大学物理(清华)第3章刚体的定轴转动习题解答

习题

3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s 内由每分钟1200转匀加速地增加到每分钟2700转，求：（1）角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？

解：（1）)/(401s rad πω= )/(902s rad πω=

)/(1.13)/(6

25124090221

2s rad s rad t

≈=-=

∆-=

π

ππωωβ

匀变速转动

（2）)(7802212

2rad πβωωθ=-= )(3902圈==π

θ

n 3-2 一飞轮的转动惯量为J ,在0=t 时角速度为0ω，此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>K 。求：（1）当0ωω=时,飞轮的角加速度；（2）从开始制动到0ωω=所需要的时间。

解：（1）依题意 2

ωβK J M -== )/(922

02

s rad J

K J K ωωβ-=-= （2）由J

K dt d 2

ωωβ-== 得 ⎰

⎰

-

=3

2

00

ωωωωK Jd dt t

ωK J

t 2=

3-3 如图所示， 发电机的轮A 由蒸汽机的轮B 通过皮带带动。两轮半径A R =30cm ，=B R 75cm 。当蒸汽机开动后，其角加速度π8.0=B βrad/s 2，设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到

A n =600rev/min ？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到

300rev/min ，求其角加速度。

解：（1）t A A βω= t B B βω=

因为轮和皮带之间没有滑动，所以A 、B 两轮边缘的线速度相同，即

B B A A R R ωω=

又)/(2060600

2s rad A ππω=⨯=

联立得)(10s R R t B B A A ==βω

（2）)/(10603002s rad A ππω=⨯=

)/(6

2s rad t A A A π

ωωβ=-'= 3-4 一个半径为=R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。若该物体从静止开始匀加速下降，在t ∆＝2.0s 内下降的距离h ＝0.4m 。求物体开始下降后第3秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。

解：物体下落的加速度()

)/(2.0222

s m t h

a =∆=

又 βR a a t == ，得圆盘的角加速度 )/(2.02

s rad =β 第3秒末，圆盘的角速度)/(6.0s rad t ==βω

所以 )/(2.02s m a t = )/(36.02

2s m R a n ==ω

3-5 一个砂轮直径为0.4m ，质量为20kg ，以每分钟900转的转速转动。撤去动力后，一个工件以100N 的正压力作用在砂轮边缘上，使砂轮在11.3s 内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。

解：βJ M =

其中NR M μ-= ，得J

NR

J M dt d μωβ-

===

⎰⎰

-

=0

ωμωNR Jd dt t

， 即NRt

J 0

ωμ= 又)/(306090020s rad ππω=⨯=

，)(4.022122

m kg d m J ⋅=⎪⎭

⎫

⎝⎛= 得167.0=μ

3-6 如图所示，质量为m 的匀质圆环，半径为R ，当它绕通过环心的直径轴转动时，求圆环对轴的转动惯量J 。

解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为z 轴，过环心的两条互相垂直的直径分别为x 轴和y 轴，

根据垂直轴定理y x z J J J +=

由对称性可知y x J J =，又2

mR J z =

得22

1

mR J J J y x =

==

方法二：θλλRd dl dm ==，其中R

m πλ2=

()θθλθd R R dm dJ 232

sin sin ==

2320

232

1

sin mR R d R J =

==⎰λπθθλπ

3-7 如图所示，长为L 2的匀质细棒，质量为M ，未端固定一质量为m 的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量J 。

习题3-6图

习题3-3图

解:22M 3

1

mL ML J J J m +=

+= 3-8 如图所示，从质量为M ，半径为R 的匀质薄圆板上挖去一个半径为r 的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。求此时圆板对于原板中心且与板面垂直的轴线的转动惯量。

解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的圆板，即孔板圆板J J J -=

2

2

1MR J =圆板，22)2(21R m mr J +=孔板，其中M R r m 22ππ=

得2

2424

12121Mr R r M MR J --=

3-9 如图所示，把两根质量均为m ，长为l 的匀质细棒一端焊接相连，其夹角︒=120θ，取连接处为坐标原点，两个细棒所在的平面为Oxy 平面，求此结构分别对Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴的转动惯量。

习题3-7图

习题3-8图

习题3-9图

习题3-10图