上证指数不同时间周期收益率正态分布性分析
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1965年Samuelson提出信息有效市场 概念，用经济学理论论证有效市场假说。 Roberts根据市场对信息集的不同反映，将 股票市场分为弱式有效市场（价格仅反映 历史价格信息）、半强式有效市场（价格 反映所有公开信息）、强式有效市场（价 格反映所有能获得的信息）。1965年法玛 （Fama）总结了有效市场理论，正式提出 有效市场假说。Fama对有效市场的定义 是：在一个有效的市场中，证券价格总是能 充分地反映所有已知的信息。1970年Fama 认为，有效市场假说使得所有基于现有信息 之上的交易策略不可能获得超过市场平均利 润。众所周知的马柯维茨的资产组合理论、 Willian Sharpe(1964)的资本资产价模型 (CAPM)、布莱克-斯科尔斯的期权定价模 型都是以有效市场假说为基础。有效市场假 设理论假定金融资产的价格收益率分布服从 正态分布，并有稳定的均值和有限的方差。
标准差之外的概率约是4.5%，出现在3个
标准差之外的概率是0.27%，而出现在4个
标准差之外的概率则是0.006335%，出现在
5个标准差外的概率为0.000057%。也就是
说，出现大于三个标准差的收益率数据的概
率约是千分之二点七，出现大于4个标准差
的收益率数据的概率约是十万分之六，而出
现大于5个标准差的收益率数据的概率约是
百万分之零点六。以股票交易为例，一年的
有效交易日约为250个交易日，以日收益率
计算，理论上大约一年半时间出现一次收益
率超过三个标准差的交易日，66年左右出现
一次收益率超过4个标准差的交易日，6700
年才能出现一次收益率超过5个标准差的交
易日。
Βιβλιοθήκη Baidu
在金融学中，人们通常假设股票价格遵
循随机游走性质，即遵循马尔科夫过性质。 马尔科夫性质隐含了在将来任一特定的时刻 的股票价格的概率分布仅仅取决于股票当前 的价格。股价的马尔科夫性质与强式有效市 场相一致，也就是说，一种股票的当前价格 已经包含了到目前为止的所有已知信息，当 然包括了所有过去的价格信息。股价行为模 型可以用维纳过程来刻画，维纳过程是马尔 科夫过程的一种特殊形式。
布。
对于分布为N（μ,σ2）的随机变量
X，我们还有：
P(|X-μ|<σ)=P(|X*|<1)= (1)-
(-1)=2 (1)-1=0.68268949214
P(|X-μ|<2σ)=P(|X*|<2)= (2)-
(-2)=2 (2)-1=0.95449973610
P(|X-μ|<3σ)=P(|X*|<3)= (3)-
金融资产的收益率分布特性对各种 金融模型的正确性具有决定性影响，国内 外很多学者对收益率的分布特性做了大 量实证研究。实证研究表明，价格波动 的布朗运动模型和有效市场假说并不能 完美近似市场。由于投资者的认知能力 不同、市场非理性的广泛存在，金融市 场的非理性广泛存在，导致收益率的分布 表现为相比正态分布具有尖峰厚尾性。 German(1978),Lau&Wingender(1990)等学
引言
现代金融理论最重要的理论基础是有效 市场假说(Efficient Market Hypothesis， 简称EMH)。在20世纪初Louis Bachelier提 出可以用布朗运动来描述股价波动，首开有 效市场假说研究先河。1964年Osborne提出 股票价格的变动有如流体中的粒子，遵循布 朗运动。Osborne认为投资者能够充分利用 所有已知信息，股票交易在价值与市场价格 一致的均衡价格上进行。由于股票价格是在 已知的信息下的均衡价格，价格的变动在时 间序列上也就相互独立，上期的价格对下一 期的价格没有直接的影响。由概率论中的中 心极限定理可以进一步推论，股票价格服从 正态分布，具有稳定的均值和有限的方差。
DOI：10.3969/j.issn.1001-8972.2013.02.070
