数，则它是n的单 ~ 调递增函数，如果存在一个函数 T( n ) 使得当 n→∞，有：
• 描述算法可以有多种方式：自然语言、数 学语言、流程图、表格方式、 图示形式、 程序设计语言等。 在此将采用C++与自然 语言相结合的方式来描述算法。
• 算法设计方法主要有：分治策略、动态规 划、贪心法、回溯法、分支限界、概率算 法等。
2013-5-24 算法设计与分析 13
1.2 算法的复杂性分析
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课程安排
理论课：1～10周，40学时 周二(5-6)、周五(1-2)
上机： 18学时
期末考试： 闭卷笔试，第 11周
上课点名三次不到者取消考试资格； 迟到或作业缺交，一次扣10分（平时成绩）。
教学目的和要求
本课程是计算机类专业的专业基础课程； 通过课程学习和上机实践，对计算机常用算
法有一个较全面的了解，掌握通用算法的一 般设计方法； 学会对算法的时间、空间复杂度分析，掌握 提高算法效率的方法和途径。
5)算法的程序实现 将算法正确地编写成机器语言程序.
6)算法分析 对执行该算法所消耗的计算机资源进行估算.
（三）如何设计算法
通过学习已被实践证明是有用的一些基本设 计策略，如递归、回溯等，掌握一般的算法 设计方法，学会设计高效的算法。
（四）如何确认算法（证明其正确性）
证明算法对所有可能的输入都能算出正确的 答案，这一工作称为算法确认。这一领域是 当前许多计算机工作者集中研究的对象，还 处于相当初期的阶段。
4、算法的一个c++程序语言实现
int Euclid（int m，int n） // 计算gcd（m，n） // 输入：非负整数m，n，其中m，n不同时为零 // 输出：m，n的最大公约数
{ int r=0;
if(m*n==0) return 0; // m，n不符合输入规范时返回0
数，称为模运算
2、算法的一个结构化的描述
计算gcd（m，n）的欧几里得算法： 第一步：如果n=0,返回m的值作为结果，同
时过程结束；否则，进入第二步。 第二步：用n去除m，将余数赋给r。 第三步：将n的值赋给m，将r的值赋给n，返
回第一步。
3、算法的一个伪代码描述
ALGORITHM Euclid（m，n） // 计算gcd（m，n） // 输入：非负整数m，n，其中m，n不同时为零 // 输出：m，n的最大公约数 while n ≠ 0 do r ← m mod n m ←n n ←r return m
什么是算法？
我们来编写一个烧开水的算法：
输入自来水 循环（反复）加热直到水开 输出开水
一、算法(Algorithm)
算法概念：通俗地讲，算法是指解决问题
的一种方法或一个过程。严格地讲，算法是 由若干条指令组成的有穷序列。
问题
输入
算法
“计算设备”输出 图1.1 算法的概念图
（一）算法的性质
1、算法具有某些特性，如下几条： (1)输入：有零个或多个外部提供的量作为算
二、算法的几种描述方式
1、计算两个整数的最大公约数问题的一个现 代数学术语表述 欧几里得算法基于的方法是重复应用下列 等式： gcd (m , n) = gcd (n , m mod n) ， 直到m mod n等于0。
gcd(60,24)=gcd(24,12)=gcd(12,0)=12 注：gcd (m , 0) =m，m mod n 表示m除以n之后的余
while (n > 0)
{ r = m mod n;
m = n;
n = r;
}
return m;
}
其他方法
程序流程图等，不再一一列举。
三、算法复杂性分析
