规范解答示例5 圆锥曲线的综合应用-2021届高三高考数学二轮复习课件

规范解答示例5 圆锥曲线的综合应用-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件 【精品 】
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y＝kx＋2 联立x2＝4y ， 消去y，整理得x2－4kx－8＝0． 解得x1＝2(k＋ k2＋2)，x2＝2(k－ k2＋2)， ∴x1＋2x2＝2(k＋ k2＋2)＋4(k－ k2＋2)＝0， 整理，得3k＝ k2＋2＞0， 解得k＝21. ∴直线AB的方程为y＝12x＋2．
第二部分
专题篇•素养提升()
规范解答示例5 圆锥曲线的综合应用
(2018·全国Ⅰ)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交
于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMHale Waihona Puke Baidu.
●
【审题路线图】 (1)l与x轴垂直→l的方程为x＝1→将l的方程与椭圆C的方程联立→解得A
7分
∴kAM＋kBM＝y1x2x－1－22＋xy22－x12－ 2＝2kx1x2x－1－32kxx1＋2－x22＋4k，8分
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的两个方程得1分．
● 第(2)问：写出直线l与x轴重合时的情况得1分，写出l与x轴垂直时的情况得1分，写出既不 垂直又不重合的情况得1分，以上情况漏写一种扣1分；写出kMA，kMB的表达式得1分，写出kAM＋ kBM关于x1，x2的表达式得1分，联立直线与椭圆方程得出x1＋x2，x1x2分别关于k的表达式得1分， 将x1＋x2，x1x2代入kAM＋kBM，求得kAM＋kBM＝0得1分，得出总结论得2分．
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【解析】 (1)由题意，设过点P(0,2)的直线l的斜率为k， 则l：y＝kx＋2． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵A→P＝2P→B， ∴根据定比分点的知识， 有x1＋32x2＝0，y1＋32y2＝2， ∴x1＋2x2＝0．
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(2)证明：根据(1)，联立直线l与抛物线方程， y＝kx＋2
得x2＝4y ， 整理，得x2－4kx－8＝0． 则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－8． ∵A1(x1，－2)，B1(x2，－2)． ∴Q(x1＋2 x2，－2)．
点坐标→得到直线AM的方程．
●
(2)先考虑l与x轴垂直或l与x轴重合的特殊情况→要证的结论→再考虑l与x轴不垂直也不重
合的一般情况→设l的方程并与椭圆方程联立→得x1＋x2，x1x2→用过两点的斜率公式写出kMA， kMB→计算kMA＋kMB→得kMA＋kMB＝0→∠OMA＝∠OMB.
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●
构建答题模板
● 第一步
● 求直线方程：确定直线上两点的坐标，从而求得直线的方程．
● 第二步
● 求解特殊情况：注意斜率为0与斜率不存在的情况，分别求解．
● 第三步
● 求解一般情况：斜率存在且不为0
●
(1)联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别
式，利用根与系数的关系得等式；
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【跟踪演练】 (2020·来宾模拟)过点P(0,2)的直线与抛物线C：x2＝4y相交于A，B两 点． (1)若A→P＝2P→B，且点A在第一象限，求直线AB的方程； (2)若A，B在直线y＝－2上的射影分别为A1，B1，线段A1B1的中点为 Q，求证：BQ∥PA1．
(2)证明 ①当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
4分
②当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，
∴∠OMA＝∠OMB.
5分
③当l与x轴不重合也不垂直时，
设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
6分
设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1< 2，x2< 2)，
则kAM＝x1y－1 2，kBM＝x2y－2 2，
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● (2)找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系，得结论.
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【评分细则】 第(1)问：写出F的坐标得1分，联立方程得出A点坐标得1分，写出直线AM
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∴B→Q＝(x1＋2 x2－x2，－2－y2)，P→A1＝(x1，－4)． ∵(x1＋2 x2－x2)·(－4)－x1·(－2－y2) ＝4·x2－2 x1＋x1·(y2＋2)＝2x2－2x1＋x1y2＋2x1 ＝2x2＋x1y2＝2x2＋x1·x422＝2x2＋x42·x1·x2＝2x2＋x42·(－8)＝0． ∴BQ∥PA1．
将y＝k(x－1)与x22＋y2＝1联立，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
易知Δ>0恒成立，
∴x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋21，
9分
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝ 4k3－4k－11＋2k23k＋2 8k3＋4k＝0，
10分
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规范解答·分步得分
(1)解：由已知得F(1,0)，
1分
由x＝1及x22＋y2＝1得A点坐标为1， 22或1，－ 22，
2分
又M(2,0)，∴AM的方程为y＝－ 22x＋ 2或y＝ 22x－ 2. 3分
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●
从而kAM＋kBM＝0，故MA与MB的倾斜角互补，
●
∴∠OMA＝∠OMB，
●
综上∠OMA＝∠OMB.
12分
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