上证指数不同时间周期收益率正态分布性分析
薛灵芸 中央财经大学保险学院，北京 102206
摘要 现代金融理论最重要的理论基础是有效市场 假说，金融资产价格的收益率服从正态分 布，并有稳定的均值和有限的方差。通过对 上证指数不同时间周期的收益率数据分析， 各种周期的收益率数据的正态拟合不好，收 益率数据呈现尖峰厚尾特征。日收益率和周 收益率数据中，大于3个以上标准差的样本 值远多于理论值。 关键词 收益率；分时数据；正态分布 中图分类号：F830 文献标识码：A
者相继发现，股票收益率的分布往往具有如 下特征:
(1)有偏性。偏度往往大于0，即概率分 布不是对称的；
(2)尖峰厚尾性。峰度系数往往要远大 于0，也就是说，收益率剧烈波动，出现极 端离群值的概率要远大于理论正态分布假设 下极端事件发生的概率。
上海股市自1990年开市以来，已经有23 年的历史。由于上海股市的历史不长，属于 新兴市场，波动性与成熟股市有差异，其收 益率的分布特性自然与成熟股市也不同。本 文在前人研究的基础上，尝试对市场收益率 的不同时间周期数据进行对比分析，以图揭 示不同时间周期的统计特性。
(-3)=2 (3)-1=0.99730020394
P(|X-μ|<4σ)=P(|X*|<4)= (4)-
(-4)=2 (4)-1=0.99993665752
P(|X-μ|<5σ)=P(|X*|<5)= (5)-
(-5)=2 (5)-1=0.99999942670
服从正态分布的随机变量出现在1个标
准差之外的概率约是31.73%，出现在两个
1 模型和数据分析
1.1 正态分布模型 依据概率论中的中心极限定理，正态分 布是我们日常生活中最常遇到的，用途最广 的最重要的分布。如果随机变量X的概率密 度函数为：
F(x)=
exp
,-∞＜χ＜+∞
其中参数μ为任意实数，参数σ＞0，
则称X为参数（μ,σ2）的正态随机变量，
称X的分布为服从参数为μ,σ2的正态分
设变量z遵循维纳过程。考虑在小的时 间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间 间隔长度为△t，定义△z为在△t时间内Z的 变化。要使z遵循维纳过程，△z必须满足两 个性质：
性质1：△z与△t的关系满足
其中ε为服从标准正态分布的随机值。 性质2：对于任意两个不同时间的间 隔，△t，△z的值相互独立。 从性质1，可知△z具有正态分布 E(△z)=0 Var(△z)=△t 性质2隐含z遵循马尔科夫过程。 在具有任意长度为T的时间间隔内，设
标准差之外的概率约是4.5%，出现在3个
标准差之外的概率是0.27%，而出现在4个
标准差之外的概率则是0.006335%，出现在
5个标准差外的概率为0.000057%。也就是
说，出现大于三个标准差的收益率数据的概
率约是千分之二点七，出现大于4个标准差
的收益率数据的概率约是十万分之六，而出
现大于5个标准差的收益率数据的概率约是
百万分之零点六。以股票交易为例，一年的
有效交易日约为250个交易日，以日收益率
计算，理论上大约一年半时间出现一次收益
率超过三个标准差的交易日，66年左右出现
一次收益率超过4个标准差的交易日，6700
年才能出现一次收益率超过5个标准差的交
易日。
Βιβλιοθήκη Baidu
在金融学中，人们通常假设股票价格遵
循随机游走性质，即遵循马尔科夫过性质。 马尔科夫性质隐含了在将来任一特定的时刻 的股票价格的概率分布仅仅取决于股票当前 的价格。股价的马尔科夫性质与强式有效市 场相一致，也就是说，一种股票的当前价格 已经包含了到目前为止的所有已知信息，当 然包括了所有过去的价格信息。股价行为模 型可以用维纳过程来刻画，维纳过程是马尔 科夫过程的一种特殊形式。
布。
对于分布为N（μ,σ2）的随机变量
X，我们还有：
P(|X-μ|<σ)=P(|X*|<1)= (1)-
(-1)=2 (1)-1=0.68268949214
P(|X-μ|<2σ)=P(|X*|<2)= (2)-