算法复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的 重要依据。
算法复杂性的高低体现在运行算法所需要的计算机 资源，即时间和空间（存储器）资源的多少上。
授课内容
第1章 算法概述 第2章 递归与分治策略 第3章 动态规划 第4章 贪心算法 第5章 回溯法 第6章 分支限界法 *7-9章属研究生学习内容，可自学了解。
第1章 算法概述
学习要点: • 一、理解算法的概念，以及问题求解的
过程。 • 二、掌握算法的几种描述方式。 • 三、理解算法的计算复杂性概念。 • 四、掌握算法渐近复杂性的数学表述。
（一）算法性质
2、关于算法有几个要点： (1) 算法所处理的输入的值域必须严格定义。 (2) 同样一种算法可以用几种不同的形式来描
述。
（一）算法性质
(3) 同一个问题可以存在多种解决的算法。 (4) 同一个问题的几种算法可能会基于完全不
同的解题思路，而且解题速度也会有显著不 同。
（二）问题求解过程
在学习本课程中，我们仅对算法的正确性进 行一般的非形式化讨论，以及对算法的程序 实现进行测试验证。
（五）如何分析（评价）算法
分析算法包括 定量的分析算法需要多少计算 时间和存储空间，分析算法不仅可以预计 算 法能否有效得完成任务，而且可以知道算法 在最坏、最好和平均情况下的运算时间，对 解决同一问题的不同算法的优劣作出比较。
算法的时间复杂性T(n)，空间复杂性S(n)。 其中n是问题的规模（输入大小）。
三、算法复杂性分析
本课程主要对算法的时间复杂性进行分析。 关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚： （1）用怎样的一个量（指标）来表达一个算法的
法的输入。 (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。这
些输出是和输入有某种特定关系的量。
（一）算法的性质
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无 歧义的。
(4)有限性（有穷性）：算法中每条指令的执 行次数是有限的，执行每条指令的时间也是 有限的。
（一）算法的性质
(5)可实现性：此性质是指算法中有待实现的 运算都是相当基本的，每种运算至少在原理 上能由人用纸和笔在有限的时间内完成。 （补充）
1)问题的陈述 用科学规范的语言,对所求解的问题做准确的 描述.
2)建立数学模型 通过对问题的分析,找出其中的所有操作对象 及操作对象之间的关系并用数学语言加以描 述.
3)算法设计 根据数学模型设计问题的计算机求解算法.
（二）问题求解过程
4)算法的正确性证明 证明算法对一切合法输入均能在有限次计算 后产生正确输出.
学习算法的重要性
（一） 从理论和实践的角度理解 —计算机科学的基石；掌握标准算法
（二）从算法对于程序的重要性来讲 —皮之不存，毛将附焉？
（三） 数据结构课程
（一）数据结构关心的对象 各种数据结构的作用和效率、具体的问题
（二）算法设计与分析关心的对象 算法设计技术的适用性和效率、一般性方 法
理论课：1～10周，40学时 周二(5-6)、周五(1-2)
上机： 18学时
期末考试： 闭卷笔试，第 11周
上课点名三次不到者取消考试资格； 迟到或作业缺交，一次扣10分（平时成绩）。
教学目的和要求
本课程是计算机类专业的专业基础课程； 通过课程学习和上机实践，对计算机常用算
法有一个较全面的了解，掌握通用算法的一 般设计方法； 学会对算法的时间、空间复杂度分析，掌握 提高算法效率的方法和途径。
5)算法的程序实现 将算法正确地编写成机器语言程序.
6)算法分析 对执行该算法所消耗的计算机资源进行估算.
（三）如何设计算法
通过学习已被实践证明是有用的一些基本设 计策略，如递归、回溯等，掌握一般的算法 设计方法，学会设计高效的算法。
（四）如何确认算法（证明其正确性）
证明算法对所有可能的输入都能算出正确的 答案，这一工作称为算法确认。这一领域是 当前许多计算机工作者集中研究的对象，还 处于相当初期的阶段。
4、算法的一个c++程序语言实现
int Euclid（int m，int n） // 计算gcd（m，n） // 输入：非负整数m，n，其中m，n不同时为零 // 输出：m，n的最大公约数
{ int r=0;
if(m*n==0) return 0; // m，n不符合输入规范时返回0
数，称为模运算
2、算法的一个结构化的描述
计算gcd（m，n）的欧几里得算法： 第一步：如果n=0,返回m的值作为结果，同
时过程结束；否则，进入第二步。 第二步：用n去除m，将余数赋给r。 第三步：将n的值赋给m，将r的值赋给n，返
回第一步。
3、算法的一个伪代码描述
ALGORITHM Euclid（m，n） // 计算gcd（m，n） // 输入：非负整数m，n，其中m，n不同时为零 // 输出：m，n的最大公约数 while n ≠ 0 do r ← m mod n m ←n n ←r return m
什么是算法？
我们来编写一个烧开水的算法：
输入自来水 循环（反复）加热直到水开 输出开水
一、算法(Algorithm)
算法概念：通俗地讲，算法是指解决问题
的一种方法或一个过程。严格地讲，算法是 由若干条指令组成的有穷序列。
问题
输入
算法
“计算设备”输出 图1.1 算法的概念图
（一）算法的性质
1、算法具有某些特性，如下几条： (1)输入：有零个或多个外部提供的量作为算
二、算法的几种描述方式
1、计算两个整数的最大公约数问题的一个现 代数学术语表述 欧几里得算法基于的方法是重复应用下列 等式： gcd (m , n) = gcd (n , m mod n) ， 直到m mod n等于0。
gcd(60,24)=gcd(24,12)=gcd(12,0)=12 注：gcd (m , 0) =m，m mod n 表示m除以n之后的余
while (n > 0)
{ r = m mod n;
m = n;
n = r;
}
return m;
}
其他方法
程序流程图等，不再一一列举。
三、算法复杂性分析
算法复杂性是算法效率的度量，是评价算法优劣的 重要依据。
算法复杂性的高低体现在运行算法所需要的计算机 资源，即时间和空间（存储器）资源的多少上。
授课内容
第1章 算法概述 第2章 递归与分治策略 第3章 动态规划 第4章 贪心算法 第5章 回溯法 第6章 分支限界法 *7-9章属研究生学习内容，可自学了解。
第1章 算法概述
学习要点: • 一、理解算法的概念，以及问题求解的
过程。 • 二、掌握算法的几种描述方式。 • 三、理解算法的计算复杂性概念。 • 四、掌握算法渐近复杂性的数学表述。
（一）算法性质
2、关于算法有几个要点： (1) 算法所处理的输入的值域必须严格定义。 (2) 同样一种算法可以用几种不同的形式来描
述。
（一）算法性质
(3) 同一个问题可以存在多种解决的算法。 (4) 同一个问题的几种算法可能会基于完全不
同的解题思路，而且解题速度也会有显著不 同。
（二）问题求解过程
在学习本课程中，我们仅对算法的正确性进 行一般的非形式化讨论，以及对算法的程序 实现进行测试验证。
（五）如何分析（评价）算法
分析算法包括 定量的分析算法需要多少计算 时间和存储空间，分析算法不仅可以预计 算 法能否有效得完成任务，而且可以知道算法 在最坏、最好和平均情况下的运算时间，对 解决同一问题的不同算法的优劣作出比较。
算法的时间复杂性T(n)，空间复杂性S(n)。 其中n是问题的规模（输入大小）。
三、算法复杂性分析
本课程主要对算法的时间复杂性进行分析。 关于算法的复杂性，有两个问题要弄清楚： （1）用怎样的一个量（指标）来表达一个算法的
法的输入。 (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。这
些输出是和输入有某种特定关系的量。
（一）算法的性质
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无 歧义的。
(4)有限性（有穷性）：算法中每条指令的执 行次数是有限的，执行每条指令的时间也是 有限的。
（一）算法的性质
(5)可实现性：此性质是指算法中有待实现的 运算都是相当基本的，每种运算至少在原理 上能由人用纸和笔在有限的时间内完成。 （补充）
1)问题的陈述 用科学规范的语言,对所求解的问题做准确的 描述.
2)建立数学模型 通过对问题的分析,找出其中的所有操作对象 及操作对象之间的关系并用数学语言加以描 述.
3)算法设计 根据数学模型设计问题的计算机求解算法.
（二）问题求解过程
4)算法的正确性证明 证明算法对一切合法输入均能在有限次计算 后产生正确输出.
学习算法的重要性
（一） 从理论和实践的角度理解 —计算机科学的基石；掌握标准算法
（二）从算法对于程序的重要性来讲 —皮之不存，毛将附焉？
（三） 数据结构课程
（一）数据结构关心的对象 各种数据结构的作用和效率、具体的问题
（二）算法设计与分析关心的对象 算法设计技术的适用性和效率、一般性方 法