(-2)=2 (2)-1=0.95449973610
P(|X-μ|<3σ)=P(|X*|<3)= (3)-
金融资产的收益率分布特性对各种 金融模型的正确性具有决定性影响，国内 外很多学者对收益率的分布特性做了大 量实证研究。实证研究表明，价格波动 的布朗运动模型和有效市场假说并不能 完美近似市场。由于投资者的认知能力 不同、市场非理性的广泛存在，金融市 场的非理性广泛存在，导致收益率的分布 表现为相比正态分布具有尖峰厚尾性。 German(1978),Lau&Wingender(1990)等学
引言
现代金融理论最重要的理论基础是有效 市场假说(Efficient Market Hypothesis， 简称EMH)。在20世纪初Louis Bachelier提 出可以用布朗运动来描述股价波动，首开有 效市场假说研究先河。1964年Osborne提出 股票价格的变动有如流体中的粒子，遵循布 朗运动。Osborne认为投资者能够充分利用 所有已知信息，股票交易在价值与市场价格 一致的均衡价格上进行。由于股票价格是在 已知的信息下的均衡价格，价格的变动在时 间序列上也就相互独立，上期的价格对下一 期的价格没有直接的影响。由概率论中的中 心极限定理可以进一步推论，股票价格服从 正态分布，具有稳定的均值和有限的方差。
DOI：10.3969/j.issn.1001-8972.2013.02.070
上证指数不同时间周期收益率正态分布性分析
薛灵芸 中央财经大学保险学院，北京 102206
摘要 现代金融理论最重要的理论基础是有效市场 假说，金融资产价格的收益率服从正态分 布，并有稳定的均值和有限的方差。通过对 上证指数不同时间周期的收益率数据分析， 各种周期的收益率数据的正态拟合不好，收 益率数据呈现尖峰厚尾特征。日收益率和周 收益率数据中，大于3个以上标准差的样本 值远多于理论值。 关键词 收益率；分时数据；正态分布 中图分类号：F830 文献标识码：A
者相继发现，股票收益率的分布往往具有如 下特征:
(1)有偏性。偏度往往大于0，即概率分 布不是对称的；
(2)尖峰厚尾性。峰度系数往往要远大 于0，也就是说，收益率剧烈波动，出现极 端离群值的概率要远大于理论正态分布假设 下极端事件发生的概率。
上海股市自1990年开市以来，已经有23 年的历史。由于上海股市的历史不长，属于 新兴市场，波动性与成熟股市有差异，其收 益率的分布特性自然与成熟股市也不同。本 文在前人研究的基础上，尝试对市场收益率 的不同时间周期数据进行对比分析，以图揭 示不同时间周期的统计特性。
(-3)=2 (3)-1=0.99730020394
P(|X-μ|<4σ)=P(|X*|<4)= (4)-
(-4)=2 (4)-1=0.99993665752
P(|X-μ|<5σ)=P(|X*|<5)= (5)-
(-5)=2 (5)-1=0.99999942670
服从正态分布的随机变量出现在1个标
准差之外的概率约是31.73%，出现在两个
1 模型和数据分析
1.1 正态分布模型 依据概率论中的中心极限定理，正态分 布是我们日常生活中最常遇到的，用途最广 的最重要的分布。如果随机变量X的概率密 度函数为：
F(x)=
exp
,-∞＜χ＜+∞
其中参数μ为任意实数，参数σ＞0，
则称X为参数（μ,σ2）的正态随机变量，
称X的分布为服从参数为μ,σ2的正态分
设变量z遵循维纳过程。考虑在小的时 间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间 间隔长度为△t，定义△z为在△t时间内Z的 变化。要使z遵循维纳过程，△z必须满足两 个性质：
性质1：△z与△t的关系满足
其中ε为服从标准正态分布的随机值。 性质2：对于任意两个不同时间的间 隔，△t，△z的值相互独立。 从性质1，可知△z具有正态分布 E(△z)=0 Var(△z)=△t 性质2隐含z遵循马尔科夫过程。 在具有任意长度为T的时间间隔内